2026年高考数学复习题型归纳讲义：不等式的性质及基本不等式（11个题型）学生版+解析

【第3讲：不等式的性质及基本不等式】

总览

【知识点清单】

1.等式与不等式的性质

【知识点的认识】

1.不等式的基本性质

(1)对于任意两个实数”，有且只有以下三种情况之一成立:

①-b>0；

②-/?<0；

(3)a=/?<=>«-b=0.

(2)不等式的基本性质

①对称性：a>b=b<a；

②传递性：a>b,h>c=>a>c；

③可加性：a>b=a+c>b+c.

④同向可加性：a>b,c>dna+c>b+d；

⑤可积性：a>b,c>O=>ac>bc：a>b,c<O=>ac<bc；

⑥同向整数可乘性：a>b>0,c>d>O^ac>bd；

⑦平方法则：〃（花N,且〃>1）；

⑧开方法则：〃>〃>0=\/5>妣（〃WN,且〃>1）.

2.不等式比较大小

【知识点的认识】

不等式大小比较的常用方法

（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；

（2）作商（常用于分数指数寡的代数式）；

（3）分析法；

（4）平方法；

（5）分子（或分母）有理化；

（6）利用函数的单调性；

（7）寻找中间量或放缩法；

（8）图象法.其中比较法（作差、作商）是最基本的方法.

3.运用基本不等式比较大小

【知识点的认识】

基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式.其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等

于它们的算术平均数.公式为：—>（。20,b'O）,变形为abW（―）2或者〃+以2病.

2-2

【解题方法点拨】

运用均值不等式比较大小时，需要将待比较的数值代入不等式.例如，要比较两个数。和b的大小，可

以使用等工皿在具体题目中，通常会将两个数构造成可以应用均值不等式的形式，然后进行比较.例

如，比较/+妥和2的大小，可以利用均值不等式得出无2+妥22

4.运用基本不等式求最值

【知识点的认识】

基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式.其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等

于它们的算术平均数.公式为：—>y^b(a20,820)，变形为(―)2或者。+匕22而.

22

【解题方法点拨】

在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式.例如，要求代数式的

最小值，可以利用均值不等式“+2从而得出最小值为2,并且在A=1时取到最小值.需要注意的

是，运用不等式时要确保代入的数值符合不等式的适用范围，并进行必要的等号条件验证.

5.运用“1”的代换构造基本不等式

【知识点的认识】

基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式.其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等

于它们的算术平均数.公式为：—>(。》0,心°)，变形为时W(―)2或者。+/)22代反

2-2

【解题方法点拨】

在一些更杂的代数式问题中，结合已知条件中的和或积为常熟，可以通过将“1”表示为两个数的和或积,

从而构造均值不等式，简化问题.

【命题方向】

运用“1”的代换构造均值不等式时，可以通过将“1”表示为两个数的和或积，从而应用均值不等式.

13

已知实数x,)WR+,且x+y=4,求一+一的最小值.

xy

解：Vx>0,y>0,x+y=4,

.133(x+y)1y6、”匚e山y3x2,心e

:,一+-=x-+y-+-―—=-+—+3—x+3->1+­»当且仅当丁=丁，n即ny=r-时取等号，

xy4x4y4434y424y

.•二+三的最小值为：1+苧.

xy2

故答案为：l+§.

6.分式不等式

【知i■只点的认识】

分式不等式指的是含有分式的数学不等式.解分式不等式时，关键是注意分母不为零.

【解题方法点拨】

将分式不等式转化为普通不等式，并限定分母部分不为零，找巴符合不等式的区间.综合各区间解，写出

最终解集.

7.指、对数不等式的解法

【知识点的认识】

不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根轴法）.

步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.

特例：

①一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式"（aWO）解的讨论.

（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

隼>0of(x)g(x)>0;隼20o/(x)g(x)>0

g(x)*O

（3）无理不等式：转化为有理不等式求解.

