等式性质与不等式性质【八大题型】（人教A版必修第一册）原卷版

专题2.1等式性质与不等式性质【八大题型】

【人教A版（2019）］

>题型梳理

【题型I用不等式表示不等关系】................................................................1

【题型2由不等式的性质比较数（式）大小】.....................................................2

【题型3利用作差法比较大小】..................................................................3

【题型4利用作商法比较大小】..................................................................3

【题型5作差法比较代数式的大小的应用】.......................................................4

【题型6利用不等式的性质判断正误】............................................................5

【题型7利用不等式的性质证明不等式】.........................................................6

【题型8利用不等式的性质求取值范围】.........................................................7

A举一反三

【知识点1不等关系】

1.不等关系的建立

在用不等式（组）表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再

将不等关系用不等式表示出来，用得不等式或不等式组.

【题型1用不等式表示不等关系】

【例1】（23-24高一上•广东深圳,阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车

载重量30吨，8型货车载重量24吨，设派出4型货车工辆，8型货车y辆，则运输方案应满足的关系式是（）

A.5x+4y<100B.5x+4y>100

C.5x+4y>100D.5x+4y<100

【变式1-1］（23-24高一上.云南曲靖・期中）下列说法正确的是（）

A.某人的月收入x元不高于2000元可表示为“久<2000”

B.小明的身高为不,小华的身高为y,则小明比小华矮可表示为

C.变量％不小于a可表示为“无>Q”

D.变显y不超过a可表示为“y岂a”

【变式1・2】（23-24高一上•河北邢台•阶段练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘

米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点15。米以外（含150米）为安全区.为了使导火索燃尽时人能

够跑到安全区，导火索的长度》（单位：厘米）应满足的不等式为（）

A.4x—<150B.4x—>150C.4x—<150D.4x—>150

0.50.50.50.5

【变式1・3】（23-24高一上•贵州遵义•阶段练习）持续的高温干燃天气导致某地突发山火，现需将物资运往

灭火前线.从物资集散地到灭火前线-共40km,其中靠近灭火前线5km的山路崎岖，需摩托车运送，其他路

段可用汽车运送.已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为60km/h,设需摩托车运送的路段平均速

度为％km/h,为使物资能在1小时内到达灭火前线，则/应该满足的不等式为（）.

【知识点2比较大小】

1.两个实数大小的比较

如果a-b是正数，那么cf>b\如果a-b等于零，那么a=b；如果a-b是负数，那么反过来也对.这

个基本事实可以表示为：a>b<=>a-b>0,力=0,a<bo。一b<0.

从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小.

2.比较大小的基本方法

方法

关系作差法作商法

与。比较与1比较

a>ba-b>0->l(a,^>0)§S-<l(a,Z?<0)

hb

a=ba-b=O1=10*O)

a<ba-h=O

bb

【题型2由不等式的性质比较数（式）大小】

【例2】（23-24高一上.上海黄浦.阶段练习）已知a,b,cER且Q>b,则下列不等式一定成立的是（）

22

A.-a<bB.a>b

C.a|c|>b\c\D.>-^―

1111c2+lc2+l

（—<a+b<^c

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【变式2-1］（2024高一上.安徽芜湖.专题练习）若正实数a,b,c满足不等式组｛a<b+c<\a,则a,瓦c

\2b<c+a<^-b

的大小关系为（）

A.b<a<cB.b<c<a

C.c<b<aD.c<a<b

【变式2-2］（23-24高一上•四川广安•期末）已知Q>8,则下列关系中正确的是（）

A.a-c>b-cB.ac>beC.\a\>\b\D.a2>b2

【变式2-3］（23-24高二下.安徽芜湖.阶段练习）下列命题中真命题是（）

A.若a>b,则ac>beB.若a>b,c>d,则Q—c>b—d

C.若a>b,则a—bvOD.若专<*则aVb

【题型3利用作差法比较大小】

【例3】（23-24高一上.云南昆明期中）设M=2Q2+5Q+4,N=(Q+1)(Q+3),则M与N的大小关系为

)

A.M>NB.M=N

C.M<ND.无法确定

【变式3-1］（23-24高一上.浙江杭州•阶段练习）已知OvaV：且时=1-一七，N=J--士，则M、N的

b1+a1+b1+a1+b

大小关系是（）

A.M=NB.M<NC.M>ND.不能确定

【变式3-2］（23-24高二下•天津南开•期末）下列不等式中成立的是（）

A.若aVbV0,则/+/j3>Q2b+。匕2B.若avbv0,则L<2.

ab

C.若Q>8>0,则2>——D.若a>b>0,则Q—冬>匕-f

aa+2ab

【变式3・3】（2024•浙江金华・模拟预测）设a,b,c的平均数为M.Q与b的平均数为N,N与c的平均数为P.若a>

b>c,则()

A.NVPB.P<M

C.N<MD.M+N<2P

【题型4利用作商法比较大小】

【例4】（2024高二下.全国.专题练习）己知。>1,且广，c+1—配,y=>Jc—y/c-1,则x,y之间的大

小关系是（）

A.x>yB.x=y

C.xVyD.x,y的关系随c而定

【变式4-1］（2024•山西晋城•一模）若实数m,n,p满足m=4eW,n=5&3,p=联，则（）

A.p<m<nB.p<n<inC.m<p<nD.n<p<m

【变式4-2］（23-24高一上•北京,阶段练习）设Q=V7,b=3-炳,则。b（填入“〉”或“V”）.

