湖南省某中学2024-2025学年高一年级下册期末考试数学试题（含答案）

湖南省地质中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)

1.设全集U={123,4,5,6},集合4={3,4,6},B={xEZ\\x\<2],贝i」(QA)八B=()

A.{1,5}B.{1,2}C.{2,3}D.0

2.已知△4BC是锐角三角形，若siM/l-siMB=sinBsinC,贝哈的取值范围是()

A.(0,2)B.(a,V5)C.(y/2,2)D.(百,2)

3.函数f(2x)的定义域为[0,1),则八1一3x)的定义域是()

A.(-2,1]B.(-1,1]C.D.(-2,4]

4.德国心理学家艾・宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲

线"遗忘曲线''中记忆率y随时间£(小时)变化的趋势可由函数丁=1-0.6匹27近似描述，则记忆率为50%

时经过的时间约为()(参考数据：lg2«0.30，g3«0.48)

A.2小时B.0.8小时C.0.5小时D.0.2小时

5.已知函数外外是定义在R上的奇函数，若Va*W[0,+8),且都有"(?二?3)v0成立,则不等式

+2)<0的解集为()

A.(-co,-l)U(2,+co)B.(-1,0)U(2,4-co)

C.(—1,2)D.(—co,—1)u(0,4-oo)

6.已知x为正实数，y为非负实数，且％+2y=2,则亨+猾的最小值为()

AA.4BR.49C「.23D口.29

7.如图，斜三棱柱4BC—4$iG中，底面△4BC是正三角形，E,凡G分别是侧棱A4i，BB1,CCi上的点，且

AE>CG>BF,设直线。4,C8与平面EFG所成的角分别为巴氏平面EFG与底面48c所成的锐二面角为则

A.sinO<sina+sinp,cos0<cosa+cos/?

B.sinO>sina+sinp,cosO<cosa+cosp

C.sinO<sina+sinp,cosO>cosa+cos/7

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D.sin3>sina+sin/?,cosO>cosa+cosp

8.已知函i数/（X）=cosx,函数g（x）的图象可以由函数f（x）的图象先向右平移I个单位长度，再将所

得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的>0）倍得到，若函数g（x）在g,竽）上没有零

点，则3的取值范围是（）

（0，击B.g,1]C.焉，|]D.（0,1]

二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）

9.将函数f（x）=2sin3-卷）的图像向左平移。（。>0）个单位长度，得到函数g（x）的图像，卜列说法正确

的是（）

A.当。=工时，g（x）为偶函数

B.当。时,g0）在区间卜号图上单调递增

C.当"今时，g（x）在区间卜舞]上的值域为[0,网

D.当"飘，函数y=g（x）—卷在区间卜状]上有2个零点

10.直线Lx-my-2=0（m6R）与x轴的交点F为抛物线C-.y2=2px（p>0）的焦点，若点。为坐

标原点，I与C交于A.B两点,则（）

A.p=8

B.OA-OB=-12

C.△0/8重心横坐标的最小值为|

D.以线段AB为直径的圆被y轴截得的弦长为定值

11.已知函数/（%）=｛（：：；）3:W则方程/（/•（外）一小=0（巾€/?）实数根的个数可以为（）

A.4B.6C.7D.9

三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）

12.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED_L平面ABCD,FC_L平面ABCD,ED=2FC=2,则异面

直线AE与BF所成角的余弦值为.

13.己知在△4BC中，48=2,4C==3,P为平面4BC内一点，则无・（刀+丽）的最小值

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是.

14.已知/(幻是定义在R上的偶凶数，且V；q工外€［。，+8),小二彩>2(勺+犯)怛成立，若/'(2)=

xl~x2

8,则满足/(Inm)<2(lnm)2的实数m的取值范围是.

四、解答题(本大题共5个小题，共77分)

15.已知空间向量二二(1,1,0),S=(-1,0,2).

(1)若M+kB与2G+B共线，求实数k的值；

(2)若日+比与2G+B所成角是锐角，求实数k的范围.

16.如图，多面体A8CDET中，底面力是菱形，Z-BCD=60°；四边形80E”是正方形且DE平面A8C0.

(1)求证：G7/平面力DE：

(2)若AE=&，求多面体4BCDEF的体积V.

17.对于函数/■(%),若在定义域内存在实数X,满足/(—%)=—/•(%),则称/■(%)为“局部奇函数”.

