湖北省部分重点高中2025-2026学年高一年级下册5月期中测试 数学（含解析）

高一数学试卷

一、单选题

1.若（2-i）z=3+i（i为虚数单位），（）

A.1+iB.-2iC.2iD.1-i

2.设乙》为两个非零向量，则“无5>0”是“存在正数3使得2=4”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.下列说法正确的是（）

A.正三楂锥就是正四面体

B.有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱

C.圆锥的轴截面是圆锥所有过顶点的截面中面积最大的

D.七面体可以有1（）个顶点，5条侧棱

4.已知圆柱的上，下底面的中心分别为q,。2,过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方

形，则该圆柱的体积为（）

A.8兀B.10冗C.127rD.16兀

5.在VA8C中，角所对的边分别为已知a-ccosB=6-c8sA,且"二公+从一仁,则VA8C

的形状为（）

A.钝角三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.等边三角形

6.欧拉公式eM=cos6+isine（e是自然对数的底数，i是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它

将指数函数的定义域犷大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式,，化简（一严冬的结果

为（）

A.也+骂B.1-iC.—+—iD.2i

2222

7.已知〃为VAAC的垂心，若丽=：而+!而，则sin/H4C=（）

A.如B.—C.—D.在

3253

8.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学

的对称美.如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的

十四面体，且它所有的棱长都为2.则下列结论中，错误的是（）

A.该石凳的表面积为24+8右

B.该石凳的体积为也2

3

C.有内切球，且内切球的体枳为还S

3

D.有外接球，且外接球的表面积为16兀

二、多选题

9.下列结论正确的是()

A.若病11(/721l)i>0,则实数机的取值范围是(8,1M1,IOO)

B.若复数Z满足2qz|«3,则复数Z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为5兀

C.复数(2/-3〃7-2)+(>-3〃?+2],(,〃£1^在复平面内对应的点不可能在第二象限

D.设Z1,Z?均为复数则ZV+ZV

10.在V45C中，角ABC所对的边分别为“权c.若〃=4,NC=g,则()

A.c=2百时，V48C外接圆周长为47r

B.c=6时，V4BC的面积为2G

7

C.c=一时，sinB一定大于sin/A

2

D.c=36时，V/WC有两解

11.如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥

在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则()

A.圆锥的侧面积为27几

B.圆锥的体积为54&兀

C.若一蚂蚁从点A出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点A，则爬行的最短距离为96

D.圆锥的外接球与内切球半径比值为彳9

4

三、填空题

12.边长为1的正六边形的直观图的面积是.

13.已知平面向量。出，满足|沁河=1,忖-2可=2,则向量"6在向量方上的投影向量为.

14.已知向量丘=sinx,sin2x+-|,狂=(瓜iru,l),函数/(x)=2无炉一V5,若函数y=/(x)-〃i在xe0常

\V4"2.

内有两个不同的零点，则实数〃?的取值范围为.

四、解答题

15.已知及数z满足z—|2z|=-36—3i.

⑴求z；

(2)若z是实系数一元二次方程/+云+°=0的一个根，求方程的另一个根和税的值.

16.在平面直角坐标系中，”(—2,0),N(—3,l),P(—l,3),设々=M灯/="从

⑴若(。+痴)，万，求〃?的值；

⑵若B-%与d+mb的夹角是钝角，求”的取值范围.

17.如图，某铁质零件由一个正三棱台和一个正三棱柱组成，已知正三棱柱的底面边长与高均为1cm,正

三棱台的下底面边长为2cm,且正三棱台的高为1cm,现有一盒这种零件共重650槐(不包含盒子的质量)，

取铁的密度为7.8g/cm'

(1)试问该盒中有多少个这样的零件？

(2)如果要给这盒零件的每个零件表面涂上一种特殊的材料，试间共需涂多少cm。的材料?

18.在锐角VA3c中，角A〃,C的对边分别为a,4c,2cosAcosC=———---.

tarL4+tanC

(1)求知B；

⑵若AC=25/2,AC边中线BD长为业,求VA8C的面枳；

(3)当AC=26时，VABC的面积为S,周长为L,求;的取值范围.

