圆锥曲线的方程 全章综合测试卷（提高篇）-人教A版高中数学选择性必修第一册（解析版）

第三章圆锥曲线的方程全章综合测试卷（提高篇）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.（5分）（23-24高二下•河南新乡•期末）已知F为抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点，点M在C上，月.点M到

直线％=-p的距离为3p,则国川=（）

A.3PB.2pC.gpD.

【解题思路】利用抛物线的定义即可求解.

【解答过程】因为点M到直线x=-p的距离为3p,

所以点M到抛物线C准线x=/的距离为3P=

由抛物线的定义得，|MF|=|p.

故选：D.

2.（5分）（24-25高二上•全国•课后作业）对于方程％2+y2sEa=1（0E[-，给表示的曲线C,下列说

法正确的是（）

A.曲线。只能表示圆、椭圆或双曲线B.若a为负角，则曲线C为双曲线

C.若。为正角，则曲线C为椭圆D.若C为椭圆，则其焦点在“轴上

【解题思路】对A,根据a-0的取值，即可判断选项.；对B若a为负角，即一;Wa<0,双曲线标准方程

的形式，即可判断；对C,当a时，结合圆的标准方程的形式，即可判断；对D,变形后结合椭圆的标

准方程的形式，即可判断选项.

【解答过程】对A,当a=0,即sina=0时，曲线C的方程为它=l,x=±1,

此时曲线C为两条平行的直线，故A错误；

对B,若a为负角，即一贝!jsina<0,

此时曲线。为双曲线，故B正确；

对C,若a为正角，即0<aw],当a=]时，sina=1,

则曲线C的方程为"+y2=[,是圆，故c错误；

对D,若C为椭圆，则0vsina<l,」一>1，又/+必$而。=1可变形为/+斗=1，

sina）-i-

sina

则C为焦点在y轴上的椭圆，故D错误.

故选：B.

3.（5分）（24-25高二上•全国•课后作业）已知IP为椭圆《+V=1（Q>力>0）上一点，分别是椭圆

的左、右焦点.若使△P0尸2为直角三角形的点P有旦只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（）

A.（0,4）B.仔1）C.（1,V2）D,（0,1）

【解题思路】分析题意得到c<"进而构建齐次不等式，求解离心率范围即可.

【解答过程】当P&_L无轴时，有两个点P满足为直角三角形；

当P%1%轴时，有两个点P满足△PF/2为直角三角形.

•.•使△PFiF2为直角三角形的点P有且只有4个，

•••以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，,cVb,

c2<b2=a2-c2,:.e2<又e>0,解得。VeV孚

故选:A.

4.（5分）（24-25高二上•全国•课后作业）已知双曲线的两个焦点为Fi（-g,0）,F2（^,0）,M是此双

曲线上的一点，且满足丽•丽=0,|丽|•|丽|=2,则该双曲线的方程是（）

A.^-y2=lB.x2-^=lC.^-^=1D.左一^=1

9J93773

【解题思路】由丽•丽=0,可得1M尸2进一步求出（IM&I-|MF2|）2=|MR|2-21Mpi|•附七|+

2

|MF2|=40-2x2=36,由此得到Q=3,则该双曲线的方程可求.

【解答过程】

•.•丽•欢=0,

•••丽J.丽即M居LMF2,

22

A|WF1|+|MF2|=40.

22

则（|M^]-\MF2\）=IMF#-2\MFr\•\MF2\+|MF2|=40-2x2=36.

\MF.\-\MF?\=6=2a.即Q=3.

vc=V10,二b2=c2—a2=1.

则该双曲线的方程是：^-y2=l.

故选:A.

5.（5分）（23-24高二上.河南.阶段练习）单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁

建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1,俗称小蛮腰的广州塔位于中国广

州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似

于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2,最细处的直径为100m,楼底的直径为

50V22m，楼顶直径为50乃m,最细处距楼底300m,则该地标建筑的高为()

图1图2

A.350mB.375mC.400mD.450m

【解题思路】根据题意建立平面直角坐标系，设双曲线的方程是怖一《=13>()/：>0),

由已知可得a，将点C坐标代入解得匕的值，从而得到双曲线的方程，最后利用双曲线的方程

解得B的坐标即可求得地标建筑的高.