(1)已知二次函数fa)=Q/+2x—4a,QWR,试判断八切是否为“局部奇函数”，并说明理由；

(2)若/(%)=4x-m-2X+1+m2-1为定义在R上的“局部奇函数”，求函数/(%)在工G的最小

值.

18.中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之

队”.2024年巴黎奥运会，中国乒乓球队包揽全部五枚金牌.其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用

五场三胜制.每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束.2024年8月10日，中国队对战

瑞典队，最终以3:0取得团体赛冠军，赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队在

每场比赛中获胜的概率均为3

(1)求中国队以3:0的比分获胜的概率；

(2)求中国队在已输一场的情况下获胜的概率；

(3)求至多进行四场比赛的概率.

19.设数列｛Qn｝是1,2,…,以九eN")的一个排列.由｛呢｝中连续r项组成的集合称作“｛斯｝的长为r的子列集”，

其中1WrW几.任取不大于九的正整数s,3当sttn时,若数列｛%｝的任意长为s的子列集止=｛瓦,已2,…,与｝

和数列1,2,…,几的任意长为t的子列集C=｛c1,C2,…,q｝，都有BnC工0，则称数歹U｛%｝为“好数列

(1)判断下列数列是否为“好数列”：

①1,3,5,2,4；②1,4,6,2,5,3.

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(2)证明：由1,2,…，九的排列构成的所有“好数列”中，存在首项不超过［婴］的“好数列''(［幻表示不超过

%的最大整数)；

(3)若数列｛时｝为“好数列”，求n的最大值.

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答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】解：因为|%|42,所以一2三工42,则8="€2|伏|42}={-2,-1,0,1,2},又〃=

{12,3,4,5,6},A={3,4,6},所以(Q/A)n8={1,2}.

故答案为：B.

【分析】本题主要考查含绝对值不等式的解法，集合的混合运算，根据含绝对值不等式的解法可得：8=

{xCZ\\x\<2]=[2,1,0,1,2),然后再根据已知条件结合集合的混合运算即可求解.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：由siM4-sir?B=sinBsinC,根据正弦定理得十一反=be,即Q2=反+be，

2222

由余弦定理Q2=b+c-2bccosA»可得户be=b+c—2bccosA»b=c-2bcosA,

由正弦定理可得sE8=sinC-2sinBcosA,

因为C=7T—(A+B),则sme=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以sinB=sinAcosB-cosAsinB,即si九8=si九(A-8),

又因为△4BC为锐角三角形，所以力=2B,

2s\nBcosB口「r田仄、

则肄如黯--r-j.-=2ocosBG(V2,V3).

故答案为：B.

【分析】由题意，根据正弦定理以及余弦定理化简，结合三角函数的恒等变换求得4=28,再根据三角形为

锐角三角形得角8的范围，再后再结合正弦定理、正弓玄二倍角公式求判断即可.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：函数/'(2%)的定义域为[0,1),即0Wx<l,KlJO<2x<2,

也就是/(I一3%)中，0W1-3XV2,解得一

则函数f(l一3%)的定义域是(一悬.

故答案为：C.

【分析】根据抽象函数求定义域的方法求解即可.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：由题意可得:；=1一0.6产27,整理得到,=卅27,则lg,=0.271gt，

即：1-】g3-21g2=0.271gt,因为@2x0,30,S3«0.48,

所以联=一盘、-0.3=-lg2=1g则t«0.5.

故答案为：C.

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【分析】由题意可得:=声27,两边取对数，结合对数运算性质求解即可.

0

5.【答案】B

【解析】【解答】解：构造函数g(x)=%/(%),因为函数/(%)是定义在R上的奇函数，

所以g(T)=-x/(-x)=%/(%)=g(x),所以g(%)是偶函数,

又因为对Va,bE[0,+8),且Q=b,都有互辔2<o成立，

a-b

所以g(x)在[0，+8)上单调递减，则g(x)在(-8,0)上单调递增，

由tfQ2)|I2)<0可知t*0,

当t>0时，产/俨)—(£+2)/(£+2)V0,产/的v(t+2)/(t+2),即g(产)vg(t+2),

而户>。£+2>0,所以岸>2+2,/一£一2=(£-2)(£+1)>0,解得t>2；

当£VO时，有产/(产)一(£+2)/(£+2)>0,t2/(t2)>(t+2)/(t4-2),

即gQ2)>g(£+2),所以「寸产，即『+2；一产或巴

不等式组｛£+,2：0一/的解集为空集，不等式组的解集为(_],0),

综上所述，t的取值范围是(一1,0)U(2,+00).

