万有引力与宇宙航行（6知识点+9题型+分层限时练）原卷版-2025-2026学年高一物理下册期末复习（人教版必修第二册）

万有引力与宇宙航行（6知识点+9题型+分层限时练）

目录

【考情透视・目标导航］..........................................................................2

【知识梳理•方放技巧］..........................................................................2

知识点01开普勒三大定律（行星运动规律）...................................................2

知识点02万有引力定律......................................................................3

知识点03天体运动规律公式（万有引力提供向心力）..........................................3

知识点04卫星分类辨析（期末最易混淆）.....................................................4

知识点05三大宇宙速度......................................................................4

知识点06卫星变轨问题（难点多选必考）.....................................................5

【典例引领•即时检测】..........................................................................5

题型1开普勒定律的应用.....................................................................5

题型2第一宇宙速度的两种求法..............................................................5

题型3离星球表面一定高低的万有引力的计算.................................................8

题型4深坑（或深井）模型...................................................................9

题型5中心天体质量和密度的计算...........................................................11

题型6卫星的变轨问题......................................................................12

题型7双星（或多星）模型..................................................................14

题型8挖补法求万有引力....................................................................16

题型9地表抛射与天体运动的综合问题.......................................................18

【考场练兵•分层实战】.........................................................................19

基础通关练（测试时间：1（）分钟）...........................................................19

重难突破练（测试时间：15分钟）...........................................................21

综合拓展练（测试时间：18分钟）...........................................................23

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・考情透视•目标导肮.

1.分值占比

本专题是高一物理必修二必考重点，期末考试总分占比15-22分，考查形式全覆盖：单选题、多选

题、填空题、计算题均会出题，公式逻辑性强、模型固定，属于最好拿分、最容易满分的板块。

2.核心考查方向

（1）基础层：开普勒三大定律理解、万有引力公式辨析、引力常量识记

（2）中层：天体五大公式推导、卫星轨道物理量比较、重力加速度计算

（3）拔高层：近地卫星、同步卫星、赤道物体三类天体对比、变轨动态分析

（4）综合层：中心天体质量密度计算、多星系统、宇宙速度综合判断

3.命题特点

模型固定、套路极强，紧贴课本公式，常结合我国航天工程、行星探测、同步卫星等真实情境出

题，侧重考查公式记忆、比例运算、模型辨析，计算难度低，易错点多。

4.高频易错点

（1）混淆自转物体与环绕卫星，错误对地面物体使用万有引力全部提供向心力

（2）分不清轨道半径、星球半径、离地高度，代入公式时常代错数据

（3）卫星变轨时误判加速度大小，认为加速后加速度变大

（4）记错同步卫星条件，误以为同步卫星可以在任意纬度发射

（5）混淆发射速度和环绕速度，记错第一宇宙速度物理意义

.知识幅理•方法技巧.

司必备知识

底知识点01开普勒三大定律（行星运动规律）

定律内容图示说明

运动规律:近日点速度大,

开普勒第一定所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳远日点速度小，

律（轨道定律）

处在椭圆的一个焦点上W阳7口诀：近快远慢.

脸当行星离太阳较近时，运

开普勒第二定

对任意一个行星来说，它与太阳的连线在动的速度比较快，而离太

律（面积定律）相等的时间内扫过的面积相等

阳较远时速度较慢

T星

开普勒第三定所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公

同一中心天体在相同，不同

律（周期定律）转周期的二次方的比都相等，即*k

的中心天体上一般不同

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及知识点02万有引力定律

1.定律内容

自然界中任意两个有质量的物体之间都存在相互吸引力，引力大小与两物体质量乘积成正比，与两物体球

心距离的平方成反比。

2.计算公式：F=G^,G为引力常量，且G=6.67xlO-"N・〃//靖，由卡文迪许扭秤实验测出。「为质点间距、

均匀球体球心间距。

3.适用条件

适用于质点、质量均匀球体、间距极大可视为质点的物体；不能直接用于不规则靠近物体.

