广东省惠州市2025-2026学年初中九年级学业质量检测数学（试卷+解析）

惠州市2025-2026学年初中九年级学业质量检测

数学

本试卷共23小题，满分120分，考试用时120分钟.

注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场

号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考

场号和座位号.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂

黑；如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不

按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求的.

1.一2026的相反数是（）

1

A.2026B.—C.-2026D.---------

20262026

2.下列四种化学仪器的示意图中，属于轴对称图形的是（）

3.我国著名科学家钱学森被誉为“中国航天之父”.为了纪念钱学森,中国科学院紫金山天文台将一颗距

地球约5.23亿公里的行星命名为“钱学森星”.数据“5.23亿”用科学记数法表示为（）

A.5.23x108B.5.23x10"C.52.3xIO7D.523000000

4.下列各式中，计算结果等于，的是（）

r/（）八

A./+dB.aC。-ClD.

5.将一副三角尺按如图摆放，使芍刻度的两条边互相平行，则图中N1的度数为（）

C.115°D.120°

6.已知一组数据26,36,36,3即41,42,其中一个数的个位数字被墨水涂污，则仍能准确计算的统计

量是（）

A.平均数B.方差C.中位数D.众数

x+1<5

7.不等式组〈CU的整数解是（）

2x-l>5

A.3B.4C.5D.6

8.由于平台优化派单算法及改善交通工具,某外卖小哥现在每小时比原来可多送3件外卖，送40件的时

间比原来少用了3小时.设原来平均每小时送工件外卖,依题意，可列方程为（）

4()40r40

A.—B.----3=-----

xx-3xx+3

40r40

C,竺+3=工D.--------1-J=----------

xx+3xx—3

9.如图，VA3C位于第二象限，已知AC=8C,NC=90。，点八的坐标为（-41），点C的坐标为若

直线），=一刀+匕与VA5c有交点，则〃的取值范围是（）

A.-5<b<5B.-5<b<5

C.-3<b<3D.-3<b<3

10.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形A3CO与正方形日7G”，连接若

EH

DE平分NCDH,则()

HA

AB

A石R5c6-1D2

2623

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

11.因式分解：X2-9=.

12.李明打算购买I张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择1个，则李明购买的车票座位刚好靠近

窗户的概率是________.

窗但］回㈣过道㈣但］窗

13.如图，将面积为7的正方形QWC和面积为9的正方形QOE•尸分别绕原点。顺时针旋转，使OA,

。。落在数轴上，点A,Q在数轴上对应的数字分别为mh,\）\\b-a=.

14.“数形结合”是研究函数的重要思想方法.若二次函数），=.d+2x+力的图象在平面直角坐标系中只

经过两个象限，则/”的值可以是.（写出满足条件的一个值即可）

15.如图，A3为半圆。的直径，C为半圆。上一点，且AC=BC，连结3C,以点B为圆心3c为半径

画弧交力8于点。.若4?=2,则的长为

三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分.

16.先化简后求值：（x-iy+x（l-x），其中x=sin3O。.

17.罗浮山景区夜间梦幻水秀深受游客喜爱，喷泉喷出的水柱可近似看作一条抛物线.如图，以喷口为原点，

水平方向为x轴，竖直方向为了轴建立平面直角坐标系，已知水柱的最大高度为16米，落地点与喷II的水

平距离为32米，求这条抛物线的函数解析式.

18.如图，30是VA3c的中线.

A

（1）尺规作图：过点。作3c的平行线交A8于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）在（1）的条件下，若△8CO面积为36,则VADE面积为.

四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.

19.CCTV《新闻联播》已连续三年关注并报道了惠州西湖新春灯会（图1）,向全国观众展现惠州西湖的

璀璨夜景与浓郁年味.为了解游客对2026年新春灯会的满意度，某研学小组在西湖景区随机抽取部分游客

按“非常满意（A）”“比较满意（B）”“基本满意（C）”“不满意（Q）”四个等级进行满意度调查.根

据调查数据绘制了不完整的条形统计图（图2）和扇形统计图（图3）.

