《一元二次方程》知识点和易错点总结

元二次方程知识点总结

知识构造梳理

r(i)含有__________个未知数。

J(2)未知数的最高次数是

(1、概念I(3)是方程。

(4)一元二次方程的一般形式是。

((1)法，适用于能化为(x+〃?)2=/i(n>0)的一元二次方程

一(2)法，即把方程变形为ab=O的形式，

元

二2、解法(a,b为两个因式)，则a=0或

次

方

程\⑶法

(4)法，其中求根公式是

根的判别式______________________

Ir当________________时，方程有两个不相等的实数根。

(5)j当时，方程有两个相等的实数根。

当时，方程有没有的实数根。

c可用于解某些求值(1)

一元二次方程的应用(2)

J⑶

可用于解决实际问题的步骤(4)

(5)

(6)

知识点归类

知识点一一元二次方程的定义

如果一个方程通过移项可以使右边为0,而左边只含有一个未知数的二次多项式，则这样的

方程叫做一元二次方程。

注意：1、一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是

2、同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

例以下关于工的方程，哪些是一元二次方程？

2

—7=3；(2)X2-6X=0；(3)6+X=5；(4)-x2=0；(5)2x(x-3)=2x2+1

x4-5

知识点二一元二次方程的一般形式

一元二次方程的一般形式为ax?+»x+c=()(a,b,c是数，axO)。其中a,b,c分别叫

做二次项系数、一次项系数、常数项。

注意：(1)二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

(2)要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一

般形式。

(3)形如口，+法+c=0不一定是一元二次方程，当且仅当。。0时是一元二次方程。

例1关于x的方程(m—1**2一(根十］卜一2二0是一元二次方程时，则加=

知识点三一元二次方程的解

使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当x=2时，工2一3入+2=0所

以x=2是“2一3%+2=0方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

知识点四建立一元二次方程模型

建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。

注意：(1)审题过程是找出量、未知量及等量关系；(2)设未知数要带单位；(3)建立

一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。।..।

例如图(1),有一个面积为150行的长方形鸡场，

鸡场一边靠墙(墙长18m),另三边用竹篱笆围成，

假设竹篱笆的长为35m,求鸡场的长和宽各为多少？鸡场

因式分解法、直接开平方法

知识点一因式分解法解一元二次方程

如果两个因式的积等于0,则这两个方程中至少有一个等于()，即假设pq=o时，则p=()或q=()。

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

(1)将方程的右边化为0;

(2)将方程左边分解成两个一次因式的乘积。

(3)令每个因式分别为0,得两个一元一次方程。

(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

关键点：(1)要将方程右边化为0;(2)熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：

提公式法，公式法(平方差公式，完全平方公式)等。

例用因式分解法解以下方程：

222

(1)5x2=4%；(2)(2x-3)-25=0；(3)x-6x+9=(5-2x)o

知识点二直接开平方法解一元二次方程

假设2o),则x叫做a的平方根，表示为x=±J£,这种解一元二次方程的

方法叫做直接开平方法。

11)*2=々(4之。)的解是％=士工7；(2)(X+6)2=〃(〃20)的解是X=一；

(3)(znr+〃)2=H0,且c之0)的解是x=主_-_—o

nr

例用直接开平方法解以下一元二次方程

222

(1)9X-16=0；(2)(%+5『-16=0；⑶(x-5)=(3x+1)(因式分解)