4.黄金代换式（必考万能公式）

在星球表面，忽略星球自转，万有引力近似等于重力。

Mm~

G=〃?g=GM=gR2

适用：星球表面附近、近地卫星，是天体计算使用频率最高公式。

5.高空重力加速度推导

距离星球表面高度h处：gh飞品，即：离地越高，重力加速度越小。

限知识点03天体运动规律公式（万有引力提供向心力）

1.天体运动的基本物理量

所有环绕卫星做匀速圆周运动，向心力全部由中心天体的万有引力提供。

、Mmv24M

2

G——=m—=mcor=m—7r=man

物理量推导公式变化规律（r越大）

线速度小减小

角速度减小

周期增大

GM

向心加速度

%=万减小

通用口诀：高轨、低速、大周期、小加速度。

2.中心天体质量与密度计算

（1）自力更生法

利用天体表面的重力加速度g和天体的半径R

3/24

①由华=〃唱，得天体的质量M=更

R~G

②天体密度〃=竺=^-二昌一

/4^34兀GR

3

③黄金带换算：GM=gR

（2）借助外援法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。

\4m4兀24冗2厂3

①由得天体的质量

r2rGT2

MM_3"

②若已知天体的半径R,则天体的密度〃=7二,

3

③若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径，•等于天体半径处则天体的密度〃=1；,可见,只要

GT-

测出II星绕天体表面运动的周期T,就可估测出中心体的密度°

限知识点04卫星分类辨析（期末最易混淆）

1.近地卫星

轨道半径近似等于地球半径，贴近地表飞行；万有引力完全提供向心力；具有最大环绕速度、最小公

转周期，

2.地球同步卫星（五定原则）

特点具体说明

定周期周期为24h,与地球自转周期用同

定角速度角速度等于地球自转角速度

定轨道只能在赤道正上方

定高度离地高度固定

定速度环绕速度大小固定

3.赤道上随地球自转的物体

受力：万有引力一部分提供重力，一小部分提供自转向心力；不可使用卫星环绕公式：角速度等于同

步下星,但是线速度、向心加速度远小于同步下.星°

险知识点05三大宇宙速度

1.第一宇宙速度（7.9km/s）

是近地卫星的环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度，是所有环绕地球运转的卫星中最大的环

绕速度。

2.第二宇宙速度（lL2km/s）

是卫星脱离地球引力束缚的最小发射速度，当发射速度N11.2km/s时，卫星将脱离地球引力，成为绕太

阳运动的人造行星。

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3.第三宇宙速度（16.7km/s）

是卫星脱离太阳引力束缚的最小发射速度，当发射速度N16.7km/s时，卫星将脱离太阳引力，飞出太阳

系。

肢知识点06卫星变轨问题（难点多选必考）

1.低轨道变高轨道（离心运动）

卫星向后喷气加速，所需向心力变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动，进入高轨道。

速度变化：点火瞬间速度增大；稔定后轨道越高，环绕速度越小。

2.高轨道变低轨道（近心运动）

卫星向前喷气减速，所需向心力减小，万有引力大于向心力，卫星做近心运动，轨道降低。

3.变轨核心结论

同一位置，轨道半径相同，万有引力相同，加速度一定相等：变轨交点处，外轨速度大于内轨稳定速

度；从低轨到高轨需要两次点火加速。

.典例引领•即时检测.

题型1开普勒定律的应用

:题।型।罅i4

：…”…笄警新兔棒茬天标运动著巅不多取篡袖遴择版舷茂田貌;浅不著看三瓦:…二鬼短据第二是他狗麻逅百

;点远日点的速度大小关系，二是利用第二定律分析不同位置的运动速率变化，三是运用第三定律的比例关

:系计算不同行星的公转周期或轨道半长轴，整体难度较低，属于必拿分题型。

3【典例1】（2O2G•贵州铜仁•模拟预测）如图所示是地球绕太阳运动的椭圆轨迹，短轴和长轴的四个位

置所对应的节气分别是春分、秋分、夏至和冬至。假设地球只受到太阳的引力，下列说法不正确的是（）

A.春分和秋分时，地球运动的加速度不相同

B.从夏至到秋分，地球的运行时间等于公转周期的5

C.若用a代表椭圆轨道的半长轴，7代表公转周期，条=匕则地球与木星对应的k值相同

D.火星与太阳连线单位时间扫过的面积不等于地球与太阳连线单位时间扫过的面积

【即时检测1］（24-25高一下•吉林长春•期末）分别与地球公转轨道外切和内切的小行星甲和小行星乙的公

转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为凡公转周期为

T,小行星甲的远口点到太阳的距离为修，小行星乙的近日点到太阳的距离为心，则（）

A.小行星甲在远日点的速度大于其在近日点的速度

B.小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度

C.小行星甲与小行星乙的运行周期之比*=Jg

D.小行星甲从远日点到近日点的时间为笠*的?

