高考数学寒假自学诊断卷5 解析几何（含解析）

诊断卷5解析几何

（考试时间：120分钟满分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求.

1.（2025•河西区模拟）设全集。={-2,-1,0,1,2,3},集合/={-1,2},8={1,3},则

=（）

A.{1,3}R.{0,3}

C.{-2,1}D.{-2,0}

2.复数z=兴的共配复数2在复平面内对应的点位于（）

1—1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.（2025•江苏南京模拟）直线—1=0与直线（。一,卜+歹+1=0垂直，则。的值是（）

A.-1或9B.1或g

C.一?或一1D.一^或1

4.（2025•江苏常州模拟）在△48C中，“4三”是飞出力手”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（2025•赣州模拟）已知等差数列{处}的前〃项和为£,若出+m4=36,则加=（）

A.102B.204

C.306D.408

6.（2025•河南模拟）已知抛物线C：产=4工的焦点为立若C的准线被以产为圆心的圆截得的弦长

为2,则该圆的方程为（）

A.（x+l）2+/=8B.（L1/+V=8

C.（X+1）2+/=5D.（X-1）2+/=5

7.（2025•郑州模拟）某人每天从六种美食中选择1到3种进行品尝（每天必须选择且不能重复选择已

品尝过的美食），若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为（）

A.450B.360

C.180D.90

8.（2025•合肥模拟）双曲线C：^-^=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为Q,过点用且斜

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率为一2企的直线在第一象限交。于点P,若|PFi|=|FiF2l，则。的离心率为（）

A.2B,2\[2

C.3D.3V2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选而得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.（2025•重庆模拟）下列说法正确的是（）

A.数据1,2,2,5,5,5,7,9,11的众数和第60百分位数都为5

B.样本相关系数厂越大，成对样本数据的线性相关程度越强

C.若随机变量4〜N6,则0（20=3

D.若随机变量X服从正态分布M0，1），则尸（|X|vJ=2P（X：＞m

10.（2025•大湾区一模）已知直线/：去一＞+2〃=0和圆。：/+产=9,则（）

A.直线/恒过定点（2,0）

B.存在《使得直线/与直线/o：x—2y+2=0垂直

C,直线/与圆。相交

D.若k=-l,则直线/被圆。截得的弦长为2夕

11.已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线。经过（3,-y）,（-4,⑹两点，则（）

A.双曲线。的离心率为当

B.双曲线。的渐近线方程为歹=gx

C.直线y=x—3与双曲线C的左支和右支各有一个交点

D.过点（1,1）可以作4条直线与双曲线。只有一个公共点

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（2025•海淀区二模）抛物线9=一心的焦点坐标为.

13.（2025•天津卷）小桐操场跑匿，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5,

若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4,跑6圈的概率为0.6.若第一次跑6圈，则第二次跑

5圈的概率为0.6,跑6圈的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为；若一周至少跑11圈为

运动量达标，则连续跑4周，记达标周数为X,则期望E（㈤=.

14.（2025•上饶二模）如图，球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的

直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，球缺的体积­=5人62（3/?一4）.已知正方体

ABCD-AiBCDi的棱长为1,则该正方体与以4为球心，或为半径的球的公共部分的体积为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）（2025•南阳模拟）某科技公司2025年计划推出量子加密通信设备，该设备可实时保护数据

传输，目标用户为学校、企业和自由开发者.该公司调查了不同用户对该设备的需求情况，得到数据

如下（单位;个）:

学校企业自由开发者

有需求3m1702/7

无需求tn120n

已知调查了400个学校和150个自由开发者.

（1）求阳和n的值；

（2）估计目标用户对该设备有需求的概率；

⑶依据小概率值a=0.01的独立性检验，能否认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差

异？

附.____八叱儿产____

1J，z(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.010.001

Xa2.7066.63510.828

16.（15分）（2025•松原模拟）已知Q,b,c是互不相等的正实数.

（1）若〃，b,。成等差数列，求证：。+1,6+1,。+1不可能是等比数列；

（2）设ZU3C的内角4B,C所对的边分别为〃，b,c,若5g成等差数列，求证：B*.

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17.（15分）（2025-南宁模拟）已知抛物线M：N=4y的焦点尸为椭圆N：3+《=l5泌X））的一个焦点,

且N的短轴长为4.

