河南许昌市2025-2026学年高一年级下册期中考试数学试题（试卷+解析）

高一数学

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴

在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知复数z=i（2+D+5,则忖=（）

A.75B.20C.5D.20

2.下列说法中错误的是（）

A.空间四边形可以确定四个平面

B.当三点共线时，有无数个平面

C.若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的任意一条直线都没有公共点

D.若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面平行

3.在VA8C中，角A,B,。所对的边分别为小〃，c,若A=45。，8=75。，〃=&，贝壮=（）

A.&B.72C.3D.2

4.若向量”，b»c两两夹角均为60，且同=1,b=2t|c=3,则。一〃+c=（）

A.gB.3C.V15D.4

5.已知圆锥SO的侧面积为15兀，其轴截面△£48的直观图为△SWE，且S'O'〃y'轴，4。=3,则OS

的长度为（）

A.2B.4C.5D.6

6.福善牛皮鼓是四川省自贡市富顺县福善镇的传统手工技艺，属于自贡市级非物质文化遗产传统技艺类项

目，该技艺以本地水牛前肋皮为原料，完整保留选材、撑皮、晒皮、下料、削皮、浸泡、鼓皮定型、箍桶、

上索、上楔等十道核心工序，成品具有音质纯正、粗犷深沉的声学特质.如图所示的牛皮鼓的鼓面直径为

20cm,其表面积为850兀cnf,用平行于鼓面的平面截牛皮鼓，所得截面圆的最大直径为30cm.若将该牛皮

鼓看成由两个相同的圆台拼接而成，忽略鼓面与鼓身的厚度，则该牛皮鼓的高度为（）

A.36cmB.32cmC.24cmD.20cm

7.在VABC中，PC=3BP，过点P的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M，N,设A8=〃MM，

31

AC=nAN»其中〃2>0,?2>O则一+一的最小值为（）

?mn

A.1B.2C.3D.4

8.在正六面体中，直线au平面A3CO,直线Z?u平面ABC。，记该正六面体的12

条棱所在的直线构成的集合为U.给出下列四个命题：

①U中可能恰有3条直线与a异面；

②U中可能恰有1（）条直线与。异面；

③U中可能恰有8条直线与b异面；

④U中可能恰有10条直线与〃异面.

其中正确命题的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知平面向量〃二（、后,1）,〃二（乂一5）,则下列命题正确的是（）

A.若。_!_/?，则x=—75

B.若。///?,则x=56

C.若〃与〃的夹角为锐角，则"勺取值范围为（6,+8）

D.若X=则人在〃上的投影向.鼠的坐标为

I33,

10.在V43c中，A6=3,AC=4,NB4C=工，点。为边BC上一动点，则（）

2

A.BC=5

B.当AO为边上的高线时，AD=—

5

C.当人。为边上的中线时，AD=-

2

D.当AD为NK4C的平分线时，AD=y

11.已知正方体43。。-44。1仅的棱长为2,点石，尸分别是线段CD,8C的中点，平面。过点A，E,

“且与正方体ABCO-A4GA形成一个截面图形，下面说法正确的是（）

A.直线AE•与8用是异面直线

B.截面图形是一个五边形

C.若点/在正方形CDRG内（含边界位置），且/w平面。，则点/的轨迹长度为巫

2

D.截面图形的周长为夜+J5

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设i是虚数单位，在复平面内复数一L的共规复数对应的点位于第______象限.

1+1

13.油纸伞是汉族占老的传统用品之一，以手工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐油的皮棉纸做伞面，

如图1.伞在开合过程中，伞柄4P始终平分同一平面内两条伞骨所成的N84C,且A8=AC,伞圈。可

沿伞柄自由滑动.如图2,当伞完全收拢时，伞圈。滑至/X的位置，此时A,从/X三点共线，」知A。=50cm,

5为A£）’的中点；当伞从完全张开状态到完全收拢状态时，伞圈D沿伞柄向下滑动的距离为20cm.如图3,

当伞完全张开时，sinZBAC=.

—•2一一•1—--

14.在VAAC中，点D满足AD=-AB,CE=-CD,设，AC=b若。=6,Z?=4,且

ZMC=60°,则.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知。为坐标原点，复数z=2+3i,z2=l-2i,z=a+bi,。力£R在复平面内对应的向量分别为

。力，。8，OC-

（1）若点C在复平面的实轴上，且A8=AAC，求出实数k与a的值;

(2)若点C在直线)，=-2上，且A3d.OC，求出实数a的值，并计算后.

