浙江某中学等校2025-2026学年高一年级下册期中数学学科练习（含答案）

浙江平阳中学等校2025-2026学年高一下学期期中数学学科练习

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题绐出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合力=｛制一3W%<巾｝,8=且力C8中只有一个元素，则实数m的取值范围是()

A.(-2,1)B.(-2,1]C.[-2,1)D.[-2,1]

2.已知复数z满足z(l+i)=4+2i,则z的虚部是()

A.-1B.-iC.1D.i

3.如图，A/，8'C'是水平放置的A/WC的直观图，=2,AfCf=B'C'=居,则在原平面

C.AC=2>J~5D.Sa{sc=

4.已知函数/(%)=sin(sr+*)("Q,\(p\<\相邻两条对称轴距离为「其中一条对称轴为无=各则

W=()

A.JC--iDI

5.己知是空间两直线，。是平面，则卜.列命题正确的是()

A.若乙，%异面，则过空间一点P一定可以作平面。与11、%都平行

B.若L上有两点到a的距离相等，则3/a

C.若匕_La且%〃%则。工%

D.若，1、%与平面。的角相等，则

6.给出下列命题，其中是真命题的是()

A.若a>b>0,c<d<0,则，B.若|a|>b,则/>>

C.若Q>b,则D.若Q-b=l,jjija3-/)3>7

ab4

7.已知IBC中的=5,BC=3,CA=4,0是△ABC所在平面内的动点，且力。=3,则|丽-2而|的取值范

围为()

A.[2,6]B.[2,8]C.[4,6]D.[4,8]

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2

8.若定义在R上的函数/。）满足f（x+2）=/（%）,且当工£[—1,1]时，f（x）=l-xf已知函数g（x）=

鹰*则函数九⑴=/（%）-或%）在区间[-5,5]内的零点个数为（）

A.13B.12C.11D.10

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.关于复数z=3—4i,下列说法正确的是（）

A.z+z=6B.z是方程好一6x+25=0的一个根

C.若发数z满足苏=z,则3=-2+iD.若|zi-z|=l,则|zj6[4,6]

10.在“BC中,角4&C所对的边分别为a,瓦c,如下命题正确的是（）

A.若｛>B,则sin/1>sinF

B.若c?=b（a+匕），则C=2B

C.若bcosB—ccosC=0,则A/I8C是等腰三角形

D.若△ABC为锐角三角形，C=jb=2,则瓦（•近的取值范围是（0J2）

11.在棱长为4的正方体力8。。-,4[氏*。1中，点「为4。1的中点，动点M在线段AB（不含端点）上，动点N

在正方形4&GD1内（不含边界），则下列结论正确的有（）

A.直线PM与直线一定是异面直线

B.当M是48中点时，与平面4B]P所成角的正弦值为浮

C.三棱锥P-外接球球心到平面//P的距离为空

•J

D.若BN〃平面AB』,则直线Cg与8N所成角的余弦值可能是半

•J

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知球的表面积是16TT,则该球的体积为

13.已知向量方=（cosx,sinx）,l；=（3,73）,X€[0,n],若<云,石>为锐角,则实数X的取值范围是

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14.若不等式(/+QX+b)cos(务-<0对Vxe［-1,2］恒成立，则a+b=.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

如图，在正三棱柱ABC-A/ig中，。为48的中点，力力1=48=4,瓦石=3篇.

(1)证明：C014E；

(2)证明：AML平面C0E；

(3)求直线&C与平面CDE所成角的正弦值.

16.(本小题15分)

已知/'(幻=。+岛为奇函数，且/'(船二］

•J।X/

(1)求实数Wb的值；

(2)求/(力的值域;

(3)若关于“的不等式/1(sinx)+f(m+cosx)<0在［0,%］上有解，求实数zn的取值范围.

17.(本小题15分)

在锐角AA8C中，内角A8,C所对的边分别为a、b,c,且asinB-6cos4=

⑴求sin2A的值；

(2)若a=2,求△力8。面积的最大值；

(3)求g的取值范围.

