2025-2026学年人教版八年级数学下册 第二十章 勾股定理 单元测试卷（含答案）

第二十章勾股定理单元测试卷

时间：90分钟分值：120分得分：

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.在4ABC中,/C=90。,若AC=8,AB=10厕BC的长是（）

A.7B.6C.5D2

2.在下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（）

A3,4,V7V2

C.6,12,13D.V2,V3,V5

3.如图，5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A,C,D的面积依次为4,5,2

0,则正方形B的面积为)

A.8B.9D11

4一束光线从y轴上一点A（0,1）出发，经过x轴上的点C,然后反射经过点B（-3,3）,则光线从点A到点

B经过的路线长是)

A.4B.5C.V13D6

5.如图，在四边形ABCD中,ND=9（『,AD=3,CD=l,AB=BC=0则四边形ABCD的面积是（）

A.5B.4c.VToD8

第5题图

6.如图，把一个含45。角的三角尺放入2x4的网格中，三角尺的三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示

1的点重合，则数轴上点A所表示的数为)

A.2V2B.1+2V2C.-1+2V2D.V3

7.已知a,b,c为△ABC的三边长.且满足（t/-6）（a2+序-62）=0,则Z\ABC是（）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形

8.如图在长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠使点B与点D重合折痕为EF厕4ABE的

面积为1）

A.3cm2B.4cm2

C.6cm2D.12cm2

第8题图第9题图第10题图

9.一个长、宽、高分别是acm,bcm,ccm的长方体无盖盒子如图所示，已知一根木棒长为7cm,且DC

_LAC.通过计算发现，能放入此木棒的长方体无盖盒子的规格是（）

A.a=6cm,b=2cm,c=2cm

B.a=5cm,b=3cm,c=3cm

C.a=4cm,b=4cm,c=4cm

D.a=5cm,b=5cm,c=1cm

10我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形

EFGH拼成的一个大正方形ARCD,如图，连接AC,交BE于点P.若SACPF-SMEP=3.5,AE+ER=7则正方形ABCD的

面积为（）

A.28B.25C.30D.24

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11在4ABC中，若AB=AC=5,BC=6,则4ABC的面积为一.

12如图，直线1上有三个正方形，若a,b的面积分别为6和16,则c的面积为

13如图，点A,B,C,D均在正方形网格格点上厕NDAC-NBAC='

第14题图

14如图,RtZ\ABC的两直角边长分别为12以RtAABC的斜边AC为一直角边，另一直角边长为1画第2个

RtAACD；再以RtAACD的斜边AD为一直角边，另一直角边长为1画第3个RtaADE；.…依次类推，则第

n个直角三角形的斜边长是_______.

15如图，在△ABC+>,AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD±BC.gP,Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小

值为______

第15题图第16题困

16如图，已知在平面直角坐标系中，力（-2卤，0）凤2,0）（（0,2）,点口在x轴上运动，当点P与A,B,C三点中任

意两点构成直角三角形时，点P的坐标为.

三、解答题（本大题共8个小题，共72分）

17（8分）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE=6cm；当摆锤摆动到

最高位置时，它离底座的垂直高度BF=8cm,此时摆锤与静止位置时的水平距离BC=10cm,求钟摆AD的长度.

18(8分)如图，一根木杆在离地面3m的点B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端4m处.

(1)如图1,求木杆折断之前的高度；

(2)如图2,若此木杆在点D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端3m处、求AD的长.

S1S2

19(8分)如图，某小区有一块三角形空地ABC,现计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路AD,DE

隔开，且DE_LAB.经测量,AB=15m,AC=13m,AD=I2m,BD=9m.求:

(1)CD的长;

(2)BE的长.

A

20(8分)在如图所示的6x8的网格中，每个小正方形的边长都为1.求:

(l)AABC的周长；

(2)AB上的高CD的长.

21（8分）每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练.如图,

云梯AC的长为25m,云梯顶端C靠在教学楼外墙0C上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角。的距离为7m。

（I球云梯顶端C与墙角0的距离CO的长；

（2现云梯顶端C下方4m的D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端在水平方向上

滑动的距离AB为多少米？

22（10分）随着“双碳”目标的提出，减少能源消耗和碳排放对于实现“碳达峰”和“碳中和”目标具有重要意义.如

图，某社区新建新能源汽车充电桩，CD为充电桩，BC和AC分别为两侧充电线伸出后的最长距离.已知在/\ABC

中，CD1AB交AB于点D,AC=20,BC=15,CD=12.求证：△48C是直角三角形.

23D（10分）如图在4ABC中,AB=AC,AD_LBC于点D,NCBE=45o,BE分别交AC,AD于点E,F.

⑴若AB=13,BC=10*AF的长；

⑵若AF=BC,BH=EF,用等式表示线段AE,EF,BF之间的数量关系并证明.