【即时检测2］（24-25亩一下•山东潍坊•期末）（多选）如图所示，月球探测器绕月球沿椭圆轨道运行,

P、Q分别为近月点和远月点，其间距为乙，已知月球质量为M，引力常量为G，则（）

A.探测器在P点的速度大于在Q点的速度

B.探测器在P点的加速度小于在Q点的加速度

C.探测器从P点第一次运行到Q点的时间为空恁

D.探测器从P点第一次运行到Q点的时间为日国

题型2第一宇宙速度的两种求法

题|型|解|在

.……第二季宙逋漫息丽耒莠府迷推巅「讦算子的篙频著芭…宓「感维擎垢两祎捶导隶廨方法;…两丁芳法语

依托万有引力的核心思路求解，具体推导过程如下：

6/24

方法一：近地卫星环绕法。

近地卫星的轨道半径近似等于中心天体的半径(R),万有引力全部提供卫星做圆周运动的向心力，因此

有嘤=〃。，整理可得第•宇宙速度片J牛，只要知道中心天体的引力常量(G)、中心天体质量(M)和中心天

体半径(R),即可代入计算得到第一宇宙速度。

方法二：黄金代换推导法。

在中心天体表面，忽略自转影响时，万有引力近似等于物体重力，结合近地口星向心力曰重力提供，

可得也尸〃卷，整理得到第一宇宙速度产病，只要知道中心天体表面的重力加速度(g)和中心天体半径(R),

就可以快速算出第一宇宙速度。

该题型核心易错点为混淆笫一宇宙速度是“最小发射速度，最大环绕速度”的物理意义，审题时需要注意

问题问的是发射速度还是环绕速度，避免概念判断错误。

②【典例2】(24-25高一下•江西南昌•期末)“伽利略〃木星探测器，从1989年10月进入太空起，历经6

年终于到达木星周围。此后在t秒内绕木星运行n圈后，对木星及其卫星进行考察，最后坠入木星大气层烧

毁。设这几圈都是绕木星在同一轨道做匀速圆周运行，其运行的向心加速度大小为即，探测器.二的照相机正

对木星拍摄整个木星时的视角为£(如图所示)，设木星为一球体。求：

⑴木星探测器在上述圆形轨道上运行时的轨道半径；

(2)木星的第一宇宙速度大小。

【即时检测1】(24-25高一下•湖北孝感・期末)我国计划在2030年前实现载人登陆月球开展科学探索，其

后将探索建造月球科研试验站，开展系统、连续的月球探测和相关技术试验验证。质量为m的飞船在距离月

面的高度等于月球半径处绕月球做匀速圆周运动时，周期为。己知月球半径为R，忽略月球自转。求：

⑴月球表面的第一宇宙速度大小；

(2)飞船停在月球上时受到的支持力的大小。

【即时检测2】(24-25高一下•湖南永州♦期末)(多选)我国宇航员进行了“模拟登陆火星”实验，已知火星

半径约为地球半径的看质量约为地球质量的一地球表面重力加速度为g,若宇航员在地球表面上能竖直向

上跳起的最大高度为爪在忽略火星自转影响的条件下，下列说法正确的是()

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A.宇航员在火星表面受到的万有引力是地球表面受到的万有引力的!