18.(本小题17分)

已知四棱锥P—48CD,PCL^-^ABCD,AB//CD,BCLAB,PC=BC=CD=^AB=1,点E为PA中点.

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(1)求证：0E//平面PEC；

(2)求二面角E—BC-4的平面角的正切值；

(3)作出过8,C,E三点的平面截四棱锥得到的截面，并求此截面的周长.

19.(本小题17分)

如图所示，设。匕。丫是平面内相交成6(0<9〈九)角的两条数轴，可，逶分别是与轴正方向同向的单位向

量，则称平面坐标系xOy为。仿射坐标系，若在。仿射坐标系下两=a£+6/，则把有序数对(a,b)叫做向

量丽的仿射坐标，记为丽=(a,b).

⑴在。仿射坐标系下，OP=(2,1),而=(1,1),7)P=(15).

(J)^OPLOR,求。的值；

②id/POQ=a,若|而T的|之仃对VtWR恒成立，求cosa的最大值.

(2)如图所示，8=60。,4B分别在x轴,y轴正半轴上，|而|=1,D,M分别为0BM8的中点，取4。中点E,求

丽•丽的最大值.

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参考答案

\.B

2.A

3.0

4.B

5.C

6.D

IB

8.6

9.ABD

[0.ABD

1\.AC.

12—

13.0<X<称且％H7

5o

14—9»

15.解：(1)在等边“/IBC中，因为。为力B的中点，可得CD149.

在正三楂柱4/%中，可■得44]_L平面

又CDu平面力8C,所以CDlAAi.

因为41nA8=力，且7L4I，4Bu平面488141，所以CO_1_平面/,

乂因为平面48BM1，所以CD1&E.

(2)由⑴得CD1平面因4Du平面4B814,则CD14。.

又4Al=AB=4,B^E=3而，则为。=542+22=2y[S,BxE=3,

2222

ArE=V4+3=5,DE=V2+I=<5,J听以A1。？十。二人1£2,可得月1。，。国

因CDn0E=。,CD,DEu平面CDE,故为。1平面CDE.

(3)由(2)得力W_L平面CDE,所以£&C0为直线41c与平面CDE炉成的角.

又4iO=2A，4C=4jI,所以sin乙4也。=箱=苧

所以直线与平面CDE所成角的正弦值为千

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16.解：(1)由题可知/(x)的定义域为R.

•••义%)为奇函数，•••/(())=Q+2=0,即b=-2a,

又•••/(I)=Q+)=[,代入b=-2a,解得a=l,b=-2.

;.3)=1-岛=舒,

TI-'丫

验证可知/(一%)="+；--蓑去=_f(%)，

•••/(%)为奇函数.

(2)由(1)可知八外二1一岛•

当％W[0,+8)时，3XG[l,+oo),3^+1G[2,+oo),岛6(0,1],一言W[-1,0),•••1-岛W[0,1),

O-iAO"i'AOi-JL

即xG[0,+8)时,f(x)G[0,1).

又/(%)为奇函数,所以当为€(-8,0]时,/(X)6(-1,0],

・••/)的值域为(-1,1).

(3)・.・3”单调递增，.・.3*+1单调潴增，2单调递减，1一言单调递增，

3人+13人+1

即/(%)=1-岛■既是奇函数又是增函数，

/(sinx)+f(m+cosx)<0,即f(sin%)<-f(m+cosx),

f(x)是奇函数，二/(sinx)<f(-m-cosx),

即sinx<—m—cosx,-m>sinx+cosx,

/(sinx)+f(m+cosx)<0在[0,7r]有解,即—m>sinx4-cos%在％6上有解,

即一7九>(sinx+cosx)min

s:nx+cosx=V5sin(%+§,当％W[0,TT]时，*+

/\f~0

:.sin(x+')£—1,则sinx4-cosr(=[—1,yfl\,(sinx+cosr)inin=­1,

•••—m>-1,即m<1,

实数m的取值范围是(一8,1).

17.解：(1)由正弦定理,得bsinA-bcosA=5,所以sinC-cosA=卷.

两边平方得sin2A—2sin4cos4+cos2A=与所以s\n2A=空.

