思维提升 培优点1 三角函数中ωφ的范围问题-2026年高考数学二轮复习

思维提升

培优点1三角函数中3，9的范围问题

[考情分析]三角函数中。8的范围问题，是高考的重点和热点，主要考查由三角函数的单调性、对称性、

零点、最值（值域）等求①，8的取值范围，难度中等偏上.

考点一三角函数的单调性与M。的取值范围

例1（2025・湘潭模拟）已知函数小尸sin（2x+e）（|@|<3在区间（0,胃上单调，则卬的取值范围为（）

«，3B.（f3

C.昌，i]D.H，H]

答案B

解析已知x£（0,3，

令Z=2X+9，则,

因为同今所以夕£（一],。

故原条件等价于已知函数产sinf在区间"，三+4上单调，而函数尸sin/在区间（一99二单调，所以

/3转，

解得gWeWg

io

又因为9，故8的取值范围为（一/,看.

[规律方法]若三角函数在区间口，切上单调递增，则区间口，可是该函数单调递增区间的子集，利用集合

的包含关系即可求解.

跟踪演练1已知函数./W=V5COS（3X+§

+COS（3X—弓）（3>0）在管，口）上单调递增，则①的取值范围是（）

4,|]B舟H]C.[|,H]味,2]

答案C

解析方法一/（X）=V5cOS（3X+/）+

cos(3%-§=V5cos(a)x+§+sin(s%+§

=2COS(3X4-J—J=2COS(3X+J,

令兀+2EW5弋W2兀+2E,kRZ,

.“^-+2fcn+2/CTT

因为①>0,所以----WxW------,kGZ,

<03

因为网在售,n)上单调递增,

仔+2仙式口

所以42:2'解得2K3〈92左

-——>H,

、0）

由得kW2,

又4£Z且①>0,所以右0,故5日，

故①的取值范围是||,丹

方法二y（x）=V3cos（tdZ+§+

COS（3X—J=V5cOS（3X+g）+sin（3X+§

=2cos（s+X）

=2COS（3X4-0,

由为〈兀，得？^

设於）的最小正周期为r,则由题意得公/芸，所以0«。<2,从而卷号q—q,

结合函数尸cos.r在0，2冗]上单调暧增，

於)在(,h)上单调递增，

/37T,n、

—+-^Tl>c

得26解得?n

ton+-<2ir,36

6

故①的取值范围是［I,用

考点二三角函数的对称性与①，9的取值范围

例2（2025•盐城模拟）若函数/（X尸sins+cos公《G>0）的图象在（0,内有且仅有两条对称轴，一个对

称中心，则实数G的取值范围是.

答案（泽T]

解析由题意，得./（x）=sinQJX+COScox=/2sin（®x+：）,

令式〃£Z）,

解得人上卢（AeZ）,

令A=。，1,2,得尸壮，白

4d>4a）4s

令cox~^=k7i(k£Z),解得尸"-4(*£Z),

令QI,2,得尸称，

43牝，

,5njn

433'

9nIT

根据题意，得《“一?解得%/.日,

—JII〈H一44

4s3，

7nIT

-->一,

k4w-3,

故实数co的取值范围是得，胃

［规律方法］三角函数相邻两条对称轴或相邻两个对称中心之间的“水平间隔”为今相邻的对称轴和对称

中心之间的“水平间隔”为二这就说明，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的

关键在于运用整体代换的思想，建立关于①，S的不等式组，进而可以研究①，8的取值范围.

跟踪演练2将函数片cos(x+p)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数力(x)

的图象.若y=/(x)的图象关于点(一?，0)对称，则⑻的最小值为()

2n

VC，-

AiBT6D粤6

答案A

解析由题意可得7U尸cos(；%+W)，

由于产/(x)的图象关于点(一0)对称,故./(一g)=cos(-g+@)=0,

故?+夕=弓+〃兀，k0L,解得歹号+E,kez,

故取人-1时，|0|专为最小值.

考点三三角函数的零点与①，8的取值范围

例3(2025•邵阳模拟)已知函数/(x)=2cos25+2sinOMXOS5(QJ>0)在区间［0,22上有且仅有4个零点,

则3的取值范围是()

A得金B喘，W

4!]叫，!)

