2026年高考数学一轮复习考点讲义（新高考）常用逻辑用语（学生版+解析）

第02讲常用逻辑用语

目录

考情探究................................................................2

知识梳理................................................................2

探究核心考点...........................................................4

考点一充分条件与必要冬件的判新.......................................................4

考点、二充分条件与必要条件的应用.......................................................5

考点三判断命题的真假...................................................................5

考点些含有量词命题的否定..............................................................6

考点五全称量词命题、存在量词命题的应用.............................................6

三阶突破训练...........................................................7

基础过关...................................................................................7

能力提升...................................................................................8

真题感知..................................................................................10

A考情探究＜

一、5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2025年天津卷，第2题，5分充分条件、必要条件三角函数

2025年北京卷，第7题，5分充分条件、必要条件单调性与最值

判断命题的真假

全称量词命题的否定及其真

单绝对值不等式

2024年新II卷，第2题，5分假判断

一兀三次方程

存在量词命题的否定及其真

假判断

2023年新I卷，第7题，5分充分条件与必要条件等差数列通项公式及前”项和

二、命题规律及备考策略

【命题规律】新高考卷中常用逻辑用语专题为热点内容，主要考查充分必要条件、全称量词与存在量词，

题型以单选题为主，分值5分。

近三年考情显示，该专题可直接考察，也可作为知识点载体的形式考察，常与数列，函数等知识点结合，

难度随载体的知识点而定。备考需强化反例法和集合思想的运用，注重逻辑链的完整性训练。

【备考策略】1.理解、掌握充分条件、必要条件、充要条件

2.能正确从集合角度理解充分条件与必要条件的判断及逻辑关系

3.能理解全称量词与存在量词的意义

4.能正确对全称量词命题和存在量词命题进行否定

【命题预测】本节内容常作为载体考查充分条件与必要条件，需对考纲内知识点熟练掌握；全称量词命题

和存在量词命题的否定也是高考复习和考查的重点。

A知识梳理<

一、充分条件、必要条件、充要条件

i.定义

如果命题“若〃，则9”为真(记作〃=")，则〃是"的充分条件；同时夕是〃的必要条件.

2.从逻辑推理关系上看

(1)若〃=>9且94p,则〃是q的；

(2)若〃4q且q=p,则p是q的；

(3)若p=q且q=p,则〃是q的的(也说p和q等价)；

(4)若q且44〃，则〃不是学的.

对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：则〃是q的充分条件，同时道是〃的

必要条件.所谓“充分”是指只要〃成立，q就成立；所谓“必要”是指要使得〃成立，必须要q成立(即如果夕不

成立，则〃肯定不成立).

二、全称量词与存在量词

(1)全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑:中通常叫做全称量词，并用符号“V”表示.

含有全称量词的命题叫做.全称量词命题“对M中的任意一个x,有成立“可用符号简记

为“VJVe为,p(x)”,读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.

(2)存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号，勺”

表示.含有存在量词的命题叫做.存在量词命题”存在"中的一个方，使〃(修)成立''可用符号

简记为汩叫)£加/(%)”，读作“存在M中元素小,使〃(%)成立“(存在量词命题也叫存在性命题).

三、含有一个量词的命题的否定

(1)全称量词命题〃：\/3£加,〃(式)的否定一/2为七0£加，-ip(X0).

(2)存在量词命题p:3x0GM,p(x0)的否定-p为Vx£M,-1P(x).

【方法技巧与总结】

1.从集合与集合之间的关系上看

设A={x[P(x)},8={x"(x)}.

(1)若则〃是4的充分条件(〃=q),4是〃的必要条件；若AM则〃是q的充分不必要

条件，9是〃的必要不充分条件，即〃一夕且夕％p；

注：关于数集间的充分必要条件满足：“小=大”.

(2)若BqA,则〃是q的必要条件，夕是〃的充分条件;

(3)若A=3,则〃与与互为充要条件.