故答案为：B.

【分析】由题意，构造函数g(x)=xf(x),根据函数的单调性、奇偶性，解不等式即可.

6.【答案】B

【解析】【解答】由x为正实数，y为非负实数，得%>0,y+1>1,由x+2y=2,得x+2(y+1)=4,

干导/+12y2_12(y+l)(y—1)+2_..1.2

r7c-^+中一”+3+-----^+1------”+2?丫-27+3+再

12=41口+2(,+1)](元1+中2)=4115+^2(_y+^l)+中2%]

——I-------------

xy+1

N扣+2产用匚磊1号当且仅当“等=票，即“y+lj时取等号，

所以当“打吊时，学+结取得最小值京

。。人yIJLr"

故选：B

【分析】本题考查利用基本不等式求最值.等式％+2y=2,变形可得：x+2(y+l)=4,式子与1十篇

利用平方差公式变形可得：原式=1+备，再“1”的代换法，先乘以1,再将1进行替换可得：原式=区5+

考"+本]，再利用基本不等式进行计算可求出最小值•

7.【答案】B

【解析】【解答】解：延长EF,AB交于M,延长EG,AC交于N,延长FG,BC交于D,如图所示:

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D

易得MN为平面ABC和平面EFG的交线，

因为D在平面ABC和平面EFG上，D在直线MN上，所以M,N,D三点共线,

由外角定理可得乙4NM+乙CDN=

过A作API面EFG,垂足为P,过A作AQJ.MN,垂足为Q,连接PQ,PN,

易得乙ANP即为直线C4与平面EFG所成的角a,

则sina=芸，又4Pl面EFG,MNu面EFG,贝弘。_LMN,

又AQ1MN,AP.AQa^APQ,APn4Q=4

所以MN1面APQ,PQu面APQ,则MN1PQ,

AD

则乙4Q尸即为平面EFG与底面ABC所成的锐二面角%则sin。=而，

又sin乙4NM=备，贝ijsina=sin。•sin乙4NM,同埋可得sin夕=sind•sinz_C'ON,

则sina+sin/?=sin。•(sin乙4NM+sinzCD/V),

.AZ-.，乙ANM+乙CDN,乙ANM-乙CDN、.，乙ANM+乙CDN、，乙ANM一乙CDN、

乂由sin/ANM=sin(-----------------+-----------------)=sin^--------2--------)cos(--------h--------)+

，乙ANM+乙CDN、.，乙ANM一乙CDN、

cos(-------2--------)sin(-----------------)»

八八7.，乙ANM+乙CDN乙ANM-乙CDN、.，乙ANM+乙CDN、，乙ANM一乙CDN、

smZ-CDN=sm(-------------------------------------)=sin(-----------------)cos(-----------------)—

，乙ANM+乙CDN、.，乙ANM一乙CDN、

cos(-------5-------)sin(------------------)，

mil•/IAJAX1'“CAIo•，乙ANM+乙CDN、，乙ANM一乙CDN、.‘乙ANM+乙CDN、.n

则smzTlNM+sin乙CDN=2sin(------=---------)cos(--------=-------)<2sin(--------z--------)=o2s\n^=d1，

乙乙乙V?

故sina+sin/?=sin。•(sinzjl/VM+sinz_CDN)Wsin。，故A,C错误；

故cos?。=1—sin20<1—(sina+sin/?)2,由a/6［o,皆可知a—/?G［一］，刍，

所以1+2cos(a—/?)>0»

即1+2cosacosp+2sinasin/?>0,整理可得sin2a+cos2a+sin2/?+cos2/?+2cosacos/?+2sinasin/?-1>

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0,

即(sina+sin/?)2+(co5a+cos/?)2—1>0»即(cosa+cos/?)2>1—(sina+sin/?)2，

故cos2g=1-sin20<1-(sina+sinjff)2<(cosa+cos0)2，又8sa,cos0,cos0>0,故cos。<cosa+

cos/?,故B正确，D错误.

故答案为：B.