19.如图所示，设必,。＞'是平面内相交成兀)的两条射线，冢分别为Qx,。v同向的卑位向量，定

UUU

义平面坐标系xQv为a仿射坐标系.在。仿射坐标系中，若加=照+运，则记0P=(x,)，).

(l)a仿射坐标系中，为非零向量，G=(M，y),B=(/,%)，以下两个结论①若占〃人则不%=必》；②

若4J.6,则中2+)1%=。是否一定成立？(请说明理由)

(2)在。仿射坐标系中，若1=(-3,2)石=(-2,3),且。与/；的夹角为。，求cosa的值；

(3)如图所示，在3仿射坐标系中，RC分别在x轴，y轴正半粕上，薜・8C=]O/5=：。。，点瓦尸分别

363

为BD8C中点，求诟.砺的最小值.

题号12345678910

答案ABDDDDBCBDAC

题号11

答案ACD

1.A

根据复数的除法运算法则求解.

3+i_（3+i）（2+i）_6+5i+i?_5+5i

【详解】因为（2—i）z=3+i,所以z=

2^I-（2-i）（2+i）-4-i2=l+i.

2.B

【详解】•••为两个非零向量，..・同工。,，卜0,设7b两向量的夹角为仇

充分性：•.“"＞（），，无人同卡即。〉。，即cos，＞0,解得0,：）；

，不一定存在正数N，使得/=〃成立，即充分性不成立.

必要性：•.•存在正数丸，使得4=篇成立，•.・。=。；

：.db=\d\-Wcos0二网.忖＞0,即必要性成立.

「•”小方＞0”是“存在正数丸，使得4的必要而不充分条件.

3.D

根据空间几何体的结构特征，即可求解ABD.根据过圆锥顶点的截面图形特征和截面图的面积公式

S=L/2sin。即可判断C.

2

【详解】对于A,如果正三棱锥侧棱与底面边长不相等，就不是正四面体，故A错误；

对于B.如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故B错误；

对于C,过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长/,

设该等腰三角形顶角为0,则截面三角形面积为S=¥sin0,

显然当夕二三，面积S最大，故当圆锥的轴截面三角形顶角大于£时,

22

圆锥的轴截面面积不一定是最大的，故C错误;

对于D,正五棱柱有七个面，1()个顶点，五条侧棱，D正确.

4.D

设圆柱的底面半径为「，母线长为/，根据题意求出广」，进而利用圆柱的体积公式即可求解.

【详解】设圆柱的底面半径为「，母线长为/,由题意得：!=2',

因为过直线QQ的平面截该圆柱所得的截面是面枳为16的正方形，

所以2〃=16,即/=2r=4,所以r=2,

2

所以该圆柱的体积为V=7ir/=TI>22x4=16n,

故选：D.

5.D

由°2=/+〃2可得c=],由。一ccos8=〃一ccosA可得4=z?,确定aABC是等边三角形.

【详解】由不=/+〃一他得/+b2-c2=ab,

所以cosC二/十=1,又Cw(O,兀)，所以C=g.

2ab273

由a-ccosB=b-ccosA,根据正弦定理可得sinA-sinCcos8=sinA^-sinCcosA,

又$1114=$皿(8+。)=5也氏03。+00$作血］(7,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以sin庆osC=sin/UosC,又cosCwO,所以sinB=sin4,

由正弦定理可得•=〃.因为〃=4C=楙，所以AABC是等边三角形.

故选：D.

6.D

【详解】依题意，化/)期6+"二/06%"+e2'=cos(5067i+¥)+电〃(506兀+色)+85'+)〃'=2i

2222

7.B

由垂心的性质得到向量的数量枳，解方程组求得COS/84C,最后求sin/8AC.

