2026年高考数学一轮复习讲义：函数模型的应用（附答案）

§2.14函数模型的应用

【课标要求】1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直

线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律.了解函数模型在社会生活中的广

泛应用.

•落实主干知识・

I.三种函数模型的性质

函数

y=a\a>\)y=logw4>l))，=£(“>())

性质

在(0,+8)上的增减性单调递增单调递增单调递增

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随X的增大逐渐表随X的增大逐渐表

图象的变化随a值的变化而各有不同

现为与蓝平行现为与逅t平行

2.常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型J[x)=ax+b{a,b为常数。力。)

二次函数模型/x)=ar++c(ayb,c为常数,aHO)

反比例函数模型火x)=3+"女力为常数次WO)

指数函数模型/(x)=%/+c(a，,c为常数,〃>0且“W1力WO)

对数函数模理穴幻=勿0&亦+(?(4力,。为常数,a>0且e1力并0)

塞函数模型+双a力以为常数,aWO,a关0)

B自主诊断

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“4”或“X”)

(1)函数y=2*的函数值比,，=』的函数值大.(X)

（2）A公司员工甲购买了某公司的股票.第一天涨了10%,第二天跌了10%,则员工甲不赚不赔.（X）

（3）已知〃>1,在（0,+8）上.随着x的增大的增长速度会超过并远远大于和y=logd的增长速

度.（V）

（4）在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.（X）

2.下歹J函数中，随着x的增长J的增长速度最快的是（）

A.y=50B.y=1OOOv

C.y=2inxD.y=1cx

•/1000

答案D

解析依据常函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质可知随着X的增长»=嬴d的增长速度最快.

3.在•次数学实验中,某同学运用图形计算器采集到如下•组数据：

X0.240.5112.023.988.02

y-2.0-1.001.02.03.0

在下列四个函数模型（a/,£R）中，最能反映乂）,函数关系的是（）

\.y=a-\~bxB.y=a+Z/

C.y=a+log/>rD.y=a+§

答案C

解析作出散点图如图所示.由散点图可知.散点图和对数函数图象接近.可选择）=〃+1。€。反映.），函数关

系.

4.我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.

如果烟花距地面的高度/?（单位：米）与时间/（单位：秒）之间的关系为力⑺=-5/+15/+20,那么烟花冲出后

在爆裂的最佳时刻距地面高度约为（）

A.26米B.28米C.31米D.33米

答案C

解析〃⑺=一5/+15/+20=—5卜一分2.125,/3\1256,

+—,/?(0max—----~31.

国微点提醒

(1)理解三个术语：“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增

加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.

(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.

(3)解题时，易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的

合理性.

■探究核心题型.

题型一用函数图象刻画变化过程

命题点1函数的增长差异

例I设yU)=』,g(x)=2\〃(x)=log2X,当xE(4,+8)时，对这三个函数的增长速度进行比较,下列结论正确

的是()

A.7U)的增长速度最快,/?(x)的增长速度最慢

B.g(x)的增长速度最快,/《)的增长速度最慢

C.g(x)的增长速度最快JW的增长速度最慢

DJ(x)的增长速度最快,g(x)的增长速度最慢

答案B

解析画出函数危)=Vg(x)=2\hix)=log2A的图象，如图所示，

结合图象.可得三个函数田(工)=2\力(此=1(隹加中，

当工£(4,+8)时.函数8(4)=2'增长速度最快，力(x)=logK增长速度最慢.

所以选项B正确.

命题点2用函数图象刻画变化过程

例2(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时,该药物的血药

浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关

信息如图所示：

血药浓度(mg/mL)

------------------------下一一-最低中毒浓度(MTC)

——』垄浓度

/：X.安全范国

/；4-----―最低仃效浓度(MEC)

(71^|"2'3'45;67~8-910H12r/zlMbt

：&~持续期一*：残留期

根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中，正确的是()

A.首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用

B.每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒

C.首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物,可使药物持续发挥治疗作用

D.首次服用1单位该药物,3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒

答案ABC

解析从图象中可以看出，首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用,A正确；根据图象可知，首

次服用1单位该药物，约1小时后血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产

生药物中毒,B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加,可使药物持续

发挥治疗作用,C正确；首次服用1单位该药物4小时后与再次服用1单位该药物1小时后，血药浓度之和大

于最低中毒浓度,因此一定会发生药物中毒,D错误.

思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型,再结合模型选择函数图象.

(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点.结合函数图象的变化趋势.验证是否吻合.从中排除不

符合实际的情况.选择出符合实际情况的答案.