答案D

解析/(x)=2cos2wx+2sincoxcoscox=cos2co,v+l+sin2(y,v=V2sin(26)x+^)+1，

令./(x)=0,得s\n(2a)x+?)=(，

Vxe[0,27T],••・25?£«，4TI3+*

令t=la)x^由尸sin，的图象得

4兀qW47ta)+^<5兀弋,

解得故①的取值范围是R,I).

［规律方法］已知三角函数的零点求co,9的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析

式直接求函数的零点，进而得所求的取值范围.

跟踪演练3若函数/U)=4COS(2X+8)-2或(0WeW2在［。，空］内恰有4个零点，则伊的取值范围是()

A"引咤，用B.舟引昨Y］

C.［oUMMTD.舟m［录n］

答案D

解析因为OWxWM，所以eWZr+eW誓.令/(x)=4cos(2x+9)-2&=0,得cos(2x+s)号.所以当OWQW：时,

15n『lln।17n

丁W丁"TP

解幅备与

当时，*W手+8〈等，

解得号WsWtl

综上，8的取值范围是舟：［唯,n］.

考点四三角函数的最值(值域)与①，岫勺取值范围

例4(2025•武汉模拟)已知函数人丫尸sin(x+p),0<(p<n,若函数/(x)在［o,午)上存在最大值，但不存在

最小值，则3的取值范围是()

A®l］9

C&引D.(.引

答案D

解析若。&哼

贝iJeWx+ev与+e，

又因为0<3<兀，函数｛r)在［0,号上存在最大值，但不存在最不值，

所以当乎冷兀，即后;时，

只需满足年+9.名此时3<9或空，

当年+©〈兀，即9<弓时，

函数一定存在最大值，要让函数无最小值，则今3夕三，

此时38<：，

综上，；卢拳即1的取值范围是售,用

［规律方法］求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换④"/利用正、余弦函数的图象求解，要注

意自变量的范围.

跟踪演练4已知函数/(x)=cos①工-sin(ax+*)(Q)>0),若/(x)在［0,兀］上的值域为卜1,斗则①的取值

范围为()

4

Ml1

答案B

解析/(x)=coscox-sin(tox+,)=coscwx-sin(yxcos^-cos(yxsin^=|ccswx-^sin①x=cos(o)x+J

若OWxW兀，则gWcar+gWco兀弋，

ooo

因为及v)在［0,兀］上的值域为［-1,I］,所以兀忘①兀岩或三，所以：WgW方

即”的取值范围为序1］.

专题强化练

［分值：52分］

一、单项选择题(每小题5分，共30分)

1.已知函数/(x)=sin(2x+u)(|8|V?在区间卜,总上单调递增，则8的取值范围为()

A［-r2B［-r°］

q。，；］咤，皆

答案A

解析令什keZ,

得E■答WxWETR左WZ,

4242

因为汽刈在区间［一?日上单调递增，

>n3>n

+----

42-6，

所以1

<<

In8五

---一

i一--

I426

因为阿吟所以

LOO

2.(2025•太原模拟)已知函数外尸sin(3+8)(co£N*),若/(一3=。，/(工闫/■②恒成立，则①的最小值是

()

A.lB.2C.3D.4

答案B

解析由题意知直线代为火X)图象的一条对称轴，尸会为7W的零点，所以罕等"(-")，〃£N,又G

WN*,得to=4〃+2(〃eN),所以当〃=0时，/取到最小值，最小值为2.

3.(2025•兰州模拟)若函数加r)=V5sin2cox-2cos2a)x+\(co>0)^(0,分上只有一个零点，则o的取值范围为

()

&讶B.&9

cG"]叫0

答案A

解析由题意，得/(x)=V5sin2cox-2cos2cox+1=V3sin2s>cos2cox=2s\n(2a)x—胃

因为x£(0，》所以2初《£(-『GTT-J

又人力只有一个零点，所以0〈cu兀~^<兀，

O

解畤/故①的取值范围是弓，养

4.已知函数/(x)=V5sinczx+coscox(a)>0),若存在xi,*S格，n],使得J(x1)/(X2)=4则①的最小值为()

A.lB.2C.gD.g

Jo

答案c

解析由题意知/(x尸2sin(o)x+2)，

由于/(xi)/(X2尸-4,

则於)在事Ji]上至少有两个相邻的对称轴，

且口壮仁[v+773冗+*刃>0，

oIZo61

/IT/TT3nj1T.