[/(x)>0

=定义域

©=<g(x)No.

冢X)

,7(x)>0

O.装封或小素，@g<g(X)

0g>蛉)=<g(x)>0

/W>[g(x)]2⑶'l/(x)<[g«]2

（4）指数不等式：转化为代数不等式

>/⑸g>i)=/(X)>乐x);a&)>"⑷(0<a<l)<=>/(x)<g(x)

af，t>b(a>0,d>0)u>/(x)lga>lgb

（5）对数不等式：转化为代数不等式

/(x)>0/W>0

logJ(X)>log,>1)=<於)>0log,/(X)>log,g(xX01)=wg(x)>0

f(x)>g(x)/(x)<g(x)

（6）含绝对值不等式

①应用分类讨论思想去绝对值;

②应用数形思想;

③应用化归思想等价转化.

1/(x)Kg⑶=t-J(x)<f(x)<式x)

ifw\>g(x)Oga"0sx),ga坏同时为。阈胳I?ga即X)>g(x)

注：常用不等式的解法举例（X为正数）:

23

0x(l-x)=l-2x(l-xXl-x)<l(|)=±

②片式1_/）=32户."；乂13；勺=捺=”孚

类似于y=sinxcos?x=sinx（l-sin?x）,③|刀』同》|十|』（刀与工同号，故取等）22

xrx

8.不等式的综合

【知识点的认识】

1、不等式的性质

名称不等式名称不等式

对称性a>b=b<a笳要条件）传递性a>b,b>c=a>c

:a>b,c>0nac>be

a>b=a+c>b+c真要条件）'a>b,c<Qnac<bc

同向不等式可加性：

同向正数不等式可乘性：

可加性a>b,c>d=a+c>b+d可乘性a>b>0,od>0=^ac>bd

异向不等式可成由

异向正数不等式可除性：

a>b,c<d^>a-c>b-d

a〉b>Q,Q<c<d=%>%

v

乘方法则a>b>Q=>a>b\neN,n>2)开方法则a>2>0=&>^b[neNsn>2)

,11

倒数法则ab>QA,a>bt常用结论>b-也要条件）

ab

2、不等式大小比较的常用方法

（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；

（2）作商（常用于分数指数基的代数式）：

（3）分析法；

（4）平方法；

（5）分子（或分母）有理化；

（6）利用函数的单调性；

（7）寻找中间量或放缩法：

（8）图象法.其中比较法（作差、作商）是最基本的方法.

3、利用重要不等式求函数最值：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”.

4、常用不等式

（1）J：-2・22]-]（qbe当a=方时取=^）

ab

（2）a:+/222必e凡当a=b时取=号）

5、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法.

比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与I的大小，然后作出

结论.

常用的放缩技巧有：

—~—^―=——<二<————=—^―~—（右边当n>2时成立）

nM+1巩;1+1）vf双〃-1）w-1n

Vfc-t-l-yjk=---="<-^-=<---=■=>/k-\/k—1

Jk+1+Jk2\fkJk-1+尿

6.常系数一元二次不等式的解法：判别式■图象法

步骤：（1）化为一般形似：江+云+ceo,其中。>0；

（2）求根的情况：如2+云+°=0庞”忸解△>（）（=（）,<0）；

（3）由图写解集：考虑瓜+。（〃>（））图象得解.

7.简单的一元高次不等式的解法：标根法：

其步骤是：

（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；

（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根右上方依次通过每一点画曲线（奇穿偶回〕；

（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集.

8.分式不等式的解法：

分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式，并使每一个肉式中最高次

项的系数为正，最后用标根法求解.解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分

母.

9.绝对值不等式的解法：（了解）

（1）分域讨论法（最后结果应取各段的并集）

（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；（4）两边平方.

10、含参不等式的解法：通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键

注意：①解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”.

②按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集：但若按未知数讨论，最后应求并集.

含参数的一元二次不等式的解法：三级讨论法.

