三角函数与解三角形-2025年高考数学核心考点突破（江苏地区）附答案

江苏地区一轮复习模拟题汇编：三角函数与解三角形-2025年高考数学核

心考点突破

一、单选题

1.（23・24•江苏连云港•模拟预测）在VX8C中,若siM:sin3:sinC=2:3:4,则最小角的余弦值

为（）

H7J_

A.16B.8C.24D.4

sin（a-/7）cosa-cos（Q-a）sina=?

2.（23-24•江苏连云港•模拟预测）已知5,则cos2/二（）

724777

A.25B.25C.25或25D.25

3.（23-24•江苏无锡・模拟预测）如图，为测量旗杆的高力在水平线4c上选取相距l°m的两

点、D，E,用两个垂直于水平而且高度均为2m的测量标杆观测旗杆的顶点8,记。，七处测量标杆

的上端点分别为£G,直线即，8G与水平线4c分别交于点〃,C,且测得氏的长分别为

3m,5m,则旗杆的高为（）

C.14mD.15m

S2亚3加叵0,—

4.（23-24・江苏扬州•模拟预测）已知10.5,I2九则。+夕=()

2兀3n57tit

A.3B.4C.6D.7

5.（23-24•江苏扬州•模拟预测）1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号:

sin、tan、sec（正割），1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：

cos、cot、esc（余割），但直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中

sec®=」~-csc^=—aw]。,?]-^-+^—=2

cos，，sin。，若\乙）、且escaseca,贝ijlana=（）

1Z25

A.1B.3C.D.26

6.（23-24•江苏扬州•模拟预测）在V44c中，角儿从6所对的边分别为〃,6”3,6

为8c的中点，AD=\,且加05。+80$8=-2比05月，则\//&?的面积为（）

77石5百5

8

A.8B.C.8D.8

2tan20°,.I/l+cosl40°

a=:/,=l£inl00+-cosl00c=J——-——

7.（23-24•江苏徐州•模拟预测）设1-tan-20°,2s2,、2,

则有（）.

A.b<c<aB.a<b<cc.c<b<aD.。<c<b

8.（23-24•江苏泰州•模拟预测）辅助角公式是我国清代数学家李普兰发现的用来化简三角函数的

一个公式，其内容为“sinx+加os“=V^?^rsin（x+/）.已知函数/（*）=1sinx+"8sx（其中〃*（）,

tan—f（x）<fY

SR,a）.若VxeR,废人则下列结论正确的是（）

_2n

B./（X）的图象关于直线“一行对称

n7兀

C./（X）在G6」上单调递增

D.过点（。，〃）的直线与/（X）的图象一定有公共点

二、多选题

9.（23-24•江苏扬州•模拟预测）下列选项正确的是（）

・仙。y/3tan220+tan38°R

sinl10A0A°Ocos40°-cosl10A0A°Osin40°=——--------------=

A.2B.l-tan22°tan38°

sin22.5°cos22.5°=—cos2150-sin215°=-

C.2D.2

2Z25

10.（23-24•江苏扬州•模拟预测）在V/8C中，已知/力=60。，4B=3,AC=2,且。为8C边

上一点，则下列说法正确的是（）

R再

A.V44C的外接圆半径3

AD=-yf2]

B.若力。是8c边上的高，则7

AD=-43

C.若力。是/彳的平分线，则5

_________AD再

D.若BD=2DC,则3

f(x)=V2sin(^yx+^)0<6!?<2,--<^?<—I

11.(23-24・江苏南京•阶段练习)函数’I22J的部分图象如

/(x)=V2cos(2x+卷

A./G）的表达式可以写成

3兀

B./（'）的图象向右平移京个单位长度后得到的新函数是奇函数

5兀7兀

C./。）在区间L8,8」上单调递增

D.若方程/（*）=1在（°即）上有且只有6个根,则

三、填空题

tanct+-I_—-1-s-i-n--a-----2--c-o--s-a-

12.(23-24•江苏扬州•模拟预测)已知I"3,则3sina+cosa

13.（23・24•江苏扬州•模拟掷则）在平面直角坐标系冲，已知角。的终边经过点PS"）,

3Z25

cos(cr-7t)cos+/-

若角夕的终边与角。的终边关于）'轴对称，则

14.（23-24•江苏无锡•模拟15测）占希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里

给出了托勒密定理：圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知平面凸

四边形48co外接圆半径为1,sinZABD:sinZADB:sinAMD=3:5:7.则⑴BD=

心

;（2）4CC。的最小值为.