【分析】延长EF,AB交于M,延长EG,AC交于N,延长FG,BC交于D,作出直线。4与平面EFG所成

的角乙ANP,平面E/G与底面ABC所成的锐二面角iAQP,可得sina=sinf)•sin乙ANM,同理得sin/?=s\n0•

sinZ.CD/V,再由和差化积公式得到sina+sin/?=sin6•(siMANM+sinZCDAf)<sin。即可判断AC；再通过

三角恒等变换得到(cosa+cos)?)2>1-(sina+sin)?)2,进而得到cos?。=1-sin20<1-(sina+sin/?)2<

(cosa+cos/?)2>即cos。<cosa+cos/?即可判断BD.

8.【答案】A

【解析】【解答】函数/(x)=cosx,向右平移I个单位长度，得y=cos(x-,

再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的>0)倍得到Ig(x)=cos(cox-1),

令9。)=cos(cox—^)=0,

得60%—?=/C7T4-5，

oZ

所以x=\(A4+等)，

若函数g(x)在G，竽)上没有零点，

则需\>等十五,

所以包>2兀，

所以0<①<1,

若函数g(x)在弓，竽)上有零点，

则上""+给〈竽,

当k=0时，得#总<9,解得卜

当k=l时，得#言G,解得当<3〈学，

44

综上：函数gQ)在G，手)上有零点时,-<3<-或190<<130

93

所以函数g(x)在G，写)上没有零点，OVcowg.

所以3的取值范围是(0,加

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故答案为：A

【分析】由函I数/-(%)=COSX,根据三角函数的图象变换得到^(x)=cos(o)x-,令g(x)=cos(cox-

着)=0,结合函数零点存在的条件建立不等式求解即可.

9.【答案】A,D

【解析】【解答】解：A、当6=需时，g(x)=2sin12(%+毛)一专］=2sin仅工+竽)=—2cos2x，易知g(x)

是偶函数，故A正确：

B、当&=押，g(x)=2sin［2(x+5)-看］=2sin(2%+5),因为%w|-萦，部2无+髀［-,明,所以

g(x)=2sin(2x+在区间［一号,司上不单调，故B错误；

C、当0=左时，g(%)=2sin［2(x+/)-詈=2sin(2%+匀,因为％w|-看国,2%+江［o,即，所以

9(%)=2$皿伽+勺6［0,2］,故©错误；

D、当9='时,y=,g(x)一卷=2sin［2(x+与)一看］一看=2sin(2x十号)一看，令2sin(2%+刍一1=0,即

由图可知：函数y=sin(2%+学在卜舞］上的图像与直线有2个交点，故D正确.

故答案为：AD.

【分析】根据三角函数图象的平移变化，结合正弦函数的性质逐项分析判断即可.

10.【答案】B,C

【解析】【解答】A、易知直线上2-my=0恒过定点(2,0),即抛物线的焦点F(2,0),

则刍=2,解得p=4,即抛物线，产=8%,故A错误；

B、设A(修,%)3(%2，力)，

联立「一，2避"I消元整理得产-8my-16=0,由韦达定理可得｛：；2七二：',

则无产/二。誉)=40/1-=xtx2+yxy2=-12,故B正确；

C、由选项B知：△048的重心的横坐标为0+x产2=椁［学)+4=叫+4.$

JJJJ

当且仅当m=0时等号成立，MAOAB重心横坐标的最小值为《，故C正确；

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2

D、设AB的中点为M(%o，yo),则殉二号攵=4^2+2,\AB\=xt+x2+4=8m+8,

2

以|48|为直径的圆的方程为(X_M)2+(y_y°)2=吟L,

即(x—4m2—2)2+(y-4m)2=16m4+32m2+16^

设该圆与y轴交P(%3,、3)，Q(%4,丫4)，

令％=0,得y2-8my-12=0,解得y3+以=8m,y3y4=-12»

则,3-yj=](如+、4)2-4y3y4=V64m24-48=4j47n2+3,

以|4例为直径的圆被y轴所截的弦长为4际F，不是定值，故D错误.

故答案为：BC

【分析】易知直线恒过定点(2,0),即抛物线的焦点?(2,0),根据抛物线的性质求得p即可判断A；直线方程

联立抛物线方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示计算即可判断B；山选项B,结合三角形重心

的概念计算即可判断C；求出以历8|为直径的圆的方程，进而表示出圆被y轴所截的弦长，即可判断D.

