2026华东师大版九年级数学上册全册教案

华东师大版九年级数学上册

数

学

谀

计

2026秋

第20章二次根式

20.1认识二次根式

【教学目标】

1.能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；(难点)

2.能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的

取值范围.(重点)

【教学过程】

一、情境导入

问题1：你能用带有根号的式子填空吗？

(1)面积为3的正方形的边长为,面积为S的正方形的边长为.

(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130nl2,则它的宽为_______m.

(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与落下的高度h(单位：in)满

足关系h=5t2,如果用含有h的式子表示t,则t=______.

yi分别表示什么意义？它们有什么共同特征?

问题2：上面得到的式子小，水,眄

二、合作探究

探究点一：二次根式的定义

@1下列各式中,哪些是二次根式，哪些不是二次根式?

(1)VH；(2)VZZ5：⑶、(-7)2；

(4)^/13；(6)^/3—x(x^3)；

(7)yj—x(x20)；(8)yj(a—1)2；(9)x2—5；

(10)y)(a—b)2(ab20).

解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2,二是看被开方数是不是非

负数.

解：因为W，q(—7)2,忘,yj3—x(xW3)(a—1)2,<(a—b)2(ab20)

中的根指数都是2,且被开方数为非负数，所以都是二次根式.微的根指数不是2,二，

(x20),干豆巷的被开方数小于0,所以不是二次根式.

方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根

号“1”；(2)被开方数是非负数.

探究点二：二次根式有意义的条件

【类型一】根据二次根式有意义求字母的取值范围

例a求使下列式子有意义的x的取值范围.

⑴般;⑵暮⑶呼

2

解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0,列不等

式（组）求解.

解：（）由题意得解得当时,1

14—3x>0,XV*有意义;

,一3x

3—x20,解得xW3且x¥2.当x<3且x#2时，写有意义:

（2）由题意得

x—2#0,

（3）由题意得x+印5，20,解得xE5且x^O,当心―5且xN。时，■x+有6意义.

方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：

（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数

都必须是非负数；（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外,

还必须保证分母不为零.

【类型二】利用二次根式的非负性求解

@3(1)己知a、b满足｛2a+8+|b—镉|=0,解关于x的方程(a+2)x+b2=a—1；

（2）已知x、y都是实数，且y=，E+产彳+4,求yx的平方根.

解析：（1）根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；（2）根据二次根式的非负性即

可求得x的值，进而求得y的值，进而可求出yx的平方杈.

3+8=0,a=—4,

解：（1）根据题意得「解得r-则(a+2)x+b2=a—1,即一2x4-3=-5,解

[b-^/3=0,

得x=4；

（x-320,.—

（2）根据题意得《解得x=3.则y=4,故yx=43=64,±17可=±8,・*yx的平方根

.3—x^O,

为±8.

方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0,这几个非负数都为0.

探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题

硒1先观察下列等式，再回答下列问题.

,111

1+——-----=1一•

11+12'

+,1---1--=1一1•

22+16,

+1-1------1----1--1-

33+112,

（1）请你根据上面三个等式提供的信息，写出1+万+应的结果;

（2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用

含n的式子表示的等式（n为正整数）.

解析：（1）从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1,第二个加数是个分数，设分

3

母为n,第三个分数的分母就是n+1,结果是一个带分数，整数部分是1,分数部分的分子也是1,

分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)我的规律写出表示这个规律的式子.

解：(1),\/1+42+52=1+4-4+1=120:

=(n

(2)-^1+—+(n+1)2=1+--^7T(n+l)为正整数)-

方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找

出题目隐含条件并用关系式表示出来.

【板书设计】

1.二次根式的定义

一般地，我们把形如/(a20)的式子叫做二次根式.

