线段的垂直平分线与角平分线（专项复习）

线段的垂直平分线与角平分线专题复习

知识点复习：

1、线段垂直平分线的性质

(1)垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点

的距离相等.

定理的数学表示：如图1,•・•CD±AB,旦AD二BD

工AC=BC.

定理的作用：证明两条线段相等

(2)线段关于它的垂直平分线对称.

2、线段垂直平分线的判定定理：

到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

定埋的数学表示：如图2,•・•AC=BC

・•・点C在线段AB的垂直平分线m上.

图2

定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.

A

3、关于线段垂直平分线性质定理的推论

(1)关于三角形三边垂直平分线的性质：

三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距

离相等.

性质的作用：证明三角形内的线段相等.

(2)三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：

若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；

若三逸形是直角三角形,则它三边垂直平分线的交点是其斜•边的中点:

若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，也

成立。

4、角平分线的性质定理:

角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

定理的数学表示：如图4,

•・•0E是NA0B的平分线，F是0E上一点,且CF10A于点C,

DF_L0B于点D,,•.CF=DF.

定理的作用:①证明两条线段相等;②用于几何作图问题:

角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.

5、角平分线性质定理的逆定理：

角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线

上.

定理的数学表示：如图5,

•・•点P在NAOB的内部，且PC_LOA于C,PD_LOB于D,且PC=PD,

・••点P在NAOB的平分线上.

定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的电

平分线

6、关于三角形三条角平分线的定理：

（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相

等.

定理的数学表示：如图6,如果AP、BQ、CR分别是aABC的内角NBAC、ZABC.

NACB的平分线，那么：

①AP、BQ、CR相交于一点1；

②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F,则DI=EI=FI.

定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.

（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：

三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即

内切口的圆心）.

7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：

（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；

（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.

精品习题：

1.在aABC中，ZC=90°,BD是NABC的平分线.已知，AC=32,且AD：DC=5：3,则点D到

AB的距离为______.

2.如图，在4ABD中，AD=4,AB=3,AC平分NBAD,则8c:SMCD=（）

A.3:4B.4:3C.16:19D.不能确定

DB

3.如图，AABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将AABD分

为三个三角形，则S.。：SMC。：S》O等于

4.如图所示，NBAC=105。，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.则/PAQ的度数为

5.AD//BC,ND=90',AP平分/DAB,PB平分NABC,点P恰好在CD上，则PD与PC的关

系是（）

A.PD>PCB.PD<PCC.PD;PC

6.如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修一个超市,

使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（

A.在AC、BC两边高线的交点处

B.在AC、BC两边中线的交点处

C.在AC、BC两边垂直平分线的交点处

D.在NA、NB的角平分线的交点处

7.如图,CI）是RtAABC斜边AB上的高,将△BCD沿CI）折叠，B点恰好落在AB的中点E处,

则NA等于（）

A.25°B.30°C.45°1）.60°

c

8.AC=AD,BC=BD,则有（）

A.AB垂直平分。。B.8垂直平分AB

C.AB与CO互相垂直平分D.CO平分NAC8

9.如图，OP平分NAOS,fA±OA,PD^OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立

的是（）

A.PA=PBB.PO平分N4PBC.OA=OBD.AB垂直平分。尸

10.随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条

相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选

择的地址有（）处，

A、1B、2C、3D、4

11.在RlZXABC中，NA=90。，AB=3,AC=4,NABC,NAC8的平分线交于P点，PELBC

于£点，求PE的长.

上

12.如图，ZkBDA、△HDC都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延长线与AC交

于点E,请你判断线段AC与BH有什么关系？并说明理由.

13.如图，ZC=90°,AC=BC,AO是N84C的角平分线.求证：AC+CD=AB.

14.如图，人/）为△ABC的角平分线，人。的中垂线交AB于点E、交的延长线于点F,

AC于所交于点O.

（I）求证：N3=NB；

（2）连接OQ,求证：N8+NOQ8=180。.

15.已知：ZDAB=\20°,AC平分ND48,N8+NZ）=180°.

（1）如图1,当N8=N。时，求证：AB+AD=AC：

（2）如图2,当NBrN。时，猜想（I）中的结论是否发生改变？说明理由.

图2

16.小明做了一个如图所示的"风筝”骨架，其中48=4。，CB=CD.

（1）小芳同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为ACLB。垂足为点E,并且9外石。，你

同意小德的判断吗？为什么？

(2)设AC=。，BD=b,请用含〃，〃的式子表示四边形A8c。的面积.

17.如图，AB〃CD,AE、DE分别平分NBAD和NADE,求证：AD=AB+CD。

18.如图，A