图1图2图3

请根据以上信息，回答下列问题:

（1）本次调查共抽取了多少名游客?

（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中A等级的圆心角度数;

（3）据相关部门统计，本届惠州西湖灯会期间累计接待游客近99万人次,试估计表示满意（含A、B、C

三个等级）的游客大约有多少？

20.如图，四边形A3CO内接于0。，为直径，点E在BC的延长线上，且。石是。。的切线.

A

(1)求证：/DEC=/BAC；

（2）若4C〃OE，A8=8,0。的半径为5,求。石的长.

21.日•、圭表是我国古代先民的智慧结晶：日暮利用光影与刻度计量时辰（如图1）,圭表凭借正午表杆

影长测算节气（如图2）.某中学数学兴趣小组以“惠州地域下的古代计时工具”为主题开展项目式学习,

请结合数学与地理知识解决以下问题.

（1）【探究】图3是该小组制作的惠州口展放置于地面的示意图，■面与赤道平面平行，愚针与地轴平

行.已知惠州位于北纬23。，则唇面与地平面的夹角。为。.

（2）【探究】图4是该小组制作的圭表的示意图，圭为南北向水平标尺OM,表为垂直立竿0A.已知

OA为0.5米，在夏至正午时用该圭表测得表的影长OB为0.044米，冬至正午时表的影长OC为0.5米，

请结合参考数据，分别估算夏至、冬至正午太阳光线与地平面的夹角.（测量误差忽略不计）

（3）【实践】小组观察发现：如图5,冬至正午时，阳光从一栋南北朝向的大楼楼顶E射入，恰好射到大

楼北侧一棵木棉树的顶部产；春分正午时，阳光从该楼顶E射入，恰好照射到树的根部G.已知春分日

光线与晶面平行，若大楼与树干距离。G为10米，请结合上述探究的内容，求出此树的高度G尸.（假设

树的高度变化忽略不计）【参考数据：tan23°k0.4,tan67°«2.4,tan84°«9.5,tan85°«11.4,

tan86°®14.3]

五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分.

22.【问题情境】宇宙中存在一种神秘的黑洞天体，数学中也有一种神秘的“黑洞数字”.数学兴趣小组在

研究“黑洞数字”时，在。到9之间，任取三个不全相等的数字，将这三个数字从大到小排列得到最大数,

再从小到大排列得到最小数，然后用最大数减去最小数，得到一个新数，我们将这个操作叫“重排求差”；

将得到的新数再次进行“重排求差”，可一直重复这样的操作.

例如：取三个数字：0,1,2,进行如下操作：

第I次：数字0，1,2,则210-12=198；

第2次：数字1,9,8,则981—189=792；

第3次：数字7,9,2,则972—279=693；

第4次：数字6,9,3,则.

（1）【问题探究】上述第4次“重排求差”的计算表达式为；

（2）【问题探究】①小组成员甲发现：任取三个不全相等的数字，经过有限次“重排求差”操作后，最终

会得到一个确定不变的“黑洞数字”，这个“黑洞数字”是；

②小组成员乙发现：在上述“重排求差”操作中，最大数和最小数的差总能被99整除.你认为他发现的结

论是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请举出反例.

（3）【探究应用】已知〃、夕是。到9之间的整数（〃<</），满足〃+^=7,且〃、乡是关于x的一元二

次方程/一〃a+12=0的两个实数根，将〃、q、7三个数字进行多次“重排求差”操作，发现第〃次结

果就得到“黑洞数字”，请求出〃的值.

23.如图1，点P为反比例函数图象上的一个动点，过点尸作射线04,点8在二轴的正半轴

上，以点?为圆心、20P为半径作弧交反比例函数图象于点E，连接尸石，分别过点P和点乍），铀和x轴

的平行线形成矩形瓦该矩形对角线交于点C，连接。尸.