2.二次根式有意义的条件

被开方数(式)为非负数；也有意义

【教学后记】

20.2二次根式的乘除

1.二次根式的乘法

【教学目标】

1.掌握二次根式乘法法则；(重点)

2.会进行二次根式的乘法运算.(重点、难点)

【教学过程】

一、情境导入

小颖家有一块长方形菜地，长店01，宽第01，那么这个长方形菜地的面积是多少？

二、合作探究

探究点：二次根式的乘法

【类型一】二次根式的乘法法则成立的条件

的O式子。x+1・[2—x=d(x+1)—(2—X)成立的条件是()

A.xW2B.x>-l

C.一1WxW2D.—l<x<2

4

x+120,

解析：根据题意得乙、八解得

.2—xR,

—1WXW2.故选C.

方法总结：运用二次根式的乘法法则：♦•的=(a20,b20),必须注意被开方数均是

非负数这一条件.

【类型二】二次根式的乘法运算

的❷计算：

(1)小⑵yixM

(3)6^27x(-373);

(4)1V18^b-

解析：有理式的乘法运算律及乘法公式对二次根式同样适用，计算时注意最后结果要化为最

简形式.

解：⑴小义小=小短=4；

(3)6^27X(一3血=一网27乂3=—18弧=-18X9=762；

啊.

方法总结：在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时，必须化成假分数，如果被开方数

有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘.

【板书设计】

【教学后记】

5

2.积的算术平方根

【教学目标】

1.掌握积的算术平方根的性质；（重点）

2.会用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简.（难点）

【教学过程】

一、情境导入

计算：

（l）/x推与44X25；

⑵®X也与yj16X9.

思考：

对于也义第与｛沟呢？

从计算的结果我们发现镜方这是什么道理呢？

二、合作探究

探究点一：积的算术平方杈的性质

@1

⑴y/(一36)X16义(-9)；

(2)1362+482；

(3)[x3+6x2y+9xy2.

解析：主要运用公式加=^・,620,b20）和\£=a（a»O）对二次根式进行化简.

解：(1)y/~(~36)X16X(_97=$6X16X9=[62X42X32=板X4Xa=

6X4X3=72；

(2)，362+482=d(12X3)2+(12X4)2=[122X(32+42)=V^X相=12X5=

60；

（3）（x3+6x2y+9xy2=4（x+3y）2=yj（x+3y）2$=|x+3y|真

方法总结：利用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简.

探究点二：二次根式乘法的综合应用

圆2.小明的爸爸做了一个长为［588兀cm,宽为逆48冗cm的矩形木相框,还想做一个与它面积

相等的圆形木相框，请你帮他计算一下这个圆的半径（结果保留根号）.

解析：根据矩形的面积公式、圆的面积公式，构造等式进行计算.

解：设圆的半径为rem.因为矩形木相框的面积为#588n义448、=168〉（cm2）,所以nr2

=168n,r=2，^cm（r=­2、42舍去）.

答:这个圆的半径是2迎cm.

方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想.

6

【板书设计】

1.二次根式的乘法法则：

•^/b=-\/ab(a^O,b20)

2.积的算术平方根：

・怖(a20,b20)

【教学后记】

3.二次根式的除法

【教学目标】

1.掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算；(重点)

2.能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算.(难点)

【教学过程】

一、情境导入

计算下列各题，观察有什么规律？

J36局木1~9

诉—“赤—y正

二、合作探究

探究点一：二次根式的除法

【类型一】二次根式的除法运算

的n计算：

⑶修⑷后15迎

解析：本题主要运用二次杈式的除法法则来进行计算，若被开方数是分数，则被开方数相除

时，可先用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行计算，再进行约分.

解m：⑴ZXA/师OT767/机OT76=r-3c；

7

46a2b/6a2br—

⑶57而

i

3,

方法总结：利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个

数的倒数”进行约分化简.

【类型二】二次根式的乘除混合运算

例a计算：

(2)a2••

解析：先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算.

解：⑴原式=9X；x|x。/45x|x《=18福；

⑵/仆原式二八心，皿丁/八.八b丁a而=a亍2b6厂

方法总结：二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意

运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数.

探究点二：商的算术平方杈的性质

【类型一】利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围

胸❸若,则a的取值范围是()

A.a<2B.aW2

C.0WaV2D.a^O

a20,

解析：根据题意得c八解得0WaV2.故选C.

