2025-2026学年沪教版（五四学制）七年级数学下册《线段垂直平分线》同步练习

2026年上海市七下新教材同步培优练习14—18.4线段垂直平分线

一、单选题

1.下列说法正确的是（）

4.三角形的角平分线是射线8.线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等

C.三角形的高线交于一点D.三角形的三条中线交于一点，这一点有可能在三角形外

2.如图，等腰三角形ABC底边，。的长为5cm,面积是18cm2,腰A8的垂直平分线石尸交AC于点R若

D为BC边上的动点,M为线段所上一动点，则刚+DW最小值为（）cm.

3.如图，在VA8C中，AB=AC,BC=a,ZA=36。，48的垂直平分线交AC边于点。，交AB边于点、E,

CD=b,则V4BC的周长为（）

A.3a+2〃B.3a+bC.2a+2bD.a+b

4.如图，在V48c中，BC>AB,用尺规作图在BC边上确定一点P,使=则一定符合要求

的选项是（）

5.如图，在VABC中，乙4=105。，AC的垂直平分线/交于点M,AB+BM=BC,则N4的度数为

C.55°D.60°

6.如图，在RtaABC中，ZAC2?=9O°,AC=6,BC=8,AB=10,如果点。，E分别为8C,A3上的

动点，那么AD+0E的最小值是（

A.8.4B.9.6C.10D.10.8

二、填空题

7.在VA8c中，边A3、AC的垂直平分线相交于点。，如果点。在边8c上，那么N8AC='

8.如图，已知A6=AGZA=4O°,A8的垂宜平分线MN交AC于点。，贝lJ/Q8C=度.

9.已知，VA3c中，AB=AC,A8的垂直平分线交AB于E,交AC所在直线于P,若/APE=54。，则ZB=_.

10.如图，在V/1BC中，ZC=38°,边BC的垂直平分线分别与AC、8C交于点。、£,AB=CD,那么

ZA=

11.如图，已知在VA4c中，点£在边A8上，A。垂直平分CE,垂足为点F,如果AA=9,AC=5,那

么BE=

12.如图，在VA4C中，AB=AC,BC=a,Z4=36°,AB的垂直平分线交AC边于点。，交A8边于点

ECD=b,则VA8C的周长为（用。、〃表不）.

13,如图，等腰三角形ABC的底边"C长为6,面积是24,腰AC的垂直平分线E厂分别交人C,八〃边于

E,F点;若点。为边的中点，点M为线段£尸上一动点，则VCDW周长的最小值为.

14.在VA8C中，AB=AC,AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为70。，则底角等于.

15.在VA8C中，AB=AC,AB边的垂直平分线与边AB交于点。，与AC、8c边所在直线分别交于E、

F,若ZAED=10。,则N8FE二

16.如图，在VA8c中，/是三角形三条角平分线的交点，。是三边垂直平分线的交点，连接A/，BI,AO,

BO,若40n=140。，则NA/B的度数是。.

17.如图，VA8C中，边44、4c的垂直平分线分别交边3c于点。、£,若/刖。+/04£=150°,则NR4C

的度数是.

18.如图，在VABC中，AC=18,八。垂直平分BC交BC于点。，点E在线段人B上，点尸在线段八。上,

连接8尸、EF,若/BAC=/BEF,BF=6,则ABE尸的周长为.

三、解答题

19.已知：在.ACO中，尸是CO的中点，9是边AO延长线上的一点，BD=AC,连接3C、AP.

(1)如图(1),如果AP_LC。，证明：BD=AD；

(2)如图(2),过点。作。E〃AC.交A尸的延长线于点E,连接BE,如果NC4D=60。，证明：BC=2AP.

20.如图，已知：在VABC中，A。是VABC的角平分线，Er垂直平分4c分别交AC、A。于点E、F,

连接。尸.

(1)如果NE4C=70",求NEFC的度数:

(2)过点尸作“G〃八。交边AC于点G,如果AC=10,A〃=6,求&GFC的周长.

