2026年高考数学一轮复习讲义：空间距离及立体几何中的探索性问题（附答案）

§7.8空间距离及立体几何中的探索性问题

【课标要求】1.会求空间中点到直线以及点到平面的距离2以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的

位置关系或空间角存在的条件.

j----------------------------------------落实主干知识--------------------------1

I.点到直线的距离

如图，已知直线/的单位方向向量为〃，A是直线/上的定点，P是直线/外一点，设而飞，则向量而

在直线/上的投影向量而=3〃)〃，在RtZXAAQ中，由勾股定理，得PQ=J|而『-|湎『二

2.点到平面的距离

如图，已知平面。的法向量为mA是平面。内的定点，尸是平面a外一点.过点尸作平面Q的垂线/,

交平面a于点。，则〃是直线/的方向向量，且点P到平面Q的距离就是而在直线/上的投影向最⑪

的长度，因此也二同湍卜|誓卜----------------•

B自主诊断

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“4”或“X”)

(1)平面。上不共线的三点到平面夕的距离相等，贝Ija〃4.()

(2)点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线的长度.()

(3)直线/平行于平面a,则直线/上各点到平面。的距离相等.()

(4)直线I上两点到平面«的距离相等，则/平行于平面a.()

2.空间点A(-l,1,1),8(-1,2,3),C(l,2,4),则点A到直线8c的距离d等于()

A苧B.V5C?D.萼

3.已知棱长为2的正方体ABCQ-AIBIGDI中，E,M,N分别是4办，A。，CG的中点，则直线AC与平面

EMN之间的距离为（）

A.lB.—

3

C.yD.V3

4.设正方体A8CD-A山CQ的校长为2,则点。到平面A山。的距离是.

---------------------------探究核心题型---------------------------

题型一空间距离

命题点1点线距离

例1如图，尸为矩形ABC。所在平面外一点，241.平面A8co.若己知A8=3,AO=4,PA=1,贝ij点尸

到直线BD的距离为.

命题点2点面距离

例2在棱长为2的正方体A8cz中，E,尸分别为棱A4,3S的中点，G为棱4囱上的一

点，且A|G=2（0Q<2）,则点G到平面。泡尸的距离为（）

A.2V3B.V2C.—D.—

35

命题点3异面直线的距寓

例3己知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的

点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面

直线的距离.在四棱锥/M8C。中，底面ABC。是边长为3的正方形，PA_L底面ABC。，PA=6,，点、G

在侧棱夕8上，且满足2QG=G8,则异面直线QC和OG的距离为（）

A3VH„3715c3vH„3y/77

A.-------fc>.——C.L）.

思维升华（1）点到直线的距盅

①设过点P的直线/的单位方向向量为〃，A为直线/外一点，点A到直线I的距离d1两2一（而.n）2.

②若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离.

（2）求点面距一般有以下三种方法

①作点到面的垂线，求点到垂足的距离.

②等体积法.

③向量法.

跟踪训练1（多选）如图，在棱长为1的正方体ABCZXABiG。中，点E在BD上，且BE=：BD；点F

在C8］上，且。尸三。5.则下列结论正确的是（）

A.线段EF是异面直线8。与CBi的公垂线段

B.异面直线A4与BD的距离为:

C.点D.到直线EF的距离为手

«5

D.点Dt到平面DEF的距离为亭

题型二立体几何中的探索性问题

例4如图，在四棱锥尸-ABC。中，平面POC_L平面ABC。，ADLDC,AB//DC,AB=^CD=AD=\fM

为棱PC的中点.

（1）证明：8M〃平面PAO；

（2）若PC=V5,PD=1,

①求平面PD历与平面夹角的余弦值；

②在线段PA上是否存在点Q,使得点Q到平面8OM的距离是手？若存在，求出PQ的值；若不存在,

请说明理由.

思维升华(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程

组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”.

(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知却结论列出等式，解出参数.

跟踪训练2如图，直四棱柱A8CD-A由iGd的底面是菱形，120°,AB=2,且直线8。与平面

BCGBi所成的角为30。.

(1)求直四棱柱ABCD-ASG。的高；

(2)在棱A4上是否能找到一点M,使得平面CAM与平面BCG巴的夹角为30。？若能，求出等的值;

AAy

若不能，说明理由.

答案精析

落实主干知识

\.y/a2—(a•u)2

?麻〃I

mi

自主诊断

1.⑴X(2)X(3)<(4)X

2.D3.B4.—

3

探究核心题型

例1

解析如图，分别以A8,AO,A尸所在直线为x轴、)，轴、z轴建立空间直角坐标系，

'B

贝I」P(o,0,1),

8(3,0,0),

0(0,4,0),

则乔=(-3,0,1),BD=(-3,4,0),

故点P到直线4。的距离

例2D［以。为坐标原点，D4所在直线为x轴，。C所在直线为)•轴，。口所在直线为n轴，建立如图

所示的空间直角坐标系,则G(2,"2),Di(0,0,2),

E(2,0,1),F(2,2,1),

所以苏=(-2,0,1),

EF=(0,2,0),EG=(0,2,1).