B.火星表面的重力加速度为前

C.火星第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的辛

D.宇航员以相同的初速度在火星表面上能竖直向上跳起的最大高度为小

题型3离星球表面一定高低的万有引力的计算

■恒隆陌

“孩施型的核不弼运五手灌桶良芬薪造辛和:…至荻率径亏离施而反三不物包亶「廨浜反奏而施而核;E、恿

j路依然是万有引力提供向心力，结合黄金代换式进行推导计算。设星球半径为R,离地高度为h,那么卫星

:做圆周运动的轨道半径尸R+h,结合万有引力提供向心力可得*^=加氤="⑷2（犬+卜尸〃帽（R+h尸〃?gh，再结

1合黄金代换式G〃=g7?2,就可以消去GM,直接用星球表面重力加速度推导得到对应高度处的线速度、角速

:度、周期、重力加速度等任意物理量。

该题型最常见的易错点就是计算时代错半径：直接把离地高度力当成轨道半径代入公式计算，因此解

：题第一步必须明确写出尸尺+h,再代入公式运算，就能避开这一高频失分陷阱。

2【典例3］（24-25高一下•四川雅安•期末）将地球视为半径为R的均匀球体，物体受地球引力大小产

随它距地面高度h变化的关系图像可能正确的是（）

【即时检测1】（23-24高一下•山西期木）月球对地球施加的引力是造成潮汐的主:要原因。如图所示，当月

球在某个位置时，它对地球上最近的那部分海洋有较强的引力作用，导致海水向月球方向隆起，形成高潮。

已知地球质量为历，地球半径为R,地球自转周期为r,月球质量为〃?，月球到地球的距离为人引力常量

为G,取地月连线上靠近月球•侧的地球表面上质量为的小水球作为研究对象，求：

（1）小水球绕地心做圆周运动的向心力大小；

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（2）月球对小水球的引力大小与地球对小水球的引力大小之比。

【即时检测2］（23-24高一下•辽宁锦州・期末）中国自行研制、具有完全自主知识产权的“神舟”飞船,目前

己经达到或优于国际笫三代载人飞船技术。如图所示，其发射过程尚化如下：质鼠为〃?的飞船在酒泉卫星

发射中心发射，由“长征”运载火箭送入近地点为P、远地点为。的椭圆轨道上，飞船通过变轨进入预定圆

轨道。已知：点P距地面的高度为力，飞船在预定圆轨道上飞行〃圈所用时间为地球表面重力加速度为

g,地球半径为心求：

（1）飞船从。点到P点速度大小的变化情况：

（2）飞船经过椭圆轨道近地点P时的地球引力大小；

（3）。点距地面的高度。

预定圆轨道

题型4深坑（或深井）模型

法「鼠|罅|冠

.……孩稹核著商均芍琼株丙部示悯添蔗质的董万而适度讦算「孩丁绪雍为;…只看深有奔内部乳珠五良部芬

球体对物体产生万有引力作用，外部球壳对物体的引力合力为零。

设星球半径为（R），密度均匀为〃，物体距离星球表面深度为（d）,物体到球心的距离为（r=R・d）。根

据万有引力提供重力，结合万有引力定律推导：班卜时,即吟=g,，而AT=〃/ri"星球总质量〃•%

正,地表重力加速度g=（W=G^^=Gp•融。将M，代入g表达式可得£=6勺二=6*犷，又因为r=R-d,

所以g=Gp枇R_（f）=g^=g（L/即重力加速度随深度线性减小。

该模型的易错点在于，很多同学会误用高空重力加速度公式gh招濡加进行计算。注意高空重力加速度

和深坑模型规律不同：高空是离地高度h越高，g与（R+h）2成反比减小：而深坑中，深度d越大，g随d线

性减小，需要区分模型，选择对应公式。

3【典例4】（25-26高一上•湖北武汉•期末）假设地球是一个半径为R、质量分布均匀的球体，已知质量

分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零.若在地球内部,以地心。为圆心、号为半径挖一条圆形隧道.

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如图所示。现使一小球在隧道内做匀速圆周运动，且不与隧道壁接触，小球可视为质点，不考虑隧道宽度