21.如图，已知长方形人4C。，点E在线段AO上，将二A跳:沿直线的翻折后，点A落在线段C。上的点尸.

⑴用圆规和直尺画出,/HE(保留作图痕迹)：

(2)如果V/7定的周长为6,产。8的周长为＞6),用含有4的代数式表示FC的长度.

22.已知在三角形ABC中，点。是边BC上一点，P是线段A。上一点，ZACP=ZABP,4CPD4BPD.

求证：AD1BC.

方法―：=4BPD.

.•.180。-4CPD=1800-ABPD,即ZAPB=ZAPC

在工A3P和中，

ZABP=ZACP

-NAPB=ZAPC

AP=AP

-AB^ACP()

：.AB=AC,NBAP=NCAP()

.-.ADJ.BC()

方法二：•••/*=/BPD,ZABP=ZACP,

ZB/\P=ABPD-ZJ\BP,ZC4P=ZDPC-ZACP()

..ZBAP=ZCAP

在4ABp和△ACP中，

ZABP=ZACP

-NBAP=NCAP

AP=AP

AB哙,ACP

：.AB=AC,PB=PC

•••点A,点〃在线段BC的垂直平分线上()

•••〃垂直平分BC()

即ADJLBC

23.如图，V4BC中，AD1BC,E尸垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,且BD=DE,连接AK.

(1)求证：AB=EC：

⑵若VA3C的周长为20o〃，AC=9cm,求OC长.

24.已知：图1、图2中的网格均为边长是1的小正方形组成.点A、B、。、E、F、G是网格的格点.

(1)请利用网格，仅使用无刻度的直尺完成下面的作图(不写画法，保留画图痕迹，写出结论)

①在图I中，作出直线垂足为点。；

②在图2中，作出:EFG的重心。；

(2)利用②的作图结果，求。尸的长.

25.如图，在VA3c中，点。、E在边BC上,BD=CE,DMtAC,垂足为M,ENLAB,垂足为N,。“

与EN交于点P,且BN=CM.

⑴求证：PD=PE；

(2)连接4P,并延长A尸交8c于点Q,求证：过点4、P的直线垂直平分线段4c.

26.定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个

等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线

已知在VA8C中，A8=AC,点。在边AC」」

图1图2

⑴如图1,如果BD=BC,求证：8。是VABC的“等角分割线飞

(2)如图2,如果8OJ.AC,且用)是VABC的“等角分割线”，求/C的度数；

⑶BD是V4BC的”等角分割线”，NB4C的平分线交8。于点尸.如果。尸=OC,那么NR4C的度数为

参考答案

1.解：4.三角形的角平分线是线段，故本选项错误，不符合题意；

B.线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，说法正确，符合题意；

C.锐角三角形和直角三角形的高线交于一点，钝角三角形的高线不相交，故本选项错误，不符合题意;

D.三角形的三条中线交于一点，这一点不可能在三角形外，故本选项错误，不符合题意.

故选：B

2.解：如图所示，连接4£>,AM,

•.・腰AB的垂直平分线EF交AC于点F,

•••AM=BM,

:.BM+DM=AM+DM,

,.•AW+/W》A。，且垂线段最短，

.•.当A、。、M三点共线，且AD工时，AA7+OM有最小值，即此时BM+OM有最小值，最小值为线

段A。的长，

•••BC的长为5cm,VA8C的面积是18cm\

.•.此时LBCA/)=18,

2

:.AsD=——36cm,

5

BM+DM的最小值为,

故选：D

3.解：•••A8的垂直平分线交AC边于点。，交A8边于点E

•••AD=BD,

.-.Z4BD=ZA=36°,

/.ZBDC=ZA+ZABD=72°,

-AB=AC,44=36。，

第1页

NA4C=NC=；（180。-NA）=72。,

.­•ZBDC=ZC=72°,

：.BD=BC=AD=a,

•••AB-AC—AD+CD=a+b,

.•.VA8C的周长为3a+2Z?.