16.已知长方体中，AB=BC=2,朋=3,用平面4。避截去长方体的一个角后得

到如图所示的几何体ABC/)—ABCR.

(1)求被截去的几何体的体积;

(2)求几何体ABC。-A与G仅的表面积.

17.请在①向量沅=(cosC,cosB),n=(2a-c,b),且〃?//〃；②(M一b?Nl-cos?H=(b?-c?).sinC这

两个条件中任选一个，填入横线上并解答.

在VA3C中，内角八，B,C的对边分别为a,b,c,且满足______.

(1)求B的大小；

(2)若b=2,求VA3c周长的取值范围；

(3)若4C边上的高为1,求V48C面积的最小值.

18.某市计划在中央公园的一块三角形空地上建休闲花园，将三角形分割成三部分，如图，在区域5，53

分别种植薰衣草、马鞭草花田，将区域邑设计为下沉式水景庭院，并在水景庭院周围设置木质护栏.在

JFJT

RtZ\A3C中，。=二，BC=400m.M、N在BC上,且NMAN=7.

36

(1)当助V=200m时，求木质护栏的长度；

(2)为了控制建设成本，如何设计能使水景庭院面积尽可能小？请写出设计方案，并求出水景庭院面积

的最小值.

19.如图1,在正方体ABC。—4qCQ中，A6=3,E,F,G,”分别是棱ABBC,CC,,CQ的中

点，且比与价相交于点Q.

图1图2

(I)求证：直线QQ为平面ABCD与平面CG2。的交线；

(2)在图2中作出过AG,A三点的截面，并求出该截面的周长和面积.(写出作图过程并保留作图痕

迹)

高一数学

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴

在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知复数z=i（2+D+5,则忖=（）

A.75B.20C.5D.20

【答案】B

【解析】

【详解】z=i（2+i）+5=2i+i2+5=2i-l+5=4+2i,所以回==2后.

2.下列说法中错误的是（）

A.空间四边形可以确定四个平面

B.当三点共线时，有无数个平面

C.若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的任意一条直线都没有公共点

D.若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面平行

【答案】D

【解析】

【分析】根据空间点、线、面的位置关系逐项判断即可.

【详解】对于A,空间四边形的四个顶点不共面，可以确定四个平面，故A正确，不符合题意；

对于B,当三点共线时，平面可以绕直线旋转，有无数个平面，故B正确，不符合题意；

对于C,若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面无公共点，故C正确，不符合题意；

对于D,若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内，

故D错误，符合题意.

3.在VABC中，角A,B,。所对的边分别为小b,c,若A=45。，B=75。,。=叵，则。=（）

A.75B.72C.3D.2

【答案】A

【解析】

【详解】由A=45。，8=75。，可得C=60。，

c_>/2

由正弦定理一J二」一，可得主二79,解得c•二JJ.

sinCsinA-

22

4.若向量〃，b»c两两夹角均为60,，且同=1,Z?|=2,|c=3,则。一〃+c：=（）

A.不B.3C.Vf5D.4

【答案】B

【解析】

【详解】由题得。•力二同Wcos600=lx2xg=l,

5=|«||c|cos60,=lx3x；=：,

a-c

Z?-c=|/?||C|COS60L=2X3X』=3,

所以a-b+c=(a—8+c；)•(a—Z?+c)=|。「+b+|c|~-2^-Z?+2ac-2b-c

3

=l2+22+32-2xl+2x——2x3=9,

2

即d-b+c\=3.

5.已知圆锥S。的侧面积为15兀，其轴截面△SAB的直观图为△SW9,且S'O'〃y'轴，AO'=3,则OS

的长度为（）

A.2B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】根据圆锥的结构特征及其侧面积列方程求母线长，再由轴截面的性质求圆锥的高，最后利用斜二测

画法确定OS'的长度.