与阻力。已知地表重力加速度为g,则其在隧道中做匀速圆周运动的速度大小为（）

u小/gRD•醇

【即时检测1】（24-25高一下•河南开封•期末）（多选）已知均匀球壳对内部任意一点的引力为零，若地球

可视为质量分布均匀的球体，半役为R,地球表面的重力加速度大小为g,若从地球表面沿半径方向挖一深

下列说法正确的是（）

A.洞底的重力加速度大小为9

B.洞底的重力加速度大小为目

C.若从地表由静止掉落一物体，到达洞底时的速度大小为零

D.若从地表由静止掉落一物体，到达洞底时的速度大小为零

【即时检测2]（23-24高一下•河北沧州•期末）已知质量分布均匀的球壳对内部任一质点的万有引力为零。

如图所示，若通过地球球心打通一条光滑的细通道，一个质量为〃?，可看作质点的小球从入口河点处由静

止释放，沿着通道到达另一端M＞已知地球半径为R，小球在M点释放瞬间的加速度为m地球质量分布均

匀，不计细通道对地球质量分布的影响，则小球运动过程中的最大动能为（）

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B.-maRC.maRD.2maR

题型5中心天体质量和密度的计算

题|型|解|读

……孩版冠息高二朝通期茉著,并算版第二词的宓滂内容「衽监在逸痒鹿币单须等杳二…核E总擘狼西部不

同条件下的计算思路，根据题目给出的已知量选择对应公式推导，具体分为两类场景：

模型1：自力更生法

给定星球表面重力加速度和星球半径，忽略星球自转时，利用黄金代换式GM=gW,直接推导得到中

心天体质量M=啥，再结合密度公式，代入化简就能得到密度p=悬。

模型2：借助外援法

给定环绕卫星的轨道半径（r）和公转周期（T），利用万有引力提供向心力，G等=加整，整理得到中心天

体质量M=穿，再结合密度公式代入中心天体体积V=，R3（R为中心天体自身半径），即可得到密度

P=需。如果是近地卫星，轨道半径r■近似等于中心天体半径R,公式可以直接化简为p=言，这一结论

是选择题高频考点，需要牢记。

易错题型：一是计算密度时，误把卫星轨道半径当成中心天体的自身半径代入体积公式，只有近地卫

星才能直接替换；二是混淆两种计算场景的条件，不会结合黄金代换式化简，解题时先明确题目给出的己

知量，选对公式就能保证计算正确。

3【典例5】（24-25高一下•辽宁沈阳•期末）中国空间站距离地面的高度约为地球半径的白，其环绕地球

运行的周期为兀已知引力常量为G,则以下表达式最接近地球立均密度的是（）

4JT

B.而U黑

【即时检测1】（24-25高一下•四川达州•期末）2024年5月3日0时27分,嫦娥六号探测器由长征五号

遥八运教火箭在中国文昌航天发射场成功发射，之后准确进入地月转移轨道。经过一系列变轨后成功进入

环月轨道，已知探测器绕行周期为兀轨道高度与月球半径之比为七引力常量为G,则月球的平均密度为

()

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3万（1+少

A.累B.黑（1+少3nk

c・而GT2k3

【即时检测2】（24-25高一下•四川攀枝花•期木）如图所示，有两颗绕地球做椭圆运动的卫星1和卫星2,

它们轨道的近地点到地球表面的最近距离均为d,远地点到地球表面的最近距离分别为"尸1.5人d2=10d.

环绕地球运动的周期之比£='忽略地球的自转，已知万有引力常量为G,地球表面的重力加速度为g,

⑴地球的半径R;

⑵地球的平均密度p。

题型6卫星的变轨问题

题I型I解I读

一……"虚变就一瓦斯采考钛至顼选卷施的凝至善瓦…布乐而洛布并曾函市绪百万百史万比律老看「核无一考香

变轨过程中的速度、加速度、周期的大小比较，需要紧扣变轨核心结论分析判断。

该题型有几个高频考查结论需要牢记：第•，加速度只和位置有关，同•位置不同轨道的万有引力相

同，因此加速度一定相等，不要被变轨过程的速度变化误导；第二，速度大小比较：低轨道变到高轨道，

点火加速后速度才会大于原轨道的稳定速度，但是最终稳定在高轨道后，环绕速度会比原低轨道的环绕速

度更小；第三，从低轨道转移到高轨道需要经过两次点火，第一次在低轨道加速进入转移椭恻轨道，第二

次在椭圆轨道远地点再次加速进入高轨道圆轨道，整个过程需要消耗燃料，机械能增加。

常见的易错点有两个：一是误以为轨道越高稳定环绕速度越大，记错“高轨低速”的规律；二是比较

变轨交点处的速度大小时混淆变轨过程，错认为内轨速度大于外轨速度，需要记住离心变轨时外轨交点速

度更大，近心变轨时外轨交点速度更大这一结论。

©【典例6］（24-25高一下•福建福州•期末）（多选）“天问一号〃探测器，2020年发射，2021年2月成功

飞近火星，这在我国尚属首次。历时较长，过程复杂，若将过程模拟简化，示意如图，圆形轨道I为地球

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绕太阳公转的轨道，轨道半径为r，椭圆轨道n为"天问一号"绕太阳公转的椭圆轨道，圆形轨道ID为火星绕

