规范练42 基本立体图形及空间几何体的表面积与体积-2027届高三数学一轮复习

课时规范练42基本立体图形及空间几何体的表面积与体积

（分值:81分）

（单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分）

基础巩固练

1.下列命题是真命题的是（）

A.两个四棱锥可以拼成一个四棱柱

B.正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形

C.经过不共线的三个点的球有且只有一个

D.直棱柱的侧面是矩形

2.如图，用斜二测画法画出的水平放置的△人05的直观图是RtMOB；若人B的中点在），釉

上，且04'=。'8'=夜，则AB=（）

A.2V6B.4

C.2V5D.2

3.如图，在三棱锥V/8C中,E4=V8=l/C=8,NAVB=NAVC=N8VC=30°，过点A作截面

AEE则AAE产周长的最小值为（）

A.6&B.6V3

C.8&D.8V3

4.（2024.新高考I,5）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为V5,则圆锥

的体积为（）

A.2V3HB.3V3n

C.6V3TID.9V371

5.（2025•山东威海模拟）已知圆台的上底面半径、下底面半径、母线长之比为1：2：3,高为

4,则该圆台的体积为（）

A竽B等

33

C.40兀D.5671

6.等腰四面体是一种特殊的三棱锥，它的三组对棱分别相等.已知一个长方体的体积为12,则

用长方体其中的四个顶点构成的等腰四面体的体积为（）

A.3B.4

C.6D.8

7.（2025•天津和平模拟）己知底面半径为r的圆锥淇轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的

底面半径为:，则此圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值为（）

.V3D2V3k3国门36

ATBVC石Dv

8.（2025•江苏南通模拟）若半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切厕该正三棱柱外接球的

表面积为（）

A.4兀B.5兀

C.16兀D.2071

9.（多选题）（2025•河北衡水中学模拟）如图,该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的

几何体，若该几何体底面棱长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm,则下列选项中正确的是

（）

A.正四棱锥的高为5A/2cm

B.该几何体的表面积为（100百+200位）cm?

C.该几何体的体积为"誓n?

D.一只小蚂蚁从点E爬行到点S,它所经过的最短路程为，150+50遍cm

10.（2020•新高考11,13）棱长为2的止方体ABCD-AiBiCiDi中,M,N分别为棱BBiAB的中点，

则三棱锥A\-D\MN的体积为.

11.（2024.九省适应性测试,13）已知轴截面为正三角形的圆锥MM的高与球。的直径相等，则

圆锥的体积与球。的体积的比值是，圆锥MM的表面积与球。的表面积的比

值是.

12.（2025•上海徐汇中学模拟）己知四棱台八68-A6］。乃।的侧棱A41垂直于底面，底面

A8CD是边长为2的正方形,四边形48coi是边长为1的正方形,。。尸2,则四棱台/WCD-

A山的体积为.

综合提升练

13.（2022•全国甲，理9,文1（））甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2兀，

侧面积分别为5甲和S乙，体积分别为K甲和V乙若叁=2,贝津=（）

3乙y乙

A.x/5B.2V2

c.710D浮

4

14.已知一个圆锥的高是3,在正放（底面水平放置）时该圆锥内水面高度为2,现将圆徘倒置，则

此时圆锥内的水面高度为（）

A.1B.V24

C.V25D.V26

15.（2025•浙江嘉兴模拟）若某正四面体的内切球的表面积为4兀,则该正四面体的外接球的体

积为（）

A.9兀B.2771C.36兀D.64冗

16.如图，在直三棱柱ABC-MB\C\中工B=AC=A4=2,NBACg,点P,E分别为棱AiG,A4上

的动点（不包括端点），若4E=AZ,则三棱锥Bi-AiPE的体积的最大值为.

参考答案

课时规范练42基本立体图形及空间几何体的表面积与

体积

1.D解析对于A,两个四棱锥不一定能拼成一个四棱柱，故A为假命题;对于B,正三棱锥的

底面是等边三角形，侧面是等腰三角形，不一定是等边三角形，故B为假命题;对于C,经过不共

线的三个点只能确定一个平面,经过不共线的三个点的球有无数个，故C为假命题;对于D,直

棱柱的侧面是矩形，故D为真命题.故选D.

2.A解析由题可知,M'为48'的中点,。‘4'=。'8'=&,则0M'=1.

作〃。w，则当如图.

作出原图形,

B

所以0A=y[i,0M=2、MN[.

由OAJ_OM,所以AM二遍.

又M为48的中点，所以AB=2痣故选A.

3.C解析如图，沿着侧棱VA把正三棱锥V-A8C展开在一个平面内，如图所示,

AB

则/U即为MAEF的周长的最小值.