【详解】已知圆锥侧面积公式为品|二兀〃（其中「为底面半径，/为母线长），

由圆锥SO的侧面积为15兀，

根据斜二测画法规则，由=3可知底面半径尸=3,

代人得兀x3x/=15兀，解得/=5,

在圆锥轴截面中，圆锥的高介、底面半径，•和母线/构成直角二角形，

由勾股定理得〃=,将〃=3,/=5代入可得〃=巧手=4,

因为轴截面4SAB的直观图为△S'A'B，且S'O7/），'轴，

在斜二测画法中，平行于了轴的线段长度变为原来的一半，

所以O'S，=L/?=，X4=2.

22

6.福善牛皮鼓是四川省自贡市富顺县福善镇的传统手工技艺，属于自贡市级非物质文化遗产传统技艺类项

目，该技艺以本地水牛前肋皮为原料，完整保留选材、撑皮、晒皮、下料、削皮、浸泡、鼓皮定型、箍桶、

上索、上楔等十道核心工序，成品具有音质纯正、粗犷深沉的声学特质.如图所示的牛皮鼓的鼓面直径为

20cm,其表面积为85071cm2,用平行于鼓面的平面截牛皮鼓，所得截面圆的最大直径为30cm.若将该牛皮

鼓看成由两个相同的圆台拼接而成，忽略鼓面与鼓身的厚度，则该牛皮鼓的高度为（）

A.36cmB.32cmC.24cmD.20cm

【答案】C

【解析】

【分析】根据圆台表面积公式得到圆台母线长/,进而求出高即可.

【详解】解：依题意可得，圆台上底面半径为10cm,圆台下底面半径为15cm,

该牛皮鼓的表面积=两个圆台的侧面积+两个圆台的上底面面积，

则S表=2（S停+10\）,即850n=26恻+WoJ,解得5恻=325兀.

又5供|=£「+R），，所以325n=（10+15）/，解得/=13cm-

由12=肥+（R一丁）2,得〃=12cm,即2/?=24cm,则该牛皮鼓的高度为24cm.

7.在VA3C中，尸C=33P，过点。的直线分别交直线A8,4C于不同的两点M,N,设,AB=mAM,

31

AC=〃AN，其中相>0，/?>0-则1—的最小值为（）

mn

A.IB.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析［根据已知得AP=-A8+—4C,进而有AQ=—AM+—AN,再由三点共线有与+2=1,应

444444

用基本不等式力”的代换求目标式最小值.

【详解】AP=AB+BP=AB+-BC=AB+-(AC-AB\=-AB+-AC，

44、744

____1"3/22'/?

将=Ad=〃AN代入上式，得4P=-AM+:AN,

44

因为M,P,N三点共线，所以当+2=1，即3机+〃=4,且皿〃>0,

44

所以史+2=：(3m+九)(巨+3=乂9+邓+网+1)

mn4\mnJ4\mn/

=K10+^+V)-?(10+ZJ^V)=J(10+6)=4,

当且仅当叫二网，即〃2=〃=1时，等号成立.

8.在正六面体48co中，直线au平面ABC。，更线平面4片。刀，记该正六面体的12

条棱所在的直线构成的集合为U.给出下列四个命题：

①U中可能恰有3条直线与。异面；

②U中可能恰有10条直线与。异面；

③U中可能恰有8条直线与b异面；

④U中可能恰有10条直线与。异面.

其中正确命题的个数为（）

A.4B.3C.2D.I

【答案】C

【解析】

【分析】根据正方体的结构特征及异面直线的定义依次判断各项的正误即可.

【详解】若直线。与底面ABC。的一条边所在直线重合时，假设直线。与AB重合,

此时U中只有4条直线（即CG，DD,,AA，4G）与直线〃异面;

若直线a与底面A4CD的对角线所在直线重合时，假设直线a与AC重合,

此时U中有6条直线（即AA，4与，BC，CR,BB],QR）与直线〃异面;

若直线。只过底面A8CD的一个顶点时，假设宜线。过点4,

此时U中有7条直线（即AA，4与，eG，C,D,,BBi，CC,,。。）与直线4异面;

若直线。不过底面A8CD的任何一个顶点时,

此时U中有8条直线（即，4与，B£,CR,AAt,BB},CC,,DD］）与直线a异面,

综上，①、②都错;

③当直线力过八点与线段BG的口点时，U中除了AD,BC，AB,AA之外的8条棱所在直线均与直线。

异面，对;

④当直线人过线段人。中点与线段4G的中点时,，U中除了A。，4G之外的10条棱所在直线均与直线/，异

面，对.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知平面向量4=（逐,1）,/?=（x,-5）,则下列命题正确的是（）

