幂的运算（期中试题汇编江苏专用）七年级数学下学期【含答案】

专题01幕的运算

大高频考点概览

考点01幕的运算与代数式化简求值

考点02幕的大小比较与方程、不等式综合

考点03骞的运算中的新定义运算

考点04幕的运算实际应用综合

国班的运算。代数大化海求位

一、选择题

（2025秋•玄武区校级期末）

1.与（x-2y-相等的是（）

一卜（"一4]B.——(2y_x)，

C.-^-（x-2y）2D.一卜(r-2y)[

（2025秋•南京市校级期末）

2.下列计算正确的是（）

A.（/"=//B.(-3a)2=-9a2

C.a3-a2=a6D.a9-i-cr=ay

（2025•苏州）

3.下列运算正确的是（）

A.aay=ayB./+/=/C.(a/?)'=a2b2D.(a5)=a>

（2025•徐州）

4.下列运算正确的是（）

2s

A.3/-2/=1B.（ay=aC.//"D.(3a)2=6/

（2025春•玄武区校级月考）

5.1：'2炉j等于（）.

试卷第1页，共10页

（2025•锡山区二模）

6.下列计算正确的是（

A.a+2a~=3aB.“°

D.(a*/

二、填空题

（2025秋•泰州市姜堰区期末）

7.若8，=2\贝%丫=.

（2025秋•扬州市期末）

8.若2附=4，2"=8,则“+〃=.

（2025秋•泰兴市期末）

9.计算：的结果为.

（2025秋•无锡校级期末）

10.若4m=10,an=2,则。叱"=.

（2025春•玄武区校级月考）

11.已知10、=50,10'=g,则•"）'的值为,9；32,的值为.

三、解答题

（2025秋•泰州期末）

12.将哥的运算逆向思维可以得到=C,am"=（an,），',a"bn=（ab\,am~n=d在

解题过程中，根据算式的特征，逆向运用幕的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题

巧妙获解.

（2）已知3m=。,3"=6,求32"'』的值；（用含小（的式子表示）

（3）已知2X8*X64=24,求x的值.

（2025春•江苏校级期中）

13.⑴若2"'=&2"=32,求2?…的值；

试卷第2页，共10页

⑵若—,则将歹=1+4〃用用含x的代数式表示.

(2025春•淮安市校级期中)

14.(1)已知3x+5y=4,求8。2”的值.

(2)已知3x9"'x27m=3",求〃？的值.

(2025春•扬州市仪征市期中)

15.【教材研究】：下面方框内是2022年湘教版教材内的一道例题.

【我的感悟]请参考例题的解法解答下列问题.

计算：49X(-25)\

解：原式=4x4'x(-25)*,

=4x[4x(-25)J,

=4x(-100)8,

=4xl016.

⑴计算：

①8"%x(—0.125户52；

②必可

(2)如果3"2.7"+2=2产-4,求。的值.

累的大小比较。方丹、不等式踪介

一、选择题

(2025秋•盐城市东台市期末)

16.已知x+»-3=0,则3、3’的值是(

(2025•江苏校级月考)

17.若小。是正整数，且满足5"+5“+5"+5“+5“=5，§.5%5忆5\则4与的关系正确的是()

A.a=bB.a+\=5h

C.a+5=b5D.5a=5+b

试卷第3页，共1()页

（2025春•常熟市校级月考）

18.已知。=255,/,=344,。=433,则b,c的大小关系是（）

A.b>c>aB.a>b>cC.c>a>bD.a>c>b

（2025•南京市模拟）

19.已知2=3,2"=5,2，=30,则4,b,c之间满足的等式是（）

A.c=a+b+lB.c=ah+\

C.c=a+bD.c=ab

（2025春•淮安市校级月考）

20.已知a=8w,8=16”，c=3220,则“，b,c的大小关系是（）

A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.c>b>a

二、填空题

（2025春•南京市期末）

21.已知2、3,2=6,2—12,下列结论：①。=0+2;②Q+b=C+l；③2</）<3.其中所有正

确结论的序号是.

（2025春•苏州校级月考）

22.若x=2"j=4"l用含x的代数式表示y,贝”=.

三、解答题

（2025秋•盐城市期末）

23.（1）规定a*6=2『x23求：

①求1*2的值；

②若2*（x+l）=32,求x的值.

（2）已知〃为正整数，且一=*求（”）2一2（/广的值.