四、解答题

15.（23-24•江苏南京期末）在锐角V/AC中，其内角A,8,C的对边分别为。，b,c,已知

2/r=2c2-a\

tanB

⑴求tanC的值;

123

■+,+,

⑵求taMtanBtanC的最小值.

16.（23-24・江苏南京阶段练习）已知向量1=（、囱眸8"）"=（c°s,cosx）

⑴若a〃b,且12人求x的值；

（2）设函数/（*）=2，石-1,若/6）一1,求呼“一％）的值.

4Z25

17.(23・24•江苏无锡•阶段练习)在V/TAC中，角A,B,0的对边分别为。，b,c,且

cos8=----b---

cosC----2。+c.

(1)求角8的大小：

(2)若6=2百，。为/C边上的一点，且8。=1.

①若80是248C的平分线，求V/出C的面积；

②若。为线段4c的中点，求V48c的面积.

18.(23-24•江苏宿迁•阶段练习)作为一种新的出游方式，近郊露营在疫情之后成为市民休闲度

假的“新风尚我市城市规划管理局拟将近郊的一直角三角形区域按如图所示规划成三个功能区：

△8NC区域为自由活动区，ASM?区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓，ACM力区域规划供游客

餐饮休息用.为安全起见，预在鱼塘dUNC四周围筑护栏.已知4c=20m,BC=20国,

ACLBCyNMCN=30。

5Z25

⑴若/M=10m时，求护栏的长度（AMNC的周长）；

在

⑵若鱼塘AMM2的面积是“餐饮休息区,,ACV〃的面积的2倍，求N4CM；

（3）当乙ICM为何值时，鱼塘"INC的面积最小，最小面积是多少？

19.（23-24•江苏南京,期末）已知如图一，在矩形/18CQ中，4B=5力。=26.将

△480沿8。折起，得到大小为夕的二面角力'-8O-C.

6Z25

O

ADA'

(1)当2时，求WC与平面所成先的正切；

0=-

⑵当2时，求8到平面力。的距离；

cos0-—,

(3)①当3,求cos448c的值；

②如图二，在三棱锥O-EFG中，已知/0b=a,』FEG=B,N°EG=y,二面角

的大小为0,试直接写出利用。，。,7的三角函数表示cos夕的结论，不需要证明.

7Z25

答案:

1.B

【分析】由正弦定理可得。山：。=2:3:4,利用余弦定理求出cos0即可.

［详解］因为si':sinB:sinC=2:3:4,所以a:b:c=2:3:4,

设a=2/(/〉0),则b=3/,c=4/,所以力<8<C,

//+/-〃2(34+(%2一⑵)27

cosJ==一

所以2bc2x3/x4/8,

7

所以最小角的余弦值为「

故选：B

2.D

【分析】利用诱导公式及两角差的正弦公式求出sin〃，再日二倍角公式计算可得.

3

sin(a-Z?)cosa-cos(fl-a)sina=一

【详解】因为5

3

,sin(a-/?)cosa-cos(a-^)sina=-

所以M(a"可=|俨夕Y

mkA，，即J,

「cos2/7=l-2sin2/^=l-2x^--|^=-^

故选：D

3.A

AH=-ABAC=-AB

【分析】由锐角三角函数的定义可得2,2,再结合条件，即可求出结果

…一ABDF2

tanNBHA=----=------=—AH=-AB

【详解】由题可得,AHDH3,所以2,

EG2，八5“，

tVaLt1n<<NX/XlCB=-----=----=-AC=­/IB

又打EC5,得到2,

53

-AB=-AB+(10-3)+5

又4C5H+HE+EC,所以22,解得力8=12m,

故选:A.