一般地，设关于x的含参数〃的一元二次形式的不等式为：/（々）/+64&+”々）20（<0）.

（1）第一级讨论：讨论二次项系数/（。）是否为零；

（2）第二级讨论：若f（a）W0时，先观察其左边能否因式分解，否则讨论△的符号；

（3）第三级讨论：若/（a）K0时，△>（）时，先观察两根不，血大小是否确定，否则讨论两根的大小.

注意：每一级的讨论中，都有三种情况可能出现，即“>"，"="，“<”，应做到不重不漏.

11.不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题

常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合

法.

1）恒成立问题

若不等式/（x）在区间D上恒成立，则等价于在区间D上/（x）而〃>A,

若不等式f（x）VB在区间。上恒成立，则等价于在区间D上『（X）加磔〈艮

10.二维形式的柯西不等式

【知识点的认识】

柯西不等式的二维形式

1.柯西不等式的代数形式：设。2,E，比均为实数，则（战+谖）（必+状）2（〃向+〃2历）2（当

且仅当。附2=。2加时，等号成立）.

2.柯西不等式的向量形式：设a/为平面上的两个向量，则IMSMla%!.

3.二维形式的三角不等式：设内，y\,M，九€&那么Jxj+乃2+Jx??+y->V（xi_x2）2+（7i_yi）2-

【解题方法点拨】

柯西不等式的形式特点

从形式结构上看，柯西不等式大的一边是两个向量的模平方之积的形式，小的一边是向量数量积的坐标运

算的平方形式，可简记为“方和积不小于积和方”.

11.平均值不等式

【知识点的认识】

平均值不等式

1.定理1（重要不等式）：如果。，呢R,那么。2+房22岫，当且仅当。=”时，等号成立.

2.定理2（基本不等式）：如果“〃是正数.那么?当且仅当，=b时，等号成立.

3.我们常把叫做正数色蛆的算术平均，把叫做正数底的几何平均，所以基本不等式又可叙述为：两个正

2

数的算术平均值不小于（即大于或等于）它们的几何平均值.

4.关于用不等式求函数最大、最小值

（1）若x20,y20,且Ay=p（定值），则当x=y时，x+y有最小值2诉.

(2)若x20,)，20,且x+y=$(定值)，则当x=y时，孙有最大值

4

5.定理3：对任意三个正数〃，b,c,有+123HM(此式当且仅当〃=〃=c时取“=”号).

6.定理4：对任意三个正数小b,c有竺匕嬴(此式当且仅当。=8=c时取“=”号).

3

1.均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式：公式内容为从WG〃WA〃W

Qn.即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术立均数，算术平均数不超过平方平均数.

2.特殊情形：

①对实数”，b,有a2+乒22出？(当且仅当时取=号)：

②对非负实数〃，力，有a+b^2y/at,即巴广>y[ab\

③对非负实数mb,有(a+b)22夜;

④对实数a，〃有a(a-b)》b(a-b)；

2

⑤对实数a,b有a2+b2>(°+^)>2ab；

~2-

2

⑥对实数chb,c有。2+序+©2>(a+b+c):

-3

⑦对非负数a,〃有，a2+ab+b2>|(a+b)2;

特殊到一个简单结论：£<J%<土吆<叵史.

