高考数学模拟卷（二）含答案解析

高考•数学全真模拟卷二

(试卷满分150分，考试用时120分钟)

姓名班级考号

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选

涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求.

1.浮=()

1+1

A.3+4iB.4+3iC.3-4iD.4-3i

【答案】C

【详解】

72i=f72i)(l2i)=6-8i_=34i

1+i(I+i)(l-i)2

故选：C

2.已知集合力={%卜-1<0},^={X|X2-2X-8>0},则4c@8)=()

A.{x|-2<x<l}B.{x|-4<x<l}

C.卜|"-2}D.{x|x<-4)

【答案】A

【详解】

J={x|x-l<0}={x|x<1},

^={x|x2-2x-8>0}={x|(x-4)(x+2)>0}={x|x<-2ngx>4),

所以”={x[—2<x<4},

所以4c(”)=卜卜2c<1},

故选：A.

3.抛物线V=2pM〃>o）的焦点到直线y=x+】的距离为G，贝IJP=（)

A.1B.2C.2V2D.4

【答案】B

【详解】

抛物线的焦点坐标为（5，o）,

4一0+1

其到直线x-y+i=。的距离：d=2_____=后，

Vi+T

解得:p=2（p=-6舍去）.

故选：B

4.如图，已知圆柱的底面半径为4,高为3,48是上底面的直径，点C在下底面的圆周上,

则3/5。面积的最大值为（）

A.12B.16C.18D.20

【答案】D

【详解】

如图，过48作轴截面片的可知四边形以8股为矩形，过点C作CG_LEF,交EF于点G,过点

G作。G_LM,交48于点D,连接C。，因为。G_LM,CG工EF,DGcCG=G,所以"'，平

面CQG,因为COu面CQG,因此M_LCQ,又AB〃EF,所以/1〃_LCZ）,

由圆柱的底面半径为4,可得：48=8,所以工..=；枚8=忆。，

因为四边形神所为圆柱的轴截面，所以AFJ_底面CEF,因为CGu底面CEF,所以/FJLCG,因

为CGLEF,AF（｝EF=Ff所以CG_L平面”,尸，因为QGu平面/麻尸，所以。GJ_CG,所以

CD=ylDG2+CG2=V9+CG2<^9+42=5（CG的长小于等于半径），等号成立的条件是CG刚好为

半经，所以S△诙=48420,

故选：D.

5.若a=3"，log。/,c=log；2,则。、b。的大小关系为()

A.a>c>bB.b>a>c

C.c>a>bD.a>b>c

【答案】A

【详解】

由已知得a=3"2>3°=l,Z>=log023<log02l=0,c=log,2<log33=1,且c=2>log?1=0,

所以a>c>6,

故选A.

6.桔椽始见于《墨子•备城门》，作“颉皋〃，是一种利用杠杆原理的取水机械，如图1所示.桔

椽的结构相当于一个普通的杠杆，在其横长杆的某处（点。处）由竖木支撑或悬吊起来，横

杆的一端（点A处）用一根绳子与汲器相连，另一端（点8处）绑上一块重石头，如图2所

示，己知CC8C,OD=L\,。。=4.当要汲水时，人用力将绳子与汲器往下压，汲满后，就

让另一端的石头下降经测量，08=；m,当桶装满水时水与桶共重1507,且当水

桶恰好离开水面时横杆与套桶的绳的夹角为105。，则在没有外力的干扰下，当水桶恰好离开水

面，且杠杆处于静止状态时，石头的重力约为（）（由杠杆原理知，当杠杆处于静止状态

时有电L尸山（片等于水和桶的重力，鸟等于石头的重力）.绳子的重量忽略不计，百，1.732）

B

A.400.5N

【答案】C

【详解】

由题意，得/04。=180。-105。=75。，则/80。=//1。。=15。，

J=OC=6>i?cosl50=|cos(450-300)=1(cos450cos300+sin450sin300)

1近下,6\\V6+<2

=­X----x-----1-----X—=----------(m).

222228

由甲广附，得近土叵6=150五，解得5=60()(石-1卜439.2(N),

8

・•・当水桶恰好离开水面，且杠杆处于静止状态时，石头的重力约为439.2N,

故选：C.

7.2021年7月24日，国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外

培训负担的意见》.“双减〃政策指出，要全面压减作业总量和时长，某校在〃双减〃前学生完成

作业时长为随机变量-4的期望为4,标准差为3,在“双减〃后，该校学生完成作业的时长

”0师-0.5,"的期望为〃，标准差为3则()

A.u=1.5,5—1.5B.«=1.5,5—2

C.w=2,5=1.5D.w=2,5=2

【答案】A

【详解】

由期望和方差的性质可得〃=E〃=E(0.5J-0.5)=0.5空-0.5=0.5x4-0.5=1.5,

I19|=L5.

2=£)"=0(0国-0.5)=产=-X32=-

故选：A.