11.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：设f(x)=3则/⑴=m(mG/?),则/■(/'(>))=m(m6R),

作出函数/Xx)的图象，如图所示：

若mvO时，方程/'(力二加没有实数根；

若m=0时，方程/«)=m有2个实数根门,以，G=-1或以=1；

当口=-1时，函数y=f(x)的图象与直线y=£1没有交点，

当功=1时，函数y=/(%)的图象与直线y=£2有4个交点，

所以m=0时，方程f(/(x))-m=0(mGR)实数根的个数为4,

若0cmV1时，方程fQ)=m有4个实数根£幻£4/5,生；

令|lnx|=l,解得：％=工或%=。，

e

由图象观察可知，亡36(-2,-1)，(-1,0)，心£@,1)，16c(l，e),

函数y=/(%)的图象分别与直线y=tt(i=3,4,5,6)有0,0,4,3个交点，

若0V仅<1时，方程/'(/(%))-m=0(mGR)实数根的个数为7；

若m=1时，函数/'«)=m有4个实数根亡7,£8，£9，£10，

则£7=-2或&=0或b=:或ho=e,

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函数y=/(x)的图象分别与直线y=t9=7,8,9,10)有0,2,4,3个交点，

所以若771—1时，方程/(，(%))—m=O(77ieR)实数根的个数为9,

若m>1时，方程/'(£)=m有3个实数根%,“2,£13，

由图象观察可知，〃1€(—8,—2),02«。［)，£136巳+8),

函数y=/(x)的图象分别与直线y=q(i=11,12,13)有0,4,3个交点，

所以若m>1时，方程/•(/■(%))-m=0(m£R)实数根的个数为7.

故答案为：ACD.

【分析】设/'(%)=3作出函数/'(x)的图象，数形结合分别讨论mV0,m=0,0<m<1,m=1或租=

1,方程/(t)=m的实数根个数即可.

12.【答案】需

【解析】【解答】解：因为ED1平面/8C0,FC1平面48CD,所以EO||FC,

取EO的中点为G,连接AG,FG,如图所示：

因为ED=2FC,所以OG=FC,且DGIIFC,所以四边形CDGF为平行四边形，

则户G||CDQ.FG=CD,

又四边形A8C0为正方形，所以CD||AB,CD=AB,所以FG||且FG=AB,

所以四边形力8厂G为平行四边形，则8FIIAG,即，EAG是4E与8F所成的角，

由正方形4BCD的边长为2,ED=2FC=2,可得AE=2四,4G==1，

在^AEG中，由余弦定理得coszE力G=4G2推放睨=_5塔1=需

2AEAG2x2、泛X店10

故答案为：嚅.

【分析】由题意可得£7)11FC,取ED的中点为G,连接4G,FG,证得四边形4BFG为平行四边形，所以8F||

AG,推得“AG是4E与BF所成的角，在AAEG中，利用余弦定理求解即可.

13.【答案】一6

【解析】【解答】解：在△48C中，AB=2,AC=V17,BC=3,

AB2-]-BC2-AC21

由余弦定理得:COSZ.5=一,

2AB-BC-3

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以B点为坐标原点，建立直角坐标系，如图所示:

易得4点的横坐标为X.=—|i4F|sin(乙B一另=\AB\cosz.B=—,

纵坐标为力=22-(-令J竽，即“(一弓,^^),8(0,0),C(3,0),设P(%y),

方二(一|一第警一y),丽=(-x,-y),PC=(3-x,-y),

则PC•(PA+PB)=(3-x)(-|-2x)-y(竽-2y)

=2/+2y2—竽》—竽y—

=2(x-/+2(y-孝)-6，

当X=Q=孝时，PC-(PA+而)取得的最小值一6.

故答案为：-6.

【分析】在△48C中，利用余弦定理求出48,以8点为坐标原点，建立直角坐标系,表示相应点的坐标，设

P(x,y),利用向量数量积的坐标表示列式求解即可.

14.【答案】［~2>e2

【解析】【解答】解：不妨设小>必，由/(?)-?/)>2(打+打)，

xl~x2

可得/(%i)-f(x2)>2Q1+x2)(x1-x2)=2(*一据)，即/Qi)-2xf>/(x2)-2

构造函数g(x)=f(x)-2x2,则gQi)>。(必)，即函数g(x)在［0,+8)上单调递增，

因为/(x)是定义在R上的偶函数，所以/C-x)=/(%),

所以对任意的xER,g(-x')=/(-X)-2(-x)2=/(x)-2x2=g(x),

所以函数,g(x)为R上的偶函数，且戊2)=f(2)-2x22=8-8=0,

由f(lnrn)<2(lnm)2,可得/'(/nm)-2(lnm)2<0,^Pg(lnm)<g(2),

<2,即一24/mW2,解得

故答案为：俱,/］.