【变式4-3］（2024高一•上海・专题练习）PnM+Q+LQnVYpCaWR）,则P,Q的大小关系为.

【题型5作差法比较代数式的大小的应用】

【例5】（23-24高一・全国・随堂练习）某粮食收购站分两个等级收购小麦.一级小麦Q元/kg,二级小麦匕元

/kg（b<a）.现有一级小麦用kg,二级小麦〃kg,若以两种价格的平均数收购，是否合理，为什么？

【变式5-11（23-24高三上・安徽亳州•期中）已知b克糖水中含有a克糖（b>a>0）,再添加加克糖（m>0）（假

设全部溶解），糖水变甜了.

（1）清将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；

（2）在锐角△力BC中，根据（1）中的结论，证明：工+=+三<2.

【变式5・2】（23-24高一・全国•课后作业）某学校组织老师去某地参观学习，需包车前往.甲车队说：“如领

队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠乙车队说：“你们属叱体票按原价的8折优惠.”这两车队的原价、

车型都是一样的.试根据去的老师人数，比较两车队的收费哪家更优惠.

【变式5-3］（23-24高一•全国・随堂练习）甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线走到8地，所用时间分别

为£/,12s.甲有一半的时间以〃?m/s的速度行走，另一半的时间以〃m/s的速度行走；乙有一半的路程以

加m/s的速度行走，另一半的路程以〃m/s的速度行走，且mWn.

(1)请用含〃?，〃的代数式表示甲、乙两人所用的时间“和12；

(2)比较0与亡2的大小，并判断甲、乙两人谁先到达8地.

【知识点3等式性质与不等式性旗】

1.等式的基本性质

性质1如果a=b,那么〃=4；

性质2如果a=b,b=c,那么4=<

性质3如果a=b,那么a±c=b±c；

性质4如果a=b.那么ac=hc；

性质5如果a=b,HO,那么.=/

2.不等式的性质

(1)如果a>b,那么b<a；如果b<a,那么即ct>bob<a.

(2)如果。>力，b>c,那么a>c.即a>〃，b>c=>a>c.

(3)如果ci>h,那么a+c>b+c.

(4)如果a>b,c>0,那么ac>bc\如果a>b,c<0,那么ac<hc.

(5)如果a>b,c>d,那么a+c>A+d.

(6)如果。>〃>0,c>d>0,那么

(7)如果方>0,那么/>力"(〃三N,n>2).

【方法技巧与总结】

1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时,

有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.

【题型6利用不等式的性质判断正误】

【例6】(23-24高二下•安徽合肥・期末)对于实数a,b,c,d,下列说法正确的是()

A.若a>b>则—a-b->

B.若Q<5,cVd,则ac>bd

C.若则—>——

Q>8>C>0,a-ca-b

D.若则a+"D+q

【变式6-1](23-24高二下•广西玉林・期末)下列说法中，正确的是()

A.若a>b>0,c<d<0,则一定有2>g

ca

B.若a>b,则

ab

C.若b>a,m>0,则^

b+mb

D.若ac2>be?,则a>b

【变式6-2](23-24高一上.广东深圳.期末)已知a”,c6R,a>b,则下列一定成立的是()

A.-<-B.ab>b2

ab

C.震》D.a(c24-1)>b(c2+1)

【变式6-3](23-24高一上•河南驻马店•期末)下列命题为真命题的是()

A.若Q>匕>0,则QC?>be?B.若a>b>c>0,贝壮>

aa+c

C.若a>b,c>d,则a-c〉b-dD.若%,y均为实数，Mx2+y2>2(x+y-1)

【题型7利用不等式的性质证明不等式】

【例7】(23-24高一上.河北保定.阶段练习)设a,b,cER,a+b+c=0,abc=1.

(1)证明：ab+bc+cacO；

(2)若Q>b,证明Q3>63.

【变式7-1](24-25高一上•上海,课堂例题)(I)已知a>b>0,c<d<0,求证：—<

a-cD-d

(2)已知加—adNO,bd>0,求证：--<—.

ba

【变式7-2](23-24高一上•陕西榆林•期中)证明下列不等式:

(1)已知a>b>c>d,求证：-^―<

a-db-c

(2)已知a>2?>0,cVdV0,eV0,求证：—>

【变式7-3】（23-24高一下.安徽.阶段练习）