跟踪训练1为了能在规定时间7内完成预期的运输量某运输公司提出了四种运输方案，每种方案的

运输量Q与时间/的关系如图(四个选项)所示,其中运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的选项是

()

。

。,1卜-

OO

A

答案B

解析由题意，运输效率逐步提高，即函数增长速率逐渐加快，选项B满足.

题型二已知函数模型的实际问题

例3(1)2024年1月5日，第4()届中国・哈尔滨国际冰雪节在哈尔滨冰雪大世界园区开幕，现场流光溢彩,

游客如潮，充满热情与活力.该园区为了倡导绿色可循环的理念,配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知

过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间《小时)的关系为N=Noe'(N。为最初污染物数量).如果前

2个小时消除了20%的污染物,那么前6个小时消除了污染物的()

A.51.2%B.48.8%C.52%D.48%

答案B

解析依题意有Me"=(|—20%)而

可得屋”=0.8,

当t=6时,M)eF=M(e-2k)3=0.512M=(l—48.8%)M,

因此，前6个小时消除了污染物的48.8%.

(2)在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度y(km/s)和燃料的质量x(kg)、火箭(除燃料外)的质量

皿kg)的函数关系是)，=4[ln(m+©—ln(&/〃)]+21n2,要使火箭的最大速度达到12km/s,则燃料质量与火

箭质量的比值是.

答案e3-l

解析根据题意，可得4lIn(/n+x)-ln(V2/7/)]+21n2=12,

所以ln()+ln4=12,

\yWJ2mJ

4

即=lne12,

可得。+犷=即

而1+±>0,则1+—=e3,

mm

所以土=e3-l,

m

即燃料质量与火箭质量的比值是e3-l.

思维升华已知函数模型解决实际问题的关键

(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.

(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

⑶利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题.并进行检验.

跟踪训练2(2024.本溪模拟)我国量子计算机“悟空”预计到2025年可以操控的超导量子比特达到1

024个.已知1个超导量子比特共有2种叠加态,2个超导量子比特共有4种叠加态,3个超导量子比特共

有8种叠加态，…,每增加1个超导量子比特,其叠加态的种数就增加一倍.若N=aX1(/(1W”10,A£N)4iJ

称N为Z+1位数，已知1024个超导量子比特的叠加态的种数是一个〃?位的数，则〃z等于(参考数据：1g

2H.301)()

A.3O8B.309C.l023D.l024

答案B

解析根据题意.得〃个超导量子比特共有2〃种叠加态.

所以当有1024个超导量子比特时共有N=2")24(种)叠加态.

两边取以10为底的对数得lgN=lg2i024=i0241g2~1024X0.301=308.224,

所以^103O8224=10O224X1()3。8

由于1<10°224<10,

故N是一个309位的数，即相=309.

题型三构造函数模型的实际问题

例4汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间

的距离，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒,等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分

为4段(如图所示)，分别为准备时间外人的反应时间小系统反应时间以制动时间h相应的距离分别

为doddd,当车速为依单位：m"),且0W-W33.3时，通过大数据统计分析得到如表(其中系数人随地面

湿滑程度等路面情况而变化，且0.5WZW0.9).

报警距离d

危险距离

《-44

••■•

।

A)，2h

阶段准备人的反应系统反应制动

时间to，i=0.8s友=0.2s6

.V2

距离do=30md\di山一20小

(1)请写出报警距离”(单位：m)与车速y(单位：m/s)之间的表达式；

(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于90m,则汽车的行驶速度应限制在多少以下？

解(1)根据题意//=&+4+必+/=30+0.81，+0.2口+《=30+^+另0・丫・33.3).

NUK/UK

(2)根据题意.对任意的［0.5,0.9卜/<90恒成立，即对任意的攵£［0.5,0.9］,30+1，+工<90恒成立.

易知当u=0时，满足题意；

当0<走33.3时，有表书一，对任意的正［050.9］恒成立，

由附。50.”得京£偌,皆

所以称一±4，

v2v10

即，+10】，-600<0.解得一30<四20,

所以0<i<20.

综上,0Wx20.

所以汽车的行驶速度应限制在20m/s以下.

思维升华构建函数模型解决实际问题的步骤

(1)建模：抽象出实际问题的数学模型.

(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解.

(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释,然后返回到原来的实际问题中去.得到实

际问题的解.