（1）求N的方程；

（2）过点E且倾斜角为45。的直线，与N交于4B两点,线段48的中垂线与x轴交于点E,求“BE

的面积.

18.（17分）（2025•永州二模）在△45C中，角4,B,C所对的边分别为。，b,c,c=l,二

Q-b

=sin（/4+Q,aWb.

⑴求△MC的外接圆半径；

（2）若△48C为锐角三角形，求ZV18C周长的取值范围.

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19.（17分）（2025•内蒙古二模）已知抛物线C：产=2*仍>0）过点/（〃?，V3）,其焦点为R若

=2且m>p.

（1）求m的值以及抛物线C的方程；

（2）过点厂的两条互相垂直的直线分别交抛物线于4。与以。四点，求四边形48CQ面积的最小值.

诊断卷5

1.D［全集。={-2,-1,0,1,2,3},

由/={一1,2},^={1,3},可得/U8={一1,1,2,3},

故［//口后={-2,0}.

故选D.］

cci2+i(2+i)(l+i)1,3.

2.DL1由z-——1-i=-——9——+i)9=-2+-2I

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所以2二1-1i,

则2在复平面内对应的点为G，-|),位于第四象限，

故选D.]

3.D「.,直线3ax-y-1=0与直线(Q-|)x+y+1=0垂克，

3ax(Q-1)x]=0,

「•3=1或3=一/.

故选D.]

4.B[,/2为△/女7的内角，

・・・/0：0,TI).

又sin4>f,则而当为二号时，sin^=|<v，

L55oZZ

・••/>弓是sin的必要不充分条件.]

ucrc_&+Q17)X17_Q+Q14)X17_36X17_

5•C[517-j-2-—2-—3°b・

故选C.]

6.D[尺1,0),抛物线。的准线方程为x=-1,尸到准线的距离为d=2,

所以圆的半径广二卜+12二遥，

所以该圆的方程为(X-1)2+/=5.

故选D.]

7.A[①按照1+2+3分配.

根据分步乘法计数原理，有最xCgx0xAg=6x10x1x6=360(种).

②按照2+2+2分配.

有色|迷xA：曳卢x6=90(#).

根据分类加法计数原理得总的选法种数为360+90=450(种).

故选A.]

8.C[设双曲线。的焦距为2c,则|P%|=|F/2l=2c,

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又|PF：|一|Pal=2a,

所以|P尸21=仍尸11-23=2。-23,

因为直线吒的斜率为-2&,所以tan乙PF?F\=2加二；：；：；：；，

解得cos/_PF?F\=',

在片中，由余弦定理的推论得cosgF】="1：；1；片：叫|2

_(21"+(202_(202_1

4c(2c-2a)—3，

整理得6-1尼-3)=0,解得户3或.1(舍去).

故选C.]

9.AC[对于A,5出现的次数最多，则数据的众数为5,

由于9x60%=5.4,所以第60百分位数为第6个数据5,A正确；

对于R,当/<0时，，越大，成对样本数据的线性相关程度越弱，B错误；

对于C,.06,*则々)=6乂卜：=，，以24)=22々)4C正确；

对于D,X〜MO,1),则｛1X1<3=P(-gvx<3=1-2P(%>3,D错误.

故选AC.]

10.BCD[直线/：kx-y+2k=D,即代x+2)-y=0,则直线/恒过定点(-2,0),故A错误；

当片二一2时，直线/：依一y+24=0与直线"x-2y+2=0垂直，故B正确；

,定点(一2,0)在圆。：/+/=9内部，

•••直线/与圆O相交，故C正确；

当左二一1时，直线/:-x-y-2=0,

即x+y+2=0,

圆心。到直线/的距离d=*=\Z则直线/被圆。截得的弦长为257至二2夕，故D正确.故选

BCD.]

11.ABD[设双曲线C的方程为m^-n^=l(mn>0),

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9m--n=1,血4

由题意得4解得

16m3n=1,n=1,

2

所以双曲线。的标准方Y程为.

在双曲线。中，3=2,b-1,c-A/5,则9=£=3，故A正确.

a2

双曲线。的渐近线方程为片土取，故B正确.

因为直线y=x-3与x轴的交点(3,0)在双曲线右顶点(2,0)的右侧，且其斜率为1大于渐近线的斜

吟

所以直线y=x-3与双曲线C的右支有两个交点，故C错误.

