平行线几何模型压轴题（6大压轴题型）试题版

专题05平行线的压轴题（6大压轴题型）

真题实战•百练通关

题型1拐点铅笔模型题型4平行线+三角板旋转

题型2多拐点锯齿模型题型5平行线+折叠问题

题型3平行线+角平分线综合题型6证明探究类压轴

题型一拐点铅笔模型

I.（21-22七年级下•山东泰安・期中）小明在学习了“平行线的判定和性质”知识后，对下面问题进行探究:

在平面内，直线ABIICO,E为平面内一点，连接BE、CE,根据点E的位置探究乙8和NC、4BEC的数量关

系.

图③图④

⑴当点E分别在如图1、图2和图3所示的位置时，请你直接写出三个图形中相应的乙8和/C、的

数量关系：图①中：;图②中：,图③中：.

（2）请将结论③加以证明.

（3）运用上面的结论解决问题：如图4,AB||CD,BP平分乙ABE,CP平分NDCE,4BEC=100。，乙BPC

的度数是.（直接写出结果，不用写计算过程）

2.(24-25七年级下•山东烟台・期末)(1)如图1直线陀心试探究乙a、邛、乙y之间的数量关系.

(2)如图2,直线A8IICD,点力在直线/上，尸是直线/上一动点，4248=110。，当NPCO=140。时,

求N/IPC的度数.

图1图2

3.(24-25七年级下•广东广州•期中)如图，AB||CD，点K是线段CD所在直线外的一点，连接BE,

DE,探究4BFO,^ABE,4CDE之间的数量关系.

AB

D

图1图2

在课堂上，小明画出了图1,图2,经过分析与推理，他得到图1存在结论：^BED+/-ABE4-Z.CDE=36

0。

根据以上材料，请回答以下问题：

(1)在图1中，证明：Z.BED+LABE+Z.CDE=360°

(2)如图2,假设点£在直线/W上方的图形，靖探究乙BED,^ABE,之间的数量关系.

4.(24-25七年级下•河南许昌•期中)两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行转

化.已知直线48||CD,P为平面内一点，连接尸4PD.

图3

(1)如图1,已知4P48=125°/PCD=132°,求NAPC的度数.

小明的思路是：过点P作PEIIaB,通过平行线的性质来求4/PC.

按照小明的思路，易求得乙4PC的度数为；

【类比探究】

(2)如图2,设乙4=a/D=.,猜想之间的数量关系,并给出证明;

【应用拓展】

(3)如图3,AP1PD,DN平分，PDC/N交DP于点0/P04=70。,"。=140°,请直接写出4N的度数.

5.(24-25七年级下•湖北十堰,期中)(1)【探究发现】如图1,AB||CD,过点尸作FHIICD,可得

FH||AB.利用平行线的性质，可得：乙EFG与乙BEF,4GF之间的数量关系是

乙EFG+Z.AEF+Z.CGF=_°；

(2)【结论运用】如图2,ABIICD,点M是〃EF和NCGF平分线的交点.求证：Z.EFG+2Z.EMG=360°：

(3)【横向迁移】如图3,AB\\CD,EF平分NBEM,GM平分/CGF,且EM1GM,乙EFG=120°.求aG尸

的度数.