故选：A

4.解:•:PB+PC=BC,PA+PB=BC,

PA=PC,

.••点P在4c垂直平分线上，

•••作线段AC的垂直平分线，

故选：。

5.解：如图，连接AM,

vAC的垂直平分线/交BC于点、M,

/.CM=AM,

•：AB+BM=BC,CM+BM=BC,

：.AB=CM=AM,

:.£C=/MAC,ZAA仍=4,

设NC=ZM4C=x,贝i]ZAMB=N8=2x,

.•.N8AM=1800—4x,

•••ABAC=AMAC+^BAM=x+180°-4x=105°,

.-.A=25°,

.♦.ZB=2.r=50°,

故选：B

6.解：作点A关于BC的对称点A,作点A'E_LAB，交BC于点。，连接C4,0A如图:

第2页

则AD=AO,

•••AD+DE=AD-¥DE>AE.

即A0+OE的最小值为4E.

vZACB=90°,AC=6,«C=8,AI3=}0,

•••"=12,

•••S...^-AA^BC=-ABA'E,

AH打22

“把生=吆=96,

AB10

即AD+OE的最小值为9.6.

故选：B

•.•边A8、AC的垂直平分线相交于点。,

:.0A=OB,OA=OC，

:.NOAB=NB,NOAC=NC,

■.-ZB+C+ZR4C=180o,

.••2NAAC=180。，

.•"AC=90。，

故答案为：90

8.解：:AB=AC,4=40。,

―中川.

vMD是AB的垂直平分线,

•••AD=BD，

第3页

.­.Z/4BD=ZzA=40°,

NDBC=ZABC-/ABD=70°-40°=30°.

故答案为：30

9.解：①如图1,

••・PE是A8的垂直平分线，

：AP=BP,

:•ZA=ZABP,ZAPE=/BPE=54°,

••.ZA=ZA6P=36。，

vZA=36°,AB=AC,

.­.ZC=Z4«C=-=72°；

2

・••PE是48的垂直平分线，

•.AP=BP,

•••£PAB=ZABP,"PE=4BPE=54°,

：.NPAB="BP=36,

--.ZBAC=144°,

•.Y8=AC,

.-.ZC=Z4^C=i=18°

2

故答案为：72。或18。

第4页

10.解：如图，连接。/3,

。£是8c的垂直平分线，

DB=DC»

ZDfiC=ZC=38°,

/.=ZC+ZDBC=380+38°=76°,

AB=CD,DB=DC,

AB=DB，

:.ZA=ZBDA=7Cf,

故答案为：76

11.解：•••AO垂宜平分C£,

.•・X£=AC=5,

•：AB=9,AB=AE+BE,

••.BE=A8-AE=9-5=4,

故答案为：4

12.解：「AB的垂直平分线交AC边于点。，交48边于点E

•*-AD=BD>

/.ZAfiD=ZA=36°,

NBDC=ZA+ZABD=72°f

•••AB=AC,ZA=36°,

...NA5C=ZC=^(180°-ZA)=72°,

.­•ZBDC=ZC=72°,

:.BD=BC=A£)=a,

AB=AC=AD+CD=a+b,

.•.VABC的周长为3。+处

故答案为：3a+2b

第5页

13.解：连接A。，MA,

••・YA8C是等腰三角形，点。是5c边的中点,

：.AD.LBC,

=—BC-AD=—x6xAD=24,

解得4。=8,

是线段AC的垂直平分线，

・••点A关于直线"的对称点为点C,M4=MC,

MC+DM=MAA-DM>AD.

•••4拉的长为CM+MD的最小值，

：.NCDM的周长最短=（01/+"。）+6=4。+，4。=8+!*6=8+3=11.