表2勺2

题型分类圜常满题型I

一.等式与不等式的性质（共4小题）

1.若a,b,cGR,且。>4则下列不等式中一定成立的是（）

r2

A.（a-b）c22。B.ac>hcC.a+b^b-cD.------>0

a-b

2.已知xVO,-l<y<0,则（）

A.xy<xy2<xB.xy2<x<xyC.x<xy<xy^D.x<xy2<xy

3.下列命题为真命题的是（）

A.若a<b<（）,则a2<ab<b2

B.若a＞力＞0,则ac2〉*2

C.7'「一<一,则a>b

ab

D.若。则一>---

bb+c

（多选）4.下列说法正确的是（）

A.若a>b,则a（r>b（r

B.若a<b,c>d,则。-cVb-d

C.若a>b,则一V一

ab

D.若a3>〃，则

二.不等关系与不等式（共4小题）

5.下列命题是假命题的是（）

A.若a>b>O>c>d,则

B.若。/>仇、2,则

C.若。>》>0且cVO,则-

azbz

D.若且工>工，贝ljabVO

ab

6.设小力ER,则〃〈〃的一个必要不充分条件是（）

A.—>—B.a3V后C.a2Vb2D.a3b2^a2b3

ab

111

设

>oc4z+贝H,f

Xz一=

-，_Jp

yzx,C三个数（）

A.都小于4B.至少有一个不大于4

C.都大于4D.至少有一个不小于4

8.若。<0,-1</7<0,则下列不等关系正确的是（）

A.ab>ab2>aB.ab2>ab>aC.ab>a>ab2D.a>ab>ab2

二.不等式比较大小（共5小题）

9.当OVxVyVl时，下列不等式中正确的是（）

()

A・(i-x)y>(i-x)yB.(1+x)x>\+yy

C.(l-xy>(l-x)^D.(1-x)x>(1-y))'

10.已知。=3n,5=”，C=ne,则它们的大小关系是（)

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.a>c>b

11.a=e~ln3,b=log2%,c=\/2—1»则〃，仇c的大小关系是()

A.ci<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

12-已知〃满足OVZke，则3等与〃+等的大小关系为（）

Inb

A.f+跑>〃+丝B.=四

ab~b~

C.小+跑v长+华D.不能确定

ab

（多选）13.若a>b>0,则（）

A.d*B.2cr>b2+abC.blna>alnbD.阴+1

四.运用基本不等式比较大小（共5小题）

14.己—，则学扇孚，篙中最大的是（）

a+bZab

B.\[ab

2a+b

（多选）15.已知a>0,/?>0,且。+〃=1,则（）

A.a24-/)2>iB.2(rb>2

C.Iog24+log202-2D.\[a+4b<\[2

(多选)16.已知孙>()且2x+y=2,则()

219

A.0<x<lB.-+-<-C.16cx4y=16D.16"+4>'28

xy2

（多选）17.若a>0,沅>0,且o+〃=4,则下列结论正确的是（）

A.2a・2°=16B.y[ab<2

11

-+-->

C.Iog2a+Iog2〃22D.ab

18.已知a、0、丫均为锐角，在sinacosp、sin仅osy、sinycosa三个值中，大于2的个数的最大值为，小小

2

于三的个数的最大值为〃，则〃汁〃=.

4

五.运用基本不等式求最值（共9小题）

19.已知£>1,%+々的最小值为（）

x-1

A.3B.4c.2V2+1D.5

20.已知。>0,6>0且〃+b=l,则16a+91的最小值是（）

ab

A.49B.50C.51D.52

121

21.已知己（x+4y）=2lnx+lny则一+一的最小值为（）

txy

A.V2B.2C.2V2D.4V2

136

22.若一+炉―X（r>],y*0）,则+.’的最小值为（）

xz-l*

A.6B.7C.12D.49

23.函数y=书等兄（％v-i）的最大值为（）

A.3B.2C.1D.-1

24.若正实数x,y满足xy+x-3y=-1,则x-y的最大值为（）

A.3B.2C.1D.0

12

25.已知a,b为正数,一+-=1，则向+a+〃的最小值为（）

ab

A.4x/3B.8C.7+4V3D.8+4V3

21

26.已知实数x、y满足x>y>0,且x+y=2,则——+--的最小值为（）

x+3yx-y

A.3+2V2B.c.3-2V2D.

