2025-2026学年江西省九江市武宁尚美中学高一下学期5月月考数学试卷-含解析

/数学（考试时间120分钟，试卷满分150分）一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.在下列函数中，与最小正周期相同的函数为（）A. B. C. D.2.下列式子中，不能化简为的是（）A. B.C. D.3.函数f(A.B.C.D.4.已知单位向量，满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.5.已知，，在上的投影的数量为，则（）A.6 B. C. D.6.已知直线与抛物线交于两点，且抛物线上存在点，使得(为坐标原点)，则抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.7.已知函数，则方程的根的个数不可能是（）A.3 B.4 C.5 D.68.已知点是的外心，，，，若，则（）A. B. C. D.二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分.9.下列结论中，正确的是（）A.B.函数的定义域为C.函数的单调增区间是D.已知，，且，则的最小值为10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.在上单调递增，则的取值范围为C.不等式的解集为D.将的图象向右平移个单位长度，再向上平移2个单位后所得函数的图象对称中心为11.在平面直角坐标系xOy中，P是直线l：x＋y＋2＝0上一点(除去与x轴的交点)，过P作抛物线C：x2＝2y的两条切线，切点分别为A，B，直线PA，PB与x轴分别交于点M，N，则（）A.直线AB过定点(－1，2) B.MN的最小值为C.∠MPN为锐角 D.最小值为－1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12.，，若，且，求_____.13.已知在中，角的对边为，若，则_____.14.已知平面向量，，若，，且，则______四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.计算：（1）；（2）.16.已知向量满足，与的夹角为．（1）求；（2）若向量与垂直，求实数t的值．17.在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，．（1）求B；（2）若，求的面积S取值范围．18.如图，在中，，点O在边BC上，且，过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N．（1）设，，试用表示；（2）设，，求的最小值．19.对于定义域的函数，若存在区间，使得当时，函数的值域恰为，则称函数是上的“倍值函数”，区间叫做“倍值区间”.（1）已知函数是上的“倍值函数”，求的值；（2）若函数是“倍值函数”且在“倍值区间”单调，求的取值范围；（3）设函数是“倍值函数”，且存在唯一的“倍值区间”，求的值.

数学（考试时间120分钟，试卷满分150分）一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.在下列函数中，与最小正周期相同的函数为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据已知可得最小正周期为，逐项求出或利用图像求出函数的周期，即可得出结论.解答过程：周期为，选项A不正确；周期为，选项B不正确；做出图像，不是周期函数，选项C不正确；周期为，正确.故选:D.方法提示：本题考查三角函数的周期，要注意带有绝对值函数的图像变化，属于基础题.2.下列式子中，不能化简为的是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：利用向量加减法法则化简各式，即可得答案.解答过程：A：；B：；C：；D：；故选：B3.函数f(A.B.C.D.答案：A解析：解答过程：由函数f(由可得x=π经检验，只有符合上式，故只有A符合题意.4.已知单位向量，满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据数量积的运算求解即可.解答过程：由，得，因为，所以，设，的夹角为，则，所以，又，所以.故选：C.5.已知，，在上的投影的数量为，则（）A.6 B. C. D.答案：C解析：思路：根据投影数量求出数量积，故可求.解答过程：因为在上的投影的数量为，故，故，故，故选：C.6.已知直线与抛物线交于两点，且抛物线上存在点，使得(为坐标原点)，则抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：设，，，直线方程与抛物线方程联立方程组，消元后应用韦达定理得，再由直线方程得，这样由向量的运算得出点坐标，把点坐标代入抛物线方程可求得值，得抛物线的标准方程、焦点坐标．解答过程：设，，，由得，易知，所以．，由可得，则，将其代入抛物线的方程得，因为，解得，所以抛物线的方程为，焦点坐标为．故选：C.方法提示：思路点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，设交点坐标为，，，直线方程与抛物线方程联立方程组，消元后应用韦达定理，结合向量的线性运算，用参数表示出点坐标，代入抛物线方程后可求得参数值，得结论．7.已知函数，则方程的根的个数不可能是（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：A解析：思路：先画出函数的图象，然后令，讨论的范围，得到与的图象交点的个数，再结合交点的值讨论的解得个数，即可求出方程的根的不可能的个数．解答过程：画出函数的图象如图，令，当时，与的图象有三个交点，三个交点的横坐标记为，，且，当时，该方程有两解，时，该方程也有两解，时，该方程有0个解或1个解或2个解，当时，方程的根的个数可能为4个，5个，6个；当时，与的图象有两个交点，两个交点的横坐标记为，且，当时，该方程有两解，时，该方程也有两解，当时，方程的根的个数为4个；综上所述：方程的根的个数可能为4个，5个，6个．故选：A方法提示：本题考查了根的存在性及根的个数的判断，以及符号函数的性质，同时考查了作图的能力，分析问题的能力和转化的思想以及分类讨论的思想．属于中档题．8.已知点是的外心，，，，若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用平面向量的线性运算建立方程，求解参数即可.解答过程：因为，，，所以，如图，作，连接，由题意得是外接圆的圆心，所以，故是等腰三角形，在中，，在中，由三线合一性质得是的中点，所以，同理可得，又，所以，，解得，，故，故C正确.