＞探究核心考点＜

考点一判断元素与集合的关系

典例1.(25-26高三上•湖南长沙•开学考试)已知等差数列也｝的前〃项和为S.,对任意〃cN'，”数列｛S.｝

为递增数列''是"数列｛%｝为递增数列”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

典例2.“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从''出自《论语•子路》.意思是：领导者自身品行端正时,

即使不发布命令，人们也会自觉遵行；自身行为不端时，即使发布命令，人们也不会听从.根据上述材料，

“身正”是“令行”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

跟踪训练1.(25-26高三上•广东深圳•开学考试)已知原石是非零向量,则叮与否是相等向量或相反向量”

是“仅+可•倒叫=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

跟踪训练2.(2025•浙江•三模)已知随机事件A,8发生的概率分别为P(A),P(B),且P(可产(8)/0,则

P(Z|B)=P㈤不是P(A)+P(8)=1的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

跟踪训练3.对于实数乂儿是"国＜］且的条件.(填“充分不必要，，“必要不充分，，“充

要”或“既不充分也不必要”)

考点二集合中元素的特性

典例1.“4=1”是“函数/（X）=X+l+为奇函数”的（）

2-ci

A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

曲例2.不等式2区?+丘-1<0对一切实数x恒成立的4的取值集合为A,集合8={工|/-g-3<0}.

O

（1）求集合A;

（2）若是“xeB”的充分条件，求实数〃?的取值范围.

跟踪训练1.设集合4=卜*+厂6=。}.4=3如-2=0},则8是A的真子集的一个充分不必要条件是

A.Jo,-|>

B.z/ze-

22

C.z/ze>D.WG-

空对。有且只有一个零点的充要条件是（）

跟踪训练2.函数/（幻=

A.a<0B.0<«<—C.—<£Z<1D.或

22

2

跟踪训练3.已知〃：|3-司"4,q:x-4x+4-9nr<0（m>0）t若夕是P的充分不必要条件，则实数机的取

值范围是,

考点三集合间的基本关系

典例1.（2025・四川•三模）已知p：Vx«（U）,sinx<l；/*eR,1+|%|«0.下列结论正确的是（）

A.〃是真命题，4是真命题B.〃是真命题，F是真命题

c.r，是真命题，夕是真命题D.r?是真命题，r是真命题

典例2.（2025・辽宁大连•模拟预测）已知命题P：若">0,〃>0,则方程，加+"=］表示椭圆；命题心

已知复数z=a-2+4（&〃cR）,若z«l,则。+/?43,下列选项中正确的是（）

A.P和9都是真命题B.P和一都是真命题

c.r，和夕都是真命题D.r7和r都是真命题

跟踪训练1.（2025・甘肃白银•模拟预测）已知P：“OC<1"是“<1”的必要不充分条件,夕:i是虚数单位,

3/ZGN,（1+i）”=T,则（）

A.〃和乡都是真命题B.力和“都是真命题

c.〃和r都是真命题D.r，和r都是真命题

跟踪训练2.(24-25高三下•重庆•阶段练习)已知命题p：Dxe(O,8),0<1英21<3；命题夕:土《(归)，

tan2x<sinx,则()

A.〃和乡都是真命题B.〃和F都是真命题

c.r，和“都是真命题D.r7和f都是真命题

跟踪训练3.已知命题P：*eR,(/n+l)(x2+l)<0,命题“:VxeR,/一如十]>0恒成立.若p和。至多有

一个为真命题，则实数机的取值范围为()

A.[2,+oo)B.㈠⑵

C.(―,—2]Ul2.”)D.(^o,-2]u(-l,+oo)

考点四集合的基本运算

典例1.命题“VXGR,有X2+2X+330”的否定是()

2

A.3x0€R,使得xj+2x0+3>0B.V.reR,Wx+2x+3<0

C.3x0GR,使得%+2%+3<0D.有W+2X+3<0

典例2.已知命题P：VxeR.x2>0,则Y为()

A.VxeR,x2<0B.V.veR,x2<0

C.3x„GR,x„>0D.3x()GR,x(J<0

跟踪训练1.命题“对于任意xeZ,都有炉+2工+〃>0”的否定命题是()