故答案为：11

14.解：如图1,•••。七是A8的中垂线，

•••AD=BD，

•.人4=AC,

­.Z4BC=ZC,

­.ZAr>E=70°,

.•.ZA=90o-70o=20o,

I8O0-Z41800-20°

NA8C=NC

Si图2

第6页

如U2,

••,OE是AB的中垂线，ZADE=70°,

.­.ZZME=90o-70°=20°,

：AB=AC,Z^=ZC=-ZD4E=-x20°=10°,

22

•••/B等于10。或80。.

故答案为：10°或80。

15.解：如图1,

乙4瓦)=10。，£尸垂直平分43,

ZADE=90°,

/.ZBAC=90°+10°=100o,

AB=AC,

ZB=ZC=1(180°-100°)=40°,

ZBFE=90°-40°=50°；

如图2,

乙4。=10。，EF垂直平分A8,

:.ZADE=^BDF=90°,

.­.ZA=90°-10o=80°,

AB=AC,

NB=N4C8=g(180。-80°)=50°,

第7页

^BFE=Z.BDF+Z^=900+50c=l40°,

当垂直平分线与线段AC交于点E,

乙4a）=10。，E尸垂直平分AB,

Z^C=90°-10°=80°,

AZBE4=20°

/.ZBEC=160°

AB=AC,

上，=ZAC8=3（180。-80°）=50°,

:.Z.BEC+Z.BCA=2\0°

5CE中不符合三角形的内角和定理，不符合题意，

・•・当垂直平分线与线段AC交于点以此种情况不存在,

综上，N8在=50°或140。°

故答案为：50或140

16.解：如图所示，连接CO,

vZAOB=140°,

:.NOAB+NOBA=180。-ZAOB=40。,

ZAOC+NBOC=360。-ZAOB=220°,

•••0是三边垂直平分线的交点，

：.OA=OC,OB=OC,

：.ZOCA=ZOAC,/OCB=/OBC,

•・•ZOAC+ZOCA=180°-ZAOC,ZOCB+ZOBC=180O-ZBOC,

第8页

ZOAC+NQCA+NOCR+NOBC=180°-NBOC+180。-NAOC=140°

.♦.ZOC4+ZOCB=70°,npZACB=70°,

.•.ZC4B+ZCBA=180°-ZACB=110°,

・・•在VA8C中，/是三角形三条角平分线的交点

4/平分/BAC,BI平分ZABC,

：.^IAB=-^CAB,匕/BA=L/CBA,

22

...Z/AB+NIBA=1(ZC45+ZCBA)=55°,

ZAIB=180°-ZZAB-N1BA=125°,

故答案为：125

17.解：边人8、AC的垂直平分线分别交边8C于点。、E,

DA=DB,EA=EC.

/.ZB=4DAB、/C=^EAC,

.N8/\C+NAAE=150°①，

ZB+ZC+2ZDAE=150°,

/B+NC+NB4C=180°,

:180°-ZBAC+2ZZME=150°,

叩N3AC-2ZDAE=30。②，

^RAC+ZDAE=\50°

由①②组成的方程组•

ZBAC-2^DAE=30°

解得N84c=110。.

故答案为：110。

18.解：垂直平分小C,

：.AB=AC=\S,

•;AD上BC,

;2BAC=2NEAF,

/BEF=ZBAC=2NEAF,

4EF=ZEAF+NEFA,

:.AEAF=ZEFA,

第9页

EA-EF,

iBEF的周长=BF+BE+EF=BF+BE+AE=BF+AB=6+18=24.

故答案为：24

19.解：(1)证明：・.•AP_LCD,P是CO的中点，

・•・”是C。的垂直平分线，

.-.AC=AD,

•:BD=AC,

：•BD=AD；

(2)-DE//AC,

:"CAP=NDEP,

■:CP=DP,NCPA=ZDPE,

.♦.iCE4会一OPE(AAS),

:.AP=EP=—AE,AC=DE,

2

；BD=AC,

•••BD=DE>

-.DE//AC,

.♦•/8£>E=NG4£>=60。，

••.YBDE是等边三角形,

:BD=BE,ZEBD=60°,

;BD=AC,

:.AC=BE,

•.•ZC4B=ZER4=60°,AB=BA,

:.二C42-£8A(SAS),

:.BC=AE,

.'.BC=2AP.