【解答过程】解：以地标建筑的最细处所在直线为不轴，双曲线的虚轴为y轴，建立平面直角坐标系如图

所示.

由题意可得:4(50,0),C(25V22,-300),

设8(25倔y())(y0>0),双曲线的方程是奈•—翥=1(Q>0,b>0),

(a=50

Mj(25V22)2_(-300)2_a=50

(502-=1=100V2'

所以双曲线的方程是：芸一蕊=1,

将点8(25e，%)代入得窑一悬=1，

解得尢=100,

所以该地标建筑的高为：3004-100=400(m).

故选：c.

6.（5分）（2024高三•全国.专题练习）已知双曲线。:"一3=1,&,尸2为双曲线的左、右焦点，若直线1过

点广2,且与双曲线的右支交于两点，下列说法错误的是（）

A.双曲线C的离心率为V5

B.若2的斜率为2,则MN的中点为（8,12）

C.若乙F】MF2=g,则aMF/z的面积为3百

D.使为等腰三角形的直线1有3条

【解题思路】直接计算离心率可判断A,直接得到直线方程并联立曲线方程，利用韦达定理可求出MN的中

点坐标即可判断B；根据双曲线定义、余弦定理可得IMF/x\MF2\=12,再计算的面枳可判断C；

分|MFJ=INF/、=|MN|、|N&|=|MN|讨论，可得M、N的坐标唯一可判断D.

【解答过程】对于A,由双曲线方程得Q=l,b=遥，故c=2,则离心率e=2,故A错误，

对于B,由方程知Fi（—2,0）,6（2,0）,则直线，的方程为y=2（》一2）,

联立双曲线方程化简得/一16%+19=0,设程2，、2），

则4+%2=16,故殁合=8,而yi+丫2=2无1-4+2&一4=2(%+x2)-8=24,则归及=12,

故MN的中点为（8,12）,故B正确,

对干C,若4RMF2=；,由题设有|M&|-IMF?]=2,

•5

[MF][2+|MF2|2一|F/2|2gyl=(IM&HM叩l)2+2|MF/x|MF2l-16

由余弦定理可得COSZ.F1MF2='2-2|MF1|x|MF2l

2\MFA\X\MF2\

可得|MF]|xIMF2I=12,所以△MF/2的面积为^MFJxIMFzIxsing=[x12x4=375,故C正确;

对于D,当直线MNlx轴时，可得|MF1|=|NF1|,△MNF1为等腰三角形；

根据双曲线定义得|M"-IMF2I=2t\NF1\-\NF2\=2,

两式相加得IMF】I+INF1I=4+IMF2I+|叫|=4+\MN\f

不妨设M(%i，yi),N(k2，y2)(*i>Oyi>0,x2>0,y2<0)，

若|MFJ=|MN|,则|N&|=4,

所以｛816,解得）:一送，可得N（|，-W），此时AMS为等腰三角形;

若|NFJ=|MN|,则IMF1|=4,

_3

所以｛316,解得":盘，可得M信苧｝此时△MNF］为等腰三角形，

（以——

综上使△MN&为等腰三角形的直线I有3条，故D正确.

7.（5分）（2024.陕西榆林.模拟预测）如图，抛物线E：y2=2p%（p>o）的焦点为尸,过点M（p,0）的直

线乙，％与£分别相交于力（X1，%），笈（“2，丫2）和C，。两点，直线AO经过点R当直线44垂直于x轴时，

\AF\=3.下列结论正确的是（）

A.p=4

氏外为=-6

C.若八/),8C的斜率分别为Ai，k2,则h=2心

D.若△FAB的面积为2VL则AFCD的面积为4企

【解题思路】根据抛物线定义表示|AF|，由条件列方程求p可得抛物线方程,判断A,设AB的方程为％=ty+2,

利用设而不求法求必治，判断B,设。(%3，丫3)，8(%444)，利用设而不求法求,3%，根据直线AD经过点F,

确定力,的关系，利用力表示心,心，判断C,求出C,D坐标即可判断D.