<2025春•南京期中）

24.（1）用两种方法比较若2?。,4匕的大小;

（2）结合（1）的经验，解决问题：已知〃=3$,q=用含p,g的式子表示15J

（2025春•昆山市校级月考）

25.阅读下面的材料：

材料一：比较3篮和4"的大小

试卷第4页，共10页

解:因为4"=（2?）"=2"，且3>2,

所以3?2>2?2,即322>4”」

小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个辱的大小,

材料二：比较2s和8?的大小.

解：因为8?=03）2=26,且8>6,

所以28>26,即2*>82,

小结：底数相同的情况卜，通过比较指数的大小，来确定两个哥的大小

解决下列问题：

（1）比较3M、433、5篮的大小:

（2）比较8产、27,9&的大小:

（3）比较3也即与3隈即的大小.

（2025春•南京市秦淮区期中）

26.已知：5"=2,5'=6,5。=48.

（1）求52f的值；

（2）6、c之间的数量关系为

写的运算中的新定义如算

一、解答题

（2025春•扬州市祁江区校级期中）

27.新定义：如果/=〃，则规定（。力）=〃，例如：32=9,所以（3,9）=2.

⑴填空：（2,4）=」（一3,81）=_；

（2）若（4[2）=x,（4,5）=j,（4,60）=z,试说明x+V=z；

⑶若（也5）=（〃,125）=£（%为奇数），求〃?与〃满足的数量关系.

（2025春•靖江市校级月考）

28.规定两数m8之间的一种运算，记作（。,“：如果小=6,那么（。力）=5例如：因为

3:9,所以（3,9）=2.

⑴根据上述规定，填空：（<64）=_；

试卷第5页，共10页

⑵若（3/）=26-1,（3,6X）=/H+1,请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系；

（3）①若（43）=。，（4,8）=b,（4,24）=c,请你尝试证明：a+b=c；

②进一步探究这种运算时发现一个结论：卜"J"）=（x，y）:

证明：

设（己力

/.xm=y,即（“，）=加.

（64、

结合①，②探索的结论，计算：（8,27）+4,—=_.

（2025春•镇江市期中）

29.规定两数〃力之间的一种运算，记作[。,可，如果不=人那么[。,句=，.例如：因为

2:8,所以[2,8]=3.

（1）根据上述规定，填空：住64]=,[3,1]==

（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：[3",4"]=[3,4],并作出了如下的说明：

•••设[3,4]=X,则3、=4,

.•.（3、）"=4",即（3"）“=4"，

.•.[3",4"]=x

.-.[3",4"]=[3,4].

试参照小明的说明过程，解决卜.列问题：

[运用]

计算[8,1000]-[32,100000]：

[探究]

若令[2,3]=*[2,5]=b,[2,15]=c,试说明[2,3]+[2,句=[2,15]；

[综合应用]

①若[4,25]-。，[2,3]-b,[4,225]-c,则a,h,。之间的数量关系为；

试卷第6页，共1（）页

②计算[3,9]X[3,15]-[3,25]=

(2025春•江阴市期中)

30.规定两数〃，。之间的一种运算，记作(。4)：如果/=/)，那么(〃/)=c.例如：因为

32=9,所以(3,9)=2.

⑴根据上述规定，填空：(<64)=；

(2)①若(4,3)=%(4,8)=6,(4,24)=c,请你尝试证明：a+b=c；

②进一步探究这种运算时发现一个结论：(x"，V)=(xj):

证明：设卜"”)=机，

.♦.(巧丁八.•.(巧”=月

/.xm=y,即(x,y)=/〃.

.-.(xw,/)=(x,^).

(64、

结合①，②探索的结论，计算：(8,27)+4,—=.

(2025春•盐城市期中)

31.如果x"=y,那么我们规定=例如：因为4?=16,所以(4,16]=2.

(1)(2,8]=；若(5,力=3,则)，=:

(2)已知(3,15]=。，(3,6]=。，(3,s]=c,若a+b=c,求5的值;

(3)若(2,20]=。，(5,20]=6,令”当「求，的值.

a+2D

(2025春•南京市玄武区校级期中)

32.规定⑶〃两数之间的一种运算(明力：如果/=。，那么(名与=c.例如：因为2'=8,

所以(2,8)=3.

⑴根据上述规定填空：(5,125)=,(-2,4)=,(-2,-8)=；

(2)小明在研究这种运算时发现一个性质：对任意的正整数〃，(驴,4")=(3,4).证明如下：

设(3",4")=x,贝ij(3")"=4",即(3、)"=4",所以3，=4,BP(3,4)=x,所以

(3",4")一(3,4).请根据上述内容计算：(16,10000)-(64,1000000)；

试卷第7页，共1()页

(3)求证：(4,5)+(4,6)=(4,30).