A.若a_L〃,则x=

B.若a/ib，则x=56

C.若“与〃的夹角为锐角，则."勺取值范围为（6,+8）

D.若X=_旧,则6在4上的投影向量的坐标为（一二一g

【答案】CD

【解析】

【详解】A,若则=—1x5=0，解得x=J^,错误：

B,若aiib,则—5j5—x=0，解得x=—错误；

C,若Q与/?的夹角为锐角，则。力二氐一lx5>0,解得x〉石，

结合B分析，所以〃与力的夹角为锐角的充要条件是(石,+8),正确；

D,若X=-yjs，则/?=卜石,一5),而同=,(6)~+1=限，

所以〃y=卜百)+lx(-5)=70,

•,一ba-105//T(5>/55)

所以〃在a上的投影向量的坐标为=一](。5,1)=[—厂§，正确♦

7T

10.在VA8C中，AB=3,AC=4,ZBAC=-,点。为边BC上一动点，则()

2

A.8c=5

12

B.当AD为边8C上的高线时，AD=y

C.当AD为边8c上的中线时，AD=-

2

12

D.当AD为NBAC的平分线时，AD=—

7

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用勾股定理、直角三角形的性质判断A、C,由三角形的面积公式及等面积法判断B、D.

【详解】A；根据勾股定理一AZ72+AC2,

将AB=3,AC=4代入可得6,2=32+42=25,所以3c=5,A对；

B：根据三角形面积公式SA3c=；A8-AC=g8C-AO,

11I?

代人得一x3x4=-x5x4。，解得4。二一,B对；

225

C：因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，BC=5,所以AO=2,C对;

2

D：因为A。为NZMC的平分线，所以/A4O=NC4D=

4

由SA8c=SABD+SACD,可得一x3x4='x3x/ADxsin—d■—x4xADxsin—,

22424

即6=gAOx（3+4）x乎,解得人。=应2,D错.

7

11.已知正方体ABC。-AgG仅的棱长为2,点E,”分别是线段CD,BC的中点，平面。过点A，E,

”且与正方体ABCD-AQGA形成一个截面图形，下面说法正确的是（）

A.直线AE与8片是异面直线

B.截面图形是一个五边形

C.若点/在正方形CDRG内（含边界位置），且/£平面贝J点/的轨迹长度为巫

D.截面图形的周长为疝+J5

【答案】AB

【解析】

【分析】由异面直线的定义判断A,应用平面的基本性质画出截面图，再根据已知及各项描述依次判断正误

即可.

【详解】A,在正方体A/CD—4qGN中，与〃4既不平行也不相交，

84u平面A881A，4€平面片844，A/E任平面ABgA，

所以直线AE与8片是异面直线，正确：

B,延长石户，与AQ的延长线交于点P,与48的延长线交于点Q,

连接4P交。已于点G,连接A2交B用于点”，

再连接GE,HF,可得五边形EFHAG为所求截面，正确：

C,由题意知，线段EG为点/的轨迹,

DGDP1

因为B二寸不二彳，所以G为。。।的三等分点，同理，H为BB1的三等分点,

则EG=/2+(|)2=半，即点/的轨迹长度为胃，错误；

D*A1G=AlH=.$=萼，EF=6,且EG=F〃二手，

则五边形的周长为2b+血，错误.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设i是虚数单位，在复平面内复数」的共挽复数对应的点位于第______象限.

1+1

【答案】四

【解析】

2i_2i(l-i)_2i-2i2_2i+2

【详解】由T+I—(14-i)(l-i)-1-i22

其共枕复数为l-i，在复平面内对应的点为(1,-1),位于第四象限.

13.油纸伞是汉族古老的传统用品之，以手工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐油的皮棉纸做伞面，

如图1.伞在开合过程中，伞柄4尸始终平分同一平面内两条伞骨所成的N84C,且A8=AC,伞圈。可

沿伞柄自由滑动.如图2,当伞完全收拢时，伞圈。滑至N的位置,此时A,3,川三点共线，已知AD=50cm，

8为A。'的中点；当伞从完全张开状态到完全收拢状态时，伞圈D沿伞柄向下滑动的距离为20cm.如图3,

当伞完全张开时，sinZBAC=.