【详解】因为，是VA3C的垂心，所以丽•/=(),AHBC=0

因为丽=丽+而=_1通+］而，

所以A方/C=(一•|人月+；,。)•力

2

^\BAC=-AC1B|J|.|AC|•cosZBAC=~\^即cos/B4C

网

AHBC=^AB^AC^\AC-AB^=1AC2-1AB2-1^B.AC=O,

2222

AB=|AC-1AB-AC=||AC|-1X||AC|=||AC|=网2,

国与阿

1M尧1也

所以cosNBAC

画.平同-2,

sinZBAC=Vl-cos2Z«/AC=—

2

8.C

由题目要求，还原正方体，在正方体中观察各选项中需要用到或者求解的线段、三角形和四边形，分别求

出十四面体的表面积、体积，以及是否存在内切球及外接球.

【详解】A选项，该石凳由6个正方形和8个正三角形围成，它的表面积为6x22+8x2^x22=24+86,

4

A正确：

B选项，如图，

该石凳由一个棱长为2挺的正方体截去8个全等的正三棱锥，其体积为

(20夜x0x上=：6&-逑=竺巫，B正确；

v73233

C选项，该多面体由6个正方形和8个正三角形围成，到这6个正方形距离相等的点为原正方体的中心,

设该点为。，。到这6个正方形距离为拉，

设。到8个正三角形的距离为万，则1，且x22x〃=J乂,乂血*血X血，解得八旦,

34323

所以该多面体不存在内切球，C错误；

D选项，该多面体存在外接球，其球心为原正方体的中心，它到每个点的距离为原正方体面对角线的一半,

即2,

所以球表面积为4冗x2?=16兀，D正确.

9.BD

由复数的概念计算判断A；由亚数的几何意义计算判断B；由亚数在复平面内点坐标的特点列不等式计算判

断C；设4=1+仇Z2=c+d(。/c/cR),由共扰复数及复数的乘法计算判断D.

【详解】对于A,若M—1+(〃7+1)整0,

叫i‘解得…’故人错误;

对于B,由复数模的几何意义可知，若复数z满足24卜区3,

则复数z对应复平面上以原点为圆心，内半径为2,外半径为3的圆环,

所以面积为兀x3?-兀x2?=5兀，故B正确；

对干C,若复数(2/〃2-3，〃-2)+(“2-3/〃+21,(""2在复平面内对应的点在第二象限,

2m2-3m-2<0

则)解得-g<<1,

nr-3m+2>0

所以当〃”信J时，复数(2〉-3〃7-2)+"-3〃7+2)阳间在复平面内对应的点在第二象限，故C错

误；

对于D,设4=。+5/2=c+di(a,b,c,deR),

则Z)=a-bi,Z2=c-ch,

所以4z2+44=(a—〃i)(c+M)+,+〃i)(c一M)=ac+(ad—Z?c)i—〃Ji2+ac+(Z>c—ad)i—2=2[ac+),

所以NR?+ZR2eR,故D正确.

10.AC

根据正余弦定理逐个分析求解即可.

【详解】选项A,由正弦定理一J=2R(R为外接圆半径)，代入C=2G，

sine

2\/^

~R省2,外接圆周长=2穴7?=4立，A正确：

2

选项B,由余弦定理/=42+〃一24儿03。，代入°=6得，3=/+16-44*/一44+13=0

判别式△=16-52<0,方程无解，三角形不存在，B错误；

选项C,代入c=g到余弦定理得=/+16-4〃❷4/一16〃+15=0,

解得a或。=[,均满足。<4=〃.由正弦定理¥丝=£v1,得sin8>sin4,C正确；

22sinBb

选项D,/?sinC=4x且=26，c=3石>。=4,大边对大角，仅存在一个解；

2

或由余弦定理得/一4〃-11=0,汉一个正根，三角形只有一解，D错误.

11.ACD

根据圆锥的性质可求解母线长，进而根据体积公式以及侧面积公式即可求解AB,根据展开图，即可求解C,

利用勾股定理即可求解球半径.

【详解】设圆锥的母线长为/，底面半径为它,则以S为圆心，SA为半径的圆的面积为S=/,圆锥的侧面

积$="/=371/,因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周，

所以圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为2山=3x2w),解得/=9,所以圆锥的母线长为9；圆锥的侧面积

S=3X7CX9=27TC,故A正确；

圆锥的高”=二手"=6\反，贝ij圆锥的体积V7=；冗//=：兀*3,x6>/5=兀,故B错误，

设ZASA!=0,则2M=01,故ZASA1=0=—,

3

则z^SA为等腰三角形，所以蚂蚁爬行的最短距离为4V=2'4Sxsin工=2X9X@=9G，故C正确.