A.存在xeZ,使f+2x+〃!>0

B.存在xeZ,使炉+2%+加40

C.对于任意xeZ,不都有犬+2x+〃?40

D.对于任意xeZ,都没有f+2x+m>0

跟踪训练2.命题“WwR,x；-勒-1>。”的否定是()

A.VxGR,X2—X—1<()B.VXGR»x2—x—1^>0

22

C.3x0eR,x0——1<0D.3x0eR,x0——1>0

考点五集合新定义

典例L(2025・湖北黄冈•模拟预测)若“VxeR,/—g+2>0”是真命题，则实数加的取值范围为()

A.(-272,2>/2)B.[-272,272]C.(-2,2)D.[-2,2]

典例2.(2025•宁夏银川•二模)若命题：,都有a—ccs〃>〃一cosa”为真命题，则“小的大小关系

为（）

A.a<bB.a>bC.a<>bD.a>b

跟踪训练1.（24-25高三上•江苏扬州•阶段练习）若命题“VxeR/2_2x+〃>（）”是假命题，则实数〃的取值

范围是.

跟踪训练2.已知命题P：VxeR,寸+尔+420；命题4：兀€。”），铲-/叫=0,若p和夕都是真

命题，则实数加的取值范围是:

>三阶突破训练<

基础过关

I.（25-26高三上•江苏南通•阶段练习）已知命题〃:入>1,/—]>（）,则-p是（）

A.Vx<l,x2-l<0B.Vx>l,x2-l<0

C.3X<1,X2-1<0D.3X>1,X2-1<0

2.（24・25高三下•黑龙江齐齐哈尔•阶段练习）函数/（工）=父+〃尸+3工-1在R上单调递增的必要不充分条

件为（）

A.（—3,3）B.[—3,3]C.（—6,3）D.（—6,3]

3.已知命题p：VxeR,ex+e-A>2,q：Ire（0,10）,JX（10T）>5,则下列均是真命题的是（）

A.〃和夕B.〃和rc.r，和qD.r，和r

4.已知单位向量不，方，则（）

A.恢-吓陷+.是d4的必要不充分条件B.忸-同=1是己/4的必要不充分条件

C.悭叫=1止+,是的充分不必要条件件惚叫=1是的充分不必要条件

5.已知抛物线），2=4x上有两点A8,焦点为凡则“向J+西=1”是“直线A4过户”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.（24-25高三上•江苏扬州•开学考试）命题“玉总-oU）,V+2x-l<0”的否定是（）

A.3xe[l,+o））,.?+2.r-l>0B.3xe（-<x>>l）,.f+2x-l，0

C.VXG[1,+＜»）,八2一会0D.VXG（^»,1）,X*4-2X-1^0

7.记S.,“分别为正项数列｛4｝的前〃项和与首项，设甲：｛〃,｝是公差为冽的等差数列；乙：｛底｝为等

差数列，则甲是乙的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.若数列｛q｝的前〃项和为S”，则下列命题正确的是（）

A.若数列｛q｝是递增数列，则数列｛，｝也是递增数列

B.数列｛SJ是递增数列的充要条件是数列｛q｝的各项均为正数

C.若｛为｝是等差数列（公差dH0）,则，•邑…-1=0的充要条件是“•生……4=0

D.若｛%｝是等比数列，则……S«=0（/2MeN）的充要条件是〃“+%=（）

9.对直线系M:xcos6+（y-2）sine=l（0K，＜27i）,有下列四个命题：

（1）M中所有直线均经过同一个定点；

（2）存在定点产，其不在M中的任一条直线上；

（3）对于任意整数〃（〃23）,存在正〃边形，其所有边均在M中的直线上；

（4）M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.其中真命题的个数为（）

A.IB.2C.3D.4

10.下列命题：①“0＜。弓”是“存在〃cN，使得成立”的充分条件；②“〃＞（）”是“存在〃wN.，使

得“成立”的必要条件；③g”是“不等式对一切〃eN'恒成立”的充要条件.其中为真命题的

序号是（）

A.③B.②③C.①②D.①③

能力提升

1a=2”是“函数/（x）=f+lax-2在区间（^,-2]上单调递减”的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2025•山东临沂•模拟预测）已知/、〃?、〃是直线，。是平面，且机ua,〃//。，则"/_L〃?，/_L〃”是"/_L

