2026年四川省泸州市高考数学质检试卷（附答案解析）

2026年四川省泸州市高考数学质检试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.（5分）已知集合4=*卜（x-3）<0},8={0,1,2,3},则（）

A.{0,1,2,3}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2}

2.（5分）已知z=告，则z的共规复数为（）

1—i1+i

A.1-zB.1+zC.---D.

22

3.（5分）已知数列仅〃}为等差数列，若244=43+5,48=11，则其公差为（）

A.-2B.-1C.1D.2

4.（5分）已知椭圆C：滔+y2=的离心率为则其长轴长为（）

A.V2B.2C.2V2D.4

5.（5分）已知函数/（x）是奇函数，当x>0时，/（x）="+r1,则/'Si/）的值是（）

A.-1-M2B.1-加2C.In2-1D.。?2+1

6.（5分）己知cos2a=[,则sin'a+cos4an（）

2457

A.-B.-C.-D.—

9999

7.（5分）某A/导航机器人团队，调研5组不同避障阈值x（单位：灵敏度）与路径规划耗时y（单位:

ms）得到的数据如下表：

避障阈值X99.51010.511

规划耗时y11n865

由表中数据可知，规划耗时y与避障阈值x之间存在较强的线性相关关系，其经验回归方程是y=

-3.2X+40,则规划耗时数据5,6,8,〃，11的第75百分位数为（）

A.8B.9C.10D.10.5

丫30y1xjYV1

8.(5分)已知函数/•(%)=—'-,若关于x的方程/(x)=〃S6R)恒有解，则。的取

—Inx+2,x>l

值范围为()

A.(-8,4)B.(-8,4]C.(-8,())D.(-8,0]

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.（6分）已知函数/'（%）=C0S（3X-等）（o）>0）的最小正周期为则（）

A.3=2

B./$）=f

C.f（x）的图象关于点（招，0）对称

D./（x）在［0,1上的最小值为一:

（多选）10.（6分）若。是正四棱台44comc的棱上的动点（包括端点），则（）

A.存在点P,使得人PJ■平面B8CC

B.直线AP与。。1异面

C.平面两。_1_平面3。。81

D.若〃8=〃从，则平面D46〃平面/%C

（多选）11.（6分）设抛物线G：y?=4%的焦点为F,点尸在Ci上，点。在圆Q：Q-3）2+y2=1上，

则（）

A.|PF1+|PC2|的最小值为4

B.对任意点Q,总存在两点P满足|PF|=|PQ|

C.若直线EQ与C2相切，则尸。被。所械得的弦长为8

D.NFPC2的最大值为5

4

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）若向量a,b满足|a|二|b|=|a-Z?|=1,则a,b的夹角为.

13.（5分）设S”为等比数列{“〃}的前〃项和，若S2+〃2=0,S4=5，则〃”的最小值为.

14.（5分）已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍，母线长为6,若一个球与该圆台的上下底面和侧

面均相切，则球与圆台的侧面切点所形成的曲线的长为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）在△ABC中，角4,B,C的对边分别为。，b,c,且2反osC=2a+c.

（1）求B；

（2）已知4=1,b=0求AC边上的高.

16.（15分）已知函数/（X）={cu?-x-\}eS其中q>0.

（1）当4=1时，求函数/（X）的极小值;

（2）当七>0时，/（A）2・£恒成立，求4的取值范围.

17.（15分）如图，在三棱柱ABF-DCE^V，侧面AOE/U侧面ABCD,侧面ABCD为矩形，ZFAD=\20°,

AQ=2AF=4,点M在棱/加上，且8。〃平面AME.

（I）求证：M8=MF；

2^3

（2）若三棱锥的体枳为三，点N为8c的中点，求平面MAE与平面M4E夹角的余弦值.

18.（17分）已知双曲线C；圣卡=l（a>0,8>0）经过点P（-2,易，F（2,0）为。的右焦点.