因为NAVB=NAVC=/BVC=30。，

所以NAV/V=3x3（）o=9（）。.在△的'中，01=VA'=8,由勾股定理得A4'=JlM2+匕4,2=

\^不*=8或.故选C.

4.B解析•.•圆柱和圆锥的底面半径相等，，可设圆柱和圆锥的底面半径为r.

又圆柱和圆锥的高均为百，

，圆柱的侧面积为2a•遮，圆锥的侧面积为“•]〃+（百）2=兀不产不？.又圆柱和圆推的侧

面积相等，「・2兀r•遍=兀户，产+3,；・户=9.，圆锥的体积为L・兀户・百=巳兀・9•百二3百兀

33

5.B解析设上底面的半径为,•，则下底面的半径为2,•，母线长为3八故

4=J9r2_（2r-r）2=2近广，得昼夜，故圆台的体积为：X4X[TI（应）2+兀（2夜）2+兀、&乂2&]号.故

选B.

6.B解析如图所示，等腰四面体4-BCQ的体积等于长方体体积减去四个三棱锥的体积.

设长方体长，宽滴分别为。也c,则等腰四面体A-BCO的体积V=«/?c-4xixabc}=^abc=4.

故选B.

7.C解析由题意可知，圆锥的轴截面是边长为2r的正三角形，则圆锥的高SO=V5人如图.

S

AAA/

力色.署三$8

易知,△SOiMs^SOB,可得二=竽=学，则5。尸为0,二。。尸女0二士竺圆柱侧面积

4OBSO444

Si=271-^-=苧兀月圆锥侧面积则羡=苧X1=矍.故选C.

8.D解析因为半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切，所以正三棱柱的高h=2.

又底面正三角形的内切圆半径为1,则底面正三角形的外接圆半径片盛二2,所以该正三棱

柱外接球半径为R=b+(》2=V22+I2=花，所以外接球的表面积为4兀R2=20兀故选D.

9.ACD解析对于A,由题可得,OA=gxV102+102=5\^cm,SO=VSA2-OA2=

J102-(5V2)2=5V2cm,故A正确;对于B,几何体的表面积为

102+4x10x5V2+4x^x102=(100+200V2+10()V3)cm2,ftB错误;对于C,该几何体的体积为

4

10%5或+»<10%5&="警cn?,故C正确;对于D,观察图形知，小蚂蚁从点E爬行到点S

的最短路径为沿表面越过棱AB或AD到达点S.

不妨将长方形EFBA及正三角形置于同一平面内，连接SE,如图.

取E尸中点M连接SM则S/=5A/5,故SM=5V3+5V2.

又EM=5,

所以最短路程为SE3EM2+SM2==V150+50V6cm,故D正确.

故选ACD.

10.1解析如图，因为正方体A8CQ-A出GDi中平面4A山山，所以Oi4_L平面

AiMN.所以以皿MN=VD.-A.MN=1-A.D=1(2x2^xlx2x2-|xlxl)x2=ix|x2=l.

JI/v1J4乙J4

11|1解析设圆锥的底面半径为，♦，球的半径为R.因为圆锥的轴截面为正三角形,所以圆

锥的高/『四人母线长/二2厂.由题可知/『2R,所以球的半径/?二胃厂,所以圆锥的体积

近3

口寺加几盗片争月球的体积由三次二沁等）3二手八所以1=妥=|.圆锥的表面积

TKr

5产兀〃+兀/2=3兀户,球的表面积52=4兀/?2=4取（当*）2=3兀户,所以|1=|^=1.

12.#解析过点Di作OiHJ_A。于点H,则D\H//A\A.

因为A4i_L平面A8CD,所以Oi”_L平面ABCD.

在Rt/XDiDH中,D0尸2,OH=2-1=1,可得D\H=[DD；-DH2=百,从而棱台的高

AiA=£h”=百,所以四棱台的体积为V=i（S,+VsiS+S）/?=-x（l+2+4）xV3=—.

333

13.C解析如图，甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼戌一个圆，设圆的半径（即圆锥的母线

长）为3,则圆的周长为6兀，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为内,废,高分别为历,历,则

2”尸4兀,2"2=2兀,则门=2,9=1,由勾股定理得，〃产石,历=2近，所以1=莽空=j

乙nrx,

V32^2"X2M2

“U.故选c.

14.D解析如图，设圆锥底面半径为训W=卷=茎即0吟

所以水的体积为*43-*（汴1=|^7ir.

将圆锥倒置后，水的体积不变，所以、。山卜户。户小汽

又瞽=支空即。血=竽，代入可得》（竽户xPOi=,产，解得户。尸体.故选D.

i\Jr3