（2）猜想ZFO8与N4O3的数量关系，并说明理由；

（3）如图2，当点尸的坐标为（U）时，求△OPO与矩形PDEF的面积比.

惠州市2025-2026学年初中九年级学业质量检测

数学

本试卷共23小题，满分120分，考试用时120分钟.

注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场

号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考

场号和座位号.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂

黑；如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不

按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求的.

1.一2026的相反数是（）

11

A.2026B.-------C.-2026D.

20262026

【答案】A

【解析】

【详解】解：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数,-2026的相反数是2026.

2.下列四种化学仪器的示意图中，属于轴对称图形的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折登，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，

这条直线叫做对称轴进行分析即可.

【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部

分能够互相重合，所以不是轴对称图形;

C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是

轴对称图形.

3.我国著名科学家钱学森被誉为“中国航天之父”.为了纪念钱学森，中国科学院紫金山天文台将一颗距

地球约5.23亿公里的行星命名为“钱学森星”.数据“5.23亿”用科学记数法表示为（）

A.5.23xlOxB.5.23xl（）9C.52.3xIO7D.523000000

【答案】A

【解析】

【分析】科学记数法的表现形式为axlO",其中1＜刊＜10,〃为整数，确定。和〃的值即可求解.

【详解】解:“5.23亿”用科学记数法表示为5.23x108.

4.下列各式中，计算结果等于/的是（）

A./+B.CJ./C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用整式加减运算和塞的运算对每个选项计算即可.

【详解】A./+〃6,不是同类项，不能合并在一起，故选项A不合题意；

6

B.a3•6f=a""=Q,符合题意；

C.不是同类项，不能合并在一起，故选项C不合题意;

D.48+/=48-2=36,不符合题意,

故选B

本题考杳了整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键.

5.将一副三角尺按如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中N1的度数为（）

A.75°B.105°C.115°D.120°

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意得8C||OF,NACB=45°,NEOb=30。，再根据平行线的性质得

ZBCD=AEDF=30°,再根据ZBCD+ZACB+ZACE=180°可得答案.

【详解】解：由题意，得BC||OF,NACB=450,NE£>b=30c,

/BCD=/EDF=30。,

•・•/BCD+ZACB+NACE=180。,

30°+45°4-ZACE=180°,

ZACE=105°,

Zl=105°.

6.已知一组数据26,36,36,30,41,42,其中一个数的个位数字被墨水涂污，则仍能准确计算的统计

量是（）

A.平均数B.方差C.中位数D.众数

【答案】D

【解析】

【分析】根据平均数、方差、中位数、众数的概念，判断哪个统计量的结果与被涂污数字无关，即可得到

答案.

【详解】解：：平均数、方差的计算都需要用到被涂污数字的具体值，结果随被涂污数字改变，

因此A、B无法准确计算，排除A、B；

•・•被涂污的数为加，取值范围是30«出039,这组数据共6个，中位数为从小到大排序后第3个和第4

个数的平均数，

分情况讨论：

若3口<36,排序为26,%,36,36,41,42,第3、4个数都是36；中位数是36；众数是36；

若30=36,排序为26,36,36,36,41,42,第3、4个数都是36；中位数是36：众数是36；

若3口>36,排序为26,36,36,3口,41,42,第3、4个数是36,3D；中位数是迎士巨：众数是36；

2

故仍能准确计算的统计量是众数.

x+1<5

7.不等式组I。，〈的整数解是（）

2x-l>5

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再确定不等式组的公共解集，最后找出解集中的整数即可得到

答案.

x+l<5①

【详解】解:

2125②

解不等式①，得工＜4,

解不等式②，得x33,

不等式组的解集为3Vxv4,其中整数解为3.