32

设外接球半径R,则有a=32+(6应-/?尸，解得R=2Z①；

8

设内切球半径八则有延二=二解得「=逑：所以

932r4

8

【详解】由于沙曳二坐

边长为1的正六边形的面积为6x1xlxlxsin工

232

故其直观图的面积为土叵乂也=亚.

248

13.-b

忸-2同=2两边平方后求出再利用投影向量的公式求解.

【详解】\a-2b^=,—25)2=万2一4万万+45，=4,

其中间=同=1,所以1-“4+4=4,解得

14.［73+1,3)

函数y=/(x)-〃，在xw［o，T｝为有两个不同的零点，等价于其对应的方程在给定区间内有两个不等实根，

一.

进而转化为两个函数在给定区间内有两个交点的问题，数形结合，即可求出参数的值.

【详解】/(x)=2〃F—G=26sin2x+2sin2(x+：)-G=G(l—cos2x)+l+sin2x-G

=l+2sin^2x—因为函数y=/(x)-〃z在内有两个零点，

所以/(x)-〃?=0在xw°，］内有两个实根，得l+2sin(2x一5)-〃?=0,

即函数y=sin(2V)在14°，外上的图象与直线产丝"有两个交点，

V/L/」—

_八冗11c穴穴27r—.7T2籁

当vl尤e(),-时，2X--G，何出y=sinz在zc上的图象如下,

结合函数图象可知，函数y=sin(2x-m)在区间°，5上的图象与直线y="

有两个交点时，所以与#」］,即〃?的取值范围是［6+1,3).

15.(l)z=x/3-3z

(2)z=V3+3i,be=-2443-

【洋角翠】(1)设z=+

因为z-|2z|=-3x/3-3i,则m+m_2="=-38-3i,

故卜-24^^=-3石得卜=6,故2=0.黯

(2)因为z是实系数一元二次方程£+以+。=0的一个根，

若z=J5-3i,则5=J5+3i也为实系数一元二次方程f+>r+c'=O的一个根，

x/3-3i+V3+3i=-/?

故人后.3i)(G+3i)=c'解得』2园=12,故反=-24技

16.(1)〃？=一1

(2)l^,-l)U(-l,0).

(1)求出。石的坐标，再根据两向量的数量积为0,计算即得答案；

(2)由两向量夹角为钝角，可得两向量数量积小于0,且它们不能共线，列出不等式组求解即得〃?的取值

范围.

【详解】(1)由题意得，a=MN=(-\,\),h=MP=(\,3),

则同=正出刀=_1+3=2,

又仅+〃町所以(4+"/)/=|4|2+痴W=2+2/〃=0,解得〃2=-1；

(2)b-a=(2,2),a+mh=(//z-l,3/n+l),

由与〃+痴的夹角是钝角，可知(万一可•,+/宓)<0且石-彳与〃+成不共线,

由（/?—勾•（汗+〃力）＜0得2（/n-l）+2（3nz+l）＜0,解得/??＜0；

又由方-万与0+mb共线可得2（3〃，+1）-2（/H-1）=0,得〃?=-1,

故阳的取值范围为(~1)5-1，0)-

17.(1)100个

(2)|：300+125++75x/39)cm2

(1)求出正三棱柱和正三棱台的体积，得到零件的质量和盒中零件数；

(2)作出辅助线，求出零件的表面积，得到答案.

【详解】(1)设等边三角形的边长为〃，则由三角形面积公式可得该三角形面积为1/5^60。=立

24

故正三棱柱的体积匕=—xI2xI=—cm3,

144

'2入22?+\阵7H加，

正三棱台的体积％=gxlx

44V4412

…136

所以该零件的质量为--+x7.8=---g,

12

所以该盒中共有零件65。阵苧=1。。个.