【解答过程】当直线AB垂直于工轴时，直线AB的方程为％=p,所以点A的横坐标为p,所以|力川=p+泉

X|.4F|=3,所以p=2,故A选项错误；

若直线A8的斜率为0,则直线AB与抛物线只有一个交点，与已知矛盾，

故可设直线AB的方程为％=ty+2,联立J?2化简可得步一牝丫一8=0,

方程y2-4ty-8=0的判别式A=16产+32>0,

由已知％,y?为方程=4£y-8=0的两根，

一蓝)，故B选项错误；

所以%+,2=43yxy2=-8,B瑞,

设直线CD的方程为％=ny+2,C(x3,y3)»。(%4，%)，联立］匕一空？；

lx—ny十z

化简可得y2-4ny-8=0,方程y2-4ny-8=0的判别式A=16n2+32>0,

所以为+'4=4n,y3y4=-8.C碟,H

若直线4。的斜率存在，则Xih1,M工1，yl*7i»

因为直线4Q经过点R所以X含二含，所以%%优一%)=4。1-%)，

因为%=丫4,所以为%=-4,所以七二普吉二一2乂弩,

不开2必+以

必_4yl

所以自=2-79所以g二2七，选项C正确:

出―1比-4

4

当直线A8垂直于大轴时，易知点A（2,2&）,从而SMA8=；X1X|45|=2四,

此时点。在过力（2,2&），尸（1,0）两点的直线上，且在抛物线E：y2=4x±,

从而求出点从而C（8,4&）,从而SMCD=：x1x|4或一（一或）|=?，故选项D错误.

故选：C.

8.（5分）（23-24高二下.上海虹口•期中）已知曲线C：¥-：力|=1,P（&,yo）为。上一点，

①々的取值范围为［一2,2］；

②焉+评的取值范围为［1,+8）：

③不存在点P（%o，yo），使得&-2y0=-l；

④岛-2yo+何的取值范围为（恒2或+V5］.

则上述命题正确的个数是（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

【解题思路】对于①，分段化简方程，得到图形，数形结合得到①错误；对于②，数形结合，结合椭圆性

质得到②正确；对于③，根据渐近线性质及图形可得③正确；对于④，利用|~-2yo+遍|的几何意义，结

合三角换元得到-2yo+花悌取值范围.

^--y2=1（%>o,y>0）

^+y2=l（x>0,y<0）,

1y2一：=1（%vo,y<0）

由曲线和图形可知出£R,故①错误；

对于②，/^1短可看做曲线。上的点到原点的距离，显然无最大值，

当点P（%o，yo）位于椭圆9+y2=i（x>0,y<0）上时，距离原点的距离取得最小值，

则非+羽=以+1—苧=1+苧故当式。=0时二君+诏取得最小值.最小值为I.

则就+M的取值范围为[1，+8）,②正确；

对于③，因为直线％-2y=-1与渐近线％-2y=0平行，故不存在点Pa。，%），使得与-2%=-1,③正

确；

对产④，岛-2yo+正|表示点P（%o，yo）到直线无-2y+V5=0的距离的而倍，

又直线x—2y+通=0与渐近线％-2y=0平行，且距离为盘=1,

故履-2yo+V5|>V5,

由图形可知，P（%o，yo）在^■+必=l（x>0,y<0）上时，到直线x-2y+通=0的距离取得最大值，

设%o=2cosO,y0=2sin0,则尸（无）,小）到直线%-2y+V5=0的距离为

12cos6-2sin8+6I_卜岳。s（8+、）+闾<2鱼+行

x/4+l-"TT_V5，

当且仅当cos（8+力=1时等号成立，

故ko-2yo+通|的取值范围为（遍,2a+V5],④止确.