8.由于平台优化派单算法及改善交通工具，某外卖小哥现在每小时比原来可多送3件外卖，送40件的时

间化原来少用了3小时.设原来平均每小时送工件外卖，依题意，可列方程为（)

404040r40

A.—=---B.——3=----

xx-3xx+3

4()4()4040

C.---1-3=----D.-----1-3=------

xx+3xx—3

【答案】B

【解析】

【分析】设原来每小时送工件外卖，先表示出现在每小时送的外卖数量，再根据“时间=总件数+每小时

送件数”分别表示出原来和现在送40件外卖所用的时间，最后根据时间关系列方程即可.

【详解】解：•••原来平均每小时送％件外卖，现在每小时比原来多送3件,

・•・现在平均每小时送（x+3）件，

4040

・•・原来送40件外卖所用时间为一小时，现在送40件外卖所用时间为——小时，

xx+3

•・•现在送40件的时间比原来少用3小时，

・•・原来所用时间—3=现在所用时间，

4040

即列方程得一一3=-

xx+3

9.如图，VA3c位于第二象限，已知AC=8C，NC=90。，点A的坐标为（-4,1）,点C的坐标为（一11）.若

直线y=-x+/，与VA8C有交点，则的取值范围是（）

y=­b〃个V

O

A.-5<b<5B.—5<Z?<5

C.-3<b<3D.-3<b<3

【答案】D

【解析】

【分析】先根据已知求出点B的坐标，再将A、B的坐标代入直线,，=一工+人，分别求出对应的〃的值，即

可得解.

【详解】解：•・•点A的坐标为(T/)，点。的坐标为(—1,1),

・•・AC=3,

AC=BC,NC=90。，点C的坐标为(一1,1),

・••点8的坐标为(—1,4),

分别将点A(T1)和点5(-1,4)的坐标代入直线)，=r+b,得到人=-3和b=3,

则力的取值范围为一3S3.

故选：D.

10.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形A8CO与正方形EFG“，连接。“，若

EH

DE*分乙CDH,则一=()

HA

A若R5C有TD2

2623

【答案】c

【解析】

(分析】证明ADEHSADFC,求得ZDCF=/DHE,再证明ADHESAADE，设。£=A"=a,

AE=b,利用相似三角形的性质得到2a=?,设羡=x，即幺+入一1=0,求得1=叵1，据此求解即

abh2

可.

【详解】解：•.・DE平分NCDH,

:./CDF=/EDH,

•・•4CFD=/DEH=巩）。,

，/\DEHS^DFC,

:・/DCF=/DHE,

:ZDCF=ZADE,

・•・功HE=ZADE,

'：/DEH=ZAED=90°,

・•・ADHEs^ADE,

EHDE

・・一=一，

DEAE

设DE=AH=a,AE=b,

则EH=8—a,则

ab

即

ab

设.X,

b

-1=x,即d+x-jo，

x

解得X=S二1或x二m二！（舍），

22

经检验X=避二1是原方程的解，

2

.EHb-ab,a后一1

HAaab2

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

11.因式分解：X2-9=.

【答案】（人+3）（人一3）

【解析】

【详解】解：X2-9=X2-32=（X+3）（X-3）.

12.李明打算购买1张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择1个，则李明购买的车票座位刚好靠近

窗户的概率是.

回回但］过道㈣回

窗窗

【答案】I

【解析】

【分析】根据选择座位的方法共有5种，购买的1张票靠窗选法有2种，列式计算，即可作答.

【详解】解：依题意，选择座位的方法共有5种，购买的1张票靠窗选法有2种，

则李明购买的车票座位刚好靠近窗户的概率是

5

13.如图，将面积为7的正方形OABC和面积为9的正方形户分别绕原点。顺时针旋转，使OA,

。。落在数轴上，点4,力在数轴上对应的数字分别为“，b,贝］〃一a=.

F

【答案】3-V7

【解析】

【分析】分别求出两个正方形的边长，从而得到m〃的值，代入计算即可.