4.B

8Z25

【分析】先由已知求出"左（0'兀）、cosa和si”,接着结合两角和的余弦公式求衣（。“）即

可得解.

a,^e[0,-|

，所以二十66（0建）

【详解】因为

2亚

5

MV53怖27541

cos(a+))=cosacos-sinasinp=---------X--------------------------X-----------=------------

所以1051052,

a+p=—

所以4

故选：B.

5.C

【分析】根据题意将式子进行化简，再利用弦切互化的方法求解即可.

【详解】由题意12人且cscaseca,

可得Vasina+cosa=2

_.2c/7•3sin2a+cos2a+2-V3sinacosa

3sin~2a+cosa+2y3sinacosa=---------------；-----------------------

两边平方，可得siira+cos-a

3tan2cr+1+2-73tana.

-------------；---------------=4

即tan'a+1

可得tairc?-2-73tanor+3=0,

解得tan«=V3.

故选:c

6.C

【分析】先由bcosC+ccos8=-2〃cos4结合余弦定理求出A,再由余弦定理得〃+c?=9-兀，进

AD=—ABT—ACbe——S4RC——besinA

而由22两边平方得2,再由三角形面积公式△2即可得解.

【详解】因为bcosC+ccosB=-2acosA,

9Z25

,a2+b2-c2a2+c2-b2b-+c2-a2

bx----------+cx----------=-2ax----------

所以由余弦定理得2ablac2bc,

.b2+c2-a2-be1

,,,,,cosA=----------=----=—

整理得3+c一〃’=一儿.，故2bc2bc2,

又“«°建)，所以'=

,,,32=/?2+c2-2Z)cx|—

所CI由=/厂+c~-2/)ccos力得kKpb2+c2=9-bc,

JD=-JB+-AC

又由题22,

而匕?君+"1△君+"：_L超衣

所以【221442

=—c2+—b2+—hccosA=—(c2+b2>\--bc=—(9-hc)-—bc=--—hc

4424v744V7442

91,.5

----DC=1fbe=—

即42，故2,

S«-Z)csinJ=—*—*sin—=

所以V,48c的面积为ABC22238.

故选：C.

75」前十•!■祝

方法点睛：解决V/8C中线X。问题通常用向量法，先由向量得22,接着两边平

方，再结合余弦定理去求解.

7.C

【分析】分别应用二倍角公式及两角和差公式化简，即可判断大小.

2tan20°

=tan400

【详解】因为“1-tan2200

/?=—sin100+-cosl0°=sin(l00+30°)=sin40°

22

国叵叵亘:cos700=sin2。。

2V2

因为sin20°<sin40°<tan400,所以c<〃<a

故选：C.

10/25

8.D

，⑺“⑶0」/•(x)=2asin"q/f-1

【分析】由I16埼得°3,I3人计算出(2人⑴可判断A；由

三角函数对称性质可判断B；整体代换法和。值可判断C；由-2〃W/(x)W2a可判断口

「----_b

［详解］因为/(x)=asinx+6cosx=Ja」+入in(x+e)(其中"。)，

因为VxcR,16人

-2kn(keZ)(p=—+2kn(keZ)<P=—

所以62。解得3。不妨双3,

/(x)=\la2+/72sinx+—兀<Ja2+b2

所以V

.7T.7rl*b=E

f«sm—+bcos—=-q+

,解得6=白>°,

即662

f(x)=2asin^x+yj(a>0)

所以

7171

/2asin―+―

则23

c-兀兀

=2。sin—+—2a\sin—cos—+cos—sin—

(43；4343)

(2222)2

所以‘图3用

，故A错误;

yf—l=2^sinr—+-l=o(、f—,0

因为13J133J，所以关于点I3，对称，故B错误;

n7nn7t3兀it3冗

xe—,——x+—e

当L66」时,32*T,因为V=sinx在2」上单调递减,

f(x)=2fzsin^x+yj(a>0)n77i

所以在6上单调递减，故C错误;

f(x)=2asin|x+—j(«>0)

m13H储。且-2cd/(x)工2〃的周期函数,

又b=6a>0,

11/25

故过点。力)即过点("'、自)。>°)的直线与/G)的图象一定有公共点，故D正确.

故选：D.