(2)如图，设。，。分别为三楂台所在棱的中点，O,。1分别为三棱台上、下底面的中心,

连接。。.OD,D»,OR.

同理可得QQ='3x2=^cm,

11323

所以。R=J*+（QQ_O£＞）2=—cm,

所以三棱台的侧面积为、（l+2）x叵x3=£^cn?,

2v764

所以一个零件的表面积为理+巫xl?+且x2?+1x1x3=3+56+3回cn?.

4444

因为3+班；3病＞100=300+1256+75屈,

所以共需涂（300+1256+75闻卜n?的材料.

18.(l)B=y

⑵速

2

⑶演T1

23

(1)根据给定条件，将正切化成正余弦，再逆用和角正弦公式求解.

利用向量数量积的运算律及余弦定理求出“C,进而求出三:角形面积.

(3)利用正弦定理及三角形面积公式，结合和差角的正弦化简：再利用余弦函数性质求出值域即可.

【详解】(1)在锐角NABC中,由2cosAcosC=——四更——,得2cosAcosC(taiV\+tanC)=tan3,

taa4+tanC

sirL4cosc+cos4sinCsinB

即2cos4cosC()=2sin(A+C)=2sinB=

cosAcosCcosB

由得©仍＞0，cosB=g,所以B

（2）由BO是VA3C边AC上的中线，得画+83=28万，

则而2+启+2而.布=4而2,而|叫=逐1=(

于是/+《2+4(7=20,由余弦定理得力2=/+/-2〃ccos3,

又b=2&，则〃2+/一公=8,联立解得知=6,经验证△/13c为锐角三角形,

所以V4BC的面积为SABC='acsinB=Lx6xY^=土叵.

上八成2222

a_c_b_25/3

(3)由正弦定理得5皿4一$山(？一5出8一.「一，则”=4sinAc=4sinC,

sin一

3

而A+C=§,令4=[-0,则c=[+0,由锐角VA8C,得一3<。<三，

33366

—«csinB/T165/3sin(--6^)sin(—+0)

因此Jc二号一=_小广=----------3)(3)

La+b+c4(〃+c+2a】6[sin(至-e)+sin(2+e)]+8G

33

2Ggeos。一；sincos。；sin。)怖cos?。一：sin]。4漓9_x

2>/3cos^+>/32cos6+I2(2cos^+l)

=8S0-[,由一得走<8$041,—~-<COS^--<—»

2662222

所以:的取值范围是(与

19.(1)①成立，②不成立，理由见解析

(2)costz=—

⑶昆.

6

(1)根据向量坐标运算法则以及仿射坐标系定义利用共线定理和数量积坐标运算，即可判断①成立，②不

成立;

(2)由a仿射坐标系中向量坐标表示以及数量积的运算律计算可得结果；

(3)设〃S，0),C(0,c)S>0,c>0),以％6为基底将0£0”表示出来，得出数量积的表达式，再由正弦定

理以及辅助角公式计算即可得出最大值.

【详解】(1)①成立，②不成立.理由如下：

若H//B，则存在非零实数2满足弓=如，因此‘*=[“2,即%为=占,，所以①成立，

若"工5,可得

a.5=(x4+3/乂94+Hl)"&/+(42,+不%)冢G+y%]"超+乂%+(%2凹+%%)，石，

则4G=剧砧3&工0,因此—十x%=0不成立，即②不成立;

(2)在a仿射坐标系中，由1=(-3,2),/；=(-2,3),

可得力=-30+2e2J)=-2et+3e2,且q•e2=1xIxcosa=cosa,

22

所以I，|=a=9q~+4々-12弓e2=13-12cosa，

155=52=%?+9才一1214=13-12cosa，可得同=1卜J13-12cosa,

4•6=(-3。+2%)2q+36)=6。2+6g2-13q•0=12-13cosa,

jr7iab12-13COS/712-13cosa1

因为向量不与》的夹角为弓，可得8s3=g^=J]3—12cosax，3—12cosa=13T28sa=5,

解得cosa=£■:

14

(3)在仿射坐标系中，