【详解】•・•正方形。45c的面积为7,正方形。。石尸的面积为9

：.0A=币，OD=y/9=3

即a=>/7♦b=3

b-a=3-币

故答案为：3—J7

本题考查算术平方根的意义，在数轴上表示实数，正确求出算术平方根是解题的关键.

14.“数形结合”是研究函数的重要思想方法.若二次函数），=/+2x+机的图象在平面直角坐标系中只

经过两个象限，则机的值可以是_________.（写出满足条件的一个值即可）

【答案】1（答案不唯一）

【解析】

【分析】首先判断出顶点为（一1,旭-1），开口向上，然后根据题意得到顶点落在X轴及以上，进而求解即

可.

【详解】解：二•抛物线y=/2+2工+帆=（工+1）~+"?-1,

，顶点为,开口向上，

•・•抛物线只经过两个象限，

・••顶点落在工轴及以上，

/./n-1>0,即mN1,

・•・阳的值可以是I（答案不唯一）.

15.如图，AB为半圆。的直径，C为半圆。上一点，且AC=BC，连结BC，以点8为圆心8C为半径

画弧交于点。.若AB=2,则C。的长为

【答案】叵

4

【解析】

【分析】本题考查弧长的计算，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理，连接OC,根据弧、弦、圆心角的关

系求出N30C,由等腰三角形的判定与性质求出N08C的度数，由勾股定理求出8C,从而根据弧长公

式求出的长即可.

AC=BC^

1QQO

・•・ABOC=——=90°,

2

•・•OB=OC=-AB=\,

2

18()。-9()。

“BC==45°,

~2~

7BC=SB、OC2=B

・・・3粉23必答

故答案为：

4

三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分.

16.先化简后求值：（x—l1+x（l—x）,其中x=sin30。.

【答案】一x+l,y

【解析】

【详解】解：原式=X?-2x+1+1一工2

=­X+1

sin30°=—,即x="!•

22

原式=一工+1=一!+1

2

1

=—

Z

17.罗浮山景区夜间梦幻水秀深受游客喜爱，喷泉喷出的水柱可近似看作•条抛物线.如图，以喷口为原点，

水平方向为X轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，已知水柱的最大高度为16米，落地点与喷口的水

平距离为32米，求这条抛物线的函数解析式.

【答案】^=-^X2+2A（O<X<32）

【解析】

【分析】依题意得抛物线顶点坐标为（16,16）,可设解析式为）,=〃（工一］6）2+16（。工0）,求出。的值即可.

【详解】解：依题意得抛物线顶点坐标为（16.16）,可设解析式为），=。"-16）2+16（。工0）

将点（0,0）代入解析式，得

O=^(O-16)2+16

解得4=---

16

•••抛物线的解析式为：），=一A（XT6）2+16（0<X<32）

18.如图，8。是VA8C的中线.

A

（1）尺规作图：过点。作AC的平行线交AB于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）在（1）的条件下，若△8CQ面积为36,则VAOE面积为.

【答案】（1）见解析（2）18

【解析】

【分析】（1）作NBDE=NCBD,直线。石交AB于点E，直线OE为所求的平行线；

（2）根据题意得到，八时=2S。S=2X36=72,证明,利用相似三角形的性质计算即可

得到答案.

【小问1详解】

解：如图所示，直线力E为所求的平行线，

A

S△ADBC=ISBe=2x36=72,

由(1)知ED〃BC,

：4ADES&ACB，

•.S.ACBVAC)UJ4

•二SAADE==wx72=18.

四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.

19.CCTV《新闻联播》已连续三年关注并报道了惠州西湖新春灯会（图1）,向全国观众展现惠州西湖的

璀璨夜景与浓郁年味.为了解游客对2026年新春灯会的满意度，某研学小组在西湖景区随机抽取部分游客

按“非常满意（A）”“比较满意（/?）”“基本满意（C）”“不满意（D）”四个等级进行满意度调查.根

据调查数据绘制了不完整的条形统计图（图2）和扇形统计图（图3）.