/(%)—2/,利用函数

【分析】不妨设%1>原式变形可得fQi)-2x1>/(x2)-2诏,构造函数g(x)；

的单调性、奇偶性求m的取值范围即可.

15.【答案】(1)解:易知应+比=(1一k,1,2k)，23+1=(1,22)，

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因为五+比与2d+旗线，所以早*=辨解得攵=。

JL乙乙乙

(2)解：由⑴知:五十扇=(l—k,1,2k)，2<+1=(L2,2),

若益+星与2G+B所成角是锐角，

则伍+kb)•(2a+b)=(1-fc,1,2k)•(1,2,2)=l-fc+2+4fc>0,解得2>一1，

由(1)知：当k=/时，G+也与2日+3共线，

则实数k的范围为6-1,\)uQ,+00).

【解析】【分析】(1)先求向量五+AB，2d+加的坐标，再利用空间向量共线的坐标表示列式计算即可；

(2)由(1)的结论，结合向量夹角为锐角，数量积大于零列式计算即可.

(1)由己知可得V+々米=(1一乜1,2幻，2五+[=(1,2,2).

因为G+々匕与2五+3共线,所以=*=竽,解得A=4.

(2)由⑴知为+癌=(1一此1,2-),2a+b=(1,2,2).

所以(d+kb)­(2a4-b)=(1-fc,1,2k)•(1,2,2)=1-k+2+4〃>0，；・k>-1.

又当k=£时，五+以与2益+B共线，

所以实数k的范围为｛k|k>一1且k¥1).

16.【答案】(1)证明：因为力BC。是菱形，所以BC〃/D,

又因为BCC平面/DE,40u平面4DE,所以BC〃平面>40E,

又因为80EF是正方形，所以BF〃DE,

又8/C平面AOE,OEu平面ADE,月f以8尸//平面AOE,

又因为8Cu平面BC/,8Fu平面BCF,BCCBF=B,所以平面BC/7//平面AEO,所以CF〃平ISL4E0；

(2)解：连接4C,记ACn80=0,

4BCD是菱形，AC1BD,且4。=B。，

又因为DE1平面4BCD,ACc^ABCD,所以0E1/1C,

因为。Eu平面BDEF,BDa^BDEF,DECBD=D,所以AC1平面8DEF于0,

即40为四棱锥A-8DEF的高.

由力8C。是菱形，/.BCD=60°,则1480为等边三角形，由力E=&，则

AD=DE=1,A0=与'SBDEF=1,VA-BDEF=^BDEF'V=2以一BDEF=苧

【解析】【分析】(1)由题意，利用面面平行的判定定理先证明平面8C77/平面4ED,即可证明CF〃平面

AED；

(2)将多面体力"拆成两个四棱锥，由四棱锥的体积公式求解即可.

17.【答案】(1)解：二次函数/"(%)=。/+2%一4跖aeR,若/■(%)为“局部奇函数"，则/'(幻+A-x)=

第13页

0,

即2a(--4)=0有解，解得％=±2,则函数fO)为“局部奇函数”；

(2)解：f(x)=4,一m•2"+1+g2-1,

因为/(幻为定义在R上的“局部奇函数“，所以/(%)+/•(—%)=0,

则4*+4r-2m(2x+2-"+2m2-2=0,

令t=2*+2-xE[2,+oo),则4、+4T=t2-2,

从而关于亡的方程/-2mt+2m2-4=0在[2,+8)上有解即可保证f(%)为“局部奇函数”，

令尸(£)=产-2mt+2m2-4,

①当F(2)<0时，*一2血亡+27n2—4=0在[2,+8)上有解.，

由F(2)W0,即2m2-4m工0,解得04mW2；

②当F(2)>0时,t2-2mt+2m2-4=0在[2,+8)上有解等价于

△=4m2—4(2m2—4)>0,

m>2,»无解；

“2)>0,

则所求实数m的取值范围是｛m|0<m<2｝；

令2、二s,因为刀€[-1,1],所以sw[；,2],

则/(x)=4X-m-2X+1+m2-1=s2-2ms+m2-1,

令g(s)=s2-2ms+m2—1，对称轴为s=

当OWm5时，g(s)在s需,2]单调递增，所以s=加，g(s)取得最小值，

g(s)mi”=gG)=m2即x=-1时/a)min=m2-m-

当4V狙W2时，s=m时，g(s)取得最小值，g(s)min=9。九)=一1，

即2'=瓶时，/Wmin=-1»