如图，过点7(1,1)可以作4条直线与双曲线C只有一个公共点,

其中两条与双曲线相切，另两条与渐近线平行，故D正确.

故选ABD.]

12.(0,-1)[抛物线的焦点在y轴上，且2q=4,

,•GP―T1

二.抛物线/=-4y的焦点坐标为(0,-1).]

13.0.63,2[由题意可知，小桐一周跑10圈或11图或12圈,

小桐一周跑10圈的概率为0.5x04=0.2,

小桐一周跑11圈的概率为0.5x0.6+05x0.6=0,6,

小桐一周跑12圈的概率为0.5x04=0.2,

一周至少跑11圈的概率为0.6+02=0.8,

则X〜员4,0.8),

所以5：A)=4x0,8=3.2.]

14.三警n[依题意，正方体与以力为球心，&为半径的球的公共部分是球体的

再去掉3个不含点力的正方体的面所在平面截球所得球缺的"

4

球的体积夜二学，

1ALmx()3

高为&-1的球缺体积1/“&二加a-1)2[3V2-(V2-l)]=^n(4V2-5),

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所以吁求公共部分的体积为1/=:（/*一3/球块二子一（或一971=早当1.]

O1O\•z

3m+?n=400,

15・解：（1）由题意可知,

2n+n=150,

?n=100,

解得

兀二50.

⑵由题可估计目标用户对该设备有需求的概率为P=：：：：；：；；：：嚏

⑶列出2x2列联表

单位：个

用户

需求情况合计

学校用户非学校用户

有需求300270570

无需求100170270

合计400440840

零假设为/%:学校用户与非学校用户对该设备的需求情况无差异,

840x(300x170-100x270)

则y«17,863>6,635,

400x440x570x270

根据小概,率值々=0.01的独立性检脸，推断不成立,

即认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异，此推断犯错误的概率不大于0.01.

16.证明：⑴假设3+1,b+1,成等比数列,

则(b+iy=(a+l)(c+1),①

又已知a,b,。成等差数列，二匕二个，②

由①②可得a=c,这与已知a,D,c是互不相等的正实数矛盾,

故假设不成立，即a+1,d+1,。+1不可能是等比数列.

⑵■.」，乙成等差数列，

'，abc

.2_1.1

一…+1

可得2ac=队a+c）,

ri1ca2+c2-h2r2ac-b2.贮=1一P=i_±,

则COS8=F^»H=1

2acb(a+c)a+c‘

,/a,b,。为△/女7的三边，；.a+c>b,

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可得1一」->0,即cos£>0,则庆/

Q+C2

17.解：（1）易知抛物线例的焦点尺0,1）,

若抛物线股的焦点尸为椭圆/V的一个焦点,

此时A/F-岳二1,

即3-6=1,

因为椭圆A/的短轴长为2b=4,

所以/?=2,

解得才=5,

则椭圆AZ的方程为3+：=1.

54

（2）直线/的方程为p=x+l,设/（为，/），咏缶力，

y=%+1,

联立x2消去y并整理得91+8x-16=0,

/>0,

由根与系数的关系得用+%=—xrx2~一半

2

所以M向=J1+/2・因一刈二&・J（X1+X2）-4X1X2=等,

设线段49的中点为久X。,%）,

此时为=七3=一/%=%+1*

则线段48的中垂线方程为y-.=—（％+3，

令y=0,解得x=2，即4/0），

所以点£到直线/的距离为=乎.

v29

则△/处的面积S=：x等x萼二驾.

29981

18.解：（1）因为。=1,竺邛胃^二sin（/+。，a#b,

—/^asin/l-csinC.

可何------——=sinB,

a-b

由正弦定理可得才一/二打3-/?)=3匕一/A

即4B-d=ab,

___„a2+b2-c2.1

可y得8szz一

2'

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而Ce（0,TT）,可得C=p

所以sin（7=y.

设△/&；的外接圆的半径为R,

由正弦定理可得，7=2凡解得A=W，

sinC3

所以△48C的外接圆的半径为g.

⑵由正弦定理可得就二荒二高二全二套

99

所以＜s=/in4匕二育in8,

所以△力8c的周长为a+b+c=^(sin力+sin6+1

=^2[sinA+sin(g-4)]+1

2sinA+sinQ+4)]+1

二套(sinA+sinjcosA+cos^sinA)十1

=^Qsin/l+*os")