平面与平面垂直（第1课时）教案

第八章立体几何初步

8.6.3平面与平面垂直（第1课时）

一、教学目标

1.直观感知二面角的有关概念，会作二面角的平面角，会求简单二面角平面角的大小；

2.理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，学会运用定理证明垂直关系；

3.通过对平面与平面垂直判定定理的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学

素养.

二、教学重难点

1.掌握面面垂直的判定定理；

2.会求简单二面角平面角的大小，会运用定理证明垂直关系。

三、教学过程：

（1）创设情景

情景1、已知PA_L平面AEC,AB_LBC,试问可以找到多少对互相垂直的平面？

情景2、观察下列实物图，想想如何刻画两个平面所成的“角”？

（2）新知探究

问题1：大家思考一下如何判断两个平面垂直？

学生回答，教师点拨

问题2:试将上面的三个实物模型，抽象为儿何直观图形，能否找到两个平面垂直的定义.

学生回答，教师点拨（提出本节课所学内容）

（3）新知建构

半平面的定义：

平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一个部分都叫做半平面.

二面角的定义：

由--条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二

面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.

二面角的画法与记法：棱为AB,而为夕的二面角，记为二面角夕一48一6

二面角的平面角的定义：

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线

所成的角叫做二面角的平面角.如右图：NAOB是二面角0一/一分的平面角.

二面角的大小范围是0°«a<180。.

二面角的平面角必须满足：

①角的顶点在棱上

②角的两边分别在两个面内

③角的边都要垂直于二面角的棱

直二面角的定义：

平面角是直角的二面角叫做直二面角.

练习：请大家观察教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出构这些二面角

的面、棱、平面角及其度数。

平面与平面垂直的定义：

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

记作:aLp

图形表示：

平面与平面垂直的判定定理：

如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直。

图形：

符号语言：aupnalp

简记：线面垂直，则面面垂直。

(4)数学运用

例1.如图,棱柱ABC-ABiG的侧面8CC以是菱形,ByCLAxB.

证明：平面平面48G.

证明：因为8CG%是菱形，

所以办CLBG,又SULA由，且AGCM由=8,

所以8＜，平面AiBQ,

又BiCu平面AB\Ct

所以平面A8C_L平面AIBCI.

变式训练1:如图,在三棱柱ABC-ABG中,侧棱垂直于底面,AB±BC,E、F分别是AC、BC的

中点.

求证:平面ABE±平面B.BCC,;

证明:在三棱柱ABC-ABG中,

•；BB」底面ABC,ABBilAB,又ABXBC,BBEBC=B,・,.AB_平面BBC3,又ABc平面ABE,.••平

面ABEJ_平面B.BCCu

例2.如图，在四棱锥P-ABCQ中，底面ABCO为正方形，241.底面

A3C=4,E为依的中点，产为线段点上的点，且防小，

p

求证：平面平面PBC；

证明：・・・24，平面48。。，.,.附_18。.

又底面A8CD为正方形，.•.3C_LA8.

•・PAu平面2人8,/Wu平面0人及ABr\PA=A,

BC_L平面P45.

•«•AEu平面PAB，BC±AE.

・・・PA=AB,E为总中点/.AELPB.

•.•依u平面P8C,BCu平面PBC,PBcBC=B,

.,.AE_L平面P8C.又4Eu平面八七尸，

平面AEV，平面P8C.

变式训练:如图，四面体A8CO中，3c是正三角形，A4CD是直角三角形,

ZABD=/CBD,AB=BD

求证：平面ACD_L平面ABC

证明：取AC的中点0,连接80,0。.

D

•.•△ABC是等边三角形，...04_LAC,

AABD与ACB。中，AB=BD=BC,/ABD=Z.CBD,

MLBD=&CBD、：.AD=CD

•.•△46是直角三角形，是斜边，

.•.NAQC=90。,DO=-AC

2

DO2+BO2=AB2=心，..NBOD=90°,

:.OB1OD

又DOcAC=O,

.•.03，平面ACO.

又O8u平面A3C,

・•・平面ACD_L平面ABC.

例3:在等腰直角E3C中，A8=8C=1,M为AC的中点，沿8M把AA3C折成二面角,

V6

折后A与C的距离为2,则求二面角c—BM—A的大小.