人

敬

3

2()(

25(

100

150

()((XI

51(居

AD级

图n

请根据以上信息，回答下列问题：

（1）本次调查共抽取了多少名游客？

（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中A等级的圆心角度数；

（3）据相关部门统计，本屈惠州西湖灯会期间累计接待游客近99万人次，试估计表示满意（含A、B、C

三个等级）的游客大约有多少？

【答案】（1）本次调查共抽取了500名游客

（2）见解析，A等级的圆心角度数为72。

（3）满意的游客大约有95.04万人次

【解析】

【分析】（1）运用8等级的人数除以占比，得出抽取的游客总人数，即可作答.

（2）运用总人数分别减去4民。等级的人数，得出。等级的人数，再列式计算求出扇形统计图中A等级

的圆心角度数，即可作答.

（3）运用样本估计总体列式计算，即可作答.

【小问1详解】

240

解：依题意，――=500（名），

48%

・•・本次调查共抽取了500名游客；

【小问2详解】

解：依题意，C等级的人数为500-100-240-20-140（名）,

【小问3详解】

“1(X)+240+140

解：依题意,99x-------------------=95.04(万人),

50()

答：满意的游客大约有95.04万人次.

2().如图，四边形48co内接于00,30为直径，点E在BC的延长线上，且。E是0O的切线.

(1)求证：/DEC=/BAC；

12)若AC〃DE,A8=8,。。的半径为5,求。石的长.

【答案】(1)见解析(2)DE=—

2

【解析】

【分析】(1)方法一：根据：“直径所对的圆周角等于90。”可得N8CO=90。，则可得

NDEC+ZCDE=90°,再根据切线的性质可得NBDC+ZCDE=90°,进而可得/DEC=/BDC，

根据圆周角定理可得N8£>C=NBAC,进而可得NOEC=N84C.

方法二：先证明ABCD-ABDE,则可得N3DC=NB£D,根据圆周角定理可得N8£>C=NB4C,进

而可得NDEC=N8AC.

UAAn

(2)方法一：先由勾股定理得AD=6,再证△朋Ds血石，则可得一=一，进而可得求得。石的

BDDE

长;

方法二：由垂径定理得3C=A3=8,再由勾股定理得。C=6,再证△BCD〜△OCE

则可得与=坐，进而可得求得的长.

CDDE

【小问1详解】

（1）方法一：

Q8。是。。的直径，

.\ZBCD=90°,

ZDEC+ZCDE=90°,

•.£＞石是。。的切线，ODJ.DE,即：NODE=9Qc,

;"BDC+NCDE=90。,

:"DEC=NBDC，

由圆周角定理得/BAC=4BDC,

."DEC=/BAC；

方法二：

Q8力是。。的自径，

.-.ZBCD=90°,

•.•DE是。。的切线，

4BDE=90°,

/DBC为R3CD和RtABPE的公共角，

：GBCD~^BDE,

:"BDC=/BED,

由圆周角定理得Z.BDC=ZBAC,

:./DEC=NBAC；

【小问2详解】

方法一：

在由勾股定理得：AD^^BI^-BA2=710^=6-

-AC//DE,

:"BED=/BCA,

由圆周角定理得ZBDA=ZBCA,

・•・乙BDA=NBED，

又：/BAD=/BDE=90。,

;s史DE♦

BAAD86

---=----,即—=----,

BDDE10DE

解得。上=身.

2

方法二：

•/AC//DE,BDA,DE,

:.BD±AC,

/.直径8。垂直平分AC,

・•・BC=AB

BC=AB=8,

在RiZXBCD中，由勾股定理得：DC=VBD2-BC2=71O2-82=6»

♦;NDEC=NBDC,4DCE=/BCD=90。,

：./\BCD-/\DCE,

BCBD810

——=---,即nn一=----,

CDDE6DE

解得QE=£.

2

本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的

判定，三角形相似的判定，活用勾股定理是解题的关键.

