人教A版高中数学必修一第专项复习：第2课时 分段函数及映射

第2课时分段函数及映射

1.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.(重点、难点)

2.了解映射的概念.(易混点)

［基础初探］

教材整理1分段函数

阅读教材巴1例5、例6〜P22第一段，完成下列问题.

如果函数)，=/U),根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不同

的对应关系,则称这样的函数为分段函数.

2E+3,X<—1,

居一10这1,则用夕—2)))=.

{X,x>\,

【解析】因为一2<一1,所以/(-2)=2*(—2)+3=-1,又一1W-1W1,

所以用(一2))=人-1)=(一1尸=1,又因为一1W1W1,所以用亚-2)))=川)=产

=1.

【答案】1

教材整理2映射

阅读教材。22第二段〜P23“思考”，完成下列问题.

判断(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)函数都是映射，映射不一定都是函数.()

(2)在映射的定义中，对于集合B中的任意一个元素在集合A中都有一个元

素与之对应.()

(3)从集合A到集合B的映射与从集合B到集合A的映射是同一个映

射.()

【解析】(1)4当映射中的集合是数集时，该映射就是函数，否则不是函

数.

(2)X.映射可以是“多对一”，但不可以是“一对多”.

(3)X.从集合A到集合8的映射与从集合B到集合A的映射不是同一个映射.

【答案】⑴J⑵X(3)X

［小组合作型］

映射的概念及应

用

》例n(1)下列对应关系：

①八二"/⑼，5={-3,-2,—1,123},/：L也；

②从二&B=R,f：xf1；

@A=R,B=R,f：LX2—2；

@A={-1,0,1}>B={-1Q1},/：A中的数平方.

其中是4到8的映射的是()

A.①③B.②④

C.③④D.②③

(2)设集合4={(0,1),(1,0)},集合5={0,1,2},则从A到5的映射共有()

A.3个B.6个

C.8个D.9个

【精彩点拨】(1)紧扣映射概念中的“任意一个”“唯一”即可判断.

(2)根据映射的定义计算.

【自主解答】(1)对于①，集合4中的149在集合8中都有两个元素与它

对应，故不是映射；

对于②，集合A中的元素0在集合8中没有元素对应，故不是映射；

对于③，集合A中的元素x£R在集合8中都有唯一的元素x2—2与它对应，

故是映射；

对于④，集合A中的-1,0,1在集合8中都有唯一的元素与它对应，故是映

射；

其中是A到B的映射的是③④.故选C.

(2)・・・集合集={(0,1),(1,0)}有2个元素，集合8={0,1,2}有3个元素，

所以A中的元素都对应B中的0,1,2的映射分别各有一个，共3个；A中的

元素和8中的元素一一对应的映射共有6个，・•・从A到8的映射共有9个.故

选D.

【答案】(DC(2)D

判断一个对应是否是映射，关键看两点

1.对于集合4中的任意一个元素，在B中是否有元素对应.

2.B中的对应元素是否唯一.

注意：映射可以是“一对一”或“多对一”的对应，但不能是“一对多”.

［再练一题］

1.若集合P={x|0WxW4},Q={)，|0WyW2),则下列对应法则中不能从P

到Q建立映射的是()

21

A.y=］xB.

C.>=&D.y=%

28

【解析】在)，=y中，在P中取x=4,在Q中没有y=g与之相对应，，

2

在y=?x这个对应法则中不能从户到。建立映射.故选A.

【答案】A

分段函数的求值问

题

>例国⑴函数加={.则欢4))=_______.

1―x+3,x>i,

X2—4,()WxW2

(2)已知函数若应知)=8,则xo=_______.

%>2,

【精彩点拨】(1)先求出/(4),然后根据人4)的大小关系判断对应法则，即

可求解；

(2)分两种情况把加代入，解方程可得知的值.

【自主解答】⑴・.・4>1,・\/(4)=-4+3=-1,

・・・一1W1,・•.人-1)=0,即欢4))=0.

A2—4,(XW2

(2)・・,函数Xxo)=8,当OWxoW2时，由需一4=8,

x>2f

求得xo无解.当xo>2时，由2xo=8,求得xo=4.综上，xo=4.

【答案】(1)0(2)4

1.已知自变量求函数值

(1)先看自变量的取值范围；(2)代入相应的解析式求值.

2.己知函数值求刍变量

(1)先对取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式中；

(2)通过解方程求出相应的值，并检验所求值是否在所讨论的区间内.

［再练一题］

x—3,(eo)

2.函数凡K)=则负7)=________.

府(x+5)),(x<10),

X—3,10)

【解析】,:函数/)="

Mr+5)),(x<10),

・・・|7)=胆12))=员9)=欢14))=«11)=8.

【答案】8

［探究共研型］

分段函数的图象及应

用

探究1函数/U)=|x—2|能用分段函数的形式表示吗？

【提示】能.如心)=.一二

12—x,x<2.

探究2画出函数#x)=|x-2|的图象.

【提示】由探究1可知兀r)=”'分段画出函数7U)的图象如图

2—x,x<2.

所示.

〉例图己知函数,/U)=1+-2-(―2<xW2).

(1)用分段函数的形式表示TU)；

(2)画出段)的图象;

(3)写出函数人幻的值域.

【精彩点拨】(1)分一2<A<0和0WxW2两种情况讨论去掉绝对值可把人r)

写成分段函数的形式；

(2)利用(1)的结论可画出图象；

(3)由(2)中得到的图象，找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值域.

【自主解答】⑴当(XW2时，危)=1+与匚1,

当一2y<()时，

—x

,/W=1+2=1一乂

1,0«

•、危尸,

J―1，—2<¥<0.

⑵函数於)的图象如图所示.

(3)由(2)知,府)在(-2,2］上的值域为［1,3).

分段函数图象的画法

作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定

义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意

接点处点的虚实，保证不重不漏.

［再练一题］

3.己知函数)，=/(工)的图象由图1-2-4中的两条射线和抛物线的一部分组成,

求函数的解析式.

图1-2-4

【解】根据图象，设左侧的射线对应的函数解析式为)，="+伙欢1).

•・•点(1,1),(0,2)在射线上,

[k+b=1[k=~l

・・・〈解得

M=2,M=2,

左侧射线对应的函数的解析式为y=一工+2(x<1).

同理，x>3时，函数的解析式为y=x—2(x>3).

再设抛物线对应的二次函数解析式为)，=«¥—2)2+2(1WxW3,。<0).

•・,点(1,1)在抛物线上,

.*.tz+2=1,a=­1.

/.1时，函数的解析式为y=-f+4x—2(1WxW3).

综上可知，函数的解析式为

(—x4-2,x<\

y=<—r+4x-2,1WXW3

j—2,x>3.

x+2.x20

I•设於)=|…则欢7))=()

A.3B.1

C.0D.-1

x+2,x20

【解析】・・7W=1.,./(/(-l))=y(l)=I+2=3.故选A.

U，x〈0n，

【答案】A

2.设集合A={x[0Wx<6},8={)，|0W)，W2},从A到B的对应法则/不是映

射的是()

A.ftLy=%B-/：Ly=gx

「，1D.f：x-y=^x

C/：LN—

【解析】由/:l*y=5中x=6时，y=3.不在集合B中.

【答案】A

f+l(xWO)

3.已知函数使函数值为5的x的值是()