题型二多拐点锯齿模型

6.（23-24七年级下•江苏南通力考）如图，AB\\CD,用含乙2,乙3的式子表示44,则44的值为

A.zl+z2-z3

C.180°+z3-zl-z2D.z2+z3-zl-180°

7.（24-25七年级下•江西九江•期中）如图，直线IIZ2/a=42l=42。,则42的度数是

8.（24-25七年级下•山西运城•期中）滑雪运动深受年轻人的喜欢，滑雪时正确的滑雪姿势尤为重要.如图

①，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态.图②是其示意

图，已知尸GII4&BDIIE凡则当NC8D=100。时，上身与水平线夹角乙EFG的度数为

9.（24-25七年级下•湖北武汉・期中）如图,AB\\CD,BE\\QFfDF\\QE,EQ和FQ交于点Q,44BE与/CDF

的角平分线相交于点。若40=40。,则4EQF=（）

A.40°B.60°C.80°D.100°

10.（24-25七年级下•陕西安康・期中）【问题】

图I图2图3图4

（1）如图1,ABWCD,试探究匕8、乙BED、ND三者之间的数量关系，并说明理由：

【拓展】

（2）将图1变为图2、图3（其中2811c。不变），请你直接写出相应的结论：

图2：；图3：；

【应用】

（3）如图4,运用上面的结论解决问题：ABWCD,“平分乙1BF,。七平分乙CDF,乙BFD=120°,求匕BED

的度数.

题型三平行线+角平分线综合

11.（2025七年级下•全国•专题练习）如图，AB||CD,4DCE的角平分线CG的反向延长线和NA8E的角平分

线BF交于点F,Z.E-ABFC=33°,则ZE=（）

A.57°B.66°

12.（24-25七年级下•河南洛阳•期末）如图,直线4B,C。被直线E尸所截,交点分别是E,F.已知

AB\\CD,乙8EF与功"E的角平分线相交于点Pi,NBEPI与4/吗的角平分线相交于点P2,48股2与

乙。尸。2的角平分线相交于点P3,…按此规律依次进行，则/Pn的度数是

90°90°180°180°

D.—

u・2n-l

13.（24・25七年级下•江苏无锡•期末）如图，L8NCD,点E在力8的上方,G,尸分别为AB,CD上的点,

^AGE,乙£打?的角平分线交于点“，△£尸。的角平分线与HG的延长线交于点下列结论:

①HFIMF；②4EFC=iE+2AGE；③4E=24H：④若乙BGE—乙EFD=,则乙H=30°.其中，

所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④

14.如图，ABHCD,乙ABK的角平分线BE的反向延长线和4DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H,

ZK-4H=27。，则NK=()

A.76°B.78°C.80。D.82°

15.（24-25七年级下•四川成都•月考）已知4BIIC。,4力8£与NCDE的角平分线相交于点F.

（1）如图①，若8M、DM分别是乙4B产和NCD9的角平分线，且NBED=100。，求的度数;

（2）如图②，若乙CDM乙CDF,乙BED=a,求4M的度数.

16.（24-25七年级下•湖北武汉•月考）已知，直线点E.b分别在直线力8,C。上，点〃是直线A8

与CD外一点，连接

⑴如图（1）,若4CFH=120。，AH=120°,求4BE“的度数:

（2）如图（2）,NBE”的角平分线的反向延长线交NCFH的角平分线于点N,猜想4N与N”的数量关系,

并说明理由;

（3）如图（3）,若/EHF=120°,乙BEH=n^PEH,乙CFH=n乙HFQ,点尸.H.。在同一直线上,

直接写出匕Q-/P的值（用含〃的式子表示）.

17.（24-25七年级下•重庆•期中1经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路.

图3

⑴如图1.AB\\CD,乙BEP=25°,乙PFD=30°,则NEPF=

（2）如图2.A8IICD,点P在直线上方（乙4EP>NC"）,探究NBEP、乙PFD、NEPF的数量关系，并

证明.

⑶如图3.48||CZ）,点P在直线48上方，〃EP的角平分线EM所在的直线和NDFP的角平分线尸N所在

的直线交于点G（点G在直线CD的下方）.请写HkEP尸和&G尸之间的数量关系.并证明.

18.(23-24七年级下•浙江温州•期中)已知:AB||CD,E、G是4E上的点,F、〃是C。上的点，Z1=Z.2

(1)如图1,求证：EFIIGH.

(2)如图2,过尸点作rM1GH交GH延长线于点M,作乙BEF、/DFM的角平分线交于点N.求乙N的度

数；

(3)如图3,在(2)的条件下，作"1GH的角平分线交CD于点0,若3乙FEN=4乙HFM,则舞

19.(23-24七年级下•山东潍坊•期中)已知，直线||CD,点夕为平面上一点，连接力P与。P.