太阳的公转轨道，轨道半径为1.5r；P是轨道II与I的公切点，Q为轨道II与DI的公切点，不计火星引力、

地球引力对轨道II中探测器的影响。下列说法正确的是（）

A.“天问一号〃在椭圆轨道n上运动的周期小于2年

B."天问一号"从P点运行到Q点的过程中引力先做正功后做负功

C.“天问一号〃在轨道I上运行的机械能小于在轨道m上运行的机械能

D."天问一号"在轨道n上运行经过Q点速度大于火星在轨道HI上经过Q点的速度

【即时检测1】（24-25高一下•甘肃白银•期末）（多选）2025年4月24日，三名航天员从神舟二十号载人

飞船进入空间站（距地面的高度为h）。神舟二十号的质量为航天员的总质量为Am,地球半径为R,地

球表面的重力加速度大小为9。下列说法正确的是（）

A.神舟二十号与空间站对接后，神舟二十号（含航天员）受到地球的万有引力大小为喘瞠

B.对接前，神舟二十号与空间站在同一轨道绕地球运动，稳定后神舟二十号加速追上去就可完成对接

C.空间站环绕地球运行的速度为Jg（R+h）

D.空间站环绕地球运行的周期为2咛等

【即时检测2】（24-25高一下•山东济南•期末）（多选）嫦娥六号探测器的发射成功，开启了人类首次从月

球背面采样返向先河。探测器着陆月球表面的过程示意图如图所示，探测器先在轨道I做匀速圆周运动，

从4点变轨进入椭圆轨道n,到达近月点B点再次变轨到近月轨道HI,最后安全落在月球上。己知月球半径

为匕探测器在轨道DI运动的周期为7,在椭圆轨道II运动的周期为近月轨道HI的周期的2e倍。下列说法

正确的是（）

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A.探测器在轨道in运动的速率大于在轨道i运动的速率

B.探测器在就道in运动的速率小于在轨道n经过4点时的速率

C.轨道I的半径为3R

D.探测器在轨道I的角速度为噂

题型7双星（或多星）模型

题।型।解i读

……-反厘硬函层美袜运而下著香顽窣较蒿的褥色横型「核E将餐息两颗桓豆缭百i]•还线王而箕二而微芍谑

圆周运动，二者的向心力均由彼此间的万有引力提供，需要牢记三个核心规律：第一，双星做圆周运动的

角速度、周期一定相等，因为二者绕公共圆心转动，始终保持在同一直线上，所以角速度和周期完全相同；

第二，两颗星做圆周运动的向心力大小相等，因为双星之间的万有引力是•对相互作用力，大小相等，各

自做圆周运动的向心力都由这个万有引力提供，因此向心力大小相等；第三，双星做圆周运动的轨道半径

之和等于两星之间的距离，设两星质量分别为〃“、加2,轨道半径分别为,1、12,两星间距为L,则满足门+〃2

=L<

解决双星问题的基本推导思路为：对如有G*ws2打，对加2有若券加2小/2,两式相加可得吗等=小

3整理可得周期公式船=（；；：£、）.这是双星问题的常用结论。

：--L-：

该题型最常见的易错点是，误把双星的轨道半径当成两星之间的距离代入公式计算，一定要牢记轨道

半径是星体到旋转公共圆心的距离，不是两星体之间的距离，只有先写出〃1+〃2=£的关系，再结合推导才能

得到正确结果。如果是多星模型，核心思路和双星一致，依然是万有引力的合力提供圆周运动向心力，结

合角速度相等的特点推导即可。

2【典例7】（23-24高一下•湖南衡阳•期末）有研究表明，在果河系中至少一半以上的恒星系统都是由双

星构成的。由恒星1、2（可视为质点）组成的双星系统如图所示，两恒星以相等的角速度绕两者连线上的。

点做圆周运动，测得恒星1、2到。点的距离分别为2人广，已知恒星1的质量为“，引力常量为G。求：

（1）恒星2的质量nf；

（2）恒星1、2间的万有引力大小a

（3）恒星1的线速度大小也。

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【即时检测1】（23-24高一下•安徽合肥・期末）如图所示，质量分别为加和M的两个星球4和8在引力作

