2026年广东省汕头市中考一模考试数学试题

2026年广东省汕头市中考一模考试数学试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有

一个是正确的，请将所选选项的字母填涂在答题卡中对应题号的方格内）

1.早在两千多年前，中国人就已经开始使用负数，并运用到生产和生活中，比西方早一千多年.下

列各数中，最大的负数是（）

A.-1B.-3C.-10D.-2026

2.2026年将实现省级低空安全监控平台全域覆盖，政策落地后三年内物流无人机市场规模有望破

1800亿元.下列将“1800亿”用科学记数法表示正确的是（）

A.1.8x103B.18x102C.1.8x1011D."x1。"

3.“致中和，天地位焉，万物育焉.”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器

物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光.下列常见的运动图标是轴对称图

形的是（）

A早B£

,上下

4.绿色出行，健康你我.“美团”为了方便市民出行，提供了共享单车服务，图1是“美团”共享单车

放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中A8,G）都与地面平行，4M与CB也平行，若

乙BCD=60°,则4的度数为（）

D.110°

5.下列计算结果正确的是（）

326

A.24-V2=272B.V2+V8=4C.(a+=Q2+1D.(-2a)=4a

6.如图，在△ABC中，D是的中点，按以下步骤作图：

①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交力3,4。于点乂，N；②以点D为圆心，4M长为半

径作弧，交DB于点、M'；③以点M'为圆心，MN长为半径作弧，在48AC内部交前面的弧于点M；④连

接DN'并延长交BC于点E.若4c=6,则。E的长为（）

7.《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：每头牛比每只羊贵1两，2。两买牛，15两买

羊，买得牛羊的数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为

（）

B20=15C20一15

A•张磊,-x-x-1•%+1--xD・碧内

8.如图，已知滑轮的半径为8cm,假设绳索与滑轮之间没有滑动,当重物上升57rsi时，半径。/转

B.307TC7H2C.25ncm2D.20ncm2

9.某停车场实行计时收费，即规定时间内免费停车，超出规定时间后按时收费（24小时封顶50

元）.已知费用y（元）与时间x（小时）满足一次函数，若停车5小时收费16元，停车8小时收费

28元，则该停车场免费停车时间为（）

A.0.5小时B.1小时C.2小时D.3小时

10.观察一列数；烷，荒，碧,……,按你发现的规律计算这列数的第8个数为（〉

A5612C丝D”

37B506365

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请将下列各题的正确答案填写在答题

卡相应的位置上）

11.分解因式：2x2-8=____________________

12.小明和爸爸搭乘高铁同老家过年，在小程序上购票时，系统自动将两人分配到同一排（如图是

高铁座位示意图），则小明和爸爸分配的座位恰好是邻座（过道两侧视为邻座）的概率

是.

「一一一7r一一一、r———、r一一一弋r一一—个

!A：:Bj'CJ过道：D：!_Fj

13.某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损15元；若按标价的九折出

售，则每台风扇盈利90元.这款风扇每台的标价为元.

14.如图，线段48、BC、是一个正多边形的三条边，分别延长4B,OC交于点M,若XM二

90。,则这个F多边形是

15.如图，在平面直角坐标系中，正方形4BCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(-1,0)，点E在边

CD上.将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为(0,3),则点E的坐标为.

三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题7分，共21分)

16.计算：©1I(20267T)°V8I|1V2|-

17.解不等式组：A。-X)<2,并写出它的整数解.

V4%<3+2^

18.为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研

究.通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名

学生的平均每周锻炼时长(单位：小时)进行统计：

八年级：9,8,II,8,7,5,6,8,6,12；

九年级：9,7,6,9,9,10,8,9,7,6.

整理如下:

年级平均数中位数众数方差

八年级88b4.4

九年级8a91.8

根据以上信息，回答下列问题:

（1）a=,b=；

（2）A同学说：“我平均每周锻炼8.3小时，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是

年级的学生；

（3）你认为哪个年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请给出一条理由.