(h\

r-；--tane=一

关键点点睛：关键是对辅助角公式"n"68sx="-+/rsm(W)[〃的应用，结合函数的

最值得到b=

9.AB

【分析】分别由两角差的正弦公式、两角和的正切公式和倍角公式即可依次判断ABCD.

sin100°cos40°-coslO()0sin4()°=sin(100°-40°)=sin60°=——

【详解】对于A,2,故A正确:

tan220+tan38°.人八。/T

---------------=tan(22+38)=tan60=V3

对于B,lTan22Otan38。,故B正确；

sin22.5°cos22.5°=--2sin22.5°cos22.5°=isin45°=ix—=—

对于C,22224,故c错误；

cos2150-sin2I5°=cos(2xl5°)=cos30°=—

对于D,2,故D错误.

故选：AB.

10.ACD

【分析】对于A,先由余弦定理求出4C=近，接着由正弦定理即可求解；对于B,由等面积法

22即可得解：对于C,由3"/=>⑻。+3力。以及正弦定理形式的面积公

~AD=-JB+-JC

式即可得解；对于D,先求出33,再两边平方计算即可得解.

【详解】对于A,由余弦定理得8c-4c2-2WC0S4=32+22-2X3X2C0S6()°=7,

DBC不向

2sin8-J33

所以"C=4,故由正弦定理V*8c的外接圆半径T,故A正确:

-ABACs\x\A=-BCAD

对于B,若力。是8C边上的高，则22

,八ABACs\x\A3X2X*30T

AD=----------------=------广1--=-----

所以BC777,故B错误：

12/25

A

NBAD=NCAD=一

对于C,若/。是/力的平分线，则2,

c_—ABACs\nA=—AB-ADs\n--\--ACADs\n—

则由Z.48C=3c®。+Xccw得22222,

—x3x2xsin600=—x3xADsin30°+—x2x4。sin30°=>AD=

所以2225,故C正确:

一一AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB}=-AB+-AC

对于D,因为8O=2OC,所以33«J33

所以加6万+河:褶+港+河"=泊+2+43即6。。啜

3亘

所以3,故D正确.

故选：ACD.

方法点睛•：已知三角形一边及其对先，如已知△力8c的一边a及其对角乙4,则

（1）求角平分线力。常用等面积公式SJSC=S.D+S.CAD即

1|A1A

-ABACs\nA=-ABADs\x\-+-ACADs\x\-

22222来求解；

而=工反

（2）求力力（。为V/4C边BC上的点且满足…）常用向量法先得

〃1+〃m+n,再两边平方来求解.

11.ABD

【分析】根据图象可求得函数/（*）的解析式，再根据三角函数的性质依次判断各选项.

.6Tllt

【详解】由/（°）=，得&sin0=-l,gpsm^~~T,又一5<°<5,

it（兀八）An>l_A.（fon_

又/G）的图象过点K",则团,即叫8句，

con7i.

------=kit

84,即得出=8〃+2,kcZf又0v3«2,，3=2,

13/25

f(x)=V2sin2x-^=V?cos(2x+^

所以4,故A正确:

3五

/（“）向右平移至个单位后得

y-fix--=>/2co^2（x--+—=V2cos2x+—=-V2sin2x

IALI8J4」L2」，为奇函数，故B正确:

5兀7兀2x+四w5兀5717兀

xe——彳,3冗/（、）在"*〔8'8」单调递减,

当L8'8」时，则4,由余弦函数单调性知,

故C错误;

cos2x+2邛3+履LE

对于D,由/（x）=L得I42,解得4或2,keZ,

兀兀5兀3九9兀5兀13兀

方程/（x）=l在（0,〃?）上有6个根，从小到大依次为：4,2，T，T，T，T,而笫7个根为才

571,13几

—<m<----

所以24,故D正确.

故选：ABD.

4

12.5/0.8

【分析】由两角和的正切公式求得tana,再用弦切互化的方法求解即可.

(41tana+11

tana+—=----------=——

【详解】14'1-tana3,解得tana=-2

sina-2cosa_tana-2_-2-2_4

3sina+cosa3tan«+13x(-2)+15

4

故5

_2

13.5

【分析】由三角函数的定义及诱导公式求解即可.

