高三数学一轮学案-第八章 第4节 直线与圆圆与圆的位置关系

§8.4直线与圆、圆与圆的位置关系

【课标要求】1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一

些简单的数学问题与实际问题.

1.直线与圆的位置关系（圆心到直线的距离为d,圆的半径为r）

相离相切相交

a

图形必

量方程观点A______0A______0A______0

化几何观点drdrdr

2.圆与圆的位置关系（OO],O0?的半径分别为小，心，仁IO1O2I）

3.直线被圆截得的弦长

（1）几何法：弦心距4半径，•和弦长依8|的一半构成直角三角形，弦长H8|=.

（2）代数法：设直线尸匕+,〃与圆/+产田氏+a+4。相交于点M,M代入，消去户得关于、的一元二

次方程，则.

a自主诊断

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“Y”或“x”）

(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.()

(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()

(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切.()

(4)在圆中最长的弦是直径.()

2.直线31+4)=5与圆f+y2=16的位置关系是()

A.相交旦直线经过圆心B.相切

C.相离D.相交且直线不经过圆心

3.直线2冲+1=0与圆/+丁=2交于A,B两点,则弦48的长度为()

A鲤B.迪C%D.迪

5555

4.圆G：jr+y2=4与圆C?：x2+y28,v6y+16=0的位置关系是()

A.外切B.相交C.外离D.内切

国微点提醒

1.牢记三个相关结论

(1)过圆jr+y2=P上一点P(xo，.⑹的圆的切线方程为w+冲尸土

⑵过圆(xa)2+(yrb)2=r上一点P(xo,加)的圆的切线方程为办)=产.

(3)过圆外一点M(xo,刃)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x()x+yoy=P.

注意：求该类直线的方程亦可以用“留一代一”的方式进行，即将』用.替换，尸用”，。替换，x用詈

替换，y用华替换.

2.灵活应用两圆相交时公共弦的性质

圆G：f+V+Qix+Eiy+FinO与。2：f+)耳。21+&"/72=0相交时：

(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；

(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；

(3)*+)?+。/+E)，+~+“/+)2+04+后2)叶尸2)=0(2W1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).

题型一直线与圆的位置关系

命题息1位置关系的判断

例1(多选)己知圆C：(x2)2+y2=]6,直线/：〃7K+y3"71=O,贝!下列结论中正确的是()

A.直线/恒过定点(3,1)

B.直线/与圆C相切

C.直线/与圆C相交

D.直线/与圆C相离

思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方法

⑴几何法：利用d与〃的关系判断.

(2)代数法：联立方程之后利用/判断.

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.

命题点2弦长问题

例2已知直线/：产履+3与圆C：(#)2+()1尸=4交于A,B两点，若|4昨2百，则攵等于()

A.-B.-C.-D.D-

4422

思维升华弦长的两种求法

(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长.

(2)几何法：若弦心距为d,圆的半径K为广，则弦K/-2〃2一卢.

命题点3切线问题

例3(多选)过点4(4,3)作圆(⑼2+()，1尸=1的切线，所得切线方程为()

A.x=4B.15x+8)，36=0

C.y=3D.8xl5y3=0

思维升华当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法

(1)几何法：设切线方程为》0=«口0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,

进而求出々.

(2)代数法：设切线方程为》0=攵(必))，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判

别式1=0进而求得k

注意验证斜率不存在的情况.

命题点4直线与圆位置关系中的最值问题

例4已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,P8是圆C：/+,22犬2)，+1=()的两条切线，A,B是切点,

则四边形24cB面积的最小值为.

思维升华涉及与圆的切线有关的线段长度范围（最值）问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆

心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果.

跟踪训练1（1）（多选）已知圆C：（幻）2+（），2）2=25,直线/：（2〃汁1）4+。〃+1）/7/〃4=0.则下列命题正确的有

（）

A.直线/恒过定点（3,1）

B.y轴被圆C截得的弦长为2n

C.直线/与圆C恒相交

D.直线/被圆C截得弦长最短时，直线/的方程为2ry5=0

⑵（多选）（2024•南京模拟）已知点尸在圆O：f+），2=4上，直线/：4"3），12=0分另IJ与x轴、y轴交于A,B

两点，则（）

A.过点〃作圆O的切线，则点8到切点的距离为2国

B.满足囱.而=0的点P仅有1个

C.点P到直线/距离的最大值为彳

D.|遍+而|的最小值是I

题型二圆与圆的位置关系

例5（多选）已知圆G：（xl）2+（）2z）2=9,圆G：x2+y2Sx+2ay+a2+12=0,a£R.则下列选项正确的是

（）

A.直线CC2恒过定点（3,0）

B.当圆Ci和圆C2外切时，若尸，。分别是圆G，C2上的动点，贝U|FQ|max=10

C.若圆G和圆C2共有2条公切线，则

«3

D.当时，圆G与圆C2相交弦的弦长为呼

思维升华（1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一

般不采用代数法.