（1）求C•的标准方程;

（2）过点F的直线/与。的右支交于人，B两点,设点B关于x轴的对称点为

（/）已知S“Z）F=2,求/的方程；

（H）设△4DF的外接圆圆心为E,证明：直线的斜率与A。的斜率之积为定值.

19.（17分）在一个盒子中，装有5个大小相同的小球，小球上的编号依次为1,2,3,4,5,现从中有

放问地依次随机抽取小球若干次，每次仅抽取I个小球并记录小球上的编号.记M•为第i次抽取后出现

的编号种类数（例如，依次抽取3次，小球编号分别为3,3,1,于是X3=2）.

（1）求X2=2的概率；

（2）记M•为第，次抽取后出现的编号中的最小编号，M为第，•次抽取后出现的编号中的最大编号.

（/）若M24的概率不超过0』，求，的最小值；

（//•）设Mi,Xi,M的数学期望分别为石（M）,E（XME（N3探究是否存在正整数,・和正整数〃?,

使得石（Mi）,机七（M）,E（M）成等差数列.若存在，求出所有满足条件的机的值；若不存在，请说

明理由.

2026年四川省泸州市高考数学质检试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.（5分）已知集合A=*|x（x-3）<0},B=[0,1,2,3},则"4=()

A.{0,1,2,3}B.{0,\,21{1,2,3)D.{I,2}

【解答】W：VA={A-|0<X<3},I,2,3}，

・・.AnB={l,2}.

故选：D.

（分）已知则的共扼复数为

2.5z=£,z()

1-i1+i

A.1-zB.1+ZD.一

cV2

2(1T)_2-2i

【解答】解:Z=1-

-(14-0(1-0~2

则z的共枕复数为l+i.

故选：B.

3.（5分）已知数列S"）为等差数列,若244=43+5,48=11,则其公差为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【解答】解：令公差为d,2/=43+5,48=11,

则片。鼠=+2d+5,解得伊=-3

故选：D.

4.（5分）已知椭圆C：%+y2=i（a>i）的离心率为苧，则其长轴长为（）

A.V2B.2C.2V2D.4

【解答】解：已知椭圆C：1+yZ=i（Q>i）,

则tT=1,即8=1,

离心率e=^=J']=坐，

BP4（a2-1）=3/，

解得/=4,

因为。>1,

所以a=2,

故长轴长为2a=4.

故选：

5.（5分）已知函数/（x）是奇函数，当x>0时，/（x）=/+%・1,则/（碣）的值是（）

A.-1-M2B.1-ln2C.In2-1D.加2+1

【解答】解：根据题意，函数/Q）是奇函数，且当人>0时，/J）="5・1,

而伍之=一仇2,

则/（伍方=/（一仇2）=―/（"2）=-（eln2+ln2-1）=-1-ln2.

故选：A.

6.（5分）已知cos2a=：,则sin%+cos4a=（）

2457

A.-B.-C.-D.一

9999

【解答】解：由题意知cos2a=cos2a-sin2a=i,

•J

结合cos%+sin%=1,解得cos?。=可sin2a=

所以sin4a+cos4a=（1）2+（1）2=

故选：C.

7.（5分）某4/导航机器人团队，调研5组不同避障阈值x（单位：灵敏度）与路径规划耗时y（单位:

机s）得到的数据如下表：

避障阈值X99.51010.511

规划耗时y11n865

由表中数据可知，规划耗时y与避障阈值x之间存在较强的线性相关关系，其经验回归方程是y=

-3.2x4-40,则规划耗时数据5,6,8,“，11的第75百分位数为（）

A.8B.9C.10D.10.5

【解答】解：规划耗时y与避障阈值X之间存在较强的线性用关关系，

其经验回归方程是y=-3.2x+40,

_9+9.5+10+10.5+11s

大为％=----------------------=10,

代入回归方程得了一-3.2x+40--3.2x10+40-8,

1l+zi+8+6+5

所以y=解得77=10,

所以规划耗时数据升序排列为：5,6,8,10,II,

第75百分位数位置为：i=5X75%=3.75,

当i不是整数时，向上取整，为第4个数据，即为10.

