北京市海淀区高一数学上学期期中考试试题（解析版）

北京市海淀区高一数学上学期期中考试试题（解析版）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共4（）分.

1,已知集合>=+—则（）

A.{X|-1<A:<3}B.{OJ2,3}

C.{x|-l<x<3}D.{-1,0,1,2}

【答案】A

【解析】由力={xl—+1>0}得4="1、>一1},又5={刈一2«%«3},

故力「8={xl-l<xV33

故选：A

2.命题“1¥>0,2/=51一1”的否定是（）

A.Vx>0,2x2^5x-\B.Vx<0,2x2=5x-l

C.3x>0,2x2^5x-\D.3x<0,2x2=5x-\

【答案】A

【解析】命题“1¥>0,2/=5工一1”为特称量词命题，

其否定为：VX>0,2X2^5X-1.

故选：A

3.函数/（》）=/+/一5的一个零点所在区间为（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】B

【解析】因为y=/与卜=/一5均在（0,+e）上单调递增，

所以/（x）=/+/-5在（0,+8）上单调递增，

又〃0）=-5,/（1）=-3,/（2）=7,所以/⑴/⑵<0,所以/（x）在（1,2）上存在一

个零点.故选：B

4.下列各组函数表示同一函数的是（）

Af（x）=x,g（x）=4xT

*

B./（/.v\）=I|x-l|I,g（/x\）=][x-l,x>1

1-X,入<1

C./（x）=x+l,g（x）=^-J-

D-/(x)=—^(x)=4

XX

【答案】D

【解析】对Aj(x)的值域为R,g(x)=J7=k|的值域为[0,+8),不是同一函数，故A

错误；

对Bj(x)定义域为R,g(x)的定义域为(―8,1)1](1,+2)，不是同一函数，故B错误；

对Cj(x)定义域为Rg(x)的定义域为(-oo,l)U(l,+g),不是同一函数，故为错误;

对D,/(x)=g(x)=1,二者的定义域、对应法则均相同，为同一函数,故D正确.

X

故选：D

5.下列函数中，既是偶函数又在(0,+8)上是增函数的是()

A./(x)=!B./(可=一忖+1

C./(x)=x3D.f(X)=X2-2

【答案】D

【解析】对于A：/(x)=5=x-2的定义域为{x|xw0},为偶函数，但是函数在(0,+3)上

单调递减，故A错误；

对于B：/(x)=TM+l定义域为R,且/(一%)=_卜目+1=-国+1=/(X),

所以/(x)=—|x|+l为偶函数，当x＞0时/(X)=r+1,所以函数在(0,+8)上单调递

减,故B错误；

对于C：/(x)=d为奇函数，故c错误；

对于D：/(力=一一2定义域为R,且/(_*=(_工『一2=/一2=/卜)，

所以/(%)二/-2为偶函数，且函数在(0,+8)上单调递增，故D正确.

故选：D

6.设,则“工＞6＞0”是的()

ab

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由！＞人＞0,则即可以推导出故充分性成立；

abb

由推不出!>6〉0,如。=一1,6=1,满足但是故必要性不成立;

oaa

所以，,>/,>0"是的充分不必要条件.

ab

故选：A

7.我国著名数学家华罗庾曾说：“数缺形时少宜观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔

裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数

的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对

B.仆)二

1

c・./(^)=-2-rD./(X)=

x—1x2+l

【答案】B

【解析】因为函数/(x)=R可的定义域为{x|xwl},函数/(工)二千片的定义域为R,

函数=与/(x)=的定义域均为卜|X工±1}.

X—1

由图知/(》)的定义域为{x|xw±l},排除选项A、D,

对于=当K=0时，/(。)=-1，不符合图象/(0)=1，所以排除选项C.

x*—1

故选：B.

8.若关于x的小等式/一以一2—〃>()在区间(1,4)内有解，则实数。的取值范围是()

A.(-8,-2)B.(—2,+8)

C.(-6»+oo)D.(—oo,—6)

【答案】A

【解析】不等式式2一以-2—。>0在区间(1,4)内有解等价于。<(.丫2—4X-2)3X，

令/(x)=x2-4x-2,xG(l,4),对称轴为x=2

所以/(x)</(4)=-2,

所以a<-2.