四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）

19.随着科技的飞速发展，无人机已经广泛应用于各个领域，其中包括农业生产.无人机喷洒农药

相比传统人T喷洒具有安全、便捷、更加均匀、节约农药使用量等优势，因此受到了广大农户的欢

迎.某公司目前有A,B两款无人机为茶农提供农药喷洒服务，据了解，3架A款无人机和2架B

款无人机每小时可喷洒560亩茶园；2架A款无人机和3架B款无人机每小时可喷洒540亩茶园.

（1）求A,B两款无人机每小时各可喷洒茶园多少亩？

（2）当地某茶农有茶园170D亩，计划使用A,B两款无人机共16架同时进行1小时的农药喷

洒，为了在一个小时内（含一个小时）将这些茶园喷洒上农药，那么最少使用多少架A款无人机？

20.如图I,公园草坪的地面。处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之

上下平移，图2是其示意图.开始喷水后，若喷水口在。处，水线落地点为4OA=4m；若喷水口

上升1.5m到P处，水线落地点为8,OB=6m.

（I）求水线最高点与点8之间的水平距离；

（2）当喷水口在P处时，

①求水线的最大高度；

②身高1.5m的小红要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与。的水平距离应满足什么条

件？请说明理由.

21.我们在物理学科中学过：光线从空气射入玻璃会发生折肘现象（如图1）,现将一块长方体玻璃

石专水平放置（如图2）,激光笔从A处射出一束光线，经玻璃上表面B处折射后沿8c方向传播，再

经下表面折射后沿CD方向射出，可知C。||48,CO与竖直墙面交于点D.经查阅，记玻璃的折射率

为n,在空气中玻璃的折射率n的值等于入射角与折射角正弦值的商.例如在图2中，n=

sir}Z.ABM

sin乙CBN'

图2

(1)在图2中，已知448例=60。,48。？=135。，求该玻璃的折射率n；

(2)在(I)的条件下，如果图2中该玻璃砖厚度8"=6cm,现撤去玻璃砖，光线48与墙面的

交点为G,求D、G两点之间的距离.

五、解答题(三)(本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分)

22.在△4BC中，AC=BC,^ACB=120°,点D是4B上一个动点(点D不与A,B重合)，以点D

为中心，将线段DC顺时针旋转120。得到线段OE.

图1图2

图3

(1)如图1,当44co=15。时，求N8DE的度数；

(2)如图2,连接CE、BE,CE与AB交于点O,当乙ACO为锐角时，求证：乙48E的大小为定

值；

(3)如图3,点M在CO上，且CM：MD=2：1，以点C为中心，将线段CM逆时针转120。得到线

段CN,连接CE、EN,若4c=6,求线段EN的取值范围.

23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=£x+l的图象与反比例函数y=K(々工0)的图象交于

/X

A,B两点，与y轴交于点C,连接0A,△4。。的面积为1.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)若点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且在直线4B下方，过点P作POJLx轴交直线

于点D,作PEly轴交y轴于点E,以PE和PD.为邻边作矩形，记该矩形的面积为S,求S的最

大值；

(3)若半径为3,圆心在y轴上的OR与直线A8相切，求圆心R的坐标；

(4)若M是x轴负半轴上-•点，N是反比例函数图象上一点，当以A、B、M、N为顶点的四边

形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标.

答案解析部分

1.【答案】A

【知识点】绝对值的概念与意义；有理数的大小比较•绝对值比较法

【解析】【解答】解：・・,四个选项的数均为负数,且|一1|<|-3|<|-10|V|-2026|,

-1>—3>—10>—2026,

，最大的负数是-1.

故答案为：Ao

【分析】通过比较几个负数绝对值的大小|-1|<|-3|<|-10|<|-2026|,进而根据“两个负数比较

大小，绝对值大的数反而小”，即可得出最大的负数是-1.

2.【答案】C

【知识点】科学记数法表示大于10的数

【解析】【解答】解：1800亿=180000000000=1.8x1011,

故答案为：C.

【分析】根据绝对值大于10的科学记数法的表示形式为Qx10L（其中1<㈤V10,几为正整数，

且比原整数位少1）,即可得出答案。

3.【答案】A

【知识点】轴对称图形

【解析】【解答】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部

分完全重合，所以不是轴对称图形，选项A能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两

部分完全重合，所以是轴对称图形，

故答案为：A.

【分析】根据轴对称图形的定义“一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图

形叫做轴对称图形''逐项判断解题即可.