故选：C.

—+3x+(i9xv1

■,若关于X的方程J'(x)=b(bER)恒有解，则。的取

{Tnr+2,x>l

值范围为()

A.(-8,4)B.(-8,4]C.(-8,o)D.(-8,0]

【解答]解：x>l时，/(x)=-/zu+2<2,即/(x)在(1,+8)上的值域为(・8,2).

当xWl时，f(x)=-;?+3x+a,求导得/(x)=-3(x-1)(x+1),

当-1时，f(x)<0；当-时，f(x)>0,

函数/(x)在(-8,-|)上单调递减，在(-1,1)上单调递增，

所以/(X)min—f(-1)=a-2»

所以函数/(X)在(-8,1]上的值域为-2,+8).

要使关于X的方程/(x)=bBWR)恒有解，则a・2W2,解得“W4,

所以a的取值范围是(-8,4].

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

(多选)9.(6分)已知函数/'(x)=cos(3%—刍(3>0)的最小正周期为口，贝IJ()

A.3=2

B.f哥)=坐

C./(x)的图象关于点(修，0)对称

D./(x)在[0,刍上的最小值为一3

【解答】解：由于/(%)最小正周期为7T=空，故3=2,故/'(%)=cos(2x—刍，故A正确；

cl/O

对于B,f(竽)=cos(2x岑一刍=cos(3兀一号)=-cosg=—^，故8错误；

对于C,，锚）=cos（2x瑞T）=cos%=0,故/（x）的图象关于点（招，0）对称，故C正确；

X,JJ'D,当无£[0/刍时，2%—G[―号，^~]>故cos（2x—§）€[—*，1]»

当“狮，/（x）取工€[0,刍上的最小值为一；，故。正确.

故选：ACD.

（多选）1（）.（6分）若。是正四核台44C。-A/ICIQI的棱上的动点（包括端点），则（）

A.存在点P,使得人PJ■平面B8CC

B.直线AP与。。1异面

C.平面B4CL平面BDD1B1

D.若PB=PBi,则平面D4ICI〃平面网C

【解答】解：对于选项A,若存在点P,使得AP_L平面88cle

：8Cu平面8B6C,

又丁四边形ABC。为正方形，・・・BC1A8,

*：APDAB=A,AP.ABu平面

，BC_L平面44用A,BBiu平面A41B1B,

事实上，四边形88cle为等腰梯形，即BC与8与不垂直，故选项A不正确；

对于选项8,将正四棱台ABCD-AIBI。。1补成正四棱锥E-A8CQ,如下图所示：

则OZ）m平面A41iS=&若直线AP与共面，则点F与点K重合时，直线AF与DDi共面,

但P为线段8B]上的点，即点P不可能与点E重合，故AP与。。异面，故选项B正确；

对于选项C,设4。08。=0,则。为正方形A8CO的中心，

，EO_L平面A8CD,

VACu平面A8CO,/.AC1EO,

丁四边形ABCD为正方形，：.ACA.BD,

VBDr]EO=O,BD、EOu平面681O1O,

・・・4CJL平面BAiDD,

TACu平面PAC,

故平面%CJ_平面8B1D1。，故选项C正确;

对于选项D,设4。081。1=凡则尸为BIOI的中点，

若平面04。〃平面见C,且平面BBiOiOn平面D4Ci=Z）P,平面BBiOiQA平面出C=OP,

可得OP//DF,

，：PB=PB\,则〃为881的中点，。为8。的中点，

二.OP//B\D,

在平面3加9。内，过点。且平行于0P的直线有且只有一•条，矛盾，故假设不成立，故选项。不正

确.

故选：BC.