21.日薜、圭表是我国古代先民的智慧结晶：日轻利用光影与刻度计量时辰（如图1）,圭表凭借正午表杆

影长测算节气（如图2）.某中学数学兴趣小组以“惠州地域下的古代计时工具”为主题开展项目式学习，

请结合数学与地理知识解决以下问题.

(1)【探究】图3是该小组制作的惠州日皆放置于地面的示意图，居面与赤道平面平行，唇针与地轴平

行.已知惠州位于北纬23。，则暑面与地平面的夹角。为。.

(2)【探究】图4是该小组制作的圭表的示意图，圭为南北向水平标尺QM,表为垂宜立竿0A.已知

。4为0.5米，在夏至正午时用该圭表测得表的影长。8为。.044米，冬至正午时表的影长OC为0.5米，

请结合参考数据，分别估算夏至、冬至正午太阳光线与地平面的夹角.(测量误差忽略不计)

(3)【实践】小组观察发现：如图5,冬至正午时，阳光从一栋南北朝向的大楼楼顶£射入，恰好射到大

楼北侧一棵木棉树的顶部尸；春分正午时，阳光从该楼顶E射入，恰好照射到树的根部G.已知春分日

光线与悬面平行，若大楼与树干距离。G为10米，请结合上述探究的内容，求出此树的高度G/.(假设

树的高度变化忽略不计)【参考数据：tan23°«0.4,tan67°«2.4,tan84°«9.5,tan85°«11.4,

tan86°=14.3]

【答案】(1)67(2)夏至时测量时光线与地平面夹角上48。=85。；冬至时测量时光线与地平面夹角

ZABO=45°

(3)树的高度AG为14米

【解析】

【分析】(1)根据唇面与地平面的夹角。为90。-当地纬度，计算即可得出结果；

(2)分别求出tan/ABO,tan/ACO的值，结合题意分析即可得出结果；

(3)过尸作尸于"，由(1)可知春分光线与地平面夹角为NKGD-67。，分别解直角二角形得

出。石=24米，HF=HE=10米,最后结合矩形的性质计算即可得出结果.

【小问1详解】

解：春面与地平面的夹角。为90。-23。=67。；

【小问2详解】

解：据题意可知：在Rt/XABC中，tan/AAO=g=W^、11.4,

BO0.044

故由参考数据估算得，夏至时测量时光线与地平面夹角2440=85。，

在RSAOC中，ianN'ACO=4?=丝=1,

CO0.5

故冬至时测量时光线与地平面夹角ZABO=45°；

【小问3详解】

解：过尸作四_L£D于”，如图所示:

由（1）可知春分光线与地平面夹角为NEGZ）=67。，

DE

在RLEGD中，•.•tan/EGD=W，且QG=10米,

DG

，匹=2.4,

10

故DE=24（米）

由（2）可知冬至光线与地平面夹角为45。,

...NEFH=45。，

.•.HF=HE=1O米,

由条件可知，四边形OHFG为矩形，

:.HD=FG,

FG=HD=DE-HE=24-\0=14（米）

故树的高度FG为14米.

五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分.

22.【问题情境】宇宙中存在一种神秘的黑洞天体，数学中也有一种神秘的“黑洞数字”.数学兴趣小组在

研究“黑洞数字”时，在。到9之间，任取三个不全相等的数字，将这三个数字从大到小排列得到最大数,

再从小到大排列得到最小数，然后用最大数减去最小数，得到一个新数，我们将这个操作叫“重排求差”；

将得到的新数再次进行“重排求差”，可一直重复这样的操作.

例如：取三个数字：0,1,2,进行如下操作

第I次：数字0,1,2,则210-12=198；

第2次：数字1,9,8,则981—189=792；

第3次：数字7,9,2,则972—279=693：

第4次：数字6,9,3,则.