跟踪训练3“打水漂”是一•种游戏，通过一定方式投掷石片段石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越

多越好.小赵同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度

为20m/s,然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均

为上•次的85%,若石片接触水面时的速度低于6m/s,石片就不再弹跳，沉入水底，则小赵同学这次“打水

漂”石片的弹跳次数为(参考数据：1g2^0.3,lg39.48,lg17^1.23)()

A.6B.7C.8D.9

答案c

解析设石片第〃次接触水面时的速度为以

贝J|1，〃=2OXO.85"」,

由题意得20X0.85〃f26,即0.85120.3,

得〃一IWlogo.8503

又|o3=2=期二=磔T尼3-1

OSCo885•M.4,

°lgO.85lg85-2lgl7+lg5-2Igl7-lg2-l

所以"S8.4,故这次“打水漂”石片的弹跳次数为8.

课时精练

［分值：80分］

IET知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共20分）

I.已知〃力Cd四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是力（x）=f乃⑴

=疵疯X）=log2MA（X）=2\如果运动时间足够长,则运动在最前面的物体一定是（）

A.〃B.bC.cD.d

答案D

解析在运动时间足够长时，指数函数,人。）=2、的增长速度大于二次函数力（幻=『的增长速度，大于幕函数

方"）=£的增长速度.大于对数函数启x）=log2X的增长速度.所以运动在最前面的物体一定是d.

2.一组实验数据及对应散点图如图所示，则体现这些数据关系的最佳函数模型是（）

A1()2()29415()5870

y123.87.4111521.8

30

20：・

10：,•

o]20406()

A.y=Alogei+pB.y=4a'+p

C,y=(u?-\-bx-\-cD.y=kr+6

答案C

解析由散点图中各点的变化趋势：非线性、且在第一象限内单调递增，对于Ai产方+1一必修，产），,一），/£

{1,2,3,4,5,6},由题意可得

X102029415058

丝

0.10.20.30.40.50.57

4巧

可知［，著）近似于线性，所以适合二次函数模型.

3.输血是外伤人员救治的重要手段，血液质量对提高救治成功率极为关键.血液质量的主要评判指标是血液中

ATP含量.已知血液中ATP浓度S（单位：Rmol/gHb）随温度“单位：°C）、时间《单位：天）、及起始浓度S。

变化的近似函数关系式为S=S°产懒©-初七为自然对数的底数62.71828）.由此可知，当血液在20℃恒温条件

下，保存5天后的ATP浓度大约相当于血液在4℃恒温条件下保存天后的ATP浓度（参考数据：In

5-1.6）（）

A.16B.20C.25D.30

答案C

解析设所求为，天，由题意得&/510"2%」W2。=尻乂/。8%-1.3。><4,

,Me21.6

解得A325-

1=

呻何e20.8*

取对数为In/=21.635-20.%32与in5=In25,所以425.

4.32

4.（2025•宜宾模拟）根据调查统计，某市未来新能源汽车保有量基本满足模型），=后产其中理位:万

辆）为第4年年底新能源汽乍的保有量,〃为年增长率,N为饱和度凶为初始值.若2023年年底该市新能源汽车

的保有量是20万辆,以此为初始值以后每年的增长率为12%,饱和度为1300万辆，那么2033年年底该市新

能源汽车的保有量约为（结果四舍五入保留整数.参考数据：In0.887之一0.12Jn0.30=—1.2）（）

A.65万辆B.64万辆

C.63万辆D.62万辆

答案B

解析根据题中所给模型，代入有关数据,

则2033年年底该市新能源汽车的保有量为产”产。一"1300

14-（^---ije-012xl（ll+64e-1-z，

因为InO.30a-1.2,所以e.20.30,

13001300

所以y=-----------64,

l+64e-1-21+64x0.30

所以2033年年底该市新能源汽车的保有量约为64万辆.

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

5.己知函数》=/,），2=2>3=乂则下列关于这三个函数的描述中,正确的是（）

A.在以+8）.匕随着x的逐渐增大m的增长速度越来越快于以

B.在［0,+8）上，随着工的逐渐增大，力的增长速度越来越快于v

C.当x£（0,+8）时,巾的增长速度一直快于心

D.当工仁（0,+8）时,巾的增长速度有时快于工

答案BD

解析在同一平面直角坐标系中画出函数的图象.如图所示.

对于A,B,在［0,+8）上，随着x的逐渐增大陋的增长速度越来越快于y,故A错误,B正确；

对于C,当X£（0,+8）时M的增长速度不是一直快于”的，故C错误；

对于D,当工£（0,+8）时,）,［的增长速度有时快于），2,故D正确.