故选：A

9.己知函数/（x）的图象关于直线x=1对称，当々>占>1时，［/（马）一〃*）］（占—王）<0

恒成立.设。=/（一£|,6=/（2）,。=/（3）,贝IJa，b,c的大小关系为（）

A.c>a>bB.b>a>c

C.a>ohD.c>b>a

【答案】B

【解析】当芭二X2且A，%2W。，”）时，［/（%2）-/（%）］«2-芭）<0恒成立，

可得/（X）在（1,+8）上单调递减，且/（X）关于尢=1对称，

所以在（—8,1）上单调递埔人=/（一£|=/（|）

.•./（2）>/（£）>./（3）,

即b>a>c.

故选：B

10.对于任意的x£R,［x］表示不超过X的最大整数.十八世纪，y=［可被“数学王子”高斯

采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数下列说法正确的是（）

A.函数y=［x］（x丘R）为奇函数

B.函数y=［犬］的值域为Z

C.对于任意的不等式［司+3«［X+力恒成立

D.不等式［幻2_4卜］+3<0的解集为{x\2<x<3}

【答案】BCD

【解析】对于A,当04工<1时，歹=［x］=0,当一l<x<0,y=［x］=-1,

所以N=［X］（XER）不是奇函数，所以A错误，

对于B,因为［可表示不超过》的最大整数，所以当xcR时，［X］EZ,

所以函数歹二［司的值域为Z，所以B正确，

对于C,因为时，，

所以［可+3=［卜］+3］工卜+田4％+），，所以C正确，

对于D,由［疔-4卜］+3<0,得1<凶<3,

因为［x］表示不超过x的最大整数，所以2Wx<3,所以D正确.

故选：BCD

二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分.

11.函数y二岳二1+」一的定义域是______.

1-X

【答案】}l］u(L+8)

.5z

,----1［3x-l>01

【解析】对于函数卜二，57二T+——，令〈八,解得xN—且XW1,

1-x11-xwO3

所以函数y=J3x-1+—］—的定义域为!，1］U(1,+8).

\-x［_3)

故答案为：=

2v+|

12.不等式一一W1的解集为

x-2---------

【答案】［-3,2)

2x+1x+3

【解析】移项得：一--1<0,通分化简得到分式不等式：一-<0

x-2x-2;

x工2

两边同时乘以分母得平方，结合分母不为零，得到不等式组：八/一八

(x+3)(x-2)<0

解得一3Vx<2.原不等式解集为［-3,2).

故答案为：［-3,2)

13.已知8=若BUC=C,则用的值为.

【答案】±6或0

【解析】因为BUC=C,所以又3={1,〃/},C={1,3,〃7},

所以〃/二3或〃?2=/〃，

解得m=或加=1或〃？=0,

当〃7=1时，集合8、C均不满足集合元素的互异性，故舍去；

当加=±6或〃?=0时，经检验均符合题意；

综上可得m=±V3或〃7=0

故答案为：土石或0

“、x~+2^+3,x<1

14.若函数/（"二1，是R上的减函数，则a的取值范围是_______

ax+l,x>1

【答案】

【解析1由题意得，一。21且。<0,解得。4一1；

当x=l时，l+2a+32a+l,解得。之一3；

综上得实数。的取值范围为.

故答案为：

15.己知函数/（x）=x|x-《，其中QGR,下列结论正确的是.

①存在实数4,使得函数f（x）为奇函数

②存在实数a,使得函数/（X）为偶函数

③当a>0时，/（x）的单调增区间为18,?,（凡+8）

④当。<0时，若方程/卜）+1=0有三个不等实根，则。<一2

【答案】①③④

【解析】由/'（一工）二一工卜工一。|二一工卜+司，显然当4=0时有/（-x）=-/'（%）,

但不存在实数。使/■（-%）=/（%）成立，所以存在实数4,使得函数/"）为奇函数，

不存在实数。，使得函数/‘（X）为偶函数.所以①正确，②错误；

/（幻="['且/（X）在x="处连续，当a>0时，

x-ax,x>a

易知：/（X）在（-8,9上递增，（区,幻递减，（。,+8）上递增，③正确；

22

/\

由/（X）解析式,当〃<0时“X）在（-00,4）卜递增.（/彳）递减.卜递增.