2—a>0,

方法总结：运用商的算术平方根的性质:(a>0,b20),必须注意被开方数是非负

数且分母不等于零这一条件.

【类型二】利用商的算术平方根的性质化简二次根式

硒！化简：

,、I3c3,

b>0,c>0).

解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方杈.

8

方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含

分母，从而化为最简二次根式.

探究点三：最简二次根式

到5在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由.

(1)^45;⑵yjl；(3)田；(4)VO75；(5)^11.

解析：根据满足最简二次杈式的两个条件判断即可.

解：(1)诲=3乖，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式;

被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式;

(3)薄，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次

根式;

被升方数含有小数，因此不是最简二次根式;

(5)\/1=雄=半，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式.

方法总结：解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：

(1)被开方数不含分母；

(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

探究点四：二次根式除法的综合运用

m座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其周期计算公式为T=2n/,其

中T表示周期(单位：秒)，1表示摆长(单位：米)，g=9.8米/秒2,假若一台座钟摆长为0.5米,

它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声

(兀^3.14)?

解析：由给出的公式代入数据计算即可.要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到

次数.

解：・・・T=2"'/野乂.42,第=7^产42(次)，，在1分钟内，该座钟大约发出了42次滴

答声.

口方法总结：解决本题的关铤是正确运用公式.用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注

意代入数据的单位是否统一.

【板书设计】

1.二次根式的除法运算

2.商的算术平方根

3.最简二次根式

9

被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

【教学后记】

20.3二次根式的加减

【教学目标】

L会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算；（重点）

2.熟练进行二次根式的加减运算，并运用其解决问题.（难点）

3.正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简.（难点）

【教学过程】

一、情境导入

小明家的客厅是长7.5m,宽5m的长方形，他要在客厅中截出两个面积分别为8m2和18nl2的

正方形铺不同颜色的地砖，问能否截出？

二、合作探究

探究点一：同类二次根式

的O已知最简二次根式而五与a+跖』能够合并同类项，求a+b的值.

解析：利用最简二次根式的概念求出a,b的值，再代入a+b求解即可.

解：•.•最简二次根式#2a+b与'+如a—4能够合并同类项,.*.a+b=2,2a+b=3a—4,解

得a=3,b=—1,，a+b=3+（―1）=2.

方法总结：根据同类二次根式的概念求待定字母的值时，应该根据同类二次根式的概念建立

方程或方程组求解.

探究点二：二次根式的运算

【类型一】二次根式的加减运算

(5)2+|2fl.

计算:旧4

解析：二次根式的加减运算应先化简，再合并同类二次根式.

解：原式=2/一坐_2+2_#=（2_；_1^/5=^^.

方法总结：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二

次根式进行合并，合并时系数相加减，根式不变.

【类型二】二次根式的四则运算

砸1计算：

10

(3)地—(4+2)+木.

解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然

后进行加法运算.

一,/、一、1国—1—512yl2广

解：⑴原式=2X9xy『石乂5=5乂9**=也；

(2)原式=(6镉一乎+4m)+24+5=莘*5+[=中+!=5；

(3)原式=镜—(4+2)./=:一号2=位_1一平.

方法总结：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘

除运算，然后合并同类二次根式.

【类型三】二次根式的化简求值

硒1先化简，再求值：..(a—，“；”)2),其中a=2+，5,b=2—镉.

解析：先将原式化为最简形式，再将a与b的值代入计算即可求出.

(a+b)(a—b).a2—2ab+b2(a+b)(a—b)a_____a+b业_

a*aa(a—b)2a—b*与d

2+m'b=2—4时’原式=崇心是

方法总结：化简求值时一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度太大,

缺少必要的步骤易造成错解.