20.解：(1)•••人。是VABC的角平分线，ZE4C=70°,

ADAC=NBAD=-ABAC=35°,

第10页

•••£”垂直平分AC,

：.FA=FC，FEIAC,

.•.ZFC4=ZZMC=35°,

.­.ZEFC=90o-35°=55°；

(2)如下图，

•:FG//AB,

:.ZAFG=/BAD,

•:/RAD=/I)AC,

.-.ZAFG=ZDAC,

GA=GF»

cG/C的周长+=+=10+6=16.

(2)•••将二ABE沿直线晅翻折后，点A落在线段CO上的点

:•BA=BF,EF=AE.

•.・VFDE的周长为6,

..FD+DE+EF=FD+DE+AE=DF+AD=6,

•••,尸。8的周长为。(。＞6),

:.FB4-BC+CF=AB+BC+FC=a,

•.切边形ABC。是长方形，

：.AD=BC,AB=CD,

：.AB+BC=AD+DC=AD+DF+FC,

第11页

•••a—FC=6+FC，

ArC=------.

2

22.解：证明：方法一：•：4CPD=4BPD.

.*.180°-ACPD=180°-乙BPD,即ZAPB=ZAPC,

在尸和△ACP中，

NABP=ZACP

<ZAPB=ZAPC,

AP=AP

,A8PMACP（AAS）,

：.AB=ACfNBAP=NCAP（全等三角形的性质），

：.AD±BC（等腰三角形的三线合一）.

方法二：•:/CPD=/BPD,ZABP=ZACP,

AZBAP=ZBPD-ZABP,ZCAP=ZDPC-ZACP（三角形的外角性质）,

：.ABAP=Z.CAP,

在二A3。和中，

ZABP=ZACP

"ZBAP=ZCAP,

AP=AP

二AB-ACP,

..AB=AC,PB=PC,

•••点A,点夕在线段BC的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定），

二/俨垂直平分8c（两点确定一条直线），

即ADJ.BC,

23.解：（1）证明：・.・EE垂直平分AC,

:.AE=EC,

vADIBC,BD=DE,

二.八。垂直平分班:，

「•AB=AE»

.'.48=EC；

第12页

（2）ABC的周长为20cm,

.•.AB+8C+4C=20,

AC=9cm,

一.A8+8C=llcm,

•.AB=EC,BD=DE,

DC=DE+EC=-BE+-EC+-EC

222

=-BC+-AB

22

=；（4B+BC）

=5.5cm.

24.解：（1）①如图1,CO即为所求;

②如图2,取AG的中点加，EG的中点，，连接EM,”相交于点。，则点。即为所求;

由勾股定理得：FN=\l32+52=734*

、NF_FK

~0F~~FM

、x/343

OF1

\OF=—

3

25.解：（1）:DM上AC,EN上八B,

/.4BNE=4DMC=9伊

-BD=CE,

BD+DE=CE+DE,

第13页

\BE=CD.

在RlBNE与RlCMD中,

BE=CD

'BN=CM'

..RtBNEgRlCMD(HL).

:.小ED=/MDC.

:.PD=PE.

(2)如图,

:"B=NC、NE=MD.

AB=AC>

NE=MD,PD=PE,

:.NE-PE=MD-PD,

PN=PM.

PN=PM,PN1AB'PMtAC,

A尸平分N8/1C.

即A妤分NBAC

-AB=AC,

.•.AQd.BC,BQ=CQ,

即过点A、P的直线垂直平分6c.

26.解：(I)证明：••・A8=4C,

：.ZABC=/C,

:BD=BC,

:“DC=NC,

:.AABC=NB1)C,

第14页

2LABC-ZABDA-，DBC,NBDC-4%NABD,

••.ZABD+ZDBC