设平面AE尸的法向量为n=(.x,y,z),

则pi-百D；=-2x+z=0,

(n-FT=2y=0,

取x=l,得«=(1,0,2),

所以点G到平面OE少的距离为

仁需奈乎］

例3A|如图，以点A为原点，而，而，Q的方向分别为/,)，，z轴正方向，建立空间直角坐标系，

则B(3,0,0),C(3,3,0),D(0,3,0),P(0,0,6),G(1,0,4).

所以说二(1,-3,4),

PC=(3,3,-6),DC=(3,0,0),

设n=(x,y,z)为直线PC和DG的公垂线的方向向量，

n•尻=%—3y+4z=0,-r小-

则有一,可取〃二(1,3n,2),

n-PC=3x4-3y-6z=0,

所以异面直线QC和DG的距离为

\DCn\_3_3\/14,

|n|714-14」

跟踪训练1ACD［以。为坐标原点，0A,/JC,所仕直线分别为x轴、y轴、z粘，建立如图所示的

空间直角坐标系.则0(0,0,0),A(1,0,0),

,1,0),C(0,1,0),Aid,0,1),

B.(l,1,D,/)i(0,0,1),

喇丽鸣r0)-

存三函需，o,i),

所以E6，I，o),唱1,i).

对于A,FF=(-1./§，

DB=(1,1,0),

cK=(i,0,1),

所以丽•丽=44=0,

33

函丽智4=o,

即EFLDB,EFLCBi,所以线段E尸是异面直线BD与CBi的公垂线段，故A正确；

对于B,由正方体的性质可得异面直线A4与8。的公垂线的一个方向向量为冠=(-1,1,0),

又罚=(1,0,0),所以异面直线M与8。的距离为嚅里+=乎，故B错误；

\AC\V22

对于C,雇=(|,|,-1),

丽=(TrD1

所以庠在而方向上的投影向量的长度为/『叵需1=4,所以点力到直线4/的距离为

I七尸I3

J取|2_/二耳_』当，故C正确；

对于D,设平面DEf的法向量为n=(x,y,z),DF=Q,1,,

则卜・四=0,

\n-DF=0,

rx+y=0,

即

l-1x_+LyJ+-z=A0,

J«5

令x=\,得y=-\,z=2,

所以/i=(l,-1,2),又西二(0,0,1),

所以点。到平面DEF的距离上喀巴毛罟，故D正确」

|n|V63

例4⑴证明取PO的中点N,连接AN,MN,如图所示.

小

为棱PC的中点，

：.MN//CD,MN=^CD,

,:AB〃CD,AB=^CD,

:・AB〃MN,AB二MN,

，四边形A8MN是平行四边形，

C.BM//AN,

又BMG平面PAD,

ANu平面PAD,・・・8M〃平面PAD

(2)解VPC=V5,PD=\,CD=2,

/.PC^PI^+CD2,：.PDLDC,

•・•平面PDC_L平面AI3CD,

平面POCn平面ABCD=DC,

POu平面PDC,

，PO_L平面A8CO,

又AD,COu平面ABCD,

：.PD±AD,PDLCD,而ADLDC,

・•・以点。为坐标原点，DA,OC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图.

则尸(0,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,2,0),8(1,1,0),

,・，M为棱PC的中点，・・・M(0,1,0.

①两二(0,1,I),DB=(\,1,0),

设平面8QM的法向量为〃=(x,y,z),

„.n-DM=y4--z=0,

则_2

n•丽=x+y=0,

令=，则｛；I1，

,-1,2),

平面PQM的一个法向量为万5=(1,0,0),

/.|cos〈〃,DA)I

_|n-D4|_1_>/6

一|n画「VSxl-6'

则平面POM与平面BOM夹角的余弦值为手.

6

②假设在线段PA上存在点Q,使得点Q到平面8DM的距离是竽，

设西二必,0W/IW1,

又朋=(1,0,-1),

则ea

BQ=(k-\,-1,1-A),

由①知平面BDM的一个法向量为ra=(l,-1,2),PQ.rt=l-l+l+2(l-A)=2-A,

，点Q到平面AQM的距离是

\BQn\_2-A_2yf6.】_2

F=词=丁*,*3*

:.PQ吟.

跟踪训练2解⑴设ACQBD=O,4C£8|O尸。，

因为棱柱是直棱柱，且底面是菱形，故。4,08,OOi两两垂直，

如图，以。4,08,001所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，因为在菱形A8CZ)中，Z

ABC=120°,

所以0A=V3,0B=\,

则B(0,1,0),C(-V3,0,0),

Ci(-V3,0,力，Di(0,-1,h),

所以方二(6,1,0),CC\=(0,0,/?),西二(0,-2,h).

设平面BCCyBy的法向量为〃尸(汨，y