22后-1__V5

sina--f=-------,cosa-

【详解】已知角。的终边经过点尸（一1，2）,则«545

若角P的终边与角。的终边关于轴对•称,

则sin夕=sina=乎,cos〃=—cosa=4

14/25

\4s(2y[s]_2

cos(a-兀)cos—+p=(-coscr)x(-sinp)=-7-xz---7

则(2J'I3J

2

故三

60

14.丛49

【分析】由正弦定理可得“A力旦夕。的比，由余弦定理可得cos/8,4。的值，由正弦定理可得

8。的值，再由托勒密定理可得BC・CD的表达式,由基本不等式可得它的最小值.

［详解］sinZ.ABD:sinZ.ADB:sin/BAD=3:5:7,

由正弦定理可得：40:48:80=3:5:7,

设力。=3k,AB=5k,BD=7k

AB-+AD2-BD225k2+9k2-49k2-15k21

cos/.BAD=-------------------------=----------------=----「=—

由余弦定理可得2AB>AD2x3kx5k30K2,

2JL

/八/c/八、/BAD=—

在V44。中，/历1。£（0,兀），可得3,

—^―=2R=2xl

由正弦定理可得sinN5/IQ’,

BD=2x—=，3AD=-----,AB=-------

277.

9=m2+n2-mncos—=nr+n2-mn

设BC=w,CD=n由余弦定理得3

由托勒密定理得罔照*网|。|+闸♦|皿,

15〃+9m1-J2_225/+81〃/+270〃〃？_25M2+9nr+30mn

即呼,平方得।।=21^21=49~

21

*AC。

设8c.eQ,

.1_25/79〃？3030/225_609ni25〃

49〃？49”4949y49249,当且仅当49〃49“？且=9,即

15M9M

m—---------,n=--------

1919时取等号，

60360

的最小值为石，即8CCZ)的最小值为石.

60

故6;石

15/25

A

D

B

15.(1)

叵

(2)-

22，02=~a2+b2cosC=—

【分析】(1)先由23=2c2”-,可得2,由余弦定理4b,再由正弦定理

asinA-sinA

4b4sinB,则"4sinZ?,由三角恒等变换可证结论；

4tanB1233tanB11

tanA=----;----------+-----+-----=--------1--------

(2)利用3tan8=tanC,得出3tan~5-l,则taivltanStanC44tanB,利用

基本不等式即可求得最小值.

212卡卜

【详解】(1)因为2川=2°2一吃则°F+

1

cosC='+1一=122

由余弦定理2ah

asinAsinA

—=-----cosC=-----

由正弦定理4人4sin4,则4sinB,

在V/14C中，A=n-(B+C)

所以4sinBcosC=sinJ=sin(5+C)=sinBcosC+cosBs\nC

贝lj3sin8cosc=cos5sinC,贝i]3tanB=tanC,

tan8_\_

所以tanC-3.

tanB+tanC4tanB

CtanA--tan(5+C)

(2)由(1)3tan=tanC,贝ijtanZ?tanC-13tan?Z?-l,

33tan咽一12I3tan2^+ll

---------1-------1------=----------

则taivllan〃tanC4tanBlanBtanB4tanB

在锐角13C中,有tan3>0,

16/25

1233tan511.13tan811

故tanJtan5tanC44tanBy44tanB2

3tan511口底

---------=---------tanB=-----

当且仅当44tan5,即3时取等号，

123底

----1----+-------

所以tanJtan5tanC的最小值为2.

71

16.(1)6

31

(2)32

【分析】（1）根据向量平行得出坐标关系求参即可；

（2）先应用数量积公式再应用二倍角公式及辅助角公式得出三角函数值，最后应用诱导公式计算

求解.