1a

2

综上,当0WmW2时,f(x)mjn=m-m—下

当：<mW2时，/Wmin=一L

【解析】【分析】(1)由题意，使得方程/•(%)+/•(—')=()有解即可；

(2)由题意可得f(x)+/(-x)=O有解，利用换元法，设£=2"+2一工，问题转化为关于£的二次方程在

[2,+8)上有解，结合二次函数的性质或二次方程根的分布可得m的取值范围，再通过分类讨论求函数的最

小值即可.

(1)当f»=ax2+2x—4a(aGR)时,方程，(%)+f(—%)=0,即2a(/-4)=0有解，

解得x=±2,

所以/Xx)为“局部奇函数

第14页

(2)当/(%)=4x-m-2x+i+m2-1时，/(x)+/(-%)=0可化为

4X+4r-2m(2x+2-x)+2〃，-2-0,

-x2

令t=2第+2T6［2,4-00),则4"+4=t-2,

从而关于t的方程£2-2mt+2m2-4=。在［2,+8)上有解即可保证/'(£)为“局部奇函数”，

令尸(t)=t2-2mt4-2m2-4,

①当F(2)<0时，t2-2mt+2m2-4=0在［2,+8)上有解，

由尸(2)<0,即2血2-4m<0,解得0<m<2：

②当尸(2)>0时，t2-2mt+2m2-4=0在［2,十8)上有解等价于

(△=4m2—4(2m2—4)>0,

{m>2,此时无解.

(F(2)>0,

则所求实数m的取值范围是{m|0<m<2}.

令2"=s,因为所以s喝,21

则f(%)=4*—m*2X+14-m2—1=s2-2ms4-m2—1,

令9(s)=s2-2ms+m2-1,对称轴为s=m»

当OWmwg时，g(s)在sC昼同单调递增，所以s=2时，g(s)取得最小值，g^jnin=gQj=m2-m

率即x=-1时/⑺mg=——TH—5;

当:v血W2时，s=zn时'g(s)取得最小值，g(s)min=9(瓶)=-1，

即2Xm

in

3

综上2

A-

minTn4

当VmW2时，/Wmin=-1.

18.【答案】⑴解:设事件4="中国队以3:0的比分获胜”,

因为中国队在每一场中获胜的概率均为3所以P(4)=g)3=畏,

则中国队以3:0的比分获胜的概率为熟；

JL乙D

(2)解：设事件8="中国队在已输一场的情况下获胜”，则有两类情况：

①设事件当="中国队从第二场开始连胜三场”，p(Bj=值了=倭；

②设事件口2="中国队在二到四场中胜两场，再胜第五场”，p(%)=3x僧绊黑,

因为B1与％是互斥事件，所以P(8)=P(BiUB2)=P(8i)+P(%)=展+耗=|||>

则中国队在已输•场的情况下获胜的概率为涨；

oZb

第15页

(3)解：设中国队进行三场、四场比赛获胜分别为事件的、的，瑞典队进行三场、四场比赛获胜分别为事

件。］、。2,至多进行四场比赛为事件C,

32

P(C1)=g)=>P(C2)=3x®xlxi=>

P(D1)=G)=击，P(02)=3XG)X5X|=^1

因为Ci，C?,Di，。2是互斥事件，

所以P(C)=P(C1UC2UDiUD2)=P(G)+P(C2)+P(DD+P(D2)=馨+鬃+&+熊=溪，

则至多进行四场比赛的概率为祟.

O£D

【解析】【分析】(1)设事件4="中国队以3:0的比分获胜”，利用独立事件概率的乘法公式求解即可；

(2)设事件8="中国队在已输一场的情况下获胜”，则有两类情况：①设事件处="中国队从第二场开始连

胜三场”，②设事件&="中国队在二到四场中胜两场，再胜第五场''，分别求出两种情况的概率，再利用互

斥事件的加法公式求事件8的概率即可；

(3)设中国队进行三场、四场比赛获胜分别为事件的、的，瑞典队进行三场、四场比赛获胜分别为事件

D1、2，至多进行四场比赛为事件C,分别求出Ci、邑、。1、3的概率，再利用互斥事件的加法公式求事件

C的概率即可.