(2025春•苏州市工业园区校级月考)

33.规定两数a,b之间的一种运算,记作SM),如果不=6,则伍力)=。.我们叫(。西为

“雅对”.

例如：因为20,所以(2,8)=3.我们还可以利用“雅对”定义说明等式(3,3)+(3,5)=(3,15)

成立.证明如下：

设(3,3)=冽,(3,5)=〃，则3m=3，3"=5,

故3m.3"=3""=3x5=15.

则(3,15)=?;/+/?,

即(3,3)+(3,5)=(315).

(1)根据上述规定，填空：(2,4)=_；(5,1)=_；(3,27)=_.

⑵计算(5,2)+(5,7)=_.并说明理由.

(3)利用“雅对”定义证明：(2",3")=(2,3),对于任意自然数〃都成立.

幕的达N实际鹿用煤合

一、选择题

(2025春♦江阴市校级月考)

34.暴的运算中：(。"3丫=/•(/『运算的依据是()

A.同底数幕的乘法法则B.暴的乘方法则

C.乘法分配律D.积的乘方法则

二、填空题

(2025春•玄武区校级月考)

35.用科学记数法表示：(L5xl()T『=,-0.0000311=.

三、解答题

(2025秋•泰兴市期末)

36.已知d=2,。"=3,求尸"和产+3”值.

(2025秋•南京校级月考)

37.(1)填表：

试卷第8页，共1()页

ab11a"hn（何

12214—

3-2327—-216

_311

4

-23—8?16

（2）通过填表，小明发现：当〃为正整数时，无论。、。取何值，代数式〃方"和（出））"的值

总相等，并写出了如下说理过程，请你将它补充完整.

a"b"=(a・a•…・°Mb・b•…・b)_运算的依据

”个0〃个8

（______）

（乘法交换律、结合律）

（2025春•盐城市月考）

38.已知小标=a，，（心2.（叫'.（/），/.

（1）直接写出结果：工+歹=；

⑵求孙的值.

（2025春•靖江市校级月考）

39.请用同底数哥的乘法运算性质（，♦/=/+”，其中也〃是正整数），推导出积的乘方运

算性质（而其中〃?是正整数.

（2025春•玄武区校级月考）

40.请运用寤的运算性质解决下列问题：

（1）若£=4,x〃=8,求的值；

⑵计算：2Kl°x/3x（—（）加°.

（2025春•徐州市期中）

41.在索的运算中规定：若“'=/（八0且x,y是正整数），贝IJX二y.

（1）如果2X4，=T9，求》的值；

⑵如果5-2_5川=500，求工的值.

试卷第9页，共1（）页

(2025春•南京市建邺区校级期中)

42.(1)已知10他=9,10"=0.3,求〃的值；

(2)已知26=4"=/，则〃+.

(2025春•盐城市期中)

43.判断498-⑷乂严能否被9整除,并说明理由.

(2025春•南京市期中)

44.当3°=15,5=15时，试说明6=翻.

小明做如下尝试：小丽做如下尝试：

•.•30=15,5"=15,・：3"=15,5*=15,

.•.3M=()A=15\,5"T=__________,

52=()"=15".•.⑶-n一)=3

••.•.••・・・

(1)阅读上述材料并填空；

⑵继续完成小明与小丽的说理.

试卷第10页，共10页

1.c

【分析】本题考查了积的乘方.

根据积的乘方法则逐一计算后判断即可.

【详解】解：A选项：一——与原式不相等，A选项错误；

B选项：-卜(2了7)丁=-(2歹71=-(》-2力:与原式不相等，B选项错误；

C选项：-[-(x-2v)2]5=-[-(x-2y)2x5]=-[-U-2y)]0]=(x-2yf,与原式相等，C选项正

确；

D选项：-(-X-2J=-[-(x+2jv)2]5=一[一(x+2y)2x5]=-[一*+2yf]=(x+2yf,与原

式不相等，D选项错误：

故选：C.

2.A

【分析】本题主要考查幕的相关运算，熟练掌握累的相关运算法则是做题的关键.根据积的

乘方、哥的乘方、同底数幕的乘除法则，逐一判断各选项的计算是否正确即可.

【详解】解：幕的运算法则：

积的乘方：(»)”=//,幕的乘方：(/)”=/”'，同底数呆相乘：产・父=卡+”，同底数哥

的除法：(x^O),

故对各选项推导如下：

A选项：(a2b>)=(a2>)-b3=a2x3b5=a6b\计算正确，故符合题意；

B选项：(-34)2=(-3)2./=9/工-9/,计算错误，故不符合题意；

C选项：计算错误，故不符合题意；

D选项：<八/=产计算错误，故不符合题意.