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

3.（24-25高三下•上海•阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，点尸是线段AB上一动点（不与％,4重

合），则下列命题中：①平面平面RA。；②NAPR一定是锐角；③。尸；④三棱锥片-RPC

的体积为定值.其中真命题的有（）

A.①③B.（2X4）C.①②③D.①③④

4.（2023・北京•三模）已知函数/㈤则“a=b”是"/（x）为奇函数”的（）条件

A.充分而不必要B.必要而不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

5.：2025•全国•二模）设等比数列｛%｝的各项均为正数，其"前项和为S”，则“几+52|>2邑。”是“数列｛q｝是

递增数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

6.（多选）下列命题中的假命题是（）

A.命题“V/eR,f+QO”的否定是：3x0GR,片+/<0

B.设xuR,则“2-“NO”是“以-1|«1”的充分而不必要条件

C.若〃?+〃=1,则'的最小值为4

mn

D.a>h^>ac2>he2

7.（25-26高一.全国•假期作业）已知函数/（x）的定义域为R,则“Hr,yeR,/⑸）=/0）-/（），）”是

“/⑺=（）”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.（2025.甘肃白银.模拟预测）已知抛物线C的方程为if则“抛物线。经过点（4,1）”是“抛物线C的焦

点为（0,2广的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.已知％,〃2，%，%，%，〃6，%，4为各项都大于零的数列，命题①：4，%，生，4，%，〃6，%，

4不是等比数列；命题②：6+《<。4+6，则命题②是命题①的条件.

1（）.（24-25高三下•重庆北暗•阶段练习）已知数列｛凡｝的前〃项和5〃=/加+做（〃、学为常数），贝广，>0"

是“｛q｝为递增的等差数列”的条件.

真题感知

1.（2025・北京•高考真题）已知函数，（x）的定义域为D,贝旷/（x）的值域为R”是“对任意M仁R,存在与仁D,

使得的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

2.（2025•天津・高考真题）设xwR,则“x=0”是“sin2x=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2024・上海•高考真题）定义一个集合C,集合中的元素是空间内的点集，任取存在不全为

o的实数4,4,4，使得4。月+40月+40耳=0.已知（1，。,。）€。，则（。，。，1）任^的充分条件是（）

A.（0,0,0）GQB.（-l,0,0）eQ

C.（0,1.0）eQD.（0.0,-l）eQ

4.（2024・北京・高考真题）设a，l是向量,则“（及+现"5）=0”是“心■或心片的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（2024.全国甲卷.高考真题）设向量。=（工+1,同出=（工,2）,则（）

A.“x=-3”是。的必要条件B."x=l+G”是的必要条件

C.“4=0”是“Z_LL的充分条件D.“x=-l+6”是“2//户的充分条件

6.（2024•天津・高考真题）己知。为wR,则％3="”是“30=3叱的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.（2024.新课标H卷•高考真题）已知命题〃：VXGR,Ix+11>1；命题q：3x>0,x3=x,则（）

A.〃和g都是真命题B."和夕都是真命题

c.〃和-^都是真命题D.r7和r都是真命题

8.（2023・北京・高考真题）若冷联0,则“x+y=0”是“上+土=-2”的（）

xy

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.(2023•全国甲卷•高考真题)设甲：sin2a+sin2^=l,乙：sina+cos/=0,则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

10.(2023•新课标I卷•高考真题)记S.为数列｛4｝的前〃项和，设甲：｛4｝为等差数列；乙：｛§｝为等差

数列，则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

第02讲常用逻辑用语

目录

考情探究............................................................2

知识梳理............................................................2

探究核心考点........................................................4

考点一充分条件与必要条件的判断.......................................................4

考点二充分条件与必要条件的应用.......................................................6

考点三判断命题的真假...................................................................9

考点四含有量词命题的否定..............................................................11

考点、五全称量词命题、存在量词命题的应用.............................................6

三阶突破训练.......................................