4.【答案】C

【知识点】平行线的应用-求角度

【解析】【解答】解：・・・48,CD都与地面平行,

•X8||CD,

：.LABC=乙BCD,

•:乙BCD=60°,

C.LABC=60°,

TAM与C8平行,

+^ABC=180°,

：.LMBA=180°-乙ABC=120°,

故选：C.

【分析】由题意可得，48||CO得至此4BC=/BCO=60。，再根据力M与CB平行得到4M/1B+

Z-ABC=180°,即可求解.

5.【答案】D

【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的加减法；积的乘方运算；制的乘方运算

【辞析】【解答】解：A.2和近不能合并，2+企工2企，原计算错误，不符合题意；

B.V2+V8=V24-2V2=3V2¥：4»原计算错误，不符合题意；

C.（Q+1）2=+2。+1。次+],原计算错误，不符合题意；

D.（―2砂）2=（_2）2.伍3）2=4a，原计算正确，符合题意.

故答案为：Do

【分析】根据二次根式的加减法则可得出A,B不正确；根据完全平方公式可得出C不正确。根据

积得乘方和事的乘方可得出D正确。

6.【答案】B

【知识点】尺规作图•作一个角等于己知角；同位角相等，两直线平行

【解析】【解答】解：由作图可得，乙M'DN'=4A

：.DE||AC

/.△BDEBAC

.DE_BD

V.4C=6,D是4B的中点

.DE_1

,,T=2

：.DE=3.

故答案为：B.

【分析】根据尺规作图可得出乙时切”=乙4,进而得出DEIMC,即可得出根据相

似三角形的性质可得出第=版进一步通过运算即可得出DE的长。

7.【答案】B

【知识点】列分式方程

【辉析】【解答】解：设每头牛的价格为X两,

由题意可列方程：§=昌.

故答案为：B.

【分析】设每头牛的价格为x两，根据题中的相等关系“用20两买的牛的数量=用15两买的羊的数

量''即可列方程求解.

8.【答案】D

【知识点】弧长的计算：扇形面枳的计算

【解析】【解答】解：半径。力转过的面积=x5/rx8=207r(cm?).

故答案为：D

【分析】由题意可知滑轮转过的弧长为5zrcm,进而根据扇形面积，即可得出答案。

9.【答案】B

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；一次函数图象上点的坐标特征

【辞析】【解答】解：设y=kx+b(/cH0),

由题意知，露,第

解喘二，

•••y=4x-4,

当y=0时，X=1,

即：该停车场免费停车时间为1小时.

故答案为：Bo

【分析】首先根据题意，利用待定系数法可求得费用y(元)与时间x(小时)满足的一次函数，进

而求出当y=0时的x的值即可。

10.【答案】D

【知识点】探索数与式的规律

【解析】【解答】解：序号为1时，分子1=12,分母2=12+1；序号为2时・，分子4=22,分母

5=22+1；

序号为3时，分子9=32,分母10=32+1；

序号为4时，分子16=42,分母17=42+1；

・・・可得规律：第九个数为

8264

将n=8代入公式，得

再T禧

因此第8个数为兴.

故答案为：Do

【分析】首先根据已有的式子，可归纳总结出规律，按此规律即可得出答案。

1L【答案】2(x+2)(x-2)

【知识点】因式分解-提公因式法

【解析】【解答】解：2x2-8=2(x+2)(x-2).

【分析】观察原式，找到公因式2,提出即可得出答案.

12.【答案】|

【知识点】用列表法或树状图法求概率

【解析】【解答】解：画树状图如下：

开始

共有20种等可能性结果，符合条件的有8种，

所以小明与爸爸分配的座位是相邻的概率是薨=看.

故答案为：I

【分析】根据树状图进行分析可得出共有20种等可能性结果，符合条件的有8种，进而根据概率

计算公式即可得出答案。

13.【答案】350

【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元一次方程的实际应用-盈亏问题

【解析】【解答】解：设这款风扇每台的标价为x元，

根据题意得。6%+15=0.9x-90,

移项合并同类项得0.3%=105,

解得％=350,

即这款风扇每台的标价为350元.

故答案为：350.