（多选）11.（6分）设抛物线G：y2=我的焦点为F,点。在Q上，点。在圆G：0-3）2+、2=1上，

则（）

A.|"1十|PC2|的最小值为4

B.对任意点Q,总存在两点P满足|PF|=|PQ|

C.若直线/，'Q与C2相切，则尸Q被。所截得的弦长为8

71

D./尸PC2的最大值为二

4

【解答】解：根据抛物线的定义，IPF1等于点尸到准线x=7的距离d,

所以|PQ+|PC2|=4+|PC2|,最小值为圆心C2到准线尸-1的距离|3-（-I）|=4,故4正确；

若|PQ=|PQI，等价于P在只2的垂直平分线上，如下图所示,

FQ的垂直平分线与抛物线总有两个交点，故8正确；

圆心C2到直线距离为=1,解得k=±§,

vk2+l§

联立y2=4x,得，・14x+1=0,

由抛物线焦点弦长公式，弦长为巾+42+2=14+2=16W8,故C错误;

22

设点P(x,y),则仍Q=x+1,|FC2|=|3-l|=2,|PC2|=V(x-3)+y,

设一FPC2,则cos。="四箫『户「=…、『9)-4=—袈_,

111212-(X+1)JX2-2X+9(X+1)JX2-2X+9

因为%(0,n),cosO在该区间内单调递减，

所以e最大时，cose最小，令/（无）=——”了,问题转化为求/（外最小值,

（X+1）JX2-2X+9

因为/(x)=----『>0,等价于求/'2。)=——手」/-----的最小值,

(X+1)-JX2-2X+9(久+1)2G2-2%+9)

____(7+3)_____]_______16x_____,

f2(x}==

(X+1)2-(X2-2X+9)X4+6X2+16X+9，

即求=――^~^的最大值，

423

X+6X+16X+9X+6X+16+-X

Q

令h(x)=%3+6x+16+-,求导得九'(不)=3x2+6-

令h'(x)=0,解得x=±l,

由抛物线方程可知x20,

当.隹(0,1)时，h’(x)<0,h(x)单调递减；

当尤(1,+8)时，h'J)>o,h(x)单调递增：

9

-=32

所以x=l是函数〃(x)的极小值点，此时九⑴=13+6x1+16+1

即力(x)的最小值为32,

所以f(%)总==/Wmin=冬

当/(%)=芋时，cos8=号,对应8=左，故。正确♦

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

T—T—tT—T71

12.(5分)若向量a,b满足|a|=闻=|a-b|=1,则a,b的夹角为_可_.

【解答】解：由向一力1=1,得G—b)2=Q2-2Q,/)+匕2=1,

T—TTTT1

结合|Q|=|力|=1,可得2—2"8=1,解得Q•力二亍

TTT

所以左3的夹角。满足cos。=1结合0W0W1T,可得0=:

同网

故答案为：

13.(5分)设S”为等比数列｛〃“｝的前〃项和，若S2+42=0,54=5,则的最小值为-4

【解答】解：根据题意,等比数列｛的｝,设其公比为q,

若S2+a2=a।+2a2=0»则q=*=-*，

而又=驾萨=

易得,当〃为奇数时，a〃>0,当〃为偶数时,勿<0,

2-1

易得当n=2时，an最小，即“〃的最小值为&=8x(-1)=-4.

故答案为：-4.

14.(5分)已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍，母线长为6,若一个球与该圆台的上下底面和侧

面均相切，则球与圆台的侧面切点所形成的曲线的长为.

【解答】解：根据题意，如图，作圆台的轴截面:

由于圆台的下底面半径是上底面半径的2倍，不妨设上底面半径为r,

即HD=DE=r,则FA=AE=2r,且CD=2HD,AB=2FA,

由AO=AE+OE=AaO”=6,即3r=6,则有r=2,则AB=4r=8,

由胃=CD1PDPD1

即-------=一=P。=6,

PAAB-2PD+ADPD+62

,EGPEPD+DE*可得放邛

所以—=—=-------

ABPAPD+AD

1Q

球与圆台的侧面切点所形成的曲线是以EG为直径的圆，其半径为wEG=

故要求曲线的长度/=2TTX|=竽TT.

故答案为：—TT.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2反osC=2a+c.

(1)求&

(2)已知a=l,b=6求AC边上的高.