故选：C.

二.多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9.（5分）（23-24高二上.江苏西京.期末）已知曲线C:m/+71y2=1,下列说法正确的是（）

A.若m=八>0,则C是圆，其半径为理

n

B.若771>0,71=0.贝!!C是两条直线

C.若时，则。是椭恻，其焦点在y轴上

D.若nmVO时，则C是双曲线，其渐近线方程为y=

【解题思路】根据选项条件分别化简曲线。：771/+几必=1为圆推曲线的标准方程，然后逐一分析，即可求

解.

【解答过程】对于A,m=n>0,/+2=二，则c是圆，半径为三，故A正确;

♦力71

对于B,若机>0,n=0时，x=±^»则C是两条直线，故B正确;

对于C,若时，苧+4=1'则4"0,则C为焦点在％轴的椭圆，故C错误;

,渐近线方程为y=±Rx,

对于D,若nrnVO时，则C是双曲线故D错误:

故选:AB.

10.（5分）（2024.安徽・模拟预测）已知双曲线C：/一看=1的左、右焦点分别为&,尸2,直线八x=my-

1（加€/?）与。的左、右两支分别交于M,N两点（点N在第一象限），点Pg,yo）在直线LE,点Q在直线

NF2上，且Q&IIPF2,则（）

A.C的离心率为3B.当租=百时，|MN|=『

C.NPF2M=NNF2PD.IQF2I为定值

【解题思路】根据离心率的公式即可求解A,联立直线与抛物线方程，根据弦长公式即可求解B,根据二

倍角公式以及斜率关系即可求解C,根据角的关系即可求解线段长度相等，判断D.

【解答过程】由题意得，a=l,b=>/3,e=^=Jl+刊=2,故A错误；

联立::学1:,得—2V3y=0,解得y=0或y=手，则|MN|=A/T+3x|乎一o|=子，故B正

3一

确；

由直线I：%=my-l（meR）可知M（-1,0）,又a=l,b=y/3,c=2,P（p7o）»故P在线段MF2的中垂线上，

设PM,PF2的斜率分别为匕-k,M（-1,0）,故直线MP的方程为、=k（x+l），

(yk+1

=(x

联^223O

x2y2-

13-1

一

设N（%力），则T+与=净勺=能，故加（笠，提）•

当NF21%轴时，|M/y=a+c=\NF2\=?=3,△M/^N是等腰直角三角形,且易知NP尸2M=LNF2P=45°：

6k

当NF2不垂直于X轴时，直线N内2的斜率为=含，故tan〃VEM=-含，

3^~2一一

因为tan乙PF2M=k,所以tan24PF2M=曰=tanzJVFzM,所以24PF2M=ZJVF2M,乙PF?M=^NF?P,

故C正确；

因为QFillP6，故乙F?F]Q=£PF?M=LNF2P=LFzQFi，故|Q尸2I=I&F2I=4,故D正确.

故选:BCD.

II.(5分)(2023•黑龙江佳木斯•三模)过抛物线C：y2=2p不上的一点M(2,4)作两条直线5/2,分别交

抛物线C于4,8两点，尸为焦点()

A.抛物线的准线方程为x=-2

B.过点M(2,4)与抛物线有且只有一个公共点的直线有1条

C.若前+而+而=6,则|FM|+|F川+尸8|=9

D.若心M+kBM=0，则七8=-1

【解题思路】将M(2,4)代入抛物线方程，求出p,即可判断A：分直线斜率是否为零讨论即可判断B；设

A(Ki,yi)B(%2,y2＞根据丽+凡4'+而=0,求出+%2»再根据焦半径公式即可判断C；设直线4的方

程为％-2=7；3—4)5=0),则12的方程为％-2=-爪＞一4),联立方程，求出48两点的坐标，再根据

斜率公式即可判断D.