44

12

27.若x,vG[O,+8）,且2v-y=4-xy,则--+—^的最小值是（）

x-1y+2

A.2V2B.2C.V2D.立

2

六.运用“1”的代换构造基本不等式（共4小题）

11

28.已知正数x,y满足一+—=1,则％+4y的最小值为（）

xy

A.8B.9C.10D.11

12

29.已知3x>y>0,且7x+5y=L则7;--+--丁的最小值为（）

3x-y2x+3y

A.10B.9C.8D.7

30.已知%>0,），>0,且盯=2r+y,贝ij3x+2y的最小值为

31.己知正实数x,y满足x+『=l,则处上的最小值为.

xy

七.不等式的综合（共5小题）

32.已知。＞0,bwR,若关于x的不等式（ax-2）（x2+bx-6）20在区间（0,+8）上恒成立，则4a-b

的最小值是（）

A.2B.2^2C.3D.3A/2

33.若不等式（m%2一2/）仇黄\2o恒成立，则〃?2+4〃2的最小值为（）

A.V2B.2C.4D.6

34.已知不等式仍（/1）。＞/-2心（其中工＞0）的解集中恰有三个正整数，则实数〃的取值范围是（）

A.（3,8]B.[3,8）

D-（磊磊]

35.设〃=log34+log43,3a+4。=55,则（）

A.a>b>2B.a>2>bC.b>a>2D.b>2>a

（多选）36.若a>l,b>l,且必=/,贝ij

A.2e^a+h<e2+\B.0<lna*lnb^\

小>的最大值为

C.2\/2—1<Ina+logab<2D.e

八.二维形式的柯西不等式（共5小题）

37.已知，m,〃ER+,满足/%2〃+2〃?〃2-4〃？-〃=（）,则/%+2〃的最小值为（）

A.2V2+1B.反C.芷D.4V2+9

2

38.若a,b,c>0且〃（。+8+。）+bc=7-2^/10，则2a+/>+c的最小值为（）

A.2V3+2B.2V3-2C.2逐+2&D.26一2企

39.已知N-3xy+2）2=l（x,yeR）,则层+炉的最小值为（）

A.V10-6B.V10+6C.2/10+6D.2V15-6

40.已知解+〃而-从=|,则。2+从的最小值为

4）.已知x,）€R,且满足/+2y2+2xy=5.

（I）求.1+2），的取值范围：

（2）求3层+工），+2）2的取值范围.

九.平均值不等式（共4小题）

42.“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的.其具体内容为：设每＞0,

a，+ia并+1谭+iQ华+】（^i+a2+a3+，,,+an）m+J上口皿比

b>0>nEN'，m>0，PW-1+4-1'+•••4->——----------------;~~-—*当且仅当

nm

b心■理喑（b1+b2+b3+-+bn）

aa

-“--1=----2=----3-=…詈时，等号成立.根据权方和不等式，若％W（0,5，当辿+」—取得最小值

勿匕3'sinxcosx

讨，X的值为()

n7Tnn57r

A.—B.一C.一D.—

126312

43.已知a,pe(0,-),sin(2a+p)=2sin(3,则ian0的最大值为()

2

A.勺D.3

32

44.在aABC中，已知角A,8,C所对的边分别为a,b,c,且h2+c2-a2=bc,则A=；

若a=2,则△ABC面积的最大值为.

45.在①asinB+V3//cosA=0,②ia+b+c）（.a-b-c）=-be,③Asin2A+4sin8=。这三个条件中任选一个,

补充在下面问题中，并作答.

问题：在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且一.

（1）求A；

（2）若角A的角平分线4。=1,且c23,求△ABC面积的最小值.