【分析】设这款风扇每台的标价为X元，根据成本不变，可得出方程0.6%+15=0.9%一90,解方程

即可v

14.【答案】正八边形

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；多边形内角与外角；正多边形的性质

【解析】【解答】解：•••线段48,BC,CO是一个正多边形的三条边，

・••该正多边形的每个外角都相等，

:.LMBC=乙MCB,

•:LM=90°,

在AMBC中，z_MBC=/-MCB=1(180°-=1(180°-90°)=45%

该正多边形的边数为360。+45。=8,

二这个正多边形是正八边形.

故答案为：正八边形。

【分析】首先根据三角形的内角和及等腰三角形的性质可得出正多边形的外角，进而根据正多边形

的性质及多边形外角和定理即可得出正多边形的边数。

15.【答案】G，5)

【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；解直角三角形一三边关系(勾股定理.)

【解析】【解答】解：如图，设正方形ABCO的边长为a,CD与y轴相交于G,

:.OG=AD=a,DG=40,LEGF=90°.

由折叠的性质，得8尸=8C=a,CE=FE.

•.•点4的坐标为(-L0),点尸的坐标为93),

•••AO=1,F0=3,

•••BO=AB-AO=Q—1.

在尸中，BO2+FO2=BF2.

2

•••(a-l)+32=Q2,

解得a=5,

FG=OG—OF=2,GE=CD—DG—CE=4—CE.

在RIAEG产中，GE2+FG2=EF2,

.%（4-CE）24-22=CE2,

解得CE=£

3

:.GE=会

.•・点£的坐标为（|,5）.

故答案为：住，5）.

【分析】设CD与y轴相交于G,根据题意可得四边形40GD为矩形，设正方形力BCD的边长为a,则

OC=AD=a,DG=A0,^EGF=90°.由折叠的性质可得BF=8C=a,CE=FE.根据题意可

得.40=1,F0=3,从而得到B0=48-A0=Q-1.在Rt△8。尸中，由勾股定理可得8。？+

"。2=8/72,解得。=5,从而/G=OG-OF=2,GE=CD-DG-CE=4-CE.在Rt△EG/

中，GE2+FG2=EF2,解得跖=宗所以GE=|,即可得出点E的坐标.

16.［答案］解：（；）1+（2026_兀）°-唬

=2+1-272+72-1

=2—V2.

【知识点】零指数寤；负整数指数累；二次根式的性质与化简；实数的绝对值

【解析】【分析】我们先分别利用负整数指数暴的运算规则、零指数累的运算规则、二次根式的化简

性质以及绝对值的化简性质，求出每一项的结果，再对所得结果进行加减运算，就能得到最终答

案。

17.【答案】解：£（l-x）V2①，解不等式①得，x>_3,

4x<34-2x@

解不等式②得，x<l

・,・不等式组的解集为；一3<为工方

・••不等式组的整数解为：一2,-1,0,1.

【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解

【解析】【分析】要解决这个问题，我们可以先分别求解不等式组里的两个不等式，之后找到两个解

集的公共部分，以此确定不等式组的整体解集，最后再在得到的解集里找出对应的整数解即可。

18.【答案】（1）8.5,8

⑵八

（3）解：我认为九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好.

理由：因为八、九年级的平均数相等，九年级每周锻炼时间的方差小于八年级每周锻炼时间的方差,

所以九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好

【知识点】中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数

【蚱析】【解答】（1）解：把九年级10名学生的测试成绩排好顺序为：6,6,7,7,8,9,9,9,

9,10,根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为°=竽=8.5;

八年级1（）名学生每周锻炼8小时的最多有3人，所以众数6=8,

故答案为：8.5,8；

（2）解：A同学平均每周锻炼8.3小时，位于年级中等偏上水平，而八年级学生的平均每周锻炼时长

的中位数是8,由此可判断他是八年级的学生；

故答案为:A；

【分析】（1）结合题中数据，根据中位数和众数的求解方法，求出答案即可；

（2）结合题意可得，通过中位数的意义，来求解判断即可；

（3）比较两组数据中的平均数，方差等含义，来判断即可.