故选：C方法提示：关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是进行平面向量的线性运算，然后结合给定条件建立方程，得到所要求的参数值即可．二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分.9.下列结论中，正确的是（）A.B.函数的定义域为C.函数的单调增区间是D.已知，，且，则的最小值为答案：BD解析：思路：选项A：由于，即2和3都为第二象限角，即可判断；选项B：根据正切函数的定义域即可判断；选项C：根据复合函数的单调性的定义，结合对数函数及二次函数的单调性，即可判断；选项D：根据基本不等式即可判断.解答过程：选项A：由于，故，，故，故A错误；选项B：由，得，故B正确；选项C：由，得，且此时的单调减区间为，又为单调递减函数，故的单调增区间为，故C错误；选项D：由，，且，得，当且仅当，即，结合，得时，不等式取等号，故的最小值为，故D正确.故选：BD10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.在上单调递增，则的取值范围为C.不等式的解集为D.将的图象向右平移个单位长度，再向上平移2个单位后所得函数的图象对称中心为答案：BC解析：思路：根据函数图象求出函数的解析式逐项判断可得正确答案.解答过程：A.由图象可得，最小正周期，∴，将点代入得，，∴，∵，∴，故，选项A错误.B.，由得，由在上单调递增得，，解得，∴的取值范围为，选项B正确.C.由得，，即，∴，故不等式的解集为，选项C正确.D.将的图象向右平移个单位长度，再向上平移2个单位后所得函数图象对称中心的纵坐标为2，选项D错误.故选：BC.11.在平面直角坐标系xOy中，P是直线l：x＋y＋2＝0上一点(除去与x轴的交点)，过P作抛物线C：x2＝2y的两条切线，切点分别为A，B，直线PA，PB与x轴分别交于点M，N，则（）A.直线AB过定点(－1，2) B.MN的最小值为C.∠MPN为锐角 D.最小值为－1答案：ABD解析：思路：对A：由写出切线方程，将代入可得直线方程，整理可得恒过定点；对B：联立直线与抛物线方程得，，求出M，N的横坐标，求的最小值即可；对C：将化为判断正负即可；对D：将视为关于的函数求最小值；解答过程：设，由得，所以处切线斜率，所以切线的方程为：，将代入得，整理得切线的方程为：，同理切线的方程为：，将代入切线，方程得，，所以直线，即，将代入得，所以直线AB过定点(－1,2)，故A正确；将直线的方程代入得，由直线AB过抛物线内定点(－1,2)知直线一定与抛物线有两个交点，所以，在直线的方程中令得的横坐标，故，同理的横坐标，，所以，当时取最小值为，故B正确；，当时，为钝角，故C错误；，当即时，最小值为－1，故D正确；故选：ABD方法提示：结论点睛：定义:已知曲线,则称点和直线是曲线G的一对极点与极线,点P称为直线l关于曲线G的极点;直线l称为点P关于曲线G的极线.已知点P关于圆锥曲线G的极线是直线l,则三者的位置关系是:①若点P在曲线G上,则直线l是曲线G在点P处的切线;②若点P在曲线G外,则直线l是由点P向曲线G引两条切线的切点弦;③若点P在曲线G内,则直线l是经过点P的曲线G的弦的两端点处的切线交点轨迹.如图:三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12.，，若，且，求_____.答案：解析：思路：根据向量垂直的坐标运算及正切函数求值即可求解.解答过程：由可得，即，又，所以.故答案为：.13.已知在中，角的对边为，若，则_____.答案：解析：思路：先利用余弦定理得到，进一步利用三角恒等变换，根据关系式整理出结果.解答过程：在中,角的对边为，若，故答案为：方法提示：本题考查了三角函数和解三角形综合应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.14.已知平面向量，，若，，且，则______答案：解析：思路：先根据向量垂直得，再根据数量积的运算律求解向量的模即可.解答过程：因为，所以，又，，所以.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.计算：（1）；（2）.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）利用诱导公式将所求代数式化为的三角函数值的代数式，结合同角三角函数的平方关系计算即可；（2）利用诱导公式将代数式化为锐角的三角函数值，化简计算即可.解答过程：（1）原式；（2）原式.方法提示：本题考查利用诱导公式化简计算，考查计算能力，属于基础题.16.已知向量满足，与的夹角为．（1）求；（2）若向量与垂直，求实数t的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由题意得，再，与的夹角为，利用向量的数量积公式求出结果；（2）由向量与垂直，知，由此利用平面向量的数量积求出结果.（1）因为向量满足，与的夹角为，，所以＝，（2）因为向量与垂直，所以(，所以，所以，解得：.17.在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，．（1）求B；（2）若，求的面积S取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理进行边角互化，再结合三角形的内角和与两角和与差的三角函数公式化简可求角.（2）由正弦定理先求，然后结合三角形的面积公式及和差角，二倍角公式进行化简，在根据正弦函数的性质计算可得．（1）由，由正弦定理，可得，因为为三角形内角，所以，所以，得，因为，所以，所以.（2）∵，故，∴，所以，因为，所以，∴，∴，∴，故的面积的取值范围为．18.如图，在中，，点O在边BC上，且，过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N．（1）设，，试用表示；（2）设，，求的最小值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据平面向量线性运算法则和平面向量基本定理，用基底表示出向量即可；（2）根据向量共线时系数的关系，以及基本不等式，求出最小值即可.（1）由题意可知.（2）由（1）可知，因为三点共线，所以，则，可知，当且仅当时，即时取等号，所以19.对于定义域的函数，若存在区间，使得当时，函数的值域恰为，则称函数是上的“倍值函数”，区间叫做“倍值区间”.（1）已知函数是上的“倍值函数”，求的值；（2）若函数是“倍值函数”且在“倍值区间”单调，求的取值范围；（3）设函数是“倍值函数”，且存在唯一的“倍值区间”，求的值.答案：（1）2（2）（3）解析：思路：（1）求出在上的值域，再根据“倍值函数”的定义即可列方程求解；（2）易知对称轴为，分、讨论即可；（3）根据“倍值函数”，且存在唯一的“倍值区间”分类讨论即可.（1）因为函数在上单调递增，且是“倍值函数”.所以，，