(1)如图I,点尸在直线48,CD之间,当乙8力尸=56°,々OCP=24。时，求41PC的度数;

(2)如图2,点尸在直线48,CO之间,NB4P与NDCP的角平分线相交于点K,写出N4KC与N4PC之间的

数量关系，并说明理由；

(3)如图3,点尸落在直线CD的下方，/8AP与NDCP的角平分线相交于点K,4AKC与2力PC有何数量关

系?请说明理由.

20.(24-25七年级下•四川成都・期中)如图1,Z.ACB=90°,MA\\BN.

(1)如果匕用力。=30。，求乙CBN的度数;

(2)如图2,^MAC.4C8N的角平分线交于点P,当NM/1C的度数发生变化时，乙/1P8的度数是否发生变

化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出乙4PB的度数;

(3)在(2)的条件下，若NM4C=40。，点七为射线8N上的一个动点，过点E作E/1BC交直线4P于点

F,连接EP,已知△/EP=10°,求NBPE的度数.

题型四平行线十三角板旋转

21.(2023七年级下•浙江•专题练习)将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知PQIIMN,

/.ACB=乙EDF=90°,Z.ABC=Z-BAC=45°,乙DFE=30c,乙DEF=60°.

DD

°,z.p=

(2)现固定△48C位置不变,珞△£)£1广沿AC方向平移至点£正好落在PQ上，如图2所示，作NPE4和

△MBC的角平分线交于点“，求乙EHB的度数;

⑶将(2)中的固定，在绕点4以每秒15。的速度顺时针旋转至4?与直线川噌次重合的

过程中，当△4BC的8。边与尸的一条边平行时，所需的时长为，秒，请求出符合条件/的值.

22.（24-25七年级下•浙江湖州•期中）如图,直线PQIIMN,一副三角尺（48AC==90。，

/.ABC=30%Z-ACB=60°,乙ECD=NOEC=45。）按图①放置，其中点上在直线PQ上，点从C均

在直线MN上，且CE平分乙4CN.

⑴求乙OEQ的度数.

（2）如图②，若将三角形ABC绕点8以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（力，C的对应点分别为G,

尸），设旋转时间为t（s）（0W£W60）.

①在旋转过程中，若边8尸||CD,求/的值；

②如图③，若在三角形ABC绕点B旋转的同时，三角形CDE绕点、E以每秒2度的速度按顺时针方向旋

转（C,。的对应点为〃，K）.请求出当边8FIIHK时，的值.

23.（23-24七年级下,重庆江北•期末）如图，直线PQIIMN,一副教学三角板中乙4BC="DE=90。，

471cB=30。，484c=60。，LDCE=zDFC=45°,现按如图1放置，其中点E在直线尸Q上，点B,C

均在直线MN上.

图1图2备用图

（1）如图1,当CE平分4ACM时，求需的值；

（2）若将三角板ABC绕点8以每秒3度的速度按顺时针方向旋转（4C的对应点分别为F,G）,设旋转

时间为/秒.

①在旋转过程中，如图2所示，当边BGIIOE,求t（0工亡工60）的值.

②若三角板48C绕点〃旋转的同时，三角板COE绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（C,。的

对应点为H,K）,请直接写HI当边BGIIHK时“OKt4120）的值.

24.(24-25七年级上•江苏盐城•期末)将一副三角板按如图①放置.在中，ZC=90°;

^BAC=30°,在△/1OE中，LE=90°,Z.DAE=45°,点C、力、上在同一条直线上.现△力OE保持不

动，将△4BC绕点力以每秒钟6。作顺时针旋转，旋转时间为f秒.

(I)如图①，4BAE=_,如国②，当£=5时，LCAD=

(2)在旋转过程中，若0VCW25,当4B4E=2ZG4DH寸，求，的值;

(3)在△ABC绕点力旋转过程中，若△力。E同时以每秒2。的速度绕点4顺时针旋转，且0<tW60,当

BCWAD^,请直接写出/的值.