【解析】因为A48C为等腰直角三角形，且A8=8C=1,M为AC的中点，

所以折之前，AC=6,BMtAC、

折之后，AM=CM=皂,AM1BM,CMIBM,

2

所以ZAMC是二面角C-BM-A的平面角,

在A4MC中，由余弦定理得，

!1_2

c"AMC=AW+CM-c?22_2

2AMCM2x互也一5

22

因ZAMCG(0°,l80°),所以ZAMC=120°,故二面角C-BM-A的大小为120°

变式训练:在边长为1的菱形A8CO中，NA3C=60。，把菱形沿对角线AC折起，使折

起后5。-立，则二面角。一八C—D的余弦值为()

2

A.-B.—C.亚^D.立

3232

【答案】B

【解析】取AC的中点为。，连接。0,80,如下图所示

在等腰AACD和等腰AABC中，DOLACyBOIAC

由二面角的定义可知，NDO8为二面角3-AC-。的平面角

•・•DO=y/AD2-AO2=—,BO=^AB2-AO2=—

22

.•.ADOB为等边三角形,UPZDOB=60°

则二面角8—AC—。的余弦值为:，故选：B

四、小结：

二面角的定义：

二面角的画法与记法：

二面角的平面角的定义：

二面角的大小范围：0°＜。＜18()。.

直二面角的定义：

平面与平面垂直的定义：

平面与平面垂直的判定定理:

A级必备知识基础练

1」探究点一］如图所示，在三棱锥P-ABC中,/MJL平面ABQZ

&4L90。,则二面角B-PA-C的大小为（）

火、

A.90°B.60°

C.45°D.30°

2」探究点三］在长方体ABCD-AxBxCxD\的棱AB上任取一点

区作EFLA\B\于点£则后/与平面A山Ci。的关系是（）

A.平行

B.EFu平面出

C.相交但不垂直

D.垂直

3」探究点三］设a*为不重合的平面，丸〃为不重合的直线，则

下列命题正确的是（）

A.若■，则m//a

B.若mU%〃UK〃2_L〃4IJ〃_La

C.若Q_L/?，阳_LQ/〃小则m.Ln

D.若n±a.n±±mA.a

4.［探究点三］如图所示ASCQ为空间四点，在△ABC

中,A8=2,AC=8C=e,等边三角形ADB以AB为轴运动，当平

面平面ABC时，CD=.

D

a

5」探究点三］如图,在空间四边形ABCD中，平面平面

8c。,/区4。=90。,且AB=AD^\AD与平面BCD所成的角

是.

A

△

C

6.［探究点三］如图，在三棱锥P-ABC中，平面%平面ABC.

且Nfi4C=90。,必=1,AB=2,则PB=.

7.［探究点三］三棱锥V/8C中，平面013_1_平面为

等边三角形,ACLBC且AC=BcW,O,M分别为AB,VA的中

点.

V

⑴求证:V5〃平面MOC;

(2)求证:平面平面VAB;

(3)求点B到平面MOC的距离.

8」探究点一、二］如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是

边长为1的菱形,/3。。=60。石是CD的中点,底面

ABCD,PA=6.

⑴求证:平面平面PAB\

(2)求二面角A-BE-P的大小.

B级关键能力提升练

9.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面。内，且ACJLPC,平

面以C_L平面PBC点尸A3是定点，贝J动点C的轨迹是（）

A.一条线段

B.一条直线

C.一个圆

D.一个圆，但要去掉两个点

10.（多选题）设m,n是两条不同的直线,a/是两个不同的平面,

给出如下命题，其中正确的是（）

A.若1_1_夕,0口夕=见力（=%〃_1_〃2,则〃_L4

B.若aJL夕，且〃3_夕,〃_1_九则m±«

C.若a_1_4勿泣出贝!Jm//a

D.若a-\-/3,m//a,则

H.如图，在斜三棱柱ABC-AiBiCi中,/BAC=90o,5C」AC,则

过点G作G”J_平面A3C,垂足为"，则H必在（）

A.直线AB上

B.直线BC±

C.直线AC上

D.ZkABC的内部

12.（多选题）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形,N

0AB=60。,侧面PAD为正三角形,且平面雨。_1_平面ABCD则

下列说法正确的是（）

A.在棱AD上存在点M使AZ）J_平面PMB

B.异面直线AD与PB所成的角为90°

C.二面角P-BC-A的大小为45°

D.8。，平面PAC

13.如图ABC。为空间四点，在△A3C中4?=24C=8C二衣,

等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面平面ABC

时,8=.

D

A

B

14.如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且

AB=BC=BD=2,ZABC=ZDBC=120°,E.F,G分别为

AC.DQAD的中点.

(1)求证:£/_1平面BCG\

(2)求三棱锥D-BCG的体积.