［详解］（1）由）〃可得JJsinxcosx=cos、

因为所以CM。,

VJ兀

tanx=——x=—

所以3,所以6

0)f(x)=2ab-i=25/3sia¥Cosx+2cos\-1

=V3sin2x+cos2x=sin2x+—cos2.ri=2sin2x+—7T

26

17・⑴3;

⑵①6②5

17/25

【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式即可求解:

（2）选择①，由8。平分-48C得S=S"+Ssm,分别用三角形面积公式求解可得

ac=a+c,利用余弦定理可得『+c2+ac=12,联立即可求解"的值,即可求得V48c的面积;

丽」

（BA+BC}22

选择②，利用平面向量的线性运算可得2V求解向量的模可得a、。-"=4,利

用余弦定理可得/+c'+wT2,联立即可求解"的值，即可求得的面积.

cosB_hcosB_sin8

【详解】（1）由正弦定理知，由cosC2o+c得cosC2siM+sinC,

所以2sin/lcos^+cos5sinC=-sin4cosc,

所以2sin/icos8=一sin8cosc-cosBsinC,

2sinJcos8=-sin(8+C)

所以

所以2sin/fcos8=-sirU,

又在三角形中siM>0,

cosA=---

所以2,

乂0<8<九，

B——it

所以3.

(2)①：由80平分/"AC得，S△四=SAl)[)+SKD,

1.2n1,.兀1,.兀

—acsin——=—xlxcsin—+—xlxasm—

232323,

即ac=a+c

“b-a+c-zaccos——

在力AC中，由余弦定理得3,

又b=2邪、:.a1+c1+ac=\2,

ac=a+c

22

联立a+c+ac=\2得(QC)?-ac-12=0,

解得牝=4,"=-3(舍去)，

,S3=#s吟=34><亨=6

18/25

丽」例+砌丽2」廊+画2」斫+2旗灰+交)

@：因为八744\).

.1f2T2兀2、

I=­c+2accos-+a

413九得/+°2-ac=4,

,2，2c271

八八b=a~+c-ztzccos——

在力AC中，由余弦定理得3,

即a2+c2+«c=12,

a~+c2-ac=4

*

联立M+l+"=12,可得"=4,

S=—tzcsin—=—x4x—=^73

“伙2322

⑻⑴(3。+1。。

⑵45。

⑶300(2—百

【分析】（1）在中求出8=30。，4=60。，再在△4CM中，利用余弦定理求出C”，

进而由402=4“2+0/得CM14W,从而求MN,CN可得护栏的长度（AMNC的周长）；

（2）设4cM=6（00<^<60°）,利用二角形的面积公式可得0乂=204/，，又在

CN=^iCN=2（）Am6=^^

△C4V中，由正弦定理得COS0,从而由COS0可求/月CM；

“10V3

（3）设/"。”'（。。（八60。），在△力CM中，利用正弦定理求出sin（8+60。），再利用

三角形的面积公式和三角恒笔变换即可求解.

【详解】（1）由40=20m,BC=20V3m,AC1BCt

tpAC206

得BC20733,又（T<8<90,则4=30。，A=60°t

所以45=247=40,

在△/（：'历中，

19/25

由余弦定理可得CA/2=4c2+JM2-2AC-AMcosJ

=20^10^-2x20x10x1=300^则出二.，

因为力。2=4必2+。"2,所以CA/_L4W,

MN=CMtan30。=106x且=10

•：/MCN=30。，3

...CN=2MN=20,

4—\A\rrA,™,z、，10+20+10石=6（）+lO81n

.•・护栏的长度CMNC的周长）为V丁.

（2）设4。"。（0。＜夕＜60。）

如

因为鱼塘AWNC的面积是，，餐次休息区，，△CM4的面积的2倍

-CNCMsin300=-x-CACMsinO…R.八

所以222,即CN=206sm。，

在MAN中,&NC=180。一（60。+30。+0）=90。—%

CN二CA二20jo石

由sin60。sin（90°-^）cos。,得''二嬴？，

CN-20-73sin0=122/Zsin-cos。==）

从而cos，，即20J32,而涧2夕=1,

由0。＜2。＜120。，得2。=90。，所以。二45。，即4CM=45。.

（3）设//aw=e（0°＜e＜60。），由

(2)知COS0,

CMCA“106

CM=------r

又在△力CM中，由sin60。sin（60。+9）,得sin(6>+60°)

SwNc=TcM-CN・sin3(F=7575

而("60。"。工in&os®+g8s2。

所以22

150300

"sin2夕+VJcos2。+6-2sin(2<9+60°)+下

222

所以当且仅当20+60。=90。,

20725

即6=15。时,

思路点睛：本题考查余弦定理、正弦定理的应用与三角恒等变换的综