7<V+16-7+l/CTT*

令6262

'।n、3n।j底u、,

COIT+->—+/cn,

62

f0<(JL)<+2/c,

则43〃£N,

+k,

当QO时，不等式组无解，当A=1时，解集为B，1],因此①的最小值为最

5.(2025•苏州模拟)已知函数/(x)-2sin(3X-当(3>卜xeR),若〃人)的图象的任意条对称轴与式轴交点

的横坐标均不属于区间(3兀，4兀)，则G的取值范围是()

A&司唯，3B.&即降.

北，IM90端,。瑞,。

答案D

解析因为/(、)的图象的任意一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3兀，4兀)，口耳,

所吗X箸4兀一3m所以》W1,

又当3冗aV4几时，3QJ兀亭①Ti-g,

所以女兀十^W3①兀且女兀+兀+^24/兀一，kWZ,

M8&+5^^6fc+ll

解付F-W/Wkkez,

6fc+5、1

18>5，

业-

有244嗤',A£Z,

{Z41o

解得上1,2,

当k=\时，3W,W另当k=2时,为/W另

所以3的取值范围为玲，,端，卦

6.（2025•合肥模拟）已知函数4丫尸coscox-sins（O>0）的图象的一条对称轴为广奈一个对称中心为点

俱，0）,且在（0,9内仅有3个零点，则①的值为（）

A.7B.6C.5D.4

答案B

解析由题设，函数J（x）=>/2cos（a）x+,

其对称中心到对称轴的最短距离号两条对称轴间的最短距离龈

(2k+l)7;_7nn

所以~~424-24UeN),

即(2阱1)•勺=7l(££N),

3

所以8=2(2什1)(〃£N).

因为函数/«在（0,3内仅有3个零点，

且*心詈+》所以编吟

解得所以①=6.

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.（2025•常州模拟）已知函数/（x）=sin（ox（co>0）,则下列说法正确的有（）

A.若危）在[0,句上的值域为[・1,1],则①的取值范围是6，+8）

B.若加）在（0,§上恰有一条对称轴，则①的取值范围是6，3]

C.若大x）在（一"上单调递增，则/的取值范围是（0,|]

D.若贝工）在（0,9上有且只有两个不同的零点，则①的取值范围是（4,6]

答案ACD

解析由x£[0,兀],则GX£[0,cult],且值域为[-1,1],则①兀）:，得①、|,A正确;

由x£（0,》则s£（0,y）,则产W多，得/£（|,1],B错误；

由在（一/9,则50（一号，?），又函数及）在（冶，g上单调递增,

，_am>_K

①>0,则丝2'得C正确;

、4—2，

由X0（O,以，则s£（o,三），因为函数於）在（0,泉上有且只有两个不同的零点,

所以2兀〈詈云3冗，解得4<co<6,D正确.

8.已知函数加）=3cos（c"x+9）（co>0,0<夕<71）的图象既关于点（一/0）中心对称，也关于直线厂与轴对称，口

人）在E引上单调，则①的值可能是（）

A.|B.1C.2

答案AB

一手+9=的n+，口ez,

解析由题意可得

+（p=々2n，k?GZ,

则①=1［（&—抬）一,，ki,k?GZ,

即①-乡，A£Z.

因为©在史g］上单调，

所以52黑三，所以7》冗，即名》兀,

2362（0

所以0<3<2,即0<g（k—；）W2,

解得

因为攵£Z,所以仁1或仁2或<3.

当心1时，cy=1,又0<9<兀,则9专，

31U

此时余瑞仁［^,答］,即/（X）在g］上单调递减，故Q1符合题意；

当厘时，/吟又OV0V兀，则9*此时.啥q泮用，即/（X）在鼻用上单调递减，故Q2符合题意;

当Q3时，（y=2,又0<°〈兀，则夕《，

a

此时入竹£恃，手卜则以）在打上不单调，故人3不符合题意.

综上，①的值可能是（或去

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.（2025・海口质检）已知刃>0,函数/）=23（3%-9在信，n）上单调递减，则口的取值范围是,若

①为正整数，当x£［0,2兀］时，曲线尸cosx与y（3x）交点的个数为.

答案以46

解析由X£6，口）得3吊£得一/MY），

m软、ci

丁一2而,

;函数y（x）=2cos（3x-^）在n）上单调递减，，2

61TkGZ,

TTCO--<TT+