A

B(C)

D,

P

图1图2

24

【答案】—##0.96

25

【解析】

【详解】由题设，在△ABD中>4B=」AO'=25cm,AD=30cm,BD=CD=AB=25cm,

2

由余弦定理，得AO?=+

3

代人得25?=252+3()2_2•25•30•cosNBAD，解得cos/BAD=-,

所以sinm/Q==g又/RAC=2/RAD.

4324

根据二倍角公式，得sin/B4C二2x=x=二院.

5525

一2——•1一--

14.在VABC中，点D满足AD=—AB,CE=—CD,设AB="，AC=b，若〃=6,b=4,且

32

ZMC=60°,^1AE-AB=______.

【答案】18

【解析】

【分析】用〃表示出AE,A8,应用向量数量积的运算律和定义求AE.A0即可.

【详解】由题意知，AD=-AB=-a,CL)=AD-AC=-a-b,

333

11f2111.

C£=—rC/nJ=--a-b=—a——b,

22(3J32

・(11)1

所以A£=AC+CE=Z;+—。一一b=-a

(32J3

又同=6,b=4,Z^4C=60°,

所以。=同〃co$60o=6x4xg=12,

所以-a+—b\-a=-a-a+—b•a+—(«/?)=-x62+—xl2=18.

[32)3231i2、/32

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.己知。为坐标原点，复数Z=2+3i,z,=l-2i,z=a+bi,在复平面内对应的向量分别为

QNOB，。。・

(I)若点C在复平面的实轴上，且48=kA(＞求出实数女与G的值；

(2)若点C在直线丁=一2上，且人B_LOC，求出实数4的值，并计算后.

k=>

3

【答案】(1)；

a=—

5

z5>/26>/26,

⑵a=\o,n=~^-十生】

|z|2626

【解析】

【小问1详解】

因为点C在复平面的实轴上，所以6=（）,即点C（4,o）,

又因为A（2,3）,B（l,-2）,所以AB=（T,_5）,AC=（«-2,-3）,

由A3=kAC且AeR，得（一1,一5）=Z（a—2,—3）,

,5

k=-

-1=k（a-2）3

所以〈解得

-5=-3k7

a=—

5

【小问2详解】

点C在直线＞=一2上，即〃二一2,所以OC=（4—2）,

又因为AB=（—1,-5），AB±OCr所以ABOd=0，

即—4+10=0,解得。=10,此时z=10—2i,

z10+2i5726V26.

所以年石：（：2）2=T+Wr-

16.已知长方体ABCO-AgG"中，AB=BC=2,A4,=3,用平面4。出截去长方体的一个角后得

到如图所示的几何体4BCO-ABIGA•

（1）求被截去的几何体的体积；

（2）求几何体4BCO-AqG。1的表面积.

【答案】（1）2（2）24+V22

【解析】

【分析】（1）由题可知截去的几何体为三棱锥，再利用锥体体积公式计算即可;

（2）由题可知表面由3个三角形和3个矩形构成，结合余弦定理求面积即可.

【小问1详解】

解：被截去的几何体为三棱锥，体积为2x2x2x2x3=2.

32

【小问2详解】

解：因为的=3,AB=BC=2,

所以53的=5.叼=不乂2x3=3，5AADJCI=-X2X2=2,SAliCD=2x2=4,

SAAJ入D-^CCtD,D=2x3=6.

AG=VFTF=2&，AB=g=正+»=岳,

在△4G8中，由余弦定理得COS“BG="=]3二3；=9,

2xABxC]B2xV13x5/1313

则sinZ4BC,=71-cos2Z^BC,=笔^，

所以S,,.g二；xABxG3xsinNABq=gx相x如x=y/22，

S

所以SABCD-ARM=SMI84+SACBQ+SM]Dg+S四边形ABC"+AAXDVD+S四边形人山道+8cl=24+

y/22.

17.请在①向量相=（cosC,cosB）,n=（2a-c,b）,且〃?//〃；②（下一日）Ji-cos?A=（从-c2）.sinC

这两个条件中任选一个，填入横线上并解答.

在VA3C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.

（1）求B的大小；

（2）若b=2,求VA8c周长的取值范围；

（3）若AC边上的高为1,求V力8c面积的最小值.