【解答】解:(1)因为2Aosc=2〃+c,

由正弦定理得2sin8cosc=2sinA+sinC,

在△ABC中，sin4=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

整理可得(2cosB+l)sinC=0.△ABC中sinOO,

所以cosB=-1,

且OVBVTT,所以8=冬；

(2)a=1,b=V7，

由余弦定理可得：b2=a2+c2-2a(xosB,则7=l+J+c,

所以c=2(负值舍)，设AC边上的高为人

则S-BC=7acsinB=ghb=1/z-y/7，

乙乙乙

即lX2X^y=V7/Z,

/yr

解得/=苧.

16,(15分)已知函数f(x)=Car2-x-1)ex,其中a>0.

(1)当a=1时，求函数/(x)的极小值：

(2)当x>0时，/(x)2■《恒成立，求。的取值范围.

【解答】解：(1)已知函数/(x)=(a?-x-1)ev,

当a=l时，函数/(x)=(?-x-1)k，求导得：

f(x)=(2v-1)/+(x2-x-1)ex=(x+2)(x-1)ex,

令f(x)=0,解得x=-2或x=l,

当xV-2时，/(x)>0,/(x)单调递增；

当・2<x<l时，/(x)<0,f(x)单调递减；

当x>l时，/(x)>0,/(X)单调递增：

因此x=l是极小值点，代入函数得/(I)=(I2-1-1)ex=-e\

(2)由题/(x)2-e,x>()恒成立，

因为">(),不等式化为aFr-]2-

整理得-J",因为x>0.问题转化为a之”+1才〜-(丫>0)，

令八(X)=，+——，则42万(X)max,

=(1+匕)/一(+i七二)”令分子为°,

化简整理得(x+2)=x+2,

因为x>0,1+2并0,故/工=1,解得x=l,

当0JVI时，h'(x)>0,h(x)单调递增;

当X>1时，hf(x)<0,h(x)单调递减;

因此h(x)在x=1处取得最大值：/i(l)=1+；丁)=1,

22l

当a=1时，f(x)=(x-x-I)x=|时/(1)—(I-1-I)e=-e

且对所有^>0,f(x)2-e成立;

当々VI时，x=l处f(1)=(a-2)e<-e,不满足条件,

因此aW[l,十8).

17.(15分)如图，在三棱柱48厂-QCE中，侧面AOEFJL侧面ABCD,侧面ABCD为矩形，ZFAD=120°,

AD=24/=4,点M在棱尸B上，且BD〃平面4ME.

(1)求证：MB=MF；

2y/3

(2)若三楂锥M-AEr的体积为大一,点N为8C的中点，求平面MAE与平面NAE夹角的余弦值.

【解答】解：(1)证明：设。尸HAE=。，连接MO,

由80〃平面AME,平面BDFQ平面AME=MO,BOu平面BDF,

所以MO〃3D,又O是线段DF中点，所以M是线段BF的中点,

(2)由侧面A8CO为矩形，得AB_LA。，而平面AOEF_L平面A8CQ,平面平面A8CQ=A。,

ABu平面A8C。，则A8_L平面AQEF过点M作WP〃A8交A/于P,

于是MP_L平面AQER在。中，ZMD=120°,AD=2AF=4t

则=ShDAF=^AD-AFsinl200=2百，

=X

由VM-AEF3S&AEF义MP=

解得M尸=1,由(1)得4B=2MP=2,令必。所边即上的高为近

由5M口=鼻尸•八，得九=75，在平面A。所内过A作Azl4。，由(1)得Az_L平面ABCD,

则直线A&AD,Az两两垂直，以A为原点，直线A&AD,Az分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

又点N为BC的中点，则4(0,0,0),N(2,2,0),F(0,-1,又),E(0,3,V3),M(l,一；，亭),

AN=(2,2,0),AE=(0,3,回AM=(1,易，

设平面NAE与平面MAE的法向量分别为m=(a,b,c),n=(x,y,z),

Ulil伍AE=3b+y[3c=0(n-AE=3y+=0

则TTTi73，

m•AN=2a4-2b=0(〃•AM=%—々y+-yz=0

取/n=(L—1,V3),九=(2,1,—V3),

所以平面MAE与平面MAE夹角的余弦值为：

,尸A\mn\2v"10

如⑺,孙=丽=初二河.