24新趋势综合与实践（12分）定义:如图，点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB.若以AM,MN,NB为边的三角形

是直角三角形，则称点M,N是线段AB的,、勾股分割点”.

【数学思考】

⑴已知点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB若AM=4,MN=5,NB=6,则点M,N是线段AB的“勾股分割点”

吗?封请说明理由.

【深入探究】

⑵已知点M,N是线段AB的“勾股分割点”.

①“善思小组”提出问题:若MN是以AM,MN,NB为边的三角形的最长边，且AM=BN=2,求AB的长；

②“智慧小组”提出问题若AM是以AM,MN,NB为边的三角形的直角边.且AM=8,AB=24请直接写出BN的

AMNB

1.BSAABC4>,VZC=90°,AC=8,AB=10,

・•・根据勾股定理，得BCZABJOZ02-82=6.

2C432+(夜)742,符合勾股定理的逆定理,不符合题意.&]2+]2=(应)，符合勾股定理的逆定理,不符合题意.

C.62+122,132不符合勾股定理的逆定理，符合题意.D.(V2)+(73)^(75)\,符合勾股定理的逆定理，不

符合题意.

3.D•・•5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，:・SA+SB=SD-S「

•・•正方形A,C,D的面积依次为4.5,20,

.•商=So-&-S4=20-5-4=11.

4.B如图，作点A关于x轴的对称点A\连接AC则人〈0「1：^^=人9,且民(3向三点共线.

作BD〃AA；AD〃OC,DB与AD交于点D,

，光线从点A到点B经过的路线长是AC+BC=AC+8c=/5=•'。2+082=732+(1+3)2=5,即光线从点A到

点B经过的路线长是5.

、8(-3,3)〃

\CX

力一才

5.B如图，连接AC.

VZD=9O°,AD=3,CD=1,

AJC=V^D2+CD2=V32+12=VT0.

又，・・AB=BC=逐

.\JC2=i?C2+J^2=(\/5)2+(V5)2=10,

/.ZB=ZD=90°,

:四形.SAABC+SdADC=型十筌=4.

6.C如图，设直角顶点C与数轴上表示-1的点重合.

由题意，矢口CA=CB=yH^=2©

・♦.数轴上点A所表示的数为-1-2V2.

7Z)

8.C・•.将此长方形折叠，使点B与点D重合，・・・BE=ED.

VAD=9cm=AE+DE=AE+BE,

/.BE=9-Ab.

根据勾股定理可知，AB2+AE2=BE\

.,.32+/lE2=(9-JE)2,

解得AE=4cm,

S&BE=3x4+2=6(c〃/)•

9.D如图，连接AD.

A.由勾股定理，得AC=V^2+Z>2=V62+22=V40(C7ZZ),

/.AD=y/AC2+CD2=J(V40)+22=V44(cm)<7cm,

故选项A不符合题意.

AZ)=VJC2+CZ)2=J(V34)~+32=V43(CW/)<7cm,故选项B不

B.由勾股定理，得AC=V<72+Z)2=V52+32=V34(cm),

符合题意.

C.由勾股定理，得AC=V«2+/?2=V42+42=V32(c7zz),：,AD=y/AC2+CD2="+42=V48(CW)<7cm,故选项C不

符合题意.

22

D.由勾股定理，得—/=夜2+按=，52+52=同(°冷,:.ADZAC+Cg,+\=\f5\(cm')>lcm,故选项D符

合题意

D

10A

H12取BC的中点D,连接AD(图略).

•・•AB=AC=5,，AD_LBC,BD=3,

22

：.AD=y/AB-BD=4,:.S^AB(j=；：＜6、4=12.

1210如图,A,B,C,D,E,F,G均为正方形的顶点,其中点E,B,C,D,G在直线1上.

,:ZABE=ZFDG=90°,/.ZABC=ZCDF=90°.

•・•ZACF=90o,AZACB=ZCFD=900-ZFCD.

NABC=NCDF,

在AABCfOACDF中，1/ACB-/CFD,

AC=CF,

△ABCg△CDF(AAS),/.BC=FD.

*：AB2+BC2=AC2,：.力炉+»=4C2.

Va,b的面积分别为6和16,

22

:.Sc=DF2=AC-AB=Sh-S3=16-6=10,

***c的面积为10.

1345如图、取格点E,连接AE.DE.

•:AB=AE=DEK/R12=小工c上BE

AZBAC=ZEAC,

・•・ZDAE=ZDAC-ZEAC=ZDAC-ZBAC.

VJZ)2=32+12=1O^4E2=DE2=5,

；.A»-AE2+DO,；.NAED-9U、

/.ZDAE=ZADE=45°,

AZDAC-ZBAC=45°.