故选：A.

3.C

【分析】根据哥的运算性质，计算判断即可.

本题考查累的运算性质，包括同底数基的乘除法、累的乘方以及积的乘方。需逐一验证各选

项是否符合相关运算法则.

【详解】A.〃./=“+3=/,但选项A结果为错误.

答案第1页，共24页

B.。6+/=/2=。4,但选项B结果为t?,错误.

C.(ab)2=a2b2,符合积的乘方法则，正确.

D.(a3y=4强2=々6,但选项D结果为不，错误.

故选：C.

4.C

【详解】解：A.31—2/=/,错误；

B.(力)3=。6,错误；

C.正确；

D.(3疗=9/,错误：

故选C.

【点睛】本题考杳幕的乘方与积的乘方：合并同类项：同底数幕的乘法.

5.C

【分析】本题考查了积的乘方和塞的乘方，能正确根据积的乘方和塞的乘方法则进行计算是

解此题的关键.

根据积的乘方和累的乘方法则进行计算即可.

(1y

【详解】3

I2)

故选：C.

6.D

【分析】此题主要考查了同底数昂的乘法、合并同类项、品的乘方运算和同底数辕的除法运

算等知识，正确掌握运算法则是解题关键.

直接利用同底数幕的乘法、合并同类项、累的乘方运算和同底数幕的除法运算分别计算得出

答案.

【详解】解：A、。和2/不能合并，故错误；

B、故错误；

答案第2页，共24页

C、a4^a2=a6»故错误：

D、（优）=a6,正确；

故选：D.

7.3

【分析】此题考查了累的乘方.将8写成2的鬲，然后根据同底数幕相等则指数相等的原则

求解即可.

【详解】解:V8X=（23）X=23X,

••-23X=29.

:.3x=9,

解得x=3,

故答案为：3

8.5

【分析】本题考查同底数暴的运算性质，关键是将已知的基值转化为以2为底的累的形式,

求出〃［、〃的值后求和；或利用同底数幕的乘法法则，通过幕的运算直接得出〃?+〃.

【详解】解：方法一：•.2=4=22,

m=2；

2rt=8=23,

•••n=3；

.•.机+〃=2+3=5.

方法二：根据同底数箱的乘法法则2mx2"=2就"，

•2x2"=4x8=32=2$,

...2»»+"=25,即刑+〃=5；

故答案为：5.

9.-1

【分析】本题考查了积的乘方的逆用.观察指数相同，利用累的运算性质将原式化为积的乘

方形式即可求解.

（I>5

【详解】解：35x-A

答案第3页，共24页

=(-1)5

=—1.

故答案为：-1.

10.5

【分析】本题考查了同底数制相除，利用指数运算中同底数第相除的法则，底数不变，指数

相减，计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键.

【详解】解：••・/'=10,，=2，

•••「"=1=IO+2=5,

故答案为：5.

11.281

【分析】本题主要考查同底数哥的除法，根据同底数累的除法运算法则进行计算即可.

【详解】解：v10'=50,lCP=1,

.-.10r^10v=10r->,

又10'+10'=50+g=l()()=l()2,

.-.x-y=2,

9、+32y=3:'+321'=32x3=32-)=34=81，

故答案为：2：81

12.(1)1

呜

(3»=-1

【分析】(1)逆用积的乘方法则计算即可；

(2)逆用同底数塞的除法、塞的乘方法则计算即可；

(3)同底数昂的乘法、累的乘方法则计算即可.

/.\2026

【详解】(1)解:22026x--

答案第4页，共24页

-]n2O26

=2x(--)

=(-l)2026

=1：

(2)

解：由3m=4,3"二〃，

(3)解：2x8xx64=24

.-.2X23XX26=24>

i.2*+J24，

3x+7=4,

解得X=-l.

13.（1）128；⑵4/+8x+5.

【分析】（1）利用同底数寻乘法的逆运算进行计算即可；

（2）先对4〃户利用积的乘方的逆运算，再代入进行计算.

【详解】解：⑴22w+n-4=22p,*2,,4-24

w,,2

=（2V.2-16=8x32x—=128,

I）16

w,

（2）vx=2-l,

••2=x+l,

W+1M22

.-.>,=1+4=1+（2）«2

=1+4（X+1）2=4X2+8X+5.

14.（1）16；（2）加=4

【分析】（1）逆运川幕的乘方和同底数塞的乘法变形后，将3x+5y=4代入求解即可；

（2）等式的左边逆运用某的乘方和同底数品的乘法变形后，根据底数相同指数相同的两个

数相同可得加的方程求解即可.