（1）解：把九年级10名学生的测试成绩排好顺序为：6,6.7,7,8,9,9,9,9,10,根据中位

数的定义可知，该组数据的中位数为。=挚=8.5;

八年级10名学生每周锻炼8小时的最多有3人，所以众数b=8,

故答案为：8.5,8；

（2）解：A同学平均每周锻炼&3小时，位于年级中等偏上水平，而八年级学生的平均每周锻炼时长

的中位数是8,由此可判断他是八年级的学生：

故答案为：八；

（3）解：我认为九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好.

理由：因为八、九年级的平均数相等，九年级每周锻炼时间的方差小于八年级每周锻炼时间的方差,

所以九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好

19.【答案】（1）解：设A款无人机每小时可喷洒茶园a亩，B款无人机每小时可喷洒茶园b亩，根据

题意得，

(3a+2b=560

12a+3b=540

(a=120

解得:lb=100

答；A款无人机每小时可喷洒茶园120亩,B款无人机每小E寸可喷洒茶园100亩;

(2)解：设使用X架A款无人机，则使用(16-X)架B款无人机，根据题意得，120%十

100(16-X)>1700

解得：x>5,

，最小整数解为5,

答：最少需使用5架A款无人机.

【知识点】一元一次不等式的应用：二元一次方程组的应用-和差倍分问题

【酢析】【分析】(1)我们设A款尢人机每小时能够喷洒a市茶园，B款无人机每小时能够喷洒b亩

茶园，结合题目给出的条件列出二元一次方程组，求解该方程组后即可得到答案；

(2)我们设投入作业的A款无人机数量为x架,则投入作业的B款无人机数量为16-x架，根据题

目要求列出一元一次不等式，求出不等式解集后取最小整数解，即可得到结果。

(1)解：设A款无人机每小时可喷洒茶园a亩，B款无人机每小时可喷洒茶园b亩，根据题意得，

(3a+2b=560

12a+3b=540

解得.Sa=120

解际.匕=100

答：A款无人机每小时可喷洒茶园12()亩，B款无人机每小时可喷洒茶园100亩；

(2)解：设使用式架A款无人机，则使用(16-%)架B款无人机，根据题意得，

120x4-100(16-%)>1700

解得：%>5,

・•・最小整数解为5,

答：最少需使用5架A款无人机.

20.【答案】(1)解：如图，以OP所在直线为y轴，。8所在直线为工轴，。为原点，建立平面直角坐标

系.

OA=4m,

抛物线的对称轴是直线％=2,

又OB=6m,

•••水线最高点与点B之间的水平距离为：6-2=4m；

(2)解：①由题意，结合(I),又因为抛物线形水线也随之上下平移，

・•・可设过点P的抛物线为y=a(x-2)2+h,

乂P(0,1.5),8(6,0),

(4a+h=1.5

116a+h=0

・•・所求解析式为y=-g（x-2）2+2.

二水线的最大高度为2m；

②令y=1.5,

2

•**1.5——Q(%—2)4-2.

O

•••%=0或%=4,

为了不被水喷到，

•••0<x<4.

【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题

【解析】【分析】（1）根据题意，求得抛物线的对称轴为直线x=2,再根据OB=6m求解即可；

（2）①根据题意，设过点尸的抛物线解析式为y=晨X-2）2+九，将P（0,1.5）,8（6,0）代入解析式,

求解即可；②将y=1.5代入解析式，可得1.5=-5（"一2）2+2,求解即可.

O

21.【答案】（1）解：由题意得，Z.BHC=90°AzCS/V=Z.BCF-Z-BHC=135°-90°=45°

代L

・_sinzJlBM_sin60°__y6

**n—sinz.CBH—sin45°—72-2:

~T

VBH=6cm,Z.CBH=45°,

：.HC=BH-tanz.CBH=6cm,'：CD||AB,

：.LCTH=乙GBH=/-ABM=60°,

A7，H=I^^=2^cm,

工BT=BH-TH=（6—2⑹cm,

*：AB||CD,BN||FD,

・•・四边形870G为平行四边形，

：.DG=BT=（6-2V3）cm,

・・・D、G两点之间的距离为（6-2V5）cm

【知识点】解直角三角形的其他实际应用

【解析】【分析】（1）首先计算得出4CBN=乙BCF-乙BHC=45。，再根据折射率公式几=吗黑

sin乙

计算即可得到结果；

（2）延长。C,与MN相交于点T,分别求解直角三角形RtzsBC”和々△TCH,得到边长CH和TH的

长度，进一步计算可得BT=8"-777=（6-2百）cm,又可证明四边形870G为平行四边形，由此

即可得到最终结果。

（1）解：由题意得，Z-BHC=90°

:•乙CBN=（BCF-乙BHC=135°-90°=45°

_sinz■/_sin600_•_石

“一sinZ.CBH-sin45°一一~2'