知识点三灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程

形如（ax+h）2-左=0伏之0）的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方法解。

例运用因式分解法和直接天平方法解以下一元二次方程。

⑴4（x-5）2-36=0；（2）（1-2x）2-3=0

知识点四用提公因式法解一元二次方程

把方程左边的多项式（方程右边为0时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式,

然后利用“假设pq=0时，则尸0或q=0〃来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。

如：0.01产—2，=0,将原方程变形为/（0.0k-2）=0,由此可得出

t=OgcO.Or-2=0,BPr,=0,z2=200

注意：在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能

丧失原方程的根。

知识点五形如“―+g+〃）％+〃=o（心方为常数）〃的方程的解法。

对于形如“一+缶+力卜+〃=0（4〃为常数）〃的方程（或通过整理符合其形式的），

可将左边分解因式，方程变形为（x+a）（x+〃）+0，则x+a=（）或x+/?=（）,即

Xi=­a、x2=—bo

注意：应用这种方法解一元二次方程时，要熟悉“/+（a+冷x+0=0（a,b为常数）〃型方

程的特征。

例解以下方程：（1）x2—5X-F6=0；（2）x2—x—12=0

配方法

知识点一配方法

解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含

未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开

平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。

注意：用配方法解一元二次方程1+/?x+q=O,当对方程的左边配方时，一定记住

在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。

例用配方法解以下方程：

7

(1)x~+6x—5=0；12)---x-2=0

2

知识点二用配方法解二次项系数为1的一元二次方程

用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：

(1)在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；

(2)把原方程变为(x+〃z)2=〃的形式。

(3)假设〃20,用直接开平方法求出工的值，假设n<0,原方程无解。

例解以下方程：X2-4X+3=0

知识点三用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程

当一元二次方程的形式为以2+/>+c=O(4WO.awl)时，用配方法解一元二次方程的步

骤：(1)先把二次项的系数化为1:方程的左、右两边同时除以二项的系数；

(2)移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程

化为=〃的形式；

(3)假设〃20,用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。

例用配方法解以下方程：

(1)3x2—9x+2=0；(2)—x2—4x+3=0

公式法

知识点一一元二次方程的求根公式

一元二次方程ar2+"+C=0(〃+0)的求根公式是：X=生"Jac

2a

用求根公式法解一元二次方程的步骤是：⑴把方程化为♦+法+c=0("0)的形式，确定

的情4,Z?.c(注意符号)；(2)求出〃一44c的值；(3)假设。2-4acN0,则〃力.把及力2-4〃c的

值代人求根公式工=。土,求出为,九2。

例用公式法解以下方程

(1)2x2—3x—1=0；(2)2x(x4-V2)-i-1=0；(3)x24-25=0

知识点二选择适合的方法解一元二次方程

直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知数

的平方式的方程

因式分解要求方程右边必须是0,左边能分解因式；

公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。

注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或

因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法,

因为配方法解题比拟麻烦。

例用适当的方法解以下一元二次方程：

(1)(2x-3)2=9(2X+3)2；(2)X2-8x+6=0；(3)(x+2)(x—l)=0

知识点三一元二次方程根的判别式

一元二次方程公？+及r+c=/o)根的判别式△二〃2一44c

运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：

(1)4oc>On方程有两个不相等的实数根；

(2)△=〃-4农=0=方程有两个相等的实数根；

(3)A=/?2-4ac<0=>方程没有实数根；

利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式;

②确定的值；③计算〃-4江的值；④根据〃一44的符号判定方程根的情况。

例不解方程，判断以下一元二次方程根的情况：

(1)2x2-3%-5=0；(2)9A:2=30A:-25；⑶A;2H-6A:4-10=0

知识点四根的判别式的逆用

在方程d+bx+c=0(aw0)中，

(1)方程有两个不相等的实数根=>从一44>0

(2)方程有两个相等的实数根=反-4碇二0

(3)方程没有实数根=>从-4讹<0

注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0

这一条件。

例为何值时，方程(2〃?+l)x2*4+4mx+2m-3=0的根满足以下情况：

(1)有两个不相等的实数；(2)有两个相等的实数根；(3)没有实数根；

知识点五一元二次方程的根与系数的关系

假设占,心是一元一.次方程nx1+bx+c=()(〃*0)的两个杈，则有X4-x=――,x,x=

2ai2

根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：

22+

(1)Xj+=(X]+x2)-2x^2(2)—+—=

X,x2X1X2

(3)区+〃)(％+〃)=+大2+MM+工2)+；

2

(4)IXj-x2I=7(^i-XiY=J(x,+x2)-4X,X2

例方程2——5x—3=0的两根为为,与，不解方程，求以下各式的值。

2

⑴xJ+W；(2)(x(-x2)©

知识点六根据代数式的关系列一元二次方程

利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系

（即列出方程），然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。

例当X取什么值时，代数式尤2一%一6=0与代数式3x—2的值相等？

一元二次方程的应用

知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤

（1）审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。

关键点：找出题中的等量关系。

知识点二用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关得到问题

增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）假设基数为a,增长率x为，则一

次二曾长后的值为+两次增长后的值为〃（l+x）2；（2）假设基数为a,降低率工为，则一

次降低后的值为〃（1-x）,两次降低后的值为a（\-x）2o

例某农场粮食产量在两年内由3000吨增加到3630吨，设这两年的年平均增长率为工，列出

关于x的方程为_____________________________________

知识点三用一元二次方程解与市场经济有关的问题

与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关

系式有：（I）每件利润=销售价-本钱价；（2）利润率=（销售价一进货价）+进货价X100%；

（3）销售额=售价X销售量

例某商店如果将进货价为8元的商品每件10元售出，每天可售200件，现在采取提高

售价，减少进货价的方法增加利润，这种商品每涨价元，其销量减少10件。

(1)要使每天获得7()()元，请你帮助确定售价。

(2)当售价定为多少时，能使每天获得的利润最多？并求出最大利润。

易错知识辨析：

(1)判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进展整理，化成一般形式后再进展判断,

注意一元二次方程一般形式中。。0.

(2)用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.

(3)用配方法时二次项系数要化1.

(4)用直接开平方的方法时要记得取正、负.

一元二次方程测试题

一、选择题

1、假设关于x的一元二次方程(m-l)x2+5x+m2-3m+2=0有一个根为0,则m的值等于()

A>1B、2C、1或2D、0

2、巴中R报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨,

设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为X，则可列方程为()

A.45+23=50B.45(1+x)2=50C.50(1-x)2=45D.45(14-2x)=50

3、a,h是关于x的一元二次方程/+以一1=0的两实数根，则式子2+3的值是()

ab

A.+2B.—n~+2C.2D.~n~—2

4、a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a+b)x?+2cx+(a+b)=0的根的情况是()

A.没有实数根B.可能有且只有一个实数根

C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

5、八一是方程炉一2%-1=0的两根,且（7加2-]4zn+a）（3〃2-6〃-7）=8,则♦的值等于

（）

6、方程笈+。=0有一个根是-〃（〃工0）,则以下代数式的值恒为常数的是（）

A.abB.—C.a+hD.a-b

b

7、一一2X一2二0的一较小根为阳，下面对王的估计正确的选项是（）

A.-2<xt<-1B.-1<^1<0C.0<xt<1D.1<x,<2

8、关于x的一元二次方程f一九丫+2〃—1=（）的两个实数根分别是X、当，且片十君=7,则

（外—电）2的值是（）

A.1B.12C.13D.25

9、某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全

班共送了245（）张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（）

A、x（x-1）=2450B、+1）=2450C、2x（x+1）=2450D、”=2450

10、假设关于工的一元二次方程任一1卜2+“一公=°的一个根为1,则2的值为