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(2)因为］G(0,1),所以coszl=|,sin71=1,a2=4=b2+c2-2bccosA>^bc,bc<5,

S-ABC=^bcsinA<|x5x^=2,当且仅当b=c=/5,等号成立.

因此A面积的最大值为2.

b_sin£?_sin(/l+C)_sin4cosc'+cos4sinC_|cosC+|sinC_43

(c-sinC-sinC一sinC—sinC15tanC5'

在锐角A/RC中，A+C>^,则0<?—4VCV。

所以tanC>tan传一力)==p所以g_4+?<第+?=今

\2/tan/l45StanC51553

所以,vgv

18.解:(1)

取P8中点N,连接EN,CN,

在T8P中，EN//AB旦EN=抽,

因为48〃C。，RCD=^AB,所以£N〃CD且£N=CO,

所以四边形£NCZ)是平行四边形，所以ED〃CN,

因为0EU平面P8C,CNu平面P8C,所以OE〃平面PBC；

(2)

取48中点M,连力&DM交于H,连接EH,

因为4B〃C0,且则四边形M8CD为平行四边形，

所以H为AC中点,

在中，EH//PC,因为PCJJF面/BC。，所以EHJ■平面/IBCO,

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作4尸18。交8。于尸，连接EG

因为BCu平面所以E/71.BC,

因为EHCHF="且EH,HFu平面EF",所以BC1平面E

因为EFu平面EFH,所以BC1EF,

所以4EFH为二面角E-BC-4的平面角，

又HF=1,FH=lpC=i,所以tanM尸”=今

(3)

延长40nBe于Q,连接EQCPD于G,则四边形BCGE即为截面

因为PC1平面力BCD,48u平面/BCD,所以PC14B,

因为4B1BC,BCC\PC=C,BC,PCu平面BCP,所以481平面BCP,

△•BP中，AB=2,PB=VI,乙IBP=90。，点E为AP中点,所以8E=芋,

因为48〃CD,所以点。为力Q的中点，所以△力PQ中，G为其重心，

所以4EQ2+4P2=2(/IQ2+PQ2)=20,所以£Q2=j,EG=^EQ=^-,

△PCD中，CG2=l+1-2xlx^x^=1,即PG=?,

乂BC=1,故截面的周长为1+半++警.

463

19.解：(1)0设五，为=氏则前=3可+芍,赤=西+55,

由而•0R=（3可+石）•（可+5瓦）=8+16cos0=0可得cos0=-1,

因0<6><兀，则6=今；

@0P=（3,1）,0Q=（1,1）,40Q=a,则前=3可+与,而=国+可

\0P\=5（3可+筱）2=J呵2+可2+6可.与=/ToT6cos。，

I的I=J（瓦+初2=J,2+用2+2西•用=、2+2cosO,

OP-OQ=（3况+功•同+功=4+4cos灯

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2,「2

^\OP-tOQ\>y[3,得丽-2tOP-OQ+t2OQ>3,

则得10+6cos8—2t(4+4cos0)+(2+2cos^)t2>3,

即2(1+cos。)产-8(1+cos0)t+6cos0+7>0对VtGR恒成立，

又因为1+cos。>0,则A=[8(1+cos0)]2-4x2(1+cos0)x(6cos04-7)<0,

解得—1<COSO<—因为0V6V7T,所以—1VCOS0W—3满足题意，

I'l_丽叩_4+4CDS0_?/1+cosJ__2_I12-

1cosa|OP|.|OQ|V1O+6COS0V2+2cos0—y]5+3cos0~V~3y]5+3cos0,

又2V5+3cos0<所以OV/1-TTT~a—

275+3cos07

所以cosa的最大值为苧.

(2)依题意，设力0,0),8(0,71)(771>0,71>0),且乙1。8=今48=1,

依据余弦定理得7,+n2—mn=1*所以mzi=m2+n2-1,

因为M为力B中点，丽+2砺=：m可+）而同理可得丽=：65+3丽友+》可,

所以阿-0M=+导动•6加可+J尾）,

由题意知者==1局.可=/