【详解】解：（1）v3x+5y=4,

4

...8j25y=23V.25y=2^5y=2=16：

答案第5页，共24页

(2)v3x9mx27w=321，

.­.3X32MX33",=321,即3%"=321,

5w+1=21,解得w=4.

【点睛】本题考杳睡的乘方运算和同底数幕的乘法.熟练掌握公式，并能逆运用是解题关键.

6⑴①-8；②-1

(2)a=6

【分析】此题考查了同底数塞的乘法，塞的乘方和积的乘方逆运算，解题的关键是掌握以上

运算法则.

(1)①根据同底数基的乘法和积的乘方逆运算求解即可:

②根据幕的乘方和积的乘方逆运算求解即可;

(2)根据同底数幕的乘法得到2广2=2产”，然后指数相等得到。+2=2。-4,进而求解即

可.

【详解】⑴解:@82O26X(-0.125)2°25

8X82O25X(-().125)2025

=8x(-8xO.125)2025

=8x(—1)2025

②1㈢

答案第6页，共24页

2T*2=2120-4

:.a+2=2a-4

•••4=6.

16.B

【分析】本题考查同底数昂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键.根据同底数累的乘法

法则结合整体代入法，进行解题即可.

【详解】解：门+歹-3=。，

二x+y=3,

.•.3匚3"=3"，=3,=27.

故选：B.

17.B

【分析】本题考杳了同底数幕的乘法,熟练掌握同底数幕的乘法法则是解题的关犍.

根据同底数察的乘法，可得答案.

【详解】解：5"+5"+5"+5"+5"=5*-5*•5b-56-56

5x5u=5/,x5/,x5/,x5hx5,,

.-.5d+,=5Sh

a+1=56

故选：B.

18.A

【分析】根据幕的乘方逆运算将原式整理为指数相同的数，比较即可.

【详解】解：•.•a=2"=2"”=(25)"=32",

Z,=344=34XU=(34)11=81U>

r=433=43x"=(43)l,=64".

A32''<64"<81H,

即b>c>a,

故选：A.

【点睛】本题考查了箱的乘方的逆运算，热练掌握运算法则是解本题的关键.

19.A

【分析】本题考查同底数帚相乘，掌握同底数幕乘法法则是解题关健.根据指数运算法则,

答案第7页，共24页

将30分解为已知的2的某次相乘，进而比较指数得出关系式即可.

【详解】解:v30=3x5x2,

•••2°=2~2隈2，

.,.c=a+b+\.

故选A.

20.D

【分析】先利用某的乘方法则计算，把底数化为相同的，再比较指数即可.

【详解】解：a=830=（23）3°=290,Z>=1623=（24）23=292,c=3220=（2S）2°=2,0°,

Y2,00>292>290,

:.c>b>a.

21.①③

【分析】本题考查了同底数幕乘法及其逆运算、对指数的大小比较，掌握这些知识点时解题

的个关键.

利用同底数累乘法及其逆运算对等式进行对比可得：①¥+2=12=2，，②2M=24。18,

③2z=4,23=9,可证结果.

【详解】解：（1）・"-3，272

•••2"x4=3x4,即2"x2?=12

：，2a+2=\2=2e

：.c=a+2；①正确；

（2）V2'=3t2、6

••.2"x2”=18,即2"”=18

V2C=I2

.-.2e+,=2cx2=12x2=24^18:②不正确；

（3）”=6

••.22=4,2*=9,而4<6<9,③正确：

故答案为：①③.

22.-x2

4

【分析】本题考查同底数辕的除法和赛的乘方逆运算，山>=4"T可得4y=4"=（2”『，据此

答案第8页，共24页

求解即可.

【详解】解：•••y=4"T=4"+4,

...4尸4"二（2"『，

•••x=2",

:4y=x2,

12

故答案为：—X2.

4

23.（1）①8,②2,（2）32

【分析】本题考查了同底数案的乘法以及暴的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关

键.

（1）①按照新规定计算即可；

②按照新规定列出方程即可求解：

（2）把原式转化为（―丫-2（一）2,再把已知代人计算即可求解.

【详解】解：（1）①由题意得1*2=2322=2x4=8;

②由题意得2?X2（则=25，即22+（X+,）=2。

A2+x+1=5,

解得x=2；

（2）•••一=4,

（/丫-2（/广=（一）3-2（x2n）2=4--2X42=32.