一、单选题

1.（2022•上海•高考真题）若实数。、。满足匕>0,下列不等式中怛成立的是（）

A.a+h>B.a+b<2>[abC.^+2h>2\[abD.+2/?<2y[ab

2.（2024.福建•模拟预测）已知。>0,/?>0,则使‘成立的一个充分不必要条件是（）

ab

A.+/?2=1B.a+b$=4ab

C.a+b=\D.—7+—78

a~b~

3.（2024.浙江嘉兴♦二模）若正数乂丁满足/-2个，+2=0,则x+y的最小值是（）

A.76B.如C.272D.2

2

4.（2025・福建泉州•二模）若x20,>'>0,且」7+丁二一=1,则版+4），的最小值为（）

x+12x+4y

A.2B.3C.4D.8

5.（2025・北京•高考真题）已知〃则（）

A.a2-\-h2>2abB.—+—>—

abab

l112

C-。+八瓢D.二六砺

6.（2023•浙江•模拟预测）已知实数x，）'，z满足f+y2+z2=i,当封+"+2应取到最小值时，则（）

A.B.-r=2C.x2+y2=\D.x2+z2=\

7.（2022•福建宁德•模拟预测）若正实数a,〃满足。+。=2,则下列说法正确的是（）

A.必的最大值为2B.右+扬的最大值为4

Q

C.1+从的最小值为1D.21+〃的最小值为鼻

二、多选题

8.（2025•浙江温州•模拟预测）已知实数小力满足。，W>0,则（）

A.a>bB.a>-bC.a2>b2D.—>—

ab

9.（2020.福建三明.模拟预测）若a<b<T,c>0,则下列不等式中一定成立的是（）

11C1,1->（'）D.In（〃-a）>0

A.一<—B.u—<b—C.

abba

10.（2024•福建龙岩•一模）下列命题正确的是（）

A.若avbvO,则/

B.若av〃v（）,则ac~<be2

C.若0<av/?vc,贝lj£>£

ab

D.若0va<〃，贝i]2a+2>2\/^

2

0,已知M=处匕，,则下列说法正确的

11.（23-24高一上•江苏盐城•期末）设。>0,b>

aba+b

是（）

A.M有最小值B.M没有最大值

C.N有最大值为9D.N有最小值为*

22

12.（2025.福建漳州•模拟预测）已知正实数X,），满足x+2y=I,则（）

A.xy«-B./+y2-

"8'2

C.—+--^3+2&D.k+-~---三2

xy\-2y

13.（2020•山东•高考真题）已知a>0,b>0,且a+b=l,则（）

A.a2+b2>-B.2沙>1

22

C.log2a+log,b^-2D.4a+4b<41

14.（2022・新高考全国II卷•高考真题）若X,），满足V+），2一个=1,则（）

A.x+y<\B.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y21

三、填空题

15.（2020・江苏・高考真题）已知5f），2+y）=ia，ywR）,则./+），2的最小值是.

16.（2021•上海,高考真题）已知函数"x）=3*+号（a>0）的最小值为5,则。=.

17.（2021・天津•高考真题）若则,+白+力的最小值为_________.

ab

18.（2025・上海•高考真题）设。力>0,。+，=1,则力+，的最小值为_______.

ba

19.（2025.福建泉州•模拟预测）已知正实数&方满足，+1=/〃，若（〃+电+」的最小值为4,则实数，〃的

abI。八a）

取值范围是.

20.（2020・天津•高考真题）已知G>Qb>0,且必=1,则，-+乙+±的最小值为_______

2a2ba+b

【第3讲：不等式的性质及基本不等式】

题型梳理

【知识点清单】

1.等式与不等式的性质

【知识点的认识】

1.不等式的基本性质

(1)对于任意两个实数小儿有且只有以下三种情况之一成立:

①-/?>0；

②a<b=a-Z?<0：

③。=boa-b=0.

(2)不等式的基本性质

①对称性：a>b<^>b<a\

②传递性：a>b,b>c=a>c；

③可加性：a>b=a+c>b+c.

④同向可加性：a>b,c>dna+c>b+d；

⑤可积性：a>b,c>O=>ac>bc：a>b,c<O=>ac<bc；

⑥同向整数可乘性：a>b>0,c>ct>O=>ac>bd；

⑦平方法则：〃（花N,且〃>1）；

⑧开方法则：〃>〃>0=\/5>妣（〃WN,且〃>1）.