【解答过程】由题意可得16=4p,所以p=4,则抛物线C的方程为y2=8,准线方程为x=-2,故A

正确；

当过点M(2,4)的直线斜率等于零时，直线方程为y=4.

直线y=4与抛物线的交点坐标为M(2,4),只有•个交点，

当过点M(2,4)的直线斜率不等于零时，设直线方程为％-2=m(y-4),

联立｛"4),消%得y?_8my+32m-16=0,

当过点M(2,4)与抛物线有且只有一个公共点时，A=64m2-4(32m-16)=0,解得m=l,

综上所述，过点M(2,4)与抛物线有且只有一个公共点的直线有2条，故B错误；

设/(无1/1),8(＞2/2)，/(2,0),

由丽+FX+FF=0,得(0,4)+(%-2,yJ+(%2-2而=(七+0-4,%+为+4)=0,

所以4-%2-4=0,即/+x2=4,

所以尸M|+|凡4|+四臼=4+x1+^+x2+^=4+x1+x2+p=12,故C错误；

对于D选项，由题意，直线，I，%的斜率存在且不为零，

设直线。的方程为％-2=n(y-4)(n*0),则，2的方程为％-2=-n(y-4),

XJ：2旬，消％得,2_8叮+32n-16=0,

则4yl=32n—16,所以％=8n-4,

则右=^=8n2-8n+2,所以力8小-8n+2,8〃-4),

8

同理可得3(87?+8n+2,-8n-4),

故选:AD.

12.（5分）（24-25高三上•河南•开学考试）双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关

重要的地位，同时也具有特殊的有价值的艺术美.它既是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺

术家设计作品的主要几何元素.双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8"，如图曲线C：（无2+y2）2=

9（/-y2）是双纽线，下列说法正确的是（）

A.曲线C的图象关于原点对称

B.曲线C经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点）

C.曲线。上任意一点到坐标原点。的距离都不超过3

D.若直线y=kx与曲线C只有一个交点，则实数々的取值范围为（一8,-l]u[l,+8）

【解题思路】选项A,由曲线上任一点（%,y）关于原点的对称点（-适合曲线方程可判断；选项B,利

用换元法转化为二次方程，通过判别式得出y2范围，再赋值求解整点的坐标即可；选项C,利用已知方程

变形，根据有界性结合两点间距离公式可判断：选项D,联立直线与曲线。研究方程根的情况即可.

【解答过程】A项，设曲线C上任意一点PQ,y）,则坐标满足曲线方程，

即方程(7+y2)2=9(/-y2)成立，

可得K-%)2+(-y)2］2=9［(r)2-(-y)2］成立，

即点P关于原点的对称点P(r,-y)也适合曲线方程,

所以曲线C的图象关于原点对称，故A正确；

B项,方程(%2+y2)2=9(/_y2)可化为p+(2y2-9)/+/(y2_|_9)=0,

令£=/,贝I］方程t2+(2y2-9"+y2Q2+9)=0,

由判别式A=(2y2-9)2-4y2(y2+9)=-9(8y2-9)>0,可得好<1

8

若、是整数，则y=—l,0,l.

令3=0,x4-9x2=0,解得==0或3或-3,有三个整点(0,0),(3,0),(-3,0)；

令『2=1,%4—7x2+10=0,解得/=2或5,此时无整点；

所以曲线C共经过3个整点，故B错误；

C项，设曲线C上任一点P(%y),

当P为原点时，到原点的距离为0,满足题意；

当P不为原点时，/+必工0,

则由(/+y2)2=9(/_y2)可得，ov/+丫2=<9,

x十y

所以点P(x,y)到原点的距离d=y/x2+y2<3,且d>0；

综上，曲线。上任一点P(x,y)到原点的距离都不超过3,故C正确：

D项，直线y=依恒过原点(0,0),且曲线。经过(0,0),

则直线与曲线至少一个公共点，

又：丫二依与曲线C•只有一个公共点，故除原点外无其他公共点.