15.图1是由矩形ADEB,Rt/\ABC和菱形BFGC组成的一个

平面图形，其中AB=11£=5尸=2,/尸3。=60。.)将其沿AB.BC折

起使得B石与8尸重合，连接0G如图2.

⑴证明:图2中的A,C,G,。四点共面,且平面平面

BCGE;

(2)求图2中的四边形ACG。的面积.

16.如图，在三棱锥P-ABC中,平面ABCABC是直角三

角形，NABC=90\AB=BC=2,ZPAB=45\D^F分别为

ACA8IC的中点.

(1)求证:£/口_。。

(2)求直线PF与平面PBD所成的角的正弦值;

(3)求二面角E-PF-B的平面角的正切值.

C级学科素养创新练

17.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面，平面且PA

±AC,FA=AD=2,四边形ABCD满足3C〃AD,AB±

AQ<3=8C=1/为侧棱PC上的任意一点.

⑴求证:平面AFD,平面PAB.

⑵是否存在点F,使得直线AF与平面PCD垂直?若存在，写出

证明过程并求出线段PF的长;若不存在,请说明理由.

参考答案

1.A丁布，平面ABC£A,C4u平面ABC.

：.BA±PA,CA±PA,

因此N8AC即为二面甭B-必-C的平面角.

又NBAC=90°,古攵选A.

2.D在长方体ABCD-AB\CiD\中，平面A]488|J_平面ABC。且平面A|A881n平面

即又ERz平面4488i,M_LA由、・•・£：产"L平面AHC/D正确.

3.D当mc.a时，/〃_L夕,。_1_夕也可以成立，所以A选项错误;若aC\°二〃,显然〃ua,这时

mua,nup,m工n也可以成立，所以B选项错误;当/〃〃〃过，显然a邛,m1a,n〃口成立，所以

C选项错误;因为〃_1_“,”2_1_夕,所以in//n.又因为〃J_a,所以〃?_La,所以D选项正确.故选D.

4.2取AB的中点E,连城DE,CE.因为AADB是等边三角形，所以QEJ_AB.当平面ADB

平面ABC时，因为平面AO8C平面ABC=AB,£.。氏LA8,所以。七_1_平面ABC,故DEA­

CE.

由已知可得DE=6,EC=\、在RtADEC中,

yjDE2+CE2

CD==2.

5.45°

过A作AO_LBD于点O,

「平面ABO_L平面BCD.

・・・4OJ_平面BCD则ZADO即为AO与平面BCD所成的角.

•・•ZBAD=90\AB=AD,

：.4。。=45。.

6.6•・•平面网CJ_平面A8C,平面以C与平面A8C的交线为AC,N%C=90°,以u平面

B4C,

・・・%_L平面A8C,

又A8u平面A8C,・・・%_LA8,

JPA2+482=J/+22

:・PB=

7.(1)证明:0M分别为AB.VA的中点,・・・OM//VB.

又V8Q平面MOC0MU平面MOC、

・•・V8〃平面MOC.

(2)证明：AC=4C0为A8的中点,，OC_LA8.

又平面必8J_平面A8C,平面E48n平面A8C=A氏且OCu平面ABC,

・・・OC_L平面以8,又OCu平面MOC,

・•・平面”。。，平面VAB.

⑶解连接MB、VO,过M作MQ_L/W,垂足为。，图略，设/?为点B到平面MOC的距离，/?为

点M到平面BOC的距离.

11

VwBOC=VBMOC,:-3s&BocXh年S^MocXh'.

•・•平面%8_1_平面A8C*0_LA8,，VO_L平面ABC.

又△E48为等边三角形/C_L8c且AC=8C=a,。为AB中点,.・.丫。二行.

1V3

又MO_LA8,M为E4中点,，^。二3地二/尸2.

1111

*.*SdBOC^X1X1=2,SAA/OC=^X1X1=2,

・・・力'=2,即点B到平面MOC的距离为2.

8.(1)证明如图所示，连接8D,由底面ABC。是菱形且/BCO=60。知,△AC。是等边三角形.

因为E是CO的中点，所以BELCD.

又因为AB〃CD,所以BELAB.

又因为以_L平面AACDBEu平面ABCD,

所以以_L8E而PAQAB=A,

因此8E_L平面PAB.

又因为8Eu平面P8E,所以平面P8E_L平面PAB.

(2)解由(1)知,BEJ_平面阴B,PAu平面PAI3.