【类型四】二次根式运算在实际生活中的应用

西母亲节快到了，为了表示对妈妈的感恩，小号同学特地做了两张大小不同的正方形的壁

画送给妈妈，其中一张面积为800cm2,另一张面积为450cm2,他想如果再用金色细彩带把壁画的

边镶上会更漂亮，他手上现有1.2m长的金色细彩带，请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？

如果不够，还需买多长的金色纽彩带(啦心1.414,结果保留整数)？

解析：先求出每张正方形壁画的边长，再根据正方形的周长公式求所需金色细彩带的长.

解：镶壁画所用的金色细彩带的长为：4乂(啊5+，^)=4义(20镜+15也)=140镜

^197.96(cm).因为1.2m=120cm<197.96cm,所以小号的金色细彩带不够用.197.96—120=

77.96^78(cm),即还需买78cm的金色细彩带.

方法总结：利用二次根式来解决生活中的问题，应认真分析题意，注意计算的正确性与结果

的要求.

【板书设计】

L同类二次根式

2.二次根式的加减

一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二

11

次根式进行合并.

3.二次根式的四则运算

先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的.

【教学后记】

第21章一元二次方程

21.1认识一元二次方程

【教学目标】

1.理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式.

2.会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题.

3.在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程

是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识.

【教学过程】

一、情境导入

参加一次集会，如果有x个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述

条件的方程，并判断方程是什么类型？

二、合作探究

探究点一：一元二次方程的概念

【类型一】一元二次方程的识别

的O下列选项中，是关于x的一元二次方程的是()

A.x2+；=lB.3x2—2xy—5y2=0

C.(x—1)(x—2)=3D.ax2+bx+c=0

解析：选项A中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次方程；选项B中的方程含有2

个未知数，所以它不是一元二次方程；当a=0时，选项D中的方程不含二次项，所以它不是一元

二次方程，排除A、B、D,故选C.

方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断.一元二次方程

的三个条件：一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.上述

三个条件必须同时满足，缺一不可.

【类型二】利用一元二次方程的概念确定字母系数

而关于x的方程(k+l)x|k—11+kx+l=O是一元二次方程，则k的值为.

|k—11=2,

解析:由题意得

k+iro,

12

k=3或k=-1,

**k^—1.

•*.k=3.

方法总结：由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2,构造方程，解出字母

取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值.

探究点二：一元二次方程的一般形式

砸1将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常

数项.

(1)3x2—2=5x；

(2)9x2=16：

(3)2x(3x+l)=17；

(4)(3x—5)(x+1)—7x—2.

解析：先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称.

解：(1)方程化为一般形式为3x2—5x—2=0,二次项系数是3,一次项系数是一5,常数项是

-2.

(2)方程化为一般形式为9x2—16=0,二次项系数是9,一次项系数是0,常数项是一16.

(3)方程化为一般形式为6x2+2x—17=0,二次项系数是6,一次项系数是2,常数项是一17.

(4)方程化为一般形式为3x2—9x-3=0,二次项系数是3,一次项系数是一9,常数项是一3.

方法总结：求一兀二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意

确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号.

探究点三：列一元二次方程

砸！在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6成.己知床单的长是

2m,宽是1.4m,求花边的宽度.请根据题意列出方程.

：.1：L4m

2m

解析：设花边的宽度为xm,则由图可知剩下部分的长为(2—2x)m,剩下部分的宽为(1.4-2x)m.

・・•剩下部分面积为L6m2,・••可列方程(2—2x)(1.4—2x)=L6.

方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当的设出未知数，泮确地找出己

知量和未知量之间的等量关系，正确的列出方程.

探究点四：一元二次方程的解

【类型一】判断一元二次方程的解

的@方程x2—2x=0的解为()

A.xl=l,x2=2B.xl=0,x2=1

C.xl=0,x2=2D.xl=1,x2=2

解析：把各选项中未知数的值分别代入方程的左右两边，只有选项C中的xl=0,x2=2都能

使方程x2-2x=0的左右两边相等，所以选C.

方法总结：判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解，可以把未知数的值代入方程左右

两边，能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解.