用下均绕。点做匀速圆周运动，星球4和8两者中心之间距离为心已知4、8的中心和。三点始终共线,

力和4分别在。的两侧，引力常量为G。求：

（1）A星球做圆周运动的轨道半径/?和4星球做圆周运动的轨道半径〃；

（2）两星球做圆周运动的周期；

（3）如果把星球/质量不断地搬运到〃星球上，并保持力和夕两者中心之间距离仍为乙则组成新的稳定

双星后那么星球片做圆周运动的轨道半径和周期如何变化。

A，........B

■,♦■

【即时检测2］（24-2S高一下•北京海淀•期末）（多选）双星系统由两个天体组成，相对于共他天体，位置

非常靠近，以相同的角速度绕两者连线上某点各自做匀速圆周运动。图1是某双星系统示意图，该系统由

两颗互相绕行且质量分布均匀的恒星组成。图2为该双星系统的简化图，0为圆心。两恒星P、Q的球心分

别为。I、。2，已知。1。2=匕1，0。1一。。2=乙2,乙2〉。。下列说法正确的是（）

图1图2

A.尸和Q做匀速圆周运动的半径之比为合

B.P和Q受到的向心力之比为合

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c.P和Q质量之比为普

D.P和Q绕。旋转的线速度之和与线速度之差的比值为受

题型8挖补法求万有引力

:题|型|解|读

[………挖补法亮偏澳,可丽均芍城袜至王二说芬后:…讦算碗南部芬好擅去莅亶芥窠二质篇万有可万,面函的

;特殊方法，核心思路是先将球体补成完整的均匀大球体，计算已完整球体对质点的万有引力，再计算出挖

:去部分对该质点的万有引力，最后用完整球体的引力减去挖去部分的引力，就得到剩余部分对质点的万有

|引力，本质是利用了万有引力的叠加原理。

:这类问题的常见考查场景为：从均匀实心球体中挖去一个直径等于原球体半径的小球，在原小球球心、

;或者原球体表面原直径位置放置•个质点，计算剩余部分的万有引力，计算过程中需要结合球体质量和半

:径三次方成正比的关系，根据挖去小球的半径推导挖去部分的质品占原球体质量的比例，再代入计算。

；该题型的易错点是找错挖去小球的球心位置，计算二者到质点的距离时出错，解题时需要先画出示意

j图，明确各部分的位置关系，再按步骤计算，就能得到正确结果。

3【典例8】上世纪70年代，前苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有史以来最大规模的地底挖

掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为d时，井底一个质量为，〃的小球与地球之间的万有引力为凡已知质

量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，质量分布均匀的地球的半径为R，质量为M，万有引力常量为

G,则少大小等于（）

GMm(R-d)GM,nR3

R-d

【即时检测1】如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为R如果在球体

中央挖去半径为r的一部分球体，且r=*则球体剩余部分时质点尸的万有引力大小为（）

P

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A.5B・WC.凯

【即时检测2】（高一下•四川成都•月考）如图所示，有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体，从

中挖去一个半径为9的小球体，并在空腔中心放置一质最为〃?的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有

引力大小为（已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零）（）

4MHi7MmMm

A.GR2B.G2R2C.G痂D.0

题型9地表抛射与天体运动的综合问题

（………•适亲而顾昊万看司为板负鬲臻否祖画荻…荽在讦算版而底隔检亶由顼;篇要结吾至直上谈「羊而辱胭

:体运动规律和天体运动的核心公式联立求解，核心考查两个方向：•是结合抛射运动先求出星球表面的重

;力加速度，再利用黄金代换式进一步计算中心天体的质显、密度或第一宇宙速度；二是讨论抛体的最大射

:程、最大高度与星球第一宇宙速度的关联，整体解题的关键在于通过抛体运动的规律推导出星球表面的重

;力加速度。

:这类题的解题步骤一般分为两步：第一步对地表抛射过程分析，根据竖直上抛的上升时间、最大高度,

;或是平抛的位移规律，结合运动学公式计算出星球表面的重力加速度g；第二步把得到的g代入万有引力

，的相关公式，结合题目要求计算中心天体的质量密度、第一宇宙速度或是卫星的环绕参量。

:该题型的核心易错点是忽略地球自转对地表抛体的影响，或是在计算天体参量时混淆星球半径与离地

:高度，只要先通过抛体运动准确求出重力加速度，再严格按照天体运动公式代入对•应物理量，就能顺利解

I决问题。

3【典例8】（山西运城•期末）如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点，沿水

平方向以I，。抛出一个小球，测得小球经时间，落到斜坡上另一点。，斜面的倾角为夕，已知该星球的半径为

R，万有引力常量为G。求：

（1）该星球的质量：

（2）该星球的第一宇宙速度；

（3）人造卫星绕该星球做匀速圆周运动的最小周期丁。

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PVo

【即时检测1】（24-25高一下•河北雄安•期末）电影《火星救援》的热映，激起了人们对火星的关注。若宇

航员在火星表面将小球竖直向上抛出，取抛出位置的位移工=0,从小球抛出开始计时，以竖直向上为正方

向，小球运动的图像如图所示（其中。、6均为已知量）。已知火星的半径为R,引力常量为G,忽略

⑵火星的密度〃及其第一宇宙速度Vo

【即时检测2】（24-25高一下•四川眉山・期末）如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面上，沿水