25.(24-25七年级下•重庆梁平・期末)如图，直线MNIIPQ,将一副三角板中的两块直角三角板按如图1放

置，Z.ACB=LEDF=90°,£ABC=LBAC=45°,=30°,LDEF=60°,此时点彳与点E重合.

(2)如图2,固定△ABC的位置不变，将△£)£1/绕点E按顺时针方向旋转a度，D/与MN相交于点G,①

若ACIID凡求a的大小；②求乙NGD的大小(用a的式子表示)：③如图3,iNGD与4DEQ的角平分线

相交于点〃，△£)/?尸在旋转过程中，乙GHE可能为30。吗？请说明理由.

26.(24-25七年级下•辽宁大连•期中)如图，直线MNIIPQ,将一副三角板中的两块直角三角板按如图1

放置，Z.ACB=LEDF=90°,Z.ABC=ABAC=45°,ZDF£=30°,zDEF=60°,此时点力与点E重

合.

⑴如图1，直线MN经过点立求心NFD的度数：

(2)如图2,固定的位置不变，将AOEF绕点石按顺时针方向旋转a度(0<a<75),OE与MN相

交于点G,求匕NG。的度数(用含a的式子表示)；

(3)如图3,在(2)的条件下，LVGD与NDEQ的角平分线相交于点H,在旋转过程中，乙GHE的

度数是否发生变化，若不变化，求出其值；若变化，用含a的式子表示.

27.(24・25七年级下•广西玉林•期中)在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将

块等腰直角三角板GEF的顶点G放置在直线48上，旋转三角板(乙尸=90。).

(1)如图1,在GE边上任取一点尸(不同于点G,E),过点P作C0II4B,若42=110。，求41的度数；

(2)如图2,过点E作COIIAB,请探索并说明N4G尸与"EF之间的数量关系；

(3)将三角板绕顶点G转动，过点E作。D||48,并保持点E在直线48的上方，在旋转过程中，探索人IGF

与4CEF之间的数量关系，并说明理由.

28.(24-25七年级下•江西南昌•月考)如图，点尸为直线力8外一点，过点。作直线CDIIA8.现将一个含30。

角的三角板£7访按如图1放置，使点八七分别在直线48、C。上，且点尸在点£的右侧，乙G=90。，

乙EFG=60°,设/CEG=a(0°<a<90°).

B-------------------ABA

图3备用图

(1)填空：乙CEG+乙BFG=°；

⑵若乙。"的平分线"H交直线于点〃，如图2.

①当£771尸G时，求a的度数；

②在①的条件下，将三角板E“绕点石以每秒2。的转速顺时针旋转，同时射线PD绕点。以每秒3。的转

速进行逆时针旋转，射线PD旋转一周后停止转动，同时三角板EFG也停止转动.在旋转过程中，当,

为何值时,PDWEG?

29.(24-25七年级下•浙江温州•期中)如图，直线直线MN_L48分别交48,CD于点M,N,直角

(1)求乙。7。的度数.

(2)将三角板EM尸绕点M以每秒2。的速度顺时针旋转，得到三角板E'MF',旋转的时间为£(0<t<60)秒.

①当三角板E'ML的一边与直线NG平行时，求t的值；

②三角板EM/绕点M旋转的同时，直线NG绕点N以每秒3。的速度逆时针旋转到NG',若NG'lE'M,求

t的值.

30.（23-24七年级上•福建厦门・期末）【实践操作】三角尺中的数学

（1）如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，^ACD=Z.ECB=90°.

①若4ECD=38°,则44C8=；若乙ACB=150°,则=:

②猜想乙4C8与NEC。的大小杓.何数量关系，并说明理由.

（2）如图2,若是将两个同样的含60。锐角的直角三角尺叠放在一起，其中60。锐角的顶点力重合在一

起，Z.ACD=乙AFG=90°.