【类型二】利用一元二次方程的解的意义求字母或代数式的值

的❻己知1是关于x的一元二次方程(m-l)x2+x+l=0的一个根，则m的值是()

A.1B.-1

C.0I).无法确定

解析：根据方程的根的概念，直接代入方程，左右两边相等，但考虑到是一元二次方程，所

以二次项系数不能等于0.由此得，(m—1)+1+1=0,解得m=-1,此时m—1=—2W0,・・.ni=

13

-1.故选B.

方法总结；方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们

一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题.

［板书设计］

------------------J确定二次项、一次

一建一元一次方程模型人/t城系数和常数项,

I相关概念卜一元一次方程

I一•般形式卜—八y解的概念।

【教学后记】

21.2一元二次方程的解法

1.直接开平方法和因式分解法

第1课时直接开平方法

【教学目标】

1.学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.

2.运用开平方法解形如(x+m)2=n的方程.

3.体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣.

【教学过程】

一、情境导入

一个正方形花坛的面积为10,若设其边长为x,根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎

样的方法可以求出所列方程的解呢？

二、合作探究

探究点：直接开平方法

【类型一】用直接开平方法解一元二次方程

砸1运用开平方法解下列方程：

⑴4x2=9；

⑵(x+3)2—2=0.

解析：⑴先把方程化为x2=a(a20)的形式；(2)原方程可变形为(x+3)2=2,则x+3是2

的平方根，从而可以运用开平方法求解.

933

解：(1)由4x2=9,得x2=］,两边直接开平方，得*=±5，.••原方程的解是xl=5，x2=—

3

2,

14

移项，得(x+3)2=2.两边直接开平方，得*+3=±啦..•.*+3=*或x+3=一镜.，原方

程的解是xl=，^—3,x2=

—^2—3.

方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元

一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x2=a(a20)的方程，根

据平方根的定义，可解得xl=g,x2=—

【类型二】直接开平方法的应用

丽若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m-4,则皆

解析：Vax2=b,/.x=±，，方程的两个根互为相反数，・・・m+l+2m—4=0,解得m=

1,・,・一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是2与-2,・・・\e=2,/=4,故答案为4.

aa

【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用

襦1若一元二次方程(a+2)x2—ax+a2—4=0的一个根为0,贝ija=_______.

解析：:一元二次方程(a+2)x2—ax+a2—4=0的一个根为0,.•・a+2W0且a2—4=0,a

=2.故答案为2.

【类型四】直接开平方法的实际应用

硒1有一个边长为Hem的正方形和一个长为13cm,宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两

个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？

分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和矩形的面积之和，然后再用开平方计算.

解：设新正方形的边长为xcm,根据题意得x2=112+13X8,即x2=225,解得x=±15.因

为边长为正，所以x=-15不合题意，舍去，所以只取x=15.答：新正方形的边长应为15cm.

方法总结：在解决与平方根有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实际，

把平方根中不符合实际情况的负值舍去.

【板书设计】

【教学后记】

15

第2课时因式分解法

【教学目标】

1.认识用因式分解法解方程的依据.

2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.

【教学过程】

一、情境导入

我们知道ab=O,那么a=0或b=0,类似的解方程(x+1)(x—1)=0时，可转化为两"一元

一次方程x+1=0或X-1=0来解，你能求出(x+3)(x-5)=0的解吗？

二、合作探究

探究点一：用因式分解法解一元二次方程

【类型一】利用提公因式法分解因式解一元二次方程

砸I用因式分解法解下列方程：

(1)x2+5x=0；

(2)(x—5)(x—6)=x—5.

解析：变形后方程右边是零，左边是能分解的二次三项式，可用因式分解法.

解：(1)原方程转化为x(x+5)=0,・・.x=0或x+5=0,・•・原方程的解为xl=0,x2=—5；

(2)原方程转化为(x—5)(x—6)—(X—5)=0,，(x—5)[(x—6)—1]=0,A(x—5)(x—7)=0,

・・・x-5=0或x—7=0,・,•原方程的解为xl=5,x2=7.