平方向以初速度几抛出一个小球，测得小球经时间,垂直打在斜坡上的尸点（未画出），已知斜坡的倾角为

凡该星球的半径为R引力常量为G,求：

⑴该星球表面的重力加速度go：

⑵求该星球的密度P和笫一宇宙速度Vo

.考场练兵•分层实战.

基础通关练（测试时间：10分钟）

1.（24-25高一下•内蒙古包头•期末）太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿顺时针方向做

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匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气

体，使空间站获得一定的反冲速度，从而'实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道

半径。则

A.空间站变轨后在尸点的加速度比变轨前的大

B.喷射气体后，空间站开始做近心运动

C.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小

D.空间站变轨后在P点的速度比变轨前的大

2.（23-24高一下•河南安阳•期末）由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不

同，已知地球表面两极处的重力加速度大小为切，在赤道处的重力加速度大小为g,地球自转的周期为八

引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体，由此可知地球的半径为（）

A（--砒炉B<9。-9）.（。-血）72D（。厂9）厂

•47r2'47r2*2n2'2n2

3.（24-25高一下•山东济宁•期末）“开普勒-90”星系是一个类太阳系的恒星系统。其中一颗行星“开普勒

-90d”的公转轨道半径约为地球公转轨道半径的g公转周期约为地球公转周期的幺该星系中心天体与太阳

OO

的质量之比约为（）

A.4:3B.9:4C.3:1D.4:1

4.（24-25高一下•天津西青•期末）如图所示，在地球赤道上的物体A和在天津的物体B,它们均随地球自

转而做匀速圆周运动。当两个物体质量相等，则下列说法正确的是（）

A.两个物体的线速度大小相等B.物体B的向心加速度最大

C.物体A的周期大于物体B的周期D.两个物体受到的万有引力大小相等

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5.（2022・湖北•模拟预测）中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中

国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10000米，若把地球看成质量分布均匀的球体，且球壳对球内任一

质点的万有引力为零，忽略地球的自转，则下列关于"海斗一号〃下潜所在处的重力加速度大小g和下潜深度。

的关系图像可能正确的是（）

重难突破练（测试时间：15分钟）

6.（24-25高一下•四川眉山・期末）（多选）在X星球表面宇航员做了一个实验：如图甲所示，轻杆一端固

定在O点，另一端固定一小球，现计小球在竖宫平面内做半杼为H的圆周运动,小球运动到最高点时，受

到的弹力为用速度大小为也其广3图像如图乙所示。已知X星球的半径为用），引力常量为G,不考虑星

球自转，则下列说法正确的是（）

甲乙

A.X星球的第一宇宙速度也二杵

B.X星球的密度。=赢

C.X星球的质量M=N

D.环绕X星球的轨道离星球表面高度为扁的卫星周期T=44住^

7.（24-25高一下•天津•期末）（多选）我国计划在2030年前实现教人登陆月球开展科学探索，其后将建

造月球科研试验站，开展系统、连续的月球探测和相关技术试验。假设飞船绕月球做匀速圆周运动的半径

为2R,周期为7；已知月球的半径为R,引力常量为G,下列说法正确的是（）

A.该飞船的线速度大小为半

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B.月球的质豉为普

C.月球的第一宇宙速度为罕

D.月球两极的重力加速度为陪

8.（24-25高一下•湖北孝感•期末）（多选）天问一号在绕火星运动过程中由于火星遮挡太阳光，也会出现

类似于地球上观察到的日全食现象，如图所示。已知天问一号绕火星运动的轨道半径为小火星质量为忆

引力常量为G,天问一号相对于火星的张角为a（用弧度制表示），将天问一号环火星的运动看作匀速圆周

运动，天问一号、火星和太阳的球心在同一平面内，太阳光可看作平行光，则（）

A.火星表面的重力加速度为百©

B.火星的第一宇宙速度为户”

\jrtan-

C.天间一号每次日全食持续的时