又/他）=0,/（3）=-《，要使/（x）+l=0有三个不等实根，即/（X）与）二一1有三个

24

交点，

2

所以一幺<一1,又。<0,可得QV-2,④正确.

4

故答案为：①③④.

三、解答题：本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.已知全集U=R,/={乂,|<3},5={斗/_4》一5>0},求柳u(/U8).

解：由题意知，4="|-3<工<3},8={耳不<-1或%>5},

所以电.8={1卜1Wx«5},力c4={x|-3cx<—1},

4=4=何1<3或X>，},所以电.(4D3)={X|3VXK5}

17.已知函数/'(x)="2+bx+l.

14

(1)若/(1)=2,且。>0,6>0,求一+一的最小值；

ab

(2)若b=-a-l,解关于x的不等式〃x)«0.

解：(1)因为/(工)=⑪2+反+1且/(1)=2,所以a+b+l=2,即〃+分=1,

「八1八_14(14Y八尸A4。、广、\b4a八

又a>0,b>0,所O以KI一十一二一十一(a+6)二5十一十一>5+2J------9,

ab<ababyab

当且仅当2="，即Q=L6=2时取等号，所以L+已的最小值为9；

ah33ab

(2)当力二一4一1时，不等式/(X)<O,即为62-(4+1)工+1工0,

当。=0时，解得xNl,所以不等式的解集为［1,+8)；

当QVO时，不等式等价于--1)20,解得或

ka)a

(I-)

所以不等式的解集为u［l,+8)；

当a=l时，不等式即为(x-l1<0,解得x=l,所以不等式的解集为{1}；

当”>1时，-<1,解得kx"所以不等式的解集为|X1］；

aaL«J

当0<。<1时，->1,解得iWxW」，所以不等式的解集为1,-；

aaLa.

综上可得：当。=0时，穴等式的解集为［1,+8)；

'1~|

当avO时，不等式的解交为［-8,［u［U+co)；

当a=l时，不等式的解集为{1}：

当。>1时，不等式的解集为一,1:

当0<。<1时，不等式的解集为1,-

a

18.已知函数J2，X£（-4,4）.

16—x

(1)证明：/(X)为奇函数.

(2)判断/")在(-4,4)上的单调性，并证明你的结论.

(3)解关于i的不等式/(-1)+f。/)<0.

(1)证明：由已知函数的定义域关于原点对称，且对于定义域内任意的x,

都有」广岛"一小),〃、)=言为奇函数.

X

(2)解：/(x)=----7在(—4,4)是增函数，证明如r：

16-x

王

选择任意的演，声满足-4<玉</<4,则/(阳)一/(占)=

16-X1~16—x；

通分化简：.一小)=当瑞震普=堂骷>

2

由一4<玉<乙<4可得：16+玉马〉0,16-X)>0,16->0,x,-x2<0；

即/⑺有〃

x

证得/(x)=----7在(-4,4)是增函数.

16-x

(3)解：/(r-l)+/(2r)<0,则/。一1)<一/(2。，

由/(%)是奇函数，则/(/-l)</(-2z),

又由/'")是增函数，则51<一2小

-4<Z-1<4

结合定义域，得到不等式组：｛-4<-2/<4,解得—2</<L故解集为：(-2,-)

19.对于定义域为/的函数，如果存在区间同时满足下列两个条件：

①/(%)在区间［相,〃］上是单调的；

②当定义域是［叽，?］时，/(x)的值域也是［利可.则称［〃?,〃］是函数y=/(x)的一个“黄金

区间

(1)请证明：函数y=l-4(x>0)不存在“黄金区间”.

x

(2)已知函数歹二/一取+6在R上存在“黄金