联立伊2+y2)2=9(/_y2),

一［y=kx

消'得》4(1+k2)2-9/(1-k2)=0,

当1一42=0时，方程%4=0仅一解％=0,满足题意；

当l-k2Ho时，当％=0时，方程恒成立，即恒有一解，

当XW0时，方程化简得/=等亮，即当1一/<0时，方程无解，满足题意；

综上，1一1&0,解得上21或AW-1,故D正确.

故选：ACD.

三.填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)

13.（5分）（24-25高二上•全国•课后作业）已知点P（x,y）到定点尸（0,四的距离与它到定直线='a的

距离的比是常数If,点P的轨迹为曲线E,则曲线E的方程为1+灰=1.

33

【解题思路】利用两点距离公式及点到直线距离，作商化简计算即可.

【解答过程】根据题意可得耳学察二H，化简得欠2+（=1,

卜-泪733

•••曲线£的方程为公+（=1.

故答案为：/+?=1.

14.（5分）（24-25高三上•江苏南通•阶段练习）已知双曲线会1（。,匕＞0）,Fi，F2为双曲线的左右

焦点,过£做斜率为正的直线交双曲线左支于力（%,%）,8（%2①）（%V月）两点，若I力FJ=2a,Z.ABF2=

90%则双曲饯的离心率是J5-2口.

【解题思路】根据双曲线的定义分析可知△ABF?为等腰直角三角形，且|力引=伊后1=2&Q,|8&|二

2（\攵-l）a,结合勾股定理列式求解即可.

【解答过程】因为L4FJ=2a,则WF2I=|力0|+2a=4a,\AB\=\AFX\+|BFJ=\BF±\+2a=|FF2|,

且/4BF2=9O。，可知△7IBF2为等腰直角三角形，

则|A8|=\BF2\=2或a,IBFJ=\AB\-18al=2\[2a-2a=2（鱼-l）a,

2

22

且出后|24-\DF2\=|"1"2|2，即4（72-1）a+8a2=4c2,

整理可得捺=5-2企，所以双曲线的离心率e=：=/|=V5-2V2.

故答案为：V5-2V2.

15.（5分）（23-24高二下•云南红河・期末）已知直线/：%—2y+2=0与抛物线C：/二切交于人，B

5><5

两点，如图，点P为抛物线。上的动点，且位于直线A8的下方，则AABP面积的最大值为.

【解题思路】利用过点P的切线与直线，平行时，的面积最大求出点P,然后利用弦长公式求|/引即可.

【解答过程】当抛物线过点尸的切线与直线［平行时，的面积最大，

设点P（%o，yo），由％2=4y得：y=：/，y'=；x，

T*4

所以切线的斜率：k解得：无0=1,

所以%=［就=%所以p（i,：），

点p到直线1的距离d=上尹与=孚，

Vl2+（-2）22

由「一；2‘：京一°，消去丫，得：X2-2X-4=0,

设4aiJi），8（外,%），则％1+必=2,xtx2=-4,

所以|4B|=Vl+k2•J（xi+9）2-4%I%2=Jl+0•d22Tx（-4）=5,

所以△/MB的面积的最大值为：:.①臼♦d=：x5x彳=平.

2224

故答案为：斗.

4

16.（5分）（23・24高二下•江西南昌•阶段练习）已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点F与圆炉+/一？%=

0的圆心重合，直线I与C交于A（%r必），8（不，乃）两点，且满足：亍？•丽=0（其中。为坐标原点且力，8均

不与。重合），对于下列命题：

2

①%》2=16,yxy2=-16；②直线，恒过定点（2,0）；③A,8中点轨迹方程：y=2x-8；④AAOB面积

的最小值为16.

其中是直命题的有①@④.