①探究NG4c与4D4F的大小有何数量关系，并说明理由；

②若一开始就将△4DC与完全重合（酢与AC重合），保持不动，将△4FG绕点4以每

秒10。的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t.在旋转的过程中，£为何值时力G1AC.

G

题型五平行线+折叠问题

31.（23-24七年级下•湖北武汉•期中）如图，长方形纸片ABCD,点M,N分别在AD,8c边上，将纸片沿MN

折叠，点C,。分别落在点G,小处，MDI与BC交于点P,再沿PN折叠纸片，点的，小分别落在点

Q,。2处，设NBPD2=%则NMNC2的度数为（）

1113

A.zaB.90°--c?C.5aD.90°--a

32.（24-25七年级下•辽宁沈阳•期中）如图1是力DII8C的一张纸条，按图1-图2T图3,把这一纸条先沿EF

折叠并压平，再沿折置并压平，若图2中乙4EF=112。，则图3中NCFE的度数为.

33.（24-25七年级下•江苏扬州•期中）如图，有一长方形纸带，E、尸分别是边A。、BC上一点,（DEF=a

（0°<a<90。且a*60°）,将纸带A8CD沿EF折叠，再沿GF折叠，当匕NFE和乙。£尸的度数之和为110°

时，则a的值.

34.（24-25七年级下•广西南宁•期中）【综合与实践】折纸中的数学

【问题提出】我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直

线.那我们能否通过折纸的方法找到过更线外一点且与已知直线平行的直线呢？

【知识初探】同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达.学习平线后，张华想出了过己知

直线外一点，画这条直线的平行线的新方法，张华是通过折一张半透明的纸得到的（直线FQ、直线

为折痕，折纸过程如下：①-②-③-④）.

p・

图①图②图③图④

图⑤备用图①备用图②

（1）如图①，在纸上画一条直线4B,在力8外取一点P.过尸折叠纸片，使得点8落在直线上（如

图②），记折痕FQ与48的交点为。，将纸片展开铺平.则°;

（2）再过点P将纸片沿PEJ£行折叠，使得点尸落在直线PQ上（如图③），再将纸片展开铺平（如图

④），此时张明说，CD就是AB的平行线.张华的说法正确吗？请写出过程予以证明；

【拓展延伸】

（3）张华在（2）的条件下继续探究，他在尸、。两点处安装了绚丽的小射灯，灯Q射线从PD开始绕

点。顺时针旋转至PC后立即回转，灯Q射线从Q4开始绕点。顺时针旋转至Q8后立即回转两灯不停旋

转交叉照射，且灯尸、灯。转动的速度分别是1。/秒、3。/秒，若灯尸射线转动20秒后，灯0射线开始

转动，在灯P射线第一次到达PC之前，当灯。转动，秒时，灯P射线PN转动到如图⑤的位置.

①用含t的式子表示ZDPN=；

②在灯P射线第•次到达PC之前，。灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由.

35.（24-25七年级下•广西南宁・期中）【知识初探】

（1）王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合

要求的直线.

①如图1,在正方形纸上画出一条直线5C,在8。外取一点P.过点尸折叠纸片，使得点。的对应点

落在直线BC上（如图2）,记折痕DE与BC的交点为从将纸片展开铺平；

②再过点?将纸片进行折叠，使得点E的对应点o落在直线0P上（如图3）,再将纸片展开铺平（如

图4）.此时王芳说，Pr就是BC的平行线.

王芳同学只写了部分证明过程就有事离开，请你帮她把证明过程补充完整；

证明：由折叠可知：/-PAB=Z.PAC

又"PAB+Z.PAC=180°

“PAC=90°

【深入探究】（2）李明同学在王芳同学折纸（图4）中量得zP/M=a,请你求出NABM的大小（用含

a的代数式表示）；

【拓展延伸】（3）王伟同学改变直线BC和点尸的位置，按照王芳同学的方法折叠得到"KIIBC后（点

B,C,K,产分别在线段MN,NQ,QR,RM上）,再画出乙P/M和乙4BM的角平分线F”、BI,FH、B/所住的

皂缱交于点G,请求出"GB的度数.