（1）【问题探究】上述第4次“重排求差”的计算表达式为；

（2）【问题探究】①小组成员甲发现：任取三个不全相等的数字，经过有限次“重排求差”操作后，最终

会得到一个确定不变的“黑洞数字”，这个“黑洞数字”是:

②小组成员乙发现：在上述“重排求差”操作中，最大数和最小数的差总能被99整除.你认为他发现的结

论是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请举出反例.

（3）【探究应用】已知〃、9是。到9之间的整数（〃＜夕），满足〃+c/=7,且〃、是关于x的一元二

次方程九2一〃1V+12=0的两个实数根，将P、q、7三个数字进行多次“重排求差”操作，发现第〃次结

果就得到“黑洞数字”，请求出〃的值.

【答案】（1）963-369=594

（2）@495；②成员乙发现的结论是正确的，见解析

（3）〃=3

【解析】

【分析】（1）根据题中方法计算求解；

（2）①继续计算，找出规律；

②根据整式的运算法则列式计算;、

（3）先根据根与系数的关系得p+q=-（—m）=7,即可求出阳，再解方程求出〃、%再对三位数字进行

“重排求差”操作，即可求解.

【小问1详解】

解.：第4组：数字6,9,3,则963-369=594；

【小问2详解】

解：①第5组为：954-459=495,

第6组为：954-459=495,

・・・这个“黑洞数字”是495；

②成员乙发现的结论是正确的，理由如下：

设在。到9之间任取的三个整数分别为。、〃、C,其中4最大，c最小

则“重排”得到的最大数为100a+10Hc,最小数为lOOc+1该+〃,

“求差”为：（100。+10b+c）-（100c+10b+a）=99a-99c=99（cz-c）,

•・f、c为0到9之间的整数，且

为正整数，

则99（。-。）为99的倍数，所以最大数和最小数的差总能被99整除；

【小问3详解】

解：由已知得p+q=-（-m）=7,即〃z=7

原方程为：f一7工+12=0，

解得：玉=3,々=4,

p<q,

p—3,<7—4,

将三位数3、4、7进行“重排求差”：

第I次：743-347=396,

第2次：963-369=594,

第3次：954-459=495,

第4次：954-459=495,本次“重排求差”与上一次“重排求差”完全一致，

结合（2）的探究可知“黑洞数字”为495,且“=3.

23.如图1，点P为反比例函数y=L（x〉O）图象上的一个动点，过点〜作射线。4,点8在二轴的正半轴

X

上，以点〃为圆心、2OP为半径作弧交反比例函数图象于点E,连接尸E，分别过点?和点E蚱》轴和x轴

的平行线形成矩形尸。瓦',该矩形对角线交于点C,连接。尸.

图1图2

f1A（1、

（1）设尸4,一,Eb，7,求直线OF的函数解析式（用含。，〃的代数式表示），并判断点。是否在

ka）\b）

直线O/上；

（2）猜想/FOB与NA08的数量关系，并说明理由；

（3）如图2，当点尸的坐标为（1,1）时，求△OQO与矩形以处》的面积比.

【答案】（1）y=点。在直线0厂上；

ah

（2）/4。8=3//03,见解析；

（3）△0/7）与矩形77比户的面积比为迫二1.

4

【解析】

【分析】⑴根据矩形的性质求出厂0,3}设直线0厂的函数解析式为）'=依,"0），代入

I，即可求出直线0尸的函数解析式，将代入直线0尸的函数解析式即可判断点O是否在

Va）\b）

直线。尸上；

（2）先根据矩形性质得到勿'〃。£\NOC=NPFC,通过三角形外角和性质得到NPCO=2NPFC,

再通过等边对等角得到/POC=/PCO=2/PFC，最后根据平行性质推出4PFC=4FOB,最后等量

代换即可求解；

⑶先延长PO交k轴干点，，过点。作PM_LOF于点M，根据尸的坐标为（1』），求出NPO3=45。，

CP=OP=叵，再根据（2）中=3/用用，得出NAO9=30。，从而求出尸M=,。尸二变，