【解题思路】求出圆的圆心为（1,0）,则尸（1,0）,所以可求出抛物线的方程y2=4,设直线718方程为

x=ty+n,代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，结合德•丽=0可求出几，从而可求出叼为2,外力，

力B中点为M（x,y）,则可得、=空=23x=2t2+4,消去参数£可得4B中点轨迹方程，利用弦长公

式求出|4B|,再利用点到直线的距离公式可求出0到直线”的距离，从而可表示出△NOB面积，进而可求出

其最小值.

【解答过程】由题意圆/+丫2-2%=0的标准方程是(％-1)2+丫2=1,圆心为(1,0),半径为1,

所以抛物线的焦点为F(l,0),1,p=2,抛物线方程为y2=4x,

直线48斜率不为0,设方程为％=ty+n,

由?,一”，Wy2-4ty—4n=0,△=16t24-16n>0,即"+九>0,

ix=ty+n

所以%+乃=43yry2=-4n,

OA-OB=xx+y/2=+%丫2=/2—4九=0,

x216

得n=4或?i=0(舍去，否则直线43过原点)，

1

所以%丫2=-16,xYx2=学=16.

直线，方程为％=£y+4,过定点(4,0),

设力8中点为M(x,y),则y=^^=23x=ty+4=2t2+4,

消去参数t得y2=2x-8,

M即=y/(x1-x2y+(y1-y2y

22

=7(i+t)(yi-y2)

=/(1+■)[(%+y2)2—4yly2】

=V(l+t2)(16t2+64)=47(1+t2)(t2+4)

原点。到直线48的距离为d=啸?=舟，

所以SA0A8=\\AB\d=1x4y(H-t2)(t2+4)x=8\/t2+4,

所以£=0时,SAOAB=16为最小值.

正确答案有①③④.

故答案为：①③④.

O

'B

四.解答题(共6小题，满分70分)

17.(10分)(23-24高二下.湖南邵阳.期末)已知动点M(x,y)到直线无=-3的距离比它到定点(2,0)的距离

多I,记M的轨迹为r.

(1)求「的方程；

⑵若过点D(4,4)的直线/与「相交于4B两点，W.OA1OB,求直线，的方程.

【解题思路】(I)由抛物线的定义理解动点轨迹，即可写出动点轨迹方程；

(2)设出直线方程Lx=t(y-4)+4,代入抛物线方程，消元后得出韦达定理，由题设等式解得t的值，检

验即得.

【解答过程】(1)由动点到直线％=-3的距离比它到定点(2,0)的距离多1,

知动点M(x,y)到直线％=-2的距离等于它到定点(2,0)的距离，

故动点M(x,y)的轨迹是以(2,0)为焦点，x=一2为准线的抛物线.

故「的方程为：y2=Ox.

如图，由题意可设直线上x=t(y-4)+4,

代入y2=8%,消去工得：y2—Qty+32t—32=0.

显然有A〉。，设力(工1，%),8(亚,、2)，

则%+为=8匕％丫2=32t-32.

由0/±OB,知0/•OB=x^x2+y^yz=手•+yiy-z=y\yi+1)=。.

得月刈=。或力%=-64,

解得£=±1.

当£=1时，直线］:x-y=O经过原点，显然不合题意；

当£=一1时，直线Lx+y-8=0,符合题意：

综上，所求直线/的方程为：x+>-8=0.

18.（12分）（23-24高二下•广东茂名•开学考试）已知双曲线的《一卷=1（Q>0,匕>0）与的，-9二1有

相同的渐近线，点F（2,0）为G的右焦点，力，B为G的左右顶点.

（1）求双曲线G的方程；

（2）过点/倾斜角为45。的直线/交双曲线G于M,N两点，求|MN|.

【解题思路】（1）根据共渐近线得到/=3a2,根据焦点得到a?+/=4,解得答案.

（2）联立方程得到根与系数的关系，利用弦长公式计算得到答案.

【解答过程】⑴双曲线G：会《=1（。>0/>0）与。2，一9=1有相同的渐近线，则〃=3。2,

2

F（2,0）为G的右焦点，则小+垓=4,解得Q2=Lb=3,

双曲线方程为/一?二1；

2

\MN\=Vl+Ixd（X\+必）2—4%I%2=>/2xA/4+14=6.