R,___________,。/?,___左_____QRE____Q〉EK0R___________Q

•尸/V：SSD

上堂「

MjN_侪-----WM~十----'NA/1-1------------------------'N

图1图2图3图4备用图

36.（24-25七年级上•江苏泰州•期末）如图1,在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边

上分别有/，4两点，连接48,点尸是正方形纸片上一点，过点。翻折纸片，使点3落在直线AB上的

点夕处，折痕MN交AB于点。.

②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与48有①中的位置关系，其中的数

学道理是;

（2）在图1的基础上，展平纸片，得到图2,在图2中过点〃折出并画申与4B平行的折痕0E（折痕左端

点记为点。，右端点记为点珍，请简要阐述折舂方法并说明理由；

（3）将图2的纸片展平得到图3,点S是线段5G上一动点（不与点E重合），若NOE尸=26。,

（EDS=a,乙CAS=6,请直接写出NDS4的度数.（用。、夕的代数式表示）

题型六证明探究类压轴

37.（24-25七年级下•江西宜春•期末）综合与实践:

【问题情境】光经过凹透镜后的折射实验探究.

【实践操作】光明中学七年级3班好奇组在做光经过凹透镜的折射实验时发现：如图①，平行于主光

轴MN的光线和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE,DF的反向延长线会交于主光轴MN上一点P.

图③

【实践探究】好奇组三位同学想弄清楚这两条平行线之间蕴含的数学知识，进行了以下探究:

探究一：（1）在图①中，上BPD,乙力8P和NCDP三个角之间存在着怎样的数量关系，并说明理由.

探究二：（2）在图②中，已知||CO,点、M、N分别是人口、CC上的两点，点G在/B、CD之间，连接

MG、NG.若点、P是CD下方一点、,MG平分NBMP,ND平分乙GNP,已知NBMG=30。，求乙MGN+乙MPN

的度数.

探究三：（3）在图③中，若点、P是AB上方一点,连接PM、PN；GM的延长线ME将〃MP分为两部分,

R3Z.AME=2Z.PME,乙CNP=2乙PNG,3/-MPN+2/.MGN=250°,求4力MP的度数.

38.(24-25七年级下•广东佛山•期中)添加辅助线在解决平行线相关问题时，起到了桥梁作用，它能够帮

助我们构建新的几何关系，揭示隐藏的角度、线段或平行性，从而简化复杂问题，引导我们找到解决

问题的关键路径.我们常见的辅助线添加方法有：构造与己知平行线平行的新线，利用平行线性质得

出新的关系；乂或者延长线段至相交，形成新的三角形，便于应用学过的定理.请利用轴助线完成以

下问题的探究：

(1)【探究I］如图所示，ABWCD,AZ)与BC相交于点E,EF是28ED的平分线.

①若/A=30°,LC=40°,则48EF=.

②若乙A=a,Z.C=/?»求乙BEF.

(2)【探究2】已知：乙EGF=CBEG+乙CFG,试求乙4+匕8+乙C+匕。的度数.

(3)【探究3】利用探究1、探究2的结论，解答下面的问题：

如图，已知48IICD,点E,尸分别在AB,CD上，点G,”在两条平行线AB,CD之间，乙AEG与匕FHG的

平分线交于点M.若iEGH=a,乙HFD=0,求iM.(用含有。、夕的代数式表示).