(1)设事件A="中国队以3:0的比分获胜”，

•••中国队在每一场中获胜的概率均为:，

D/八M\364

P(A)=(5)=125，

•••中国队以3:0的比分获胜的概率为黑；

11乙J

(2)设事件8="中国队在已输一场的情况下获胜”，则有两类情况：

①设事件/="中国队从第二场开始连胜三场”，

P(BJ=(/=基

②设事件§2="中国队在二到四场中胜两场，再胜第五场”，

/4\214192

二P四)=3oX⑥X5X5=625，

与治是互斥事件，

P(8)=P(BiU%)=P⑸)+P〃2)=馨+接=祟，

.••中国队在已输一场的情况下获胜的概率为赛；

(3)设中国队进行三场、四场比赛获胜分别为事件的、C2,瑞典队进行三场、四场比赛获胜分别为事件

小、。2,至多进行四场比赛为事件C,

第16页

214192

X-X-=--

55625

32

1\1\41

X)IX3X1XX

J--一-=

p(57p(/)2X5755

•••Q,C2,Oi，D2是互斥事件，

•••P（c）=P（GuGuu。2）

PG

=（）+PG）+P（”+P（D2）

64192112_529

=125+625+125+625=625?

•••至多进行四场比赛的概率为祟.

19•【答案】（1）解：①检验可知①是“好数列”；

②例如s=2,=3,

取长为2的子列集8=｛6,2｝和长为3的子列集C=｛3,4,5｝,此时BAC=0

所以②不是“好数列

（2）证明：若见,&•••，斯是“好数列”，

可知存在仇=q（l<i<s,l<7<0,

令B=｛几+1—瓦，几+1—匕2,…，九十1一瓦｝

与C=｛几+1—G，几+1—Q，…，九+1—）,

则集合8,和C,也分别是数列几+1-旬,九+1—。2,…，n+1-%

和数列1,2,…，九的r列集，

存在瓦=q（lWiWs,l

得n+I-bi=n+1-cj（l<i<s,1<j<t）.

因此B,nc'*0，

所以，数列n+1—Qi，7l+1—做，…，九+1—册也是“好数列”，

设的与n4-1-的中较小者为m,

则m<%且m<n+1-alf

所以2巾工。1+九+1—四=几+1,

则mW学，

所以租工［崂卜

所以存在首项不超过［婴］的“好数列”.

（3）解：n的最大值为7.

①先考虑力=2m（m>2）,

假设存在“好数列”1，劭…,。2血，

第17页

由(2)可知，不妨设QiWm,

若由=1»

则由长为m的子列集｛。2,03,…，和｛*1，*2,…,«2m)

与集合｛1,2｝的交集非空,

知。血+:=2,

即此“好数列”为：1,。2,…，0m，2,%1+2,…，a2m，

又因为3(m-1)=2m+(m-3)>n,长为m-1的子列集｛也,…,。析｝

和｛而+2」・・，。2析｝与集合(1，2,3｝的交集非空，

所以3E｛。2,…，Q?n｝」L3E｛«771+2»,,,1a2m)»

与3,…,n｛Qm+2,…,a2m｝=0矛盾，

若％=k>1,

则由长为m的子列集｛。2,。3,…，%+1｝和｛斯i+L61+2,…，a2m)

与集合伙-1,6的交集非空，

知07n+i=k_1；

又因为与集合饮水+1｝的交集非空，知0血+1=上+1，矛盾；

②再考虑九=2m+l(m>4),

假设存在“好数列”】,。2…，。2血+1，

由(2)可知，不妨设aiWm+l,

若%=1，

则由长为m+1的子列集｛。2,。3,…,Gm+bQm+2｝和｛Qm+l,*2,…,。2血+1｝与集合口，2｝的交集非空,

知2E｛即t+1，(1m+2｝，

乂因为3(m-1)=2m4-14-(m-4)>n,

长为m-1的子列集仅2,…，和｛厮+3,…，%n+i｝与集合｛1,2,3｝的交集非空,

所以3E(a2,,,,,IL3E｛。巾+3,…>Q2m+1｝，

a

与｛。2,…，m｝n｛am+3,…，a2m+i)=0矛盾，

右=k>1,

则由长为？n+1的子列集加2,"'am+l>%1+2｝和S