24.（1）220<4,5：（2）p3q5

【分析】本题主要考查塞的乘方和积的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

（1）根据察的乘方逆运算法则将4$变形为23°，再进行比较即可；

（2）运用枳的乘方把151陵形为（3乂5『=3八5"=（35）1（5》再供稿计算即可.

【详解】解：（1）4,5=（22），5=230,

•・•底数2>1,20<30,

.­•220<23%即220〈4”.

答案第9页，共24页

（2）I5'5=（3x5）'5=3,5x515=（35）'x（53）5=P-cf.

25.（0344>433>522

（2）8131>2741>961

（3）3I2X5,0<3,0X5,2

【分析】⑴根据3、（3'）"=81",4"=（43）"=64"，522=（52）"=25,',再比较底数的大

小即可;

⑵根据8产=（34）”=3出，274,=（33）4'=3m,961=（32f=3122,再比较底数的大小即可;

（3）ffi®3,2x5,o=（3x5），ox32,310x5,2=（3x5）'°x52,再由3?<52,即可得出结论.

【详解】（1）解：•♦・344=3）"=81u,

433=（43）U=64",

522=（52）ll=25",

V81>64>25,

/.81">64">25",

即B44^~22;

（2）解：V813l=（34）31=3124,

V124>123>122,

・・・3124>严>严,

即8产>27钮>9%

（3）解：・.・3心5|。=（3乂5）“'32,

3,ox5l2=（3x5），Ox52,

又•:32<52,

3,2X5,O<3,OX512.

【点睛】本题考查辕的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大

小的比较方法.

答案第10页，共24页

2

26.（1）-

（2）3a+h=c

【分析】本题考查箱的乘方、同底数哥的乘除法，

（1）根据同底数辕的除法进行解答即可；

（2）根据同底数制的乘法，哥的乘方可得（夕丫・5八=5，，即可得出结论.

【详解】（1）解：5"

=52、58=（5"）2・5，

=4+6

2

=­•

3，

（2）v（5u）3-5/,=23x6=8x6=48=5t,

：.3a+b=c.

故答案为：3a-¥b=c.

27.（1）2；4：

（2）见解析

（3）〃/=n

【分析】（1）根据新定义计算即可.

（2）先根据新定义计算，再根据同底数耗相乘法则计算即可.

（3）先根据新定义计算，再根据晶的乘方法则计算即可.

【详解】（1）解：•••22=4，

••.（2,4）=2.

V（-3）4=81,

/.（-3,81）=4.

故答案为：2；4：

（2）解：•.•若（4』2）=x,（4,5）=y,（4,60）=z,

•♦•4,=12,4,=5，4'=60，

.­•4xx4v=12x5=60=4z,

,.,x+y=zt

答案第11页，共24页

（3）解：•.•（叫5）=（"25）=女（女为奇数），

，/=5,/=125=5，

...（叫3=5?,

.{〃/）=53>

二女为奇数时，疝=〃.

28.（1）3

⑵y=32

（3）①证明见解析②3

【分析】（1）由题意可得4^=64,然后根据定义的新运算即可直接得出答案；

（2）由（3,y）=2m-1,（3,6x）=〃?+l可得32g=y,3"=6x,由同底数昂的乘法可得

32Mx3=32洲=3»，由同底数易的除法可得严；3=3.=2%，由易的乘方可得（3"『=,

于是可得（2x『=3y,由此即可得出x与y之间的关系；

（3）①由（4,3）=4,（4,8）=6,（4,24）=。可得4“=3,4=8,4c=24,由3x8=24可得

4"・4〃=平，然后由同底数塞的乘法即可得出结论；②由卜”,力=（3）可得

（8,27）+„>（2133）+2噜）=（2,3）+（用，设（2,3）=%（2,|）i,

c="b=（2,3）+（2,g）,由①探索的结论可得c=（2,34）=（2,8）,即2c=8,由于2:8,

因而可得c=3,由此即可得出答案.

【详解】（1）解：由题意可得：4^=64,

.,.（464）=3,

故答案为：3；

(2)解：••,(3,y)=2m-1,(3,6X)=ZM+1,

.•.32°i=y,3m+l=6x,

/.32m~'X3=32W=3y,3m++3=3"'=2x,

答案第12页，共24页

v（3m）2=32m.

/.（2x）2=3y,

42

（3）①证明：,.,（4,3）=%（4,8）=Z>,（4,24）=c,

.•.4"=3,4"=8,4'=24，

•.•3x8=24,

4"W=4"

即：4。"=4,,

:.a+b=c；

（64、

②解：（8,27）+4,—

\z

=（2,3）+岗,

设（2,3）=4,2,1=b,c=a+/>=（2,3）+卜1,

.•.c=（2,3x§=（2,8）,

/.2,=8,

12，=8,

1・c=3,

.•・（8,27）+0,卦3,

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查了同底数辕的乘法，同底数昂的除法，案的乘方，有理数的乘方等知

识点，读懂题意，根据题中定义的新运算正确列式计算并熟练掌握累的运算法则是解题的关

键.