所以PB工BE.又因为ABLBE,

所以NP8A是二面角A-BE-P的平面角.

巴=正

在RtABAB中,tanNP8A=.，/尸84=6()。,故二面角A-BE-P的大小是60°.

9.D•・•平面以C_L平面P/?C,4C_LPC,平面以CC1平面PBC=PCACu平面PACS.ACL

平面PBC.

又BCu平面PBC,：.AC1BC..\ZACB=90°.

・•・动点C的轨迹是以A8为直径的圆，除去A和8两点.

10.AC根据平面与平面垂直的性质知A正确;B中,/刀还可能在a内或〃?〃a或m与a

斜交,B不正确;C中,时，只可能有m//a,C正确;D中川与p的住置关系可

能是m//p或mu°或〃？与夕相交,D不正确.故选AC.

11.A因为BC\LACABLAC.BC\QAB=B,

所以AC_L平面ABCx.

因为ACu平面A8C,所以平面4BC_L平面ABCi.

又因为平面ABCC\平面ABCi=AB,

所以过点Cl再作G，_L平面A8C,则HRAB,

即”在直线AB上.

12.ABC如图，对于A,取AD的中点M,连接「：侧面PAD为正三角形,

・・・PMJ_4D又底面ABCD是菱形,ND48=60°,・・・ZU8。是等边三角形，,AOJ_3”,又

平面PMB,

・・・AD_L平面PMB,故A正确；

对于B「・・AO_L平面。8根・・.4。_1_。8,即异面直线4。与PB所成的角为90。,故B正确；

对于C「・•平面P8CCI平面ABCD=BC^C//AD,

・•・BC1平面PBM,・•・BC1PB,BCLBM,

・・・NP5M是二面角P-DC-A的平面角，设二6=1,则BM-,PM=2,

PM

在RtAPBM中,tanN尸即NP8M=45°,故二面角P-BC-A的大小为45°,故C正

确；

对于D,因为8。与南不垂直，所以BD与平面%C不垂直，故D错误.

13.2取AB的中点E,连接DE,CE,

因为△AOB是等边三角形，所以DE1AB.

当平面AO8，平面ABC时，

因为平面ADBD平面ABC=AB,

所以DE工平面ABC.

可女口DF.LCF：

由已知可得DE=^,EC=\，在RtADEC中,C。=“不+^=2.

14.(1)证明•；AB=BC=BO=2,N48c=NO8C=120°,

・•・AABCW4DBC,：.AC=DC.

VG为4。的中点,・・.CG_LA。.

同理灰；_LAO.

•••CGn8G=G,CG.8Gu平面BCG.

・・・AOJ_平面BCG

又E,F分别是AC,CD的中点，

・・・£万〃4。,・・・£万_1_平面BCG.

(2)解在平面ABC内，作AO_LCB,交CB的延长线于点0.

「△ABC和△BCD所在平面互相垂直，平面A8Cn平面BCD=BC,且AOu平面ABC,

；・AOJ_平面BCD.

VG为4Q的中点,

・••点G到平面BCD的距离h是AO长度的一半.

/3

在aAOB中/O=A8sin60°=>^,/.//=2.

△BCD的面积S^CD=2BCBDs\nZDBC=2x2x2xsin120°=V^.

ILxHx在“

VD-BCG=VG-BCD=S4BCD：2

15.⑴证明由已知得ND〃BE,CG〃BE的丫入AQ〃CG,故AD,CG确定一个平面，从而

4CGQ四点共而.

由已知得A8_LBE.48_LBC故ABJ_平面BCGE.

又因为48u平面A8C,所以平面A8C_L平面BCGE.

(2)解取CG的中点M连接EM,DM.因为A8〃QE/8_L平面8CGE,所以力E_L平面BCGE,

故DE上CG.

由已知,四边形8CGE是菱形，且N£8C=60°得£M_LCG,故CG_L平面DEM.

因此DMLCG.在RtADEM中,。E=1,EM=W，故OM=2.所以四边形ACG。的面积为4.

16.(1)证明连接BD,桂丛ABC中,N8=90。.

,:AB=BC点D为AC的中点,・・・8DJ_AC

又•・・/>8_1_平面ABC/Cu平面ABCS.ACA.PB.

•・・BOnP3=8,・・・ACJ_平面PHD,

丁瓦尸分别为A8.8C的中点，

・•・EF//AC,・•・EF1.平面PBD、

•：PDu平面PBD,:.EF^PD.

(2)解连接BD交EF于点O,由⑴知EF工平面PBD,

：.ZFPO为直