18.（17分）已知双曲线C：l（a>0,匕>0）经过点P（-2,孚），F（2,0）为。的右焦点.

（1）求C的标准方程；

（2）过点”的直线/与。的右支交于4,B两点,设点8关于x轴的对称点为D.

（/）已知S“DP=2,求/的方程；

（/7）设AA。尸的外接圆圆心为E,证明：直线E尸的斜率与A。的斜率之积为定值.

【解答】解：⑴由双曲线C：器一方=1经过点P（-2,唾），得—一£^=1'

由尸（2,0）为C的右焦点，得J+房=心联立解得J=3,庐=],

2

所以双曲线C的标准方程为x可-丫2=1.

（2）（/）显然直线A。不垂直于坐标轴，设其方程为x=「+，〃，，W0,〃?W2,

点A（xi,y\）,D（X2>yi）t由｛；2：3消去工得（八3）y^+ltmy+rrr-3=0,

r-3WO,A=4rin2-4（z2-3）（nr-3）—12（?+m2-3）>0,%+乃=-，y02=.一?>0,

t—3t—3

由点4关于x轴的对称点为D,得直线FD,FA的斜率之和为0,即+及=0,

Xi-2X2-2

则户(ty2+m-2)+j2Uy\+m-2)=0,整理得2ryi*+(m-2)(户+”)=0,

因此2t,聿~~1+（771—2）（—当"；）=0,而，/0,解得m

即直线4。过定点G（a，0）,力+力=一理三，%丫2=_4（a_3）〉0

11_________________17+-7^—=2,

则SAADF=2|G产11为一yzl=+%)2-4yly2=4

(t2-3)2t2-3

整理得64（尸-3）2-2尸一%而尸<3,解得G=瑞，此时），i-*=±8,丫1+乃=竽，

直线AB的斜率％=笨§=志修=±I

Q

所以直线A8的方程为％=±分+2,即2x±3>--4=0.

（«）证明：线段反的垂直平分线方程为y-冬=一若（―空），

即、=一若％+2月一立，同理线段DF的垂直平分线方程为y=-^x+2y2-土，

设点ECw,yo）,而六一差'则%=为+%+播=-石'

（然一若）&=2%-2%一击+金’即一隙答殉二2（%->2）+塞'即"。=/'

因此直线EF的斜率心尸=亲=7与1=3而直线A。的斜率心。=彳，则依从防=1，

所以直线石/与直线A。的斜率之积是定值1.

19.（17分）在一个盒子中，装有5个大小相同的小球，小球上的编号依次为I,2,3,4,5,现从中有

放回地依次随机抽取小球若干次，每次仅抽取1个小球并记录小球上的编号.记M•为第/•次抽取后出现

的编号种类数（例如，依次抽取3次，小球编号分别为3,3,1,于是X3=2）.

（1）求X2=2的概率；

（2）记Mi为第7•次抽取后出现的编号中的最小编号，M为第i次抽取后出现的编号中的最大编号.

（/）若M/24的概率不超过0.1,求i的最小值；

（/7）设Mi，Xi,M的数学期望分别为E（Mi）,E（Xi）,E（M）,探究是否存在正整数，•和正整数机,

使得E（Mi）,加£（Xi）,E（M）成等差数列.若存在，求出所有满足条件的机的值；若不存在，请说

明理由.

【解答】解：(1)由题意知，从5个不同的小球中有放回的抽取2次，基本事件总数为5X5=25,

事件"X2=2”表示抽取后出现的编号种类数为2,即两次抽取小球的编号不同，

所以第一次抽取有5种可能，第二次抽取有4种可能，

故满足条件的事件数为