（2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,V项得到.

跟踪训练2（多选）（2024.长沙模拟）若圆。1：/+）12丫3=0与圆。2：/十丁⑵氏。交于4,区两点，则下

列选项中正确的是（）

A.点（1,1）在圆。2内

B.直线AB的方程为x+yl=0

C.圆5上的点到直线AB的距离的最大值为2+V2

D.圆。2上存在两点P,Q,使得|PQ|>|AB|

答案精析

落实主干知识

!.<=>>=<

2.d>ri+r2d=r\+n\r\r^<d<r\+n4=|小川d<\r\r^\

2222

3.(1)2Vr-d(2)V1+k-yj(xM4-xN)-4xMxN

自主诊断

I.⑴X(2)X(3)4(4)4

2.D3,B4.A

探究核心题型

例1ACI圆C：(.r2)2+y2=]6的圆心C(2,0),半径r=4,直线/：川(大3)+)，1=0恒过定点(3,1),显然

7(3-2)2+12=V2<4=r,因此点(3,1)在圆C内，直线/与圆。相交，B,D错误，A,C正确.]

例2A[圆C：(xl)2+(yD2=4的圆心c(1,1),尸2,

所以圆心C(1,1)到直线/:产去+3的距离心揣，

而4J?2-(第J=V4-3=1,

所以上黑人，解得

例3AB[由圆心为(3,1),半径为1,当过点4(4,3)的切线斜率存在时，设切线方程为尸〃(")3,

则圆心到切线的距离4=牛等=1,

V1+/C2

可得中,

O

所以尸骨网)3,

8

即15"8y36=0;

当切线斜率不存在时，切线方程为下4,显然与圆相切，

综上，切线方程为15x+8)，36=0或尸4］

例42V2

解析圆C：_?+92⑵，+1=0,

即圆C：(xl)2+(vl)2=l,

所以圆心C(1,1),半径-1,

如图，连接PC,

因为S四边形力c产2S“AL2X3><|AP|MC|=|AP|二J|PC|2-1,

所以求S四边形格8的最小值就是求IPC1的最小值，而|PC|的最小值就是圆心C到直线31+4)，+8=0的距离d,

即仁苧要3,

V32+42

所以四边形PACB面积的最小值为我=I=2&.

跟踪训练1(l)ACD［由已知可得，圆心C(1,2),半径r=5,

直线方程可化为/：〃?(2计/7)+工+)4=(),

由可得d

所以直线/恒过定点(3,1),A正确；

将40代入圆的方程有1+()，2)2=25,解得产2±2份，

所以y轴被圆。截得的弦长为4声，B错误；

因为点(3,1)到圆心C(1,2)的距离为］(1一3尸+(2—1)2=盯<5=r,

所以点(3,1)在圆内，直线/与圆C恒相交，C正确；

当圆心C(1,2)与定点(3,1)的连线恰好与/垂直时，圆心到直线的距离最大，

直线1被圆。截得的弦长最短，贝I"的斜率k应满足工・：1,所以七2,

代入点斜式方程有yl=2(x3),即2,vy5=0,D正确」

(2)ACD[点A(3,0),点B(0,4),设圆。的半径为r,过点8作圆O的切线，所以点B到切点的距离为

y/\0B\2-r2=V16-4=25/3,故A正确；

由中点坐标公式得线段AB的中点为M(|,2)，由两点间距离公式得|A8|=5,则以线段AB为直径的圆M

的方程为(X—|)+()2)2二字,

因为IOM=R,

742

而河，>2=.

满足利<；所以圆M与圆。相交，所以满足同.两=0的点0有2个，故B错误；

圆心。到直线/的距离为占鼻;”，半径L2,所以点P到直线/距离的最大值为各，故C正确；

\4£+3£55

线段的中点为例(|,2),

贝IJ丽苫(可+而)，

所以|西+而|=2|丽|,

因为|PMmin=|OM管耳,

所以|互5+方|的最小值是I,故D正确.]

例5ABD[由圆G：(A-1)2+CV2«)2=9，圆C2：x2+y28x+2«}H-a2+12=0,,

可知C,(l,2a),C2(4,a),故直线CG的方程为y+a=a(x4),即y=a{x3)，则直线GC2恒过定点(3,0),A

正确；

圆G的半径n二3,又圆C2：丁+烧/2纱+/+]2=0,a£R即(x4尸+(y+a)2=4,a€R,

圆C?的半径r2=2,当圆G和圆C?外切时，|。心|二门+卞3+2=5,

|PGInux=|CiC2|+n+r2=10,B正确；

若圆G和圆。2共有2条公切线，则两圆相交，又|。心|*(1一4/