【类型二】利用公式法分解因式解一元二次方程

m用因式分解法解下列方程：

(l)x2-6x=-9；

(2)4(x-3)2-25(x-2)2=0.

解:(1)原方程可变形为:x2—6x+9=0,则(x—3)2=0,；.x—3=0,因此原方程的解为：

xl=x2=3.

(2)[2(x—3)]2—[5(x—2)]2=0,[2(x—3)+5(x—2)][2(x—3)—5(x—2)]=0,(7x—16)(—

164

3x+4)=0,；・7x—16=0或-3x+4=0,，原方程的解为xl=亍，x2=-

IJ

方法总结：因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为0;②将方程的

左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程；④解这

两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

探究点二：用因式分解法解决问题

砸1若a、b、C为aABC的三边，且a,b,c满足a2—ac—ab+bc=0,试判断AABC的形状.

解析：先分解因式，确定a,b,c的关系，再判断三角形的形状.

解：Va2—ac—ab+bc=0,(a—b)(a—c)=0,.♦.a—b=0或a—c=0,.*.a=ca=b,

•••△ABC为等腰三角形.

【板书设计】

16

【教学后记】

2.配方法

【教学目标】

1.了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.

2.探索直接升平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题.

【教学过程】

一、情境导入

7」

李老师让学生解一元二次方程x2—6x—5=0,同学们都束手无策，学习委员蔡亮考虑了一下,

在方程两边同时加上14,再把方程左边用完全平方公式分解因式……，你能按照他的想法求出这

个方程的解吗？

二、合作探究

探究点：配方法

【类型一】配方

砸1用配方法解一元二次方程x2-4x=5时，此方程可变形为()

A.(x+2)2=l

B.(x-2)2=l

C.(x+2)2=9

D.(x-2)2=9

解析：由于方程左边关于x的代数式的二次项系数为1,故在方程两边都加上一次项系数一

半的平方，然后将方程左边写成完全平方式的形式，右边化简即可.因为x2—4x=5,所以x2—4x

+4=5+4,所以(x-2)2=9.故选D.

方法总结：用配方法将一元二次方程变形的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边，使方程

的左边只留下二次项和一次项；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一

半的平方.

【类型二】利用配方法解一元二次方程

硼3用配方法解方程：x2—4x+l=0.

解析：二次项系数是1时，只要先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数

一半的平方，把方程配成(x+ni)2=n(n20)的形式再用直接开平方法求解.

解：移项,得x2—4x=-1.配方，得x2—4x+(―2)2=—1+(―2)2.即(x—2)2=3.解这个

17

方程，得x—2=±#..,.xl=2+馅，x2=2—

方法总结：用配方法解一元二次方程，实质上就是对一元二次方程变形，转化成开平方所需

的形式.

【类型三】用配方解决求值问题

砸1已知：x2+4x+y2—6y+13=0,求「工二的值.

x乙Iy乙

解：原方程可化为(x+2)2+(y—3)2=0,工(x+2)2=0且(y—3)2=0,・工=-2且y=3,

-2-68

・,•原式=

13,

【类型四】用配方解决证明问题

[即4(1)用配方法证明2x2—4x+7的值恒大于零;

(2)由第(1)题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式.

证明：(1)2X2—4X+7=2[X2—2X)+7=2(X2—2X+1—D+7=2(X—1)2—2+7=2(X—1)2

+5.V2(x-l)2>0,・・.2(x-l)2+525,即2x2—4x+735,故2x2-4x+7的值恒大于零.

(2)x2—2x+3；2x2-2x+5;3x2+6x+8等.

【类型五】配方法与不等式知识的综合应用

［例❺证明关于x的方程(m2—8m+17)x2十2mx+l=0不论用为何值时，都是一兀二次方程.

解析：要证明“不论m为何值时，方程都是一元二次方程”，只需证明二次项系数m2—8口+

17的值不等于0.

证明：•・•二次项系数m2—8m+17=m2—8ni+16+l=(团一4)2+1,又•・•(口—4)220,A(m-

4)2+1>0,即m2—8m+17>0.・••不论m为何值时，原方程都是一元二次方程.