【答案】（1）吕二二

3

（2）（4,6]

⑶g

3

【解析】

【分析】（I）根据所选的条件，应用向量平行的坐标表示、正弦边角关系、三角恒等变换，将条件化为

2sinAcos〃=sinA或/+c?—〃=ac，最后由三角形内角性质、余弦边角关系求角；

□

（2）由余弦定理、基本不等式得到34c=（。+0）2-4«工（。+©）2,从而求得2<a+cK4,即可得；

（3）应用等面积法得〃=走比，余弦定理得〃2=/+/一〃，结合基本不等式求得敬之之，最后应用

23

三角形面积公式求最小值.

【小问1详解】

选择①：因为根//〃，所以（加一c）cosB=〃cosC,

由正弦定理，得（2sin4—sinC）cosB=sinBcosC,

即2sinAcos3=sinCcos3+cosCsin3,

即2sinAcos8=sin（B+C）=sinA,

因为人£（0,兀），所以sinA>0,所以cosB=g,

XBG（O,7T）,所以Bn1；

选择②：因为（Y一）川一cos?A=（从—V）sinC,所以（/一从卜出斗二伍?-。?卜me,

由正弦定理，得（后一片）4=（〃2-C2）C,即/+/=（出2+〃%，

即（。+°）（/-。。+/）=/穴。+。），即〃2一4+。2=从,即/+/一从=4°,

由余弦定理，得COS8=♦+/-“△,又8«0,江所以8二三；

2ac2''3

【小问2详解】

由余弦定理lr=a2+c2-2〃ccosB,得/+c?-。。=（。+c）~-3ac=4,

即3ac=（a+c）2-4Wa（4+c）2,即（a+c）2<16,当且仅当。=。、=2时取等号，

所以2<。+。<4,得4<。+/?+。K6,即VA3C周长的取值范围为（4,6］；

【小问3详解】

由面积公式S》8c=gbxl=gacsin8,得1）=日川,

2

由余弦定理可得/??=/+c2_2〃ccosB=cr+c一ac，

所以M)2

=a2+c2-ac>ac,

42

所以。。之一，当且仅当。=c=y时等号成立.

3x/3

=5人与

所以S»BC

243

即V48c面积的最小值为

3

18.某市计划在中央公园的一块三角形空地上建休闲花园，将三角形分割成三部分，如图，在区域加，S3

分别种植蒸衣草、马鞭草花田，将区域S2设计为下沉式水景庭院，并在水景庭院周围设置木质护栏.在

JT7T

RtA.AZ?C中，C=—,BC=400m,M、N在月C上，且/MAN=—.

36

c

A

(1)当用V=200m时，求木质护栏的长度；

(2)为了控制建设成本，如何设计能使水免庭院面积尽可能小？请写出设计方案，并求出水景庭院面积

的最小值.

【答案】(1)300+1006(m)

(2)方案见解析，最小值为30000(2-6卜］12.

【解析】

【分析】(1)根据余弦定理求AM进而得出NN4B和NC4M,即可求出4M和MV.

⑵法一”假设乙M48二。，法二假设iCnM=。，用正弦定理表示出AM和AN,

再利用三角形面积公式和三角恒等变换可表示出SMN，然后根据三角函数求最值即可求出面积的最小值.

【小问1详解】

在RtZXABC中，ZC=y,BC=4(X)m,所以AC=200m,A8=200Gm，B=^.

在△AA8中,

AN2=AB2+NB2-2AB•NB•cosB=(200V3)2+2002-2x20073x200xcosg=2002,所以

A7V=2OOm.

则为等腰三角形，zM4B=g又因为所以2。4M则=；,

oooZ

得=AC-sinC=200xy=100V3(m)»CM=AC-cosC=200x1=100(m),

则MN=BC-CM-BN=400-100-200=100(m),

所以护栏的长度为4M+AN+MN=300+100>/3(m).

【小问2详解】

设计使得N&4M=3时水景庭院面积最小(或设计乙M4B=曰等符合题意都可).

124

Tl1T

方法一设/NAB=9,OEo,一，则4=,

3)

ANABAN_200百100冉

在△AA5中，[ln解得AN=

sinB-sin/ANB'Si苗_sin传~可，sin得-e)，

AM_ACAM200«1005/3

在VC4M中,即砾二硒可，解得“M=前轲•

sinCsinZ.AMC

所以水景庭院的面积为S