29.（I）3,0,-3；（2）［运用］:0；［探究］:见解析：［综合应用］:①〃+6=。；②2

【分析】本题考查/新定义，暴的乘方、同底数辕相乘，理解新定义，热练掌握运算法则是

解此题的关键.

（1）根据运算的定义计算即可得解；

答案第13页，共24页

（2）［运用］:根据例题，将各数写成暴的形式并计算即可得解；

［探究］:根据运算的定义及同底数辕的乘法运算法则计算即可得解：

［综合应用］:①根据运算的定义及同底数昂的乘法运算法则计算即可得解；②根据运算的

定义及同底数哥的乘法运算法则计算即可得解.

【详解】解：（1）•.•43=64,

.♦.［4,64］=3,

•；3°=1,

.♦.［3,1］=0,

(2)[运用]:[8,1000]-[32,100000]

=[2\103]-[25,105]

=[2,10]-[2,10]

=0；

[探究]:•••令[2,3]=*[2：5]=/>,[2/5]=〜

.♦.2、3,2〃=5,2,=15，

.•.24-2'=2"+”=15=2°,

:.a+b=c,

.-.[2,3]+[2,5]=[2,15]；

[综合应用]:®v[4,25]=a,[2,3]=6,[4,225]=c,

•••4"=25,2〃=3,4°=225,

•••2%=25,22，=225,2"=9,

:.22ax22h=22a+2h=225=22f,

:.2a+2b=2ct

:.a+h=c；

②令[3,9]=*[3,15]=b,[3,25]=c,

答案第14页，共24页

.♦.3"=9,3"=15，3,=25，

...3岫-c=（3"+3c=9"+3'=（3?丫+3°=（3〃『+3,=9=3?,

:.ab-c=2,

.-.[3,9]x[3,l5]-[3,25]=2.

30.（1）3

（2）①证明见解析；②3

【分析】本题考查哥的运算，解题关键是掌握同底数幕的乘法运算法则.

（1）根据题意可得了=64,进而求解；

（2）由（4,3）=。，（4,8）=方，（4,24）=c,得4"=3，4=8,平=24，得出4".4"=4,，从

而。+/>=c；

（3）设（2,3）=〃，（2,；）=3，由结论得…"=（2,3）|（2,：）=（2,8）,据此计算即可求解.

【详解】（1）解：由题意可得：下=64,

「.（4,64）=3,

（2）①证明：・・・（4,3）=%（4,8）=6,（4,24）=c,

.•.4"=3,4』，4'=24，

•••3x8-24,

/.4"4=4，，

即：4。"=4"

:.a+b=c；

（64、

②解：（8,27）+[4,胃

=（20）+卜,©'

Iv77

=（2,3）+罔，

/Q\（Q\

设（2,3）=a,=b,c=〃+〃=（2,3）+，

.•.c=（2,3xg）=（2,8）,

...2c=8,

答案第15页，共24页

・・・2,=8,

1•c=3,

...(8,27)+,3=3.

故答案为：3.

31.(1)3,125

⑵90

(3)3

【分析】本题考杳有理数的乘方，同底数第的乘法逆用，积的乘方与其逆用，暴的乘方与其

逆用.熟练掌握各运算法则是解题关键.

(1)由2、=8,可直接得出(2,8]=3；由9=125,可得出N=125；

(2)由题意可得出3"=15,3"=6,3，=$.根据〃+b=c,得出3"+"=3"即受小》二?。，

进而即可求出s=15x6=9。；

(3)由题意可得出2“=20,5=20,那么2“=5〃=20,则2皿=2。•2?'=203故

(2,201=a+肛而(2")°=203得到2“=20',则(2,201=血故。+26=",即可求解.

【详解】(1)解：m=g,

.-.(2,8]=3,

•••(5,习=3,5=125,

・•)=125；

故答案为：3,125；

(2)解：v(3,15]=a,(3,6]=6,(3,s]=c,

.••3“=15,3'=6,3'=s，

va+b=c,

.•.3"'=3',即3"-3'=3'

5=15x6=90；

(3)解：M2,20]=〃，(5,20]=/),

•••2"=2(),5:20,

.•.2“=5=20，

答案第16页，共24页

...2。+2b_2a.22b=2a.4"=5b-4b=20J

.•.(2,201=4+28，

•.•(2"丫=20',

•••2ab=20",

.•.(2,201=",

:.a+2b=ab,

3ab,

：.t=---------=3.

a+2b

32.(1)3,2,3；

(2)0；

(3)见解析.