【板书设计】

【教学后记】

3.公式法

【教学目标】

1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；

2.会用公式法解一元二次方程.(重点)

【教学过程】

一、情景导入

如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a^0),你能否用配方法的步骤求出它们

的两根？请同学独立完成下面这个问题.

18

-b+[b2—4ac

问题:已知ax2+bx+c—0(a/0),且b2—4ac20,试推导它的两个根xl—

2a

—b—y/b2—4ac

2a

一、合作探究

探究点一：用公式法解一元二次方程

的II方程3x2—8=7x化为一，般形式是,其中a=,b=,c=

，方程的根为.

解析：将方程移项可化为3x2—7x—8=0.其中a=3,b=—7,c=-8,因为匕2—4ac=(一

7)2-4X3X(-8)=145>0,代入求根公式可得x=，±好.

故答案分别为3x2—7x—8=0,3,—7,—8,,

方法总结：一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的根是由方程的系数a,b,c确定的，只要

确定了系数a,b,c的值，代入公式就可求得方程的根.

［例❷用公式法解卜列方程：

(1)-3x2-5x+2=0;(2)2x24-3x4-3=0；

(3)x2—2x+1=0.

解析：先确定a,b,c及b2—4ac的值，再代入公式求解即可.

解：(l)-3x2-5x+2=0,3x2+5x-2=0.

,**a=3,b=5,c=-2,

Ab2-4ac=52-4X3X(-2)=49>0,

.一5士加一5±7

x—2X36

1

/.xl=-,x2=—2；

J

(2)'/a=2,b=3,c=3,

Ab2-4ac=32-4X2X3=9-24=

-15<0,

・・・原方程没有实数根；

(3)Va=19b=-2,c=1,

Ab2-4ac=(-2)2-4XlXl=0,

・2±V62±0

，，X=2X1=2，

/.x1=x2=1.

方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中a,b,

c的值，再求出b2-4ac的值与“0”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数

根).

【类型二】一元二次方程解法的综合运用

砸1三角形的两边分别为2和6,第三边是方程x2—lJx+21=0的解，则第三边的长为()

A.7B.3

19

C.7或3D.无法确定

解析：解一元二次方程x2—10x+21=0,得xl=3,x2=7.根据三角形三边的关系，第三边

还应满足4<x<8.所以第三边的长x=7.故选A.

方法总结：解题的关键是正确求解一元二次方程，并会运用三角形三边的关系进行取舍.

【板书设计】

【教学后记】

4.一元二次方程根的判别式

【教学目标】

1.理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下判断一元二次

方程根的情况；(重点、难点)

2.通过一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思想,

提高观察、分析、归纳的能力.

【教学过程】

一、情境导入

f

老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突

然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？

二、合作探究

探究点一：一元二次方程的根的情况

【类型一】判断一元二次方程根的情况

的II不解方程，判断下列方程的根的情况.

(l)2x2+3x-4=0；

(2)x2-x+|=0；

(3)x2—x+l=O.

解析：根据根的判别式我们可以知道当b2—4ac20时，方程才有实数根，而b2—4ac<0时，

方程没有实数根.由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况.

解：(l)2x2+3x-4=0,a=2,b=3，c=-4,.・・b2-4ac=32-4X2X(-4)=41>0..••方

程有两个不相等的实数根.

20

(2)x2-xI；=0,a=l,b=l,c=；.「.bZ4ac=(-1)2-4X1X；=0..,•方程有两个相等

的实数根.

(3)x2—x+l=O,a=l,b=-l,c=L.・・b2-4ac=(-1)2-4义1X1=一3<0.,••方程没有

实数根.

方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2—4ac的值的符号来判断方程根的情

况.当b2—4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2—4ac=0时，一元二次方程有

两个相等的实数根；当b2—4acV0时，一元二次方程无实数根.

【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值

画❷已知关于x的一元二次方程(a—1)x2—2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范

围是()

A.a>2B.a<2

C.a<2且