基础过关...................................................................................7

能力提升...................................................................................7

真题感知..................................................................................24

A考情探究＜

一、5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2025年天津卷，第2题，5分充分条件、必要条件三角函数

2025年北京卷，第7题，5分充分条件、必要条件单调性与最值

判断命题的真假

全称量词命题的否定及其真

单绝对值不等式

2024年新II卷，第2题，5分假判断

一兀三次方程

存在量词命题的否定及其真

假判断

2023年新I卷，第7题，5分充分条件与必要条件等差数列通项公式及前”项和

二、命题规律及备考策略

【命题规律】新高考卷中常用逻辑用语专题为热点内容，主要考查充分必要条件、全称量词与存在量词，

题型以单选题为主，分值5分。

近三年考情显示，该专题可直接考察，也可作为知识点载体的形式考察，常与数列，函数等知识点结合，

难度随载体的知识点而定。备考需强化反例法和集合思想的运用，注重逻辑链的完整性训练。

【备考策略】1.理解、掌握充分条件、必要条件、充要条件

2.能正确从集合角度理解充分条件与必要条件的判断及逻辑关系

3.能理解全称量词与存在量词的意义

4.能正确对全称量词命题和存在量词命题进行否定

【命题预测】本节内容常作为载体考查充分条件与必要条件，需对考纲内知识点熟练掌握；全称量词命题

和存在量词命题的否定也是高考复习和考查的重点。

A知识梳理＜

一、充分条件、必要条件、充要条件

i.定义

如果命题“若〃，则9”为真(记作〃=")，则〃是"的充分条件；同时夕是〃的必要条件.

2.从逻辑推理关系上看

(1)若〃=＞〃且q4〃，则〃是q的充分不必要条件;

(2)若〃％q且q=p,则p是^的必要不充分条件;

(3)若p=q且q=p,则〃是。的的充要条件(也说】)和〃等价);

(4)若〃％q且气p,则〃不是°的充分条件，也不是〃的必要条件.

对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：paq,则〃是4的充分条件，同时“是〃的

必要条件.所谓“充分”是指只要〃成立，q就成立；所谓“必要”是指要使得〃成立，必须要q成立(即如果乡不

成立，则〃肯定不成立).

二、全称量词与存在量词

⑴全称最词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称显词，并用符号“X7”表示.

含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中的任意一个x,有p(x)成立“可用符号简记

为“VxcM,p(x)”，读作“对任意"属于M,有p(x)成立”.

(2)存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符出勺”

表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题”存在M中的一个小，使〃(/)成立''可用符号

简记为“mroWM.aXo)”，读作“存在M中元素方,使“(%)成立“(存在量词命题也叫存在性命题).

三、含有一个量词的命题的否定

(1)全称量词命题〃：\/.1£加,〃*)的否定一/2为玉，0£/0,-)〃(见).

(2)存在量词命题p:3%£M,p(%)的否定-/?为VxeM,「p(x).

【方法技巧与总结】

1.从集合与集合之间的关系上看

设A={x|p(x)},8={x|q(x)}.

(1)若则〃是^的充分条件(〃=q),q是p的必要条件；若A瓯则〃是^的充分不必要

条件，夕是〃的必要不充分条件，即〃=4且〃；

注：关于数集间的充分必要条件满足：“小=＞大”.

（2）若BqA,则〃是q的必要条件，夕是〃的充分条件;

（3）若A=3,则〃与与互为充要条件.

＞探究核心考点＜

考点一判断元素与集合的关系

典例1.（25-26高三上•湖南长沙•开学考试）已知等差数列｛q｝的前〃项和为S”，对任意〃wN\''数列｛，｝

为递增数列''是"数列｛atl｝为递增数列”的（)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据充分必要的定义判断.

【详解】对于充分性：当勺=1时，｛S.｝单调递增，但｛4｝不是单调递增的，

所以“数列｛5｝为递增数列”不能推出"数列｛勺｝为递增数列”，充分性不成立：

对于必要性：当%=2〃-5时，｛4｝单调递增，

但岳=-3＞S2=-4,｛S“｝不是单调递增的，

所以“数列｛g｝为递增数列''不能推出"数列｛S,,｝为递增数列”，必要性不成立；

所以“数列电｝为递增数列”是“数列｛4｝为递增数列”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

典例2.“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从“出自《论语•子路》.意思是：领导者自身品行端正时,

即使不发布命令，人们也会自觉遵行；自身行为不端时，即使发布命令，人们也不会听从.根据上述材料，

“身止”是“令行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合题意即可得到答案.