39.（23-24七年级下•广西南宁•期末）综合与实践

【问题情境】数学课上，老师让同学们以“两条平行线MN,PQ和一块含60。角的直角三角尺ABC（其中

乙"8=90。，=60。）”为背景开展数学活动，如图1,将三角尺的点B放置在直线PQ某一定点处,

直线4C与直线MN相交于点E

【操作探究】（1）乐学小组的同学发现，如图1,若4C8Q=30。，则N4EN=；

（2）奋进小组的同学将三角尺48c绕点B旋转至图2时，若NC8Q=30。，求乙4EN的度数：

【深入探究】（3）博学小组继续探究，如图3,如果PQ不动，加大平行线之间的距离，使平行线之间

的距离大于BC,旋转三角尺ABC,当点A旋转到平行线之间，如果直线4c与直线MN相交于点E,设

请直接写出乙4EN的度数（用含有a的代数式表示，写出其中一种情况即可）

A

M---------------------N

LJ

—2P--------------B-0

图1C图2图3

40.（24-25七年级上,四川遂宁•期末）【感知】

（1）如图1,直线HDIIGE,点/是直线HD上一点,C是直线GE上一点，4是直线HO、GE之间一点,

连接/8、BC.求证：Z-ABC=/-HAB+Z.BCGx

H--Z----7-----DH-X--------~DH---生---------------D

G--------------EG------——EG—------E

图1图2图3

小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程.证明：过点8作8P||”0,

=___________（两直线平行，内错角相等）

:BP||HD,HD||GE,

•••BP||GE(),

-LABC=乙ABP+乙CBP,

•'•Z.ABC=Z.HAB+Z.BCG.

【类比探究】

(2)如图2,直线HDIIGE,点力是直线，。上一点，C是直线GE上一点，B、厂是直线H。、GE之间的

点，连接力B、BC、AF.CF,CB平分NFCG,AF平分匕BAH,设NBCF=a,乙BAF=依若

a+£=50。，求，8+4尸的度数；

【拓展延伸】

(3)如图3,直线HDIIGE,点/是直线HD上一点，C是直线GE上一点，4是直线HD、GE之间一点,

连接718、BC,CR平分ZBCG,BN平分4ABC,BM||CR,已知=40。，试探究4N8AI的度数.

41.(24-25七年级下•辽宁大连・月考)综合与实践

【问题背景】

数学活动课上，同学们用一副三角尺展开了探究活动，同学们发现可以用平行线的知识计算三角尺摆

放过程中出现的一些角度，和探究一些角之间的数量关系.

【准备材料】如图，①三角尺4BC中，ZC=90°,乙4=NB=45。：

②三角尺DE/中，/。=90°,/F=30°,Z.E=60°.

【活动前提】已知：直线PQIIMN.

【活动一】

(1)“飞腾小组”选择三角尺DEF按图1放置，当尸。恰好平分时，则乙PED的度数是一.

【活动二】

(2)“卓越小组”选择三角尺ABC,三角尺0E/按图2放置，点E、C、F、力在同一条直线上，则4PDF

的度数是可求的，请你帮助他们求出答案并说明理由;

【活动三】

(3)“创新小组''将"卓越小组”的想法进行创新继续变化，将图2中三角尺DEF固定不动，三角尺A8C

中的点4位置不动，重新摆放三角尺ABC.

摆放方法①：当线段8c所在直线与线段OF所在直线垂直时，请求的度数.

摆放方法②：当线段8c与三角尺OEF的直角边平行时，请直接写出乙的度数.

42.(24-25七年级下•四川广元•期末)某校艺术舞台两侧(EFIIGH)有两台氛围射灯A和B,它们发出的光

束分别从4F、8G方向开始，分别以Q。/秒、6。/秒的速度在同一平面内逆时针旋转，分别到达力仄BH

方向后立刻回转，并不断往返.将无人机拍摄到的画面抽象出如图1、图2的几何图形，若Q、匕满足

|a+b-6|+(2a-8)2=0,探究下列问题：

(1)填空：a=,b=；

(2)在图1中，若灯8先转动15秒，灯A才开始转动，在灯B发出的光束到达8H之前，设灯力转动时间为t

秒，求当t为何值时，两灯的光束互相平行？

(3)在图2中，连接48,测得N£ME=60。，若两灯同时转动，在灯4发出的光束到达4E之前，两灯射出

的光束交于点C，过。作41cp交GH于点P,且乙4cp=120。，探究乙B/1C与N8CP有怎样的数量关系？

43.(24-25七年级下•湖北宜昌・期末)如图,直线AB||CD,直线，分别交力8,C3于点M,N,

乙MND=a(0°<a<90°),△EFG^Z.EFG=30°,乙G=90°,点E在直线力8上，点G在AB,CD构成

区域内且G点始终在E的右下方.，点尸在直线CD上且始终在直线，右侧，FG||h的平分线交直线

CD于点K.