6.某地下车库在排气扇发生故障的晴况下测得空气中一氧化碳含量达到「危险状态，经抢修排气扇恢复正常,

排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64Ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32ppm.由检验知该地

下车库一氧化碳浓度），（单位：ppm）与排气时间/（单位：分钟）之间满足函数关系尸ae&（a,我为常数,e是自然

对数的底数）.若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm,人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是（）

A.a=128

B./?=-ln2

4

C.排气12分钟后浓度为16ppm

D.排气32分钟后，人可以安全进入车库

答案ACD

ae4^=64,（a=128,

解析设加）=流”由题意得a。'解得］A正确B错误；

Ue8/?=32,R=一：ln2,

此时购=128（eR）占27.（2三）三27一；所以/（12）=24=16（ppm）,C正确；

当刖W0.5时,27-次0.5=2一1,得7一衿一1.所以/232,所以排气32分钟后，人可以安全进入车库,D正确.

三、填空题（每小题5分，共10分）

7.函数），=x与函数y=mnx在区间（4,+8）上增长较快的一个是.

答案y=.rlnx

解析当X£（4,+8）时小.］门一户小门-1）＞不。114-1）＞0,所以函数尸》1门在区间（4,+8）上增长较函数），

=x快.

E

8.表观活化能的概念最早是针对阿伦尼乌斯公式k=Ae一a而中的参量&提出的，是通过实验数据求得,又叫实

验活化能，公式中的攵为反应速率常数,R为摩尔气体常量,7为热力学温度（单位为开尔文,简称开）,44＞0）为阿

伦尼乌斯常数.已知某化学反应的温度每增加10开,反应速率常数A变为原来的2倍，则当温度从300开上升

到40（）开时,估计等的值为.（结果精确到百位参考数据：In2^0.7）

答案8400

解析根据题意，温度每增加10开反应速率常数人•变为原来的2倍，则当温度从300开上升到400开时,反应

速率常数k变为300开时的210倍，

EE

由4=40一和当7=300开时，岛=Ae-赤

当7=400开时，女2=Ae一行正，

所以詈="单=2叱即e悬一悬=2叱

ei2oo/?=210,—^—=101n2,

1200R

包=12OOOln2R2000义0.7=8400.

R

四、解答题（共27分）

9.（13分）研究表明：在一节4（）分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间武单位：分钟）之间的变化曲

线如图所示，当工£［0,16］时，曲线是二次函数图象的一部分；当工三［16,4（^时，曲线是函数y=lo纨8。+。）+80

图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.

⑴求函数y=/2的解析式；（6分）

(2)在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？(参考数据：0.8一及146精确到1分

钟)(7分)

解⑴当入道[0,16]吐

设函数/U)=b(x-12)2+84s<0),

因为416)=6(16—12>+84=80,

所以8=—右所以/U)=-](x—12尸+84;

当不£口6,40]时段)=10欧.8。+”)+80,

由./(16)=logo.8(16+a)+80=80.解得。=-15,

所以J(x)=logo.8(x—15)4-80,

综上加」T、T)2+8…[。,间

(log0.8(x-15)+80,%e[16,40].

⑵当木£[0,16]时,

令yU)=一；(x—12)2+84W68,

即CL12)2264,解得xW4或G20(舍去)，

所以.00,4]；

当xG[16,40|时，令/U)=logosa—15)+80W68.得15+0.8一％29.6,所以xG[30,40],

所以学生处于“欠佳听课状态”的时长为4—0+40-30=14(分钟).

10.(14分)用打点滴的方式治疗“支原体感染”病患时，第一次注射的血药浓度(血药浓度是指药物吸收后在

血浆内的总浓度)随时间变化的函数符合口⑺=2)(1—2一。其函数图象如图所示，其中N)为与环境相关的常

数，此种药物在人体内有治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓

度I®时间变化的函数符合C2⑺=c-2",其中c为停药时的人体血药浓度.

tG”)

2

0

8

6

4

2

048。单位:小时)

(1)求出函数Cl⑺的解析式;(5分)

(2)一病患开始第一次注射后,最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二

次注射？(如果计算结果不是整数.保留小数点后一位，参考数据：1g3。0.48,怆2汽).30)(9分)

解⑴由图象可知.图象经过(4.8),(8,12)两点，将两点坐标代入。⑺=乂)(1一2一”),

则他（1—2…）=8,

8k

l/V0（l-2-）=12,

N=16,

解得了01

所以口⑺=16X（1—2一%）.

(2)由题意，可知有治疗效果的浓度在4到15之间,

所以浓度为15时为最迟停止注射时间,

由c"f）=16X（1—2一%）=15,解得f=16,

浓度从15降到4为最长间隔时间,

故C2（f）=15X2