19.（12分）（24-25高二上•全国•课后作业）如图所示的图徽外框由半圆和半椭圆组成，半圆的直径为10,

椭圆的离心率为孚，且短轴与半圆的直径重合，图徽内有一矩形区域4BCD用于绘画图案，矩形关于椭圆的

长轴对称，且顶点在图徽外框上.

（1）建立适当的直角坐标系，求出半圆的方程和半椭圆的方程;

（2）根据美学知识，当畏=0.6时达到最佳美观的效果，求达到最佳美观的效果时A8的长.

【解题思路】（1）建立平面直角坐标系，依题意可得半圆的方程，求椭I员I的Q,b,c确定半椭圆方程.

（2）当为8CD的四个顶点均在边界上时，面积最大，设第一象限内的点A的横坐标为m（0<zn<5）,|力叫=

3,25—总由黑=0.6得力区即可求得结果.

\AB\

【解答过程】（1）以半圆的直径为X轴，圆心为坐标原点，建立平面直角坐标系，

由已知，圆的半径为5,则半圆的方程为/+y2=25（yW0）.

椭圆的短半轴长匕=5,；=当，又b2=02-c2,

所以a?=100,b2=25,

（2）设第一象限内的点4的横坐标为m（0<mV5）,则|4B|=2m,\AD\=V25-m2+J100（l-^）=

3V25—m2.

由撑=。6得等/，

解得m=誓，此时历用=誓.

故达到最佳美观的效果时/W长为誓.

20.（12分）（2024•贵州六盘水•三模）在平面直角坐标系立江中，点A,8分别是x轴和），轴上的动点，

且|.4引=百,动点P满足V5而=26（+而，记2的轨迹为C.

⑴求。的方程；

⑵设曲线C与工轴的交点为4,A2（A/在七的左边），过点。（1，0）且不与x轴平行的直线/与C相交

于M,N两点，记直线A/M,4N的斜率分别为为和〃2,求善的值.

女2

【解题思路】（1）由已知结合向量的线性运算的坐标表示即可求解;

（2）联立直线与椭圆方程，结合方程的根与系数关系及直线的斜率关系即可求解.

【解答过程】⑴解:设Pa,y）M（&,O）,B（O,yo）,

因为=V5,所以+X=6,

由后办=2&+后得，V3(x,y)=2(%0)+(0,尢),

将沏=等，yo=代入以+M=3得,彳+y2=1,

所以动点P的轨迹C的方程为?+y2=l；

（2）由（1）知&（一2,0）,4（2,0）以3，丫1）,做孙、2），

(X=my+1

22

联立'X?工2J得,(4+m)y+2my-3=0,

[-+y=i

由韦达定理得，yi+%=一悬7，%•力=是，

于是放受=等，从而根乃力=+%），

因为自=必，心=当，Xi=+1/2=机丫2+1，

则自"必=2】+力），

21.（12分）（2024•陕西宝鸡•三模）己知椭圆E:^+，=l（a>b>0）和圆C:/+y2=I,。经过£的右焦

点F,点48为E的右顶点和上顶点，原点。到直线48的距离为竿.

（1）求椭圆9的方程；

（2）设QA是椭圆E的左、右顶点，过户的直线［交£于M,N两点（其中M点在％轴上方），求△MA"与△DNF的

面积之比的取值范围.

【解题思路】（1）由题意，利用点到直线的距离公式及a,b,c之间的关系求出a,b的值，进而订得椭圆E的

方程；

（2）对直线/的斜率是否存在进行分类讨论，当直线/的斜率存在时，设出直线/的方程，将直线方程与椭圆

方程联立，利用韦达定理以及三角形面积公式再进行求解即可.

【解答过程】（1）设椭圆焦距为2c,

由题意可得c=l,有小一〃=1①，

又因为直线48方程为±+[=1,