【分析】本题考查了累的乘方，同底数幕的乘法等知识，熟练掌握暴的乘方是解题的关键.

(1)根据题目中的规定，进行运算即可得出结果；

(2)设Q6,10000)=%,则16、=10000=1()4,得到2*=10,同理得到2，=1(),则)=设从

而可求解；

(3)设(4,5)=x,(4,6)=%(4,30)=z,则4、=5,4「=6,41=30,从而可得4"=4、x4>=30=4=,

得到x+V=z,从而得证.

【详解】(1)解：“UlZS,(-2『=4,(-2)'=-8,

.-.(5,125)=3,(-2,4)=2,(-2,-8)=3,

故答案为：3,2,3；

(2)设(16,10000)=x,则⑹=10000=10",

.-.(24)'=10000=104,

则(2、丫=10000=1(/,

••・2、=10,

设(64,1000000)=y,则W=1000000=106,

A(26)V=1000000=106,

则(2,丫=1000000=1()6,

答案第17页，共24页

•••2"=10,

2X=2y

.•U,

(16,10000)-(64,1000000)=0；

(3)设(4,5)=x,(4,6)=乂(4,30)=z,则4"=5"=6,4；=30,

...L=4'X4,=30=4"

.•.x+y=z,

即(4,5)+(4,6)=(4,30).

33.(1)2,0,3

(2)(5,14),见解析

(3)见解析

【分析】此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键：

(1)根据题干规定计算即可得到结论；

(2)设(5,2)=x,(5,7)=),根据同底数哥的乘法法则即可求解；

(3)设(2",3")=x,于是得到(2)=3”,即(2、)"=3"根据"雅对”定义即可得到结论.

【详解】(1)解：•.•22=4，

・•.(2,4)=2；

=1，

.♦.(5,1)=0；

•••3:27,

•••(3,27)=3；

故答案为：2,0,3；

(2)解：设(5,2)=x,(5,7)=y,

则5*=2,5>=7,

=2x7=14,

.•.(5,14)=x+y,

.-.(5,2)+(5,7)=(5,14),

故答案为：(5,14)；

(3)解；(2",3")=x,于是得到UP(2V)"-3%

答案第18页，共24页

2'=3»即(2,3)=X,

二(2",3")=(2,3).

34.D

【分析】本题主要考查了积的乘方法则、'曷的运算法则等知识点，掌握积的乘方法则是给积

的每一个因式分别乘方成为解题的关键.

根据枳的乘方的运算法则即可解答.

【详解】解：豪的运算中：运算的依据是积的乘方法则.

故选D.

35.2.25x108-3.11xl(r5

【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数以及幕的乘方等知识，利用科学记数法表示,

一般形式为“xlOL其中1上忖<〃为由原数左边起第一个不为零的数字前面的。的

个数所决定.

【详解】解:(1.5X10-4)2=2.25X10~S

-0.0000311=-3.11x10-5>

故答案为：2.25x10-8,-3.11x10-5.

36.-；108

【分析】根据积的乘方与尿的乘方以及同底数箱的乘除运算法则即可求出答案.

【详解】解：・.5=2,d=3,

2

・5"二优=2+3=§；

a2m+3n=(am)2x(an)3=22x33=4x27=108.

【点睛】本题考查同底数骞的乘除运算以及塞的乘方.同底数暴的乘法法则：同底数辱相乘，

底数不变，指数相加；同底数’辕的除法法则：同底数弃用除，底数不变，指数相减.

37.(1)4,-8,萼；(2)卜⑼•(町乘方的意义(写“乘方的概念”、“乘方的定

16n个处

义”都可)

【分析】(1)根据乘方的意义和积的乘方的运算法则计算即可

(2)根据乘方的意义写成哥的形式即可

答案第19页，共24页

【详解】解：(1x2)2=4(2)3=-8,[・£]=段；

故答案为：4,一8,萼：

16

(2)=(。・。•…•…・6)=(。办办…•(ab)=(ob)

〃个。〃个6"个时

运算的依据是：乘方的意义

【点睛】本题考查了乘方的意义，积的哥的运算，熟练掌握法则是解题的关键

38.(1)4

(2)1

【分析】本题主要考查了同底数累乘法，哥的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确

计算.

(1)根据"•/'=a"=/得出x+