2.不等式比较大小

【知识点的认识】

不等式大小比较的常用方法

（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；

（2）作商（常用于分数指数寡的代数式）；

（3）分析法；

（4）平方法；

（5）分子（或分母）有理化；

（6）利用函数的单调性；

（7）寻找中间量或放缩法；

（8）图象法.其中比较法（作差、作商）是最基本的方法.

3.运用基本不等式比较大小

【知识点的认识】

基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式.其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等

于它们的算术平均数.公式为：—>（。20,b'O）,变形为abW（―）2或者〃+以2病.

2-2

【解题方法点拨】

运用均值不等式比较大小时，需要将待比较的数值代入不等式.例如，要比较两个数。和b的大小，可

以使用等工皿在具体题目中，通常会将两个数构造成可以应用均值不等式的形式，然后进行比较.例

如，比较/+妥和2的大小，可以利用均值不等式得出无2+妥22

4.运用基本不等式求最值

【知识点的认识】

基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式.其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等

于它们的算术平均数.公式为：—>y^b(a20,820)，变形为(―)2或者。+匕22而.

22

【解题方法点拨】

在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式.例如，要求代数式的

最小值，可以利用均值不等式“+2从而得出最小值为2,并且在A=1时取到最小值.需要注意的

是，运用不等式时要确保代入的数值符合不等式的适用范围，并进行必要的等号条件验证.

5.运用“1”的代换构造基本不等式

【知识点的认识】

基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式.其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等

于它们的算术平均数.公式为：—>(。》0,心°)，变形为时W(―)2或者。+/)22代反

2-2

【解题方法点拨】

在一些更杂的代数式问题中，结合已知条件中的和或积为常熟，可以通过将“1”表示为两个数的和或积,

从而构造均值不等式，简化问题.

【命题方向】

运用“1”的代换构造均值不等式时，可以通过将“1”表示为两个数的和或积，从而应用均值不等式.

13

已知实数x,)WR+,且x+y=4,求一+一的最小值.

xy

解：Vx>0,y>0,x+y=4,

.133(x+y)1y6、”匚e山y3x2,心e

:,一+-=x-+y-+-―—=-+—+3—x+3->1+­»当且仅当丁=丁，n即ny=r-时取等号，

xy4x4y4434y424y

.•二+三的最小值为：1+苧.

xy2

故答案为：l+§.

6.分式不等式

【知i■只点的认识】

分式不等式指的是含有分式的数学不等式.解分式不等式时，关键是注意分母不为零.

【解题方法点拨】

将分式不等式转化为普通不等式，并限定分母部分不为零，找巴符合不等式的区间.综合各区间解，写出

最终解集.

7.指、对数不等式的解法

【知识点的认识】

不等式的解法

(1)整式不等式的解法(根轴法).

步骤：正化，求根，标轴，穿线(偶重根打结)，定解.

特例：

①一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式"(aWO)解的讨论.

(2)分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

盘>O=/(x)g(x)>O;隼之。0[/(x)g(x)>0

OV-*✓g(x)g(x)*O

(3)无理不等式：转化为有理不等式求解.

[/(x)>0

=定义域

©=<g(x)之o.

J(x)>虱x)

7(X)>o

②即>g(x)@"(X)<g(X)O,g(x)>0

o燃露檎:](x)<[g(x)f

(4)指数不等式：转化为代数不等式

>/⑸g>i)=/(X)>乐x);a&)>"⑷(0<a<l)<=>/(x)<g(x)

af，t>b(a>0,d>0)u>/(x)lga>lgb

(5)对数不等式：转化为代数不等式

/(x)>0/(x)>0

1嗝/(x)>1吗g(x)(a>1)=<g(x)>0log。/(X)>log4g(xX0<a<1)=/g(x)>0

|/(x)<g(x)

/(x)>g(x)