【详解】由题意，“其身正，不令而行"，即身正=令行，故“身正”是“令行''的充分条件：“其身不正，虽令

不从”，即令行=＞身正，所以“身正”是“令行”的必要条件.综上可知，“身正”是“令行”的充要条件.

故选：c.

跟踪训练1.(25-26高三上.广东深圳.开学考试)已知2万是非零向量，贝『工与？是相等向量或相反向量”

是“«+0(力)=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据数量税的运算律及充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】若2=4,则Z+石=6,所以仅+B)•(万一5)=0,

若1九则[方=0,所以("孙(1")=0,

故由1=5或1人推得出“("孙■-5)=。”，即充分性成立；

若-5)=0,则丁_^=0，所以|〃|=|同，

所以由“卜十万),(〃-5)—0''推不出"'=一万或石=市'，故必要性不成立；

所以“2与万是相等向量或相反向量”是“("孙,-5)=0”的充分不必要条件.

故选：A

跟踪训练2.(2025.浙江•三模)已知随机事件A,8发生的概率分别为P(A),P(8),且P(Z)P(B)工0,则

P(Z|8)=P(®Z)是尸(A)+P(8)=l的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据条件概率公式、对立事件概率公式判断.

(一、,-2(初)尸(而)

【详解】若P(A|3)=P(qA),则差溜=霜(,

若P(M)=(),则P(^)=P(3)不一定成立，则尸(4)+尸(8)=1不一定成立，

如BD,。⑷=。7。叱。.2时，蛇加。，满足需二鬻，但不满足P⑷+

_尸(丽P(AB)、一一

若P(A)+P(5)=1,则P(A)=P(B),故了稀=才才，即P(A|B)=P(B|A),

所以尸(Z|8)=P(B\A)是P(A)+P(B)=1的必要不充分条件，

故选：B.

跟踪训练3.对于实数-'V+y2<]”是叫<1且3<],,的条件.(填“充分不必要，，，，必要不充分，，“充

要”或“既不充分也不必要'')

【答案】充分不必要

【分析】由一+)，2<1,可得且y2<[,可知充分性成立，赋值法可判断必要性不成立.

【详解】由V+)/<],可得且y2<],所以国<1且|乂<1,

所以“/+y2〈r，是“国<1且|乂<1"的充分条件;

工二产4满足国<1且3<1,但/+y2=],

所以“x2+V<1，，不是“W<1且田<1”的必要条件.

所以“+/<「，是"W<1且的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要

考点二集合中元素的特性

典例1.“。=1”是”函数/(x)=x+l+不一为奇函数”的()

2-a

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】A

【分析】先由/(X)为奇函数得到。=±1，再判断函数的定义域是否关于原点对称，从而得到函数为奇函数

的充要条件，即可得。=1是函数为奇函数的充分不必要条件.

【详解】若山)2+盘…言为奇函数'则/…

xx2xx2

2x+a2x+a\+a-2-a-2--a+\-a-2+a-2--a

即-x++/+----=0»整理得=0,

2-x-a2x-a①-矶2~)

2-2a2

即产乖与=09解得。=±1.

当4=1时，函数/*)的定义域为3X工0}关于原点对称，且/(•©+/(幻=0,所以/")为奇函数;

当。=-1时，函数/(X)的定义域为R关于原点对称，”J(-x)+/(x)=0,所以/")为奇函数.

所以函数为奇函数的充要条件是4=1或。=T.

所以“4=1”是“函数/(幻="1+寒一为奇函数”的充分不必要条件.

故选:A.

典例2.不等式2履、匕-1<0对一切实数x恒成立的攵的取值集合为A,集合人“|/-m-3<0}.

O

(1)求集合A;

（2）若“xeA”是“xeB”的充分条件，求实数加的取值范围.