(\)/.BEG=_(用含a的式子表示)；

(2)如图I,若点E在直线1右恻，EK||Z,求a的度数：

(3)当Q>30。时，若射线EK交直线，于点H,试探究NE4N和乙MND之间的数量关系.

44.(24-25七年级下•福建福州•期中)已知点儿B,C,D,E均为定点,直线4811c。，点P为射线EA上一

个动点(点P不与点力重合)，连接PC.

(1)如图1,当点P在线段AE上时，若上A=30。，4c=72。，求乙APC的度数.

(2)点M为直线CD下方的动点，连接CM,使得CM平分乙DCP,

①如图2,当点P在线段AE上时，连接力M,若力M平分/B4E,探究〃MC与乙4PC之间的数量关系，并

证明；

②如图3,当点尸在直线C。的下方运动时(点F在射线以4上)，射线FN平分乙4PC,点K在直线CO的下

方，且满足射线CKIIPN,若48AE=34°,请直接写出乙MCK的度数.

45.(23-24七年级卜.・江苏扬州•期末)经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路.

(1)如图1,AB||CD,乙BEP=25°,乙PFC=150°,则iEPF=；

(2)如图2,AB\\CD,点P在直线48上方探究N/IEP、乙CFP、乙”尸之间的数量关系,

并证明:

(3)如图3,AB||CD,点。在直线48上方，心力"的角平分线EM所在的直线和乙"P的角平分线FN所在

的直线交于点G(点G在直线CD的下方)，请写出乙EPF和4EGF之间的数量关系，并证明：

(4)如图4,AB\\CD,点P在直线4B上方，EG、ES、尸M、FT分别是N4EP、乙BEP、乙CFP、NOFP的

三等分线，且笔^=£言=嘴^=舞^=：.直线ES与直线FM交于点M,直线EG与直线FF交于点N

(点N在直线CD的下方).请直接写出NEMF、4ENF与4P之间的数量关系.(请自行画图分析)

考题猜想•高分必回

1.小明同学在完成七年级卜•册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下.

(1)如图①，已知48IICD,LBAE=20°^DCE=30°,则乙力EC=

(2)如图②，已知A8IICD,BE平分=IB&OE平分乙4。&8瓦。£所在直线交于点E.

①若4?力。=60°,^ABC=40°,求的度数;

②将图②中的点8移到点力的右侧得到图③，其他条件不变，若乙48a且

Z-ABC+Z.FAD=210°,请直接写出乙BED的度数.

2.(1)如图1,||CD,点P在/18,CO之间，连接力P,CP.易证：^APC=z/l+zC.

下面是两位同学添加辅助线的方法：

小强：如图2,过点P作PQII/B.

小菲：如图3,延长4P交CD于点M.

请你选择一位同学的方法进行证明.

(2)如图4,E,F分别是射线A8,CD上一点，G是线段C尸上一点，连接力G并延长，交直线EF于点P,

连接力C,EG,若4P4C+乙PEG=4HGE,求证：AC||EF.

(3)如图5,在(2)的条件下，AB||CDt4H平分"5C,平分“FC,4H与FH相交于点H,HF与GP

相交于点7,若乙CAH=25°,乙H=Z.AEG,乙PGE=2ZLCAH+34PEG,求iCFP的度数.

图4图5

3.灯光秀是广州珠江夜游的靓丽风景线，假定河两岸EFIIGH,桥04J.E凡横跨河