T

（2）解：延长OC交MN于点T,

:・HC=BH-tanz.CBH=6cm,

二CDIIAB,

：,LCTH=乙GBH=4ABM=60°,

A7，H=t^=2V5cm，

；・BT=BH-TH=（6-2⑹cm,

V.45||CD,BN||FD,

，四边形877）G为平行四边形，

：.DG=BT=（6-2V3）cm,

，D、G两点之间的距离为(6-2b)cm

22.【答案】(1)解：*：AC=BCtZ.ACB=120°,

180fACB

・••乙4=乙B==30°.

2

9：LACD=15°,

:•乙BDC=LACD+NA=30°+15°=45°,

由旋转的性质得“DE=120°.

，乙BDE=£.CDE-Z-BDC=120°-45°=75°；

180°-zCDE

(2)证明：由旋转的性质得乙COE=120。，CD=DE,：./_DCO=LDEO==30%

2

：.LDEO=乙ABC=30°,

又•：乙BOC=乙EOD,

△BOCs匕EOD,

.OC_OB

*"9D=OE

.OC_OD

••丽=砒'

•:乙COD=乙BOE,

△COD~&BOE,

：.LABE="CO=30°；

(3)解：过点。作CH148于H.

•；AC=BC,LACB=120°,

180°-z/ICF

••­LA=乙B==30\

2

vCHLAB,

ACH=^AC=3.

由旋转的性质得：CD=DE,Z,CDE=120°；CM=CN,LMCN=120°.

设CD=DE=3%,

vCM:MD=2:1,

2

ACM=CN=gCD=2%.

过点。作DG1CE于G,

c

N

E

vCD=DE,Z-CDE=120°,

:.LDC.E=ADEC=30。.

；DG1CE,

13

DG=^DCCE=2CG.

在Rt/kCOG中，山勾股定理得：

CG=>/CD2-DG2=呼x，

•••CE=3⑰x.

vLDCE=30°,乙MCN=120%

zEC/V=120o-30o=90°.

在RtAECN中,由勾股定理得：

EN2=CE2+CN2=（3V3x）2+（2x）2=31/,

EN=V31x（舍去负根）.

,••点。不与A,B重合，

:.3<CD<6,即3<3x<6,

解得14%V2,

•••同WENV2V31.

【知识点】等腰三角形的性质；含30。角的直角三角形；旋转的性质；三角形-动点问题

【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出乙4=48=30。.又

4/C。=15。可得出480c=45。，再根据旋转的性质得乙COE=120。.即可得出N8DE=iCOE—

乙BDC=120°-45°=75°；

⑵根据AA可证得△BOC八E。。得盎=祟再根据SAS证得△CODfB0E,进一步即可得出

ObOL

乙ABE=LDC0=30°：

（3）我们先过点C作CH148于H,计算可得,4=30。，根据直角三角形中30。角对的直角边是斜

边的一半，可得CH=3AC=3：根据旋转的性质可以得到：乙CDE=120°,CD=DE,LMCN=

120°,CM=CN，这里我们设CD=OE=3%,那么对应CM=CN=2x；接下来如图所示，过点D

作于同样根据。直角三角形的性质可得且等腰三角形三线合一可得

DG1CEG,30乙乙

CE=2CG,再由勾股定理计算得CG='CD2一DG2=挛％:之后我们可以证明乙ECN=90。，在

RtAECN中,再次利用勾股定理就能得到EN的长度为例箝最后确定x的取值范围为1WxV2,

代入就能得到最终结果。

(1)解：由旋转的性质得NCDE=120。.

AC=RC.Z-ACR=120°.