8.己知函数=若函数g(x)=/(》)-M恰有三个不同的零点，则实数4的取

值范围是()

A.(-U]B.[-1,2)C.[-1,|D.-1,|

【答案】C

【详解】

由题意得：g(x)={24a；

[x+4x+3,x<a

令-2x+3=0得：x=|；令x2+4x+3=0得：x=-3或x=-l；

即g(x)至多有3个零点；

若函数g(x)=/(x)-3x恰有三个不同的零点，则需g(x)大致图象如下图所示，

即需8(力=/(》)-3》恰有三个不同的零点,

二实数。的取值范围为(-19.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.2021年秋季，某省在高一推行新教材，为此该省教育部门组织高中教师在暑假期间进行有

关培训，培训后举行测试(满分100分).从参与培训的教师中随机抽取100名教师并统计他

们的测试分数，得到如图所示的频率分布折线图，则下列说法正确的是()

A.这100名教师的测试分数的极差是20

B.这100名教师中测试分数不低于90分的人数占总人数的30%

C.这100名教师的测试分数的中位数为87.5分

D.这100名教师的测试分数的众数是87.5分

【答案】BCD

【详解】

由题意知，这100名教师的测试分数的最高分与最低分都无法确定，A不正确；

这100名教师中测试分数不低于90分的人数占(0.03+0.03)x5xl00%=30%,B正确；设这100

名教师的测试分数的中位数为。，则902+0.04)x5+(a-85)x0.08=0.5,

解得a=87.5(分),C正确;

由题图易知这100名教师的测试分数的众数为87.5分，D正确.

故选：BCD.

10.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美〃.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组

成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.在平面直角坐标系中，如果

•个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的"优美函数〃.

则下列说法中正确的有()

A.对于一个半径为1的圆，其“优美函数〃仅有1个

B.函数/'(x)=--3x可以是某个圆的〃优美函数〃

C.若函数片flx)是〃优美函数〃，则函数片f(x)的图象一定是中心对称图形

D.函数y=2cos仔可以同时是无数个圆的〃优美函数〃

【答案】BD

【详解】

对于A,过圆心的任一直线都可以满足要求，故A错误；

对于B,函数〃x)=——3x为奇函数，关于原点对称，可以是单位圆的〃优美函数〃，故B正确；

对于C,函数片f(x)的图象是中心对称图形，函数一定是“优美函数〃，但“优美函数〃不一定是中

心对.称函数，如图，故C错误；

对于D,函数k2cos(ET]=-2sinx关于原点对称，是圆W+V,。＜%交，的"优美函数〃,

满足无数个，故D正确.

故选：BD.

11.在平面直角坐标系中，直线/的方程为广心+，〃，圆c的方程为(x7)2+(y-l)2=l，则()

A.圆。与圆M：(x-4『+(y-5『=16外切

B.若k=〃?=l,直线/与圆C相交于A,8两点，则|/出|=0

C.若〃7=0,则直线/与圆C一定相交

D.若左=〃?=-1,过直线/上的一点/>作圆C的两条切线，切点分别为E,尸，则忸斗|尸。|的最

小值衅

【答案】AB

【详解】

对于A,圆C：(XT)*+(y-l)2=1的圆心为C。」)，半径r=1,圆M：(x-4)~+(歹-5『=16的圆心

为必(4,5),半径A=4,两圆的圆心距4=历正=5=/?+/•，两圆外切，故A正确；

对于B,直线/的方程为尸X+L圆心C至IJ直线/的距离4=£14=},所以

x/i-+rv2

=2护工=2x*=6,故B正确；

对于C,因为直线/：夕=依过原点，(0-1)2+(0-1)2=2>1,原点在圆C外，所以直线/与圆C

不一定相交，故C不正确；

对于D,由题设及圆的切线性质得，

附.|PC|=2加边形叩=2x2S^PEC=2\PE\-\EC\=2\PE\=2即不二=2历陌,

直线/的方程为"产1=0,附|的最小值为圆心C到直线/的距离出=殍，则|闭忖。的最小

值为2r孚)_1=何故D不正确.综上可知，选AB.

故选：AB

12.在正方体力48cA中，M,N,〃分别为8C,CC.,的中点，则下列说法正确的

是()

A.BBJAN

B.%R//平面

C.设/。=1,且P,Q分别在线段4G与月。上，则”?的最小值为1

D,设点E在平面88CC内，且4七〃平面力MN,则4E与平面所成角的正弦值的最大值

为平

【答案】BCD

【详解】

在正方体力8C。-44GA中，以点。为原点，向量万心万万的方向分别为x,y,z轴的正方

向建立空间直角坐标系，如图，

令正方体的棱长为1,则令,0,0）,8（1,1,0）,C（OJ0）,4（1,0,1）,9（1,1,1）,G（0,1,1）,4（0,0,1）,

对于A,棱cc中点N（（）J；）,则而西=（0,0,1）,丽西=；,即丽与丽不垂直，A

不正确;