14.7^4第i个直角三角形的斜边长是757n4第2个直角三角形的斜边长是右行=依=伤4第3个直角

三角形的斜边长是X/6+T=V7=V3+4,……

.・.依次可得，第n个直角三角形的斜边长是G

15y如图，连接BP.

在AARC中,AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD±BC,

:.BD=DC,JBP=PC,PC+PQ=BP+PQ,

・••当BRQ三点共线时TC+PQ的值最小，

・••当BQ±AC时BQ的值最小.

令AQ』a厕CQ'=10-a.

222l2

VBQLAC,：,AB-AQ'=BC-CQy

即102p2=i22-(io-a)2,解得a=*

・"o4°Y)Y，

.♦・PC+PQ的最小值为?

16(0,0)或(苧0)或(；(-2,0)

设点P的坐标为(m,0).

当APAC为直角三角形时，

①当NAPC=90。时易知点P在原点处,坐标为(0,0).

②当NACP=90。时.如图的.

♦；/月。产=9。，・=4（；2+//；2=/产2,

:.(2甸2+22+m2+22=(好?+271)2解得片子,

・••点P的坐标为(苧0).

当APBC为直角三角形时，

①当NBPC=90。时.易知点P在原点处,坐标为(0,0).

②当NBCP=90。时、如图目标.

VZBCP=90°,CO±PB,

・・・PO=BO=2,・,•点P的坐标为(-2,0).

综上所述，点P的坐标为(0,0)或(浮())或(-2,0).

17解:设AB=AD=xcm.......................................1分

根据题意可知,BC//EF,CE±EF,BF±EF,BF=8cm,

/.CE=BF=8cm,........................................................2分

AC=AD+DE-CE=x+6-8=(x-2)cm.....................4分

在RtAABC中，ZJC5=90,：.AB2=AC2+BC2,

.,.X2=(X-2)2+102,

解得x=26,................................................................7分

・•・钟摆AD的长度是26cm.............................8分

18解:⑴在RtAABC+,ZBAC=90°,AB=3m,AC=4m.

根据勾股定理，得4/=值率=5(m),3+5=8(m).

答：木杆折断之前的高度是8m..........................4分

(2股AD的长是xm,则CD=(8-x)m.

在RtAADC中，根据勾股定理、

得X2+32=(8-X)2,................................................6分

解得尸青...............................7分

Io

AAD的长是汾......................8分

Io

19.ft?:(l)VAB=15m,AD=12m,BD=9m,

••・482=225/。2+比>2=144+81=225,............1分

：,AB2=AD2+BD2,

/.ZADB=90°,.....................................................2分

AZADC=90°,

JCD^AC^-AD2^132-122=5(w).

答CD的长为5m..............................................4分

(2)由⑴知NADB=90。.

VDE1AB,/.ZBED=9O°.

设BE=xm,则AE=(15-x)m.

VDE^AD^AE^BC^-BE2,

・^.122-(15-x)2=92-x2,解得x=5.4...................7分

答BE的长为5.4m..........................................8分

20解：(1)由勾股定理，知48=732+42=5,...........I分

力C=V12+42=67,,...................................................2分

5C=VF+57=V26„................................................3分

•••△ABC的周长为5+>/T7+V26......................4分

(2)如图,S^ABC=S长方形CEPG—S&EBC-SAACCSAABP

5*4-;Xlx5-；xlx4-;x3x4=；.分

•：S^ABC=\ABCD=^5CDy

；・CD=?..............................................................8分

■

21W：(1)VZAOC=90°,OA=7m,AC=25m,

/.OC=y/AC2-OA2=>/252-72=24W.........4分

答云梯顶端C与墙角O的距离CO的长为24m.

(2)VOD=OC-CD=24-4=20(m),

AO5=V5D2-OD2=V252-202=l5(w),.......6分

/.AB=OB-OA=15-7=8(m),

答：云梯底端在水平方向上滑动的距离AB为8m....................................8分

22证明:'.・CD_LAB,

.*.ZCDB=ZCDA=90°.

•・•在RtACDB+,BC=15,CD=12,

:.5D=V152-122=9......................3分

•••在RtAACD+,AC=20,CD=12,

AJD=VJC2-CD2=V202-122=16,.........6分

AAB=AD+DB=16+9=25.

•■△ABC中,AB=25,AC=20,BC=15,

，/1〃=252=625/。2+8。2=2()2+}52=625)

：,AB2=AC2+BC2„....................9分

/.△ABC是直角三角形..................10分

23解:⑴:AB=AC,AD±BC,

・・・8O=:4C=；X10=5...................1分

在直角三角形ABD中也勾股定理得AD=V/152-^Q2=Vl32-52=12.2分

•:/CBE=45,：,NDFB=90-45=45=NCBE,

，DF=BD=5,

・・・AF=AD-DF=7.....................................................3分

(1)AE2=EF2+BF2.................................................4分

证明:如图.连