.)„180。一匕4cB

••LA=Z-B=---------------=3o0n°o.

*：CACD=15°,

J.LBDC=^ACD+z/l=30°+15°=45°,

：.LBDE="DE-乙BDC=120°-45°=75°；

(2)证明：由旋转的性质得NCDE=120。，CD=DE,

，乙DC。=乙DEO=180°\"DE=30。，

乙

J.LDEO=乙ABC=30°,

又•：乙BOC=乙EOD,

*•△BOCEOD>

,OC_OB

^9D=OE

.OC_OD

••丽=旗’

,:乙COD=乙BOE,

/.△COD八BOE,

：.LABE=Z-DCO=30°；

(3)解：过点。作CH于H.

.；AC=BC,44c8=120°,

180。一乙4cB

•••LA=乙B==30,

2

vCHLAB,

ACH=^AC=3.

由旋转的性质得：CD=DE,4coE=120。；CM=CN,LMCN=120°.

设CD=DE=3%,

•••CM:MD=2:1,

2

CM=CN=^CD=2%.

过点。作DG1CE于G,

vCD=DE,Z.CDE=120°,

LDCE=乙DEC=30°.

vDG1CE,

13

:.DG/DC=弥,CE=2CG.

4Lt

在RtzxCOG中，由勾股定理得：

CG=>/CD2-DG2=孥x，

CE=3\f3x.

vLDCE=30°,乙MCN=120%

zEC/V=120°-30o=90°.

在RtAECN中,由勾股定理得：

EN2=CE2十CN2=(3V3x)2+(2x)2=31/,

.0.EN=V31x(舍去负根).

•.•点。不与A,B重合，

:.3<CD<6,即3<3x<6,

解得1MXV2,

•••、国WENV2V31.

23.【答案】(1)解：过点A作/ly轴于，，

对于一次函数y=a%+1，

当尤=0时，y=1,

:.OC=1,

•••△40C的面积为1.

-.1ocAH=1,

.'.AH=2,

当x=2时，y=1x2+l=2,

•••A(2,2),

将点4(2,2)代入反比例函数y=(得:

k=2X2=4,

二反比例函数解析式为y=±

1

则

解

2设

:pD-s+

2

14

--s+-S

2sPE

/119

s=pDpE-(---

\222

•.•点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且在直线48下方，

-4<s<0,

・•・当S=-l时，Smax=£；

(3)解：当点R在点C的上方时，过点R作RF14B于点F,则RF=3,设一次函数y=/x+l的

图象与X轴交于点G,则G(—2,0),6(0,1),

=1,OG=2,

CG=Vl2+22=>/5»

△RCFGCO»

,RFCRun3_CR

♦•历二否’即2-TT

­•CR=|通，

••・OR=1+?石，即R(0,1+9通)

当点R在点C的下方时，同理可得。/?=,而，0/?=|V5-1»

乙乙

AR(O,1-|V5):

(4)(4,1)或G，3)

【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题：二次函数的最值；三角形的面积；切线的性质；平行四边

形为面枳

【解析】【解答】解：(4)所有符合条件的点N的坐标为(4,1)或G，3);理由如下：

当卜+1=轲，

解得％=2或-4,

经检验，x=2或-4都是方程的根，

B(-4,-1),

设M(?n,0),N(W),其中m<0,

•・•以4,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形，4(2,2),e(-4,-1),

•••当AB、MN为对角线时，

(2-4=m+n

由中点坐标公式得：「14,

2—1=-

解得

N(4,l)；

当AM为对角线时,

(2+m=-4+n

由中点坐标公式得:4

2=-1+-n

14

山=一丁

解得《

4

n=3

，呜3%

当AN为对角线时,

2+几=-4+m

由中点坐标公式得:2+J

14

m=亏

解得：\(舍去);

n=-3

综上所述，点N的坐标为(4,1)或G，3).

【分析】(1)我们先过点4作轴，垂足为H。已知的面积为I,我们可以利月三角形面

积公式求出垂线段的长度，进而得到点A的坐标，最后就可以求出反比例函数的参数，得到对应

的解析式。

(2)我们设点P(s,g),因为PD垂直x轴，PD和一次函数图象交于点D,因此可以得到点D的坐标

为D(s[s+