常用逻辑用语-高考数学复习之重难点题型讲义（新高考地区专用）原卷版

专题L3常用逻辑用语.重难点题型精讲

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1.命题及相关概念

定义：用语言、符号或式子表达的,可以现蛆假的

陈述句

命八W」真命题:判断为真的语句

题［假命题:判断为假的语句

形式:“若八则q\其中/>称为命题的轨,，/称为

命题的结论

2.充分条件与必要条件

命题真假“若八则/'是真命题“若八则是假命题

推出关系及由P通过推理可由条件力不能推出

符号表示得出q,记作：力三q结论q,记作：p更q

P是q的充分条件p不是q的充分条件

条件关系

q是p的必是条件q不是p的必要条件

一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.

数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.

3.充要条件

如果“若P，则/'和它的逆命题“若q,则〃”均是真命题，即既有〃=%又有q=p,记作〃.此

时P既是g的充分条件，也是g的必要条件.我们说〃是夕的充分必要条件，简称为充要条件.

如果〃是q的充要条件，那么q也是〃的充要条件，即如果〃=夕，那么〃与q互为充要条件.

4.全称量词与全称量词命题

全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给

符号X

全称量

含有全称量词的命题

词命题

“对M中任意一个7,有〃(/)成立”，可用符

形式

号简记为

5.存在量词与存在量词命题

存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的

符号表示3_

存在量

含有存在量词的命题

词命题

“存在M中的一个z,使成立“可用符

形式

号简记为TaWMWz)”

6.全称量词命题与存在量词命题的否定

(1)全称量词命题p：V.rEM,p(.r)的否定：」p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题.

⑵存在展词命题〃：BxEM,p(x)的否定：▽xCM,v(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题.

7.命题的否定与原命题的真假

一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假.

【题型1充分、必要、充要条件的判断】

【方法点拨】

⑴定义法：首先分清条件和结论，然后判断p=g、g=p和poq是否成立，最后得出结论.

⑵命题判断法：

①若p=q,则称〃是q的充分条件，4是P的必要条件.

②若p=g,则"是g的充要条件.

③若〃且则称〃是q的充分不必要条件.

④若且qnp,则称〃是q的必要不充分条件.

⑤若p/q,且q4p,则称"是q的既不充分也不必要条件.

【例I】(2022春•扬州期末)已知”£R,则“4>0”是“J>1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式1・1】（2022•普陀区二模）是“工—工〉y—工”的（）

xy

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

【变式1-2]（2022春•焦作期末）已知p：）-4x-12V0,qtlog2x<2,则〃是夕的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

U.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式1・3】（2022•浦东新区二模）“Iog2a>log28”是“a>b”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【题型2根据充分条件、必要条件求参数】

【方法点拨】

根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p,q等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，

将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式（组）进行求解.

【例2】（2022春♦雨花区校级月考）已知p：Vx-1>2»q：m-xVO,若〃是q的充分不必要条件，则〃?

为取值范围是（）

A.in<3B.m>3C.m<5D.m>5

【变式2-1]（2022春•郑州期末）若不等式|x-2|V〃成立的一个充分条件为OVxVl,则实数。的取值范

围是（）

A.（-2,+8）B.[-2,+8）C.（2,+8）D.[2,+°0）

【变式2-2]（2022春•湖北月考）已知集合人={x|〃L3cx〈"汁2）,8={小2-2x-3〈0）,若“尤A”是

“工€8”的必要不充分条件，则川的取值范围是（）

A.（1,2）B.（-1,0）C.[1,21D.[-1,01

【变式2-3]（2022・5月份模拟）已知p：■如VO”，q："/gxVO"，若〃是q的必要不充分条件，

则实数m的取值范围是（）

A.[0,+8）B.（0,+8）C.[1,+8）D.（1,+8）

【题型3全称（存在）量词命题的否定】

【方法点拨】

改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量，再对量词进行改写；

否定结论：对原命题的结论进行否定.

【例3】（2020秋•青岛期末）命题“对都有sinxWl”的否定为（）

A.对VxWR,都有sinx>lB.对VxWR,都有siiuW-1

C.BAOER,使得siruo>ID.BxoGR,使得siiuoWl

【变式3-1]（2020秋•江阴市校级期中）命题XO2>2的否定是（）

A.V.vGN,/>2*B.a.rGN,/<2工C.V.rGN,/w2rD.3xGN,.?=2X

【变式3・2】（2021秋•武江区校级期末）全称命题：V.iWR,»+5£=4的否定是（）

A.SAGR,f+5x=4B.VxGR,x2+5x:?£4

C.3AER,入2+5工=4D.以上都不正确

【变式3-3】（2021•惠州模拟）命题“存在实数工，使7+X・1V0”的否定为（）

A.对任意实数x,都有

B.不存在实数不，使f+x-120

C.对任意实数A，都有/+4-1VO

D.存在实数x,使/+x-12（）

【题型4全称（存在）量词命题的真假判断】

[【方法点拨】

判断全称量词命题真假的方法：要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学

过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可.

判断存在量词命题真假的方法：判断存在量词命题p（»”的真假性的关键是探究集合M中x的存

在性.若找到一个元素x£M,使p（x）成立，则该命题是真命题；若不存在x£M,使"（x）成立，则该命题

是假命题.

【例4】（2021春•湖北月考）下列命题中，正确的是（）

A.VAGR,2V>X2

B.3xG（0»%）,sinx+cosx=1

C.BxE（0,1）,Iog2x>x

D.VAGR,x^+x+2>0

【变式4-1]（2021秋•烟台期末）给出的四个命题，其中正确的是（）

A.2.WGR,XO2+2XO+2=OB.V.rEN,

C.若亡>1,则/>1D.若a>b,则/>庐

【变式4-2]（2021秋•巴宜区校级期末）对于两个命题：①Wr€R,-WsinxWl,②aER,sin2x+cos2x>

I,下列判断正确的是（)

A.①假②真B.①真②假C.①②都假D.①②都真

【变式4・3】（2022春•荆州校级月考）下列结论中正确的是（）

A.2j+5〃+2能被2整除是真命题

B.V/?GN*,2〃2+5〃+2不能被2整除是真命题

C.3HGN*,2仆+5〃+2不能被2整除是真命题

D.力氏N*,2层+5〃+2能被2整除是假命题

【题型5与全称（存在）量词命题有关的参数问题】

【方法点拨】

此类问题本质是恒成立问题或有解问题，求解时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化得到关于参数

的方程或不等式（组），再通过解方程或不等式（组）求出参数的值或取值范围.

[例5]（2022•齐齐哈尔二模）若命题“永同-1,3],ar-（2a-1）x+3-a<0”为假命题，则实数x

的取值范围为（）

A.[-1,4]B.[0,1]

C.[—1，0]U言，4]D.[—1,0）U6,4]

【变式5・1】（2022•青岛一模）若命题“DtWR,苏+120”为真命题，则实数。的取值范围为（）

A.。>0B.心0C.“WOD.

【变式5-2]（2021秋•安康期末）己知命题“存在疣（3,27）,使得口以工+专一〃-0”是使命题，则〃?

的取值范围是（）

A.[2,+8）B.（2,+8）C.[12,+8）D.（12,+~）

【变式5-3]（2021秋•抚州期末）若命题“对任意.诧（-oo,0）,使得7-2ai+420成立”是真命题，

则实数〃的取值范围是（）

A.[-2,+8）B.（2,+8）C.（…，-21D.（…，2]

【题型6双