【答案】（1）A=（—3,（）]

（2）（-00,-2]

k<0

【分析】（1）当々=0时，显然成立；当女工0时，由《△<。求解即可;

7（-3）<0

（2）由题设得即/一—3<0在（一3,0]上恒成立，由/；（0）1o解出/〃的取值范围即可.

【详解】（1）当2=（）时，-3^<0显然恒成立；

O

当心0时，不等式2履2+依_；<0对一切实数x都成立.，

O

&<0

则1,(3、

k2-^2kx\--<0，解得一3vZv0.

I

综上,A=（-3,0].

（2）因为“xwA”是“xeB”的充分条件,

所以AqB.

乂8={乂丁-〃a-3<0},即f一〃比一3<0在（-3,01上恒成立.

令f(x)=x2-mx-3,

/(-3)<09+3/AZ-3<0

则=-3<0'解得—

/(0)<0

所以机的取值范围为（-oo,-2].

跟踪训练1.设集合人=卜|丁+4-6=0},〃=卜|〃a-2=0},则8是A的真子集的一个充分不必要条件是

()

2B.we]o,-1­

A.m€0,—•

3

22

C.me0,——,1，D.WG-

3

【答案】B

【分析】解方程得A，再分析〃寅-2=0的根，得$8是A的子集忖对应的〃?，再由充分不必要条件的概念,

真子集的概念得解.

【详解】A={X|X2+X-6=0}={2,-3},

若加=0,则8=0,BA,

若m=1,则8={2},BAt

若阳二—贝iJ8={—3},B4,

；・BA的一个充分不必要条件是〃?wjo,-'!

故选：B

跟踪训练2.函数=有且只有一个零点的充要条件是()

[-2+a,x<0

A.a<0B.0<«<—C.—<«<ID.a«0或a>l

22

【答案】D

【分析】由题意得函数的图象过点(1,0),把问题转化为：函数y=-2'+a(xW0)没有零点=函数

y=2、(nK0)的图象与直线丫=〃无交点，数形结合可得解.

【详解】因为x>0时,fM=log2x,可知函数/(为的图象过点(1,0),

所以函数/(X)有且只有一个零点

<=>函数y=-2'+a{x<0)没有零点

=函数y=2x(x<0)的图象与直线了二0无交点.

当HKO时，-0,1],

由图可知，函数)，=2'(x«0)的图象与直线丁=。无交点=心0或。>1.

即函数/(%)有且只有一个零点的充要条件是a«0或。>1.

故选:D.

跟踪训练3.已知〃：|3-乂44,^：x2-4x+4-9/n2<0(/n>0),若夕是P的充分不必要条件，则实数，〃的取

值范围是.

【答案】(0』

【分析】先解绝对值不等式和含参的•元二次不等式得出〃和q对应的等价条件，再结合4是P的充分不必

要条件得到集合间的包含关系，则参数〃，的范围可求.

【详解】由〃：|3-才式4可得-4K3-XW4,BP-l<x<7,

由q:x2-4x+4-9〃z240(〃2>0)可得(4一2丫<9ni2(in>0),

HP-3/72+2<x<3/7/+2(in>0),

又因为4是P的充分不必要条件，所以卜3,〃+2,3/〃+2］（,〃>0）是［-1,7］的真子集,

-3m+2>-1-3m+2>-1

所以-3fti+2<7或.3m+2<7解得M

in>0[m>0

故答案为：

考点三集合间的基本关系

典例1.（2025・四川•三模）已知p：Vxe（O㈤，sinx<l；/女"，］+|.g0.下列结论正确的是（）

A.〃是真命题，q是真命题B.〃是真命题，F是真命题

C.T7是真命题，q是真命题D.-P是真命题，F是真命题

【答案】C

【分析】特殊值法工=5、x=0分别判断PM的真假，即可得.

【详解】当人丁5时，sinx=l,则〃是假命题，即f是真命题.

当H=O时，工+国=0,满足x+网40,则q是真命题，即f是假命题..

故选：C

典例2.（2025•辽宁大连•模拟预测）已知命题P：若/〃>0,〃>0,则方程〃浸+"）3=|表示椭圆；命题4：

已知复数z