对于B,棱8c中点贝I」加7=(-(，I，。)，令平面小WN的法向量3=(x/,z),

——1

n-AM=——x+y=0

因此，_2],令y=l,得7=(2,1,2),又棱中点火(1,1，)，

n-AN=-¥+y+—z=0

则乖=(0J-g),乖i=lxl+(—g)x2=0,即而JLG,而平面4MM,

于是得4〃〃平面4WN,B正确；

对于C,因45=1,P,。分别在线段4G与8。上，则却布=(1,1,0)=(-",0),

点DO=SDB=(5,5,0)»点。G，s,。)，

于是得|9|=j(l--sf+(/-s，+121,当且仅当｛一-,即r=s=：时取J〃，

I—S2

所以当点P,Q分别为线段4G，夕。的中点时，尸。取得最小值1,c正确；

对于D,因点上在平面网GC内,设既X，1,4）,则乖=（即-U,z/l）,由选项B知平面4MN的

法向量3=(2,1,2),

因4七〃平面4WN,则祠G=2(x/l)+l+2(z/l)=0,即A万-为，又平面阴的法向量

m-(0,1,0),

令直线4E与平面BBCC所成的角为夕,则sinG=|cos(酝向|=|竺？|=

|印|/〃|

11112>/2

*34*9

“%-1>+1+(马-1)2J(Vi_1)2+1+(v)_l)2/X—H桃一X

当且仅当内=：时取〃=〃，因此，当点演去弓)时，4E与平面所成角的正弦值的最大值为

444

半，D正确.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.在“8C中，乙必C=90。，AB=2fAC=\,及"为8c的三等分点，则荏.万=,

【答案】7

【详解】

设4£=；90=；(.40-/夕)，AE=AB+BE=^AB+^AC,

__2________1__2__

同理8户=-8C,AF=AB+BF=-AB+-ACf

由〃=5得：标刀=o,

222

福方=仔刀+；刀)+

3-9-

=-2x2-2+-Jxr1=0—.

999

故答案为：y.

14.设P是抛物线必=4x上的一个动点，F是抛物线y2=4x的焦点，若8(3,2),则|P8|+|PF|

的最小值为.

【答案】4

【详解】

过点8作8Q垂直准线于点Q,交抛物线于点Pi,如图,

则|PiQ|=|P】F|.

则有|P8|+|PF|Z|Pi8|+|PiQ|=|8Q|=4,

即|P8|+|PF|的最小值为4

故答案为：4

15,若函数/(力=。‘+加(〃>0,力>0,"1,8制)是偶函数，则.

【答案】1

【详解】

由为偶函数可得/(—x)=/a),即2+£=优+N，所以(/+厅)[(")、1卜().

因为4CR，

且口>0,/>>0,4/1,bw1,所以“5=1.

故答案为：1

16.已知函数/(')=⑺""。,给出下列四个结论：

x3-6.r2+9x+l,x>0

①函数/(x)在区间(-1』)上单调递减；

②1和3是函数/*)的极值点；

③当时，函数/(x)的值域是[1,5],则-L1；

④函数g(x)=[f(x)]2-(a+1)/*)+a的零点至少有2个，至多有6个.

其中，所有正确结论的序号是.

【答案】②③④

【详解】

解：当x>0时，/(x)=/—6/+9x+l,贝1]/"(刈=3/—12x+9=3(x-l)(x—3),令/'(幻=0,,得x=l或

3,

所以当xc(O,l)时，f\x)>0,/(X)单调递增；当xe(l,3)时,f\x)<0,/⑴单调递减，当xw(3,+oo)

时，单调递增，作出函数/(.')的大致图象，如下图所示：

对于①，由图象得，/*)在(-11)上先减后增，故①错误；

对于②，由图象得，工=1是函数/⑴的极大值点，x=3是函数/⑴的极小值点，故②正确；

对于③，当x«0时，令(gj=5得x=所以若当》式出3]时，函数/⑸的值域为[1,5],贝iJ-lKaKl,

故③正确：

对于④，由g*)=[/(x)『-(a+l)/(x)+o=[/*)-lH/(x)-d，得函数g(x)的零点，等价于方程/(X)

=1和方程/(X)=Q的根的个数，即等价于片1和片0,与函数y=/(x)的图象的交点个数，

由图象得y=1与函数/(X)的图象有2个交点，

当°<1时，V=Q与函数/(x)的图象没有交点，所以函数g(x)的零点有2个；

当a=1时，片。与函数/(x)的图象有2个交点，所以函数g(x)的零点有2个；

当1<。<5时，片Q与函数/(x)的图象有4个交点，所以函数g(x)的零点有6个；

当a=5时，片。与函数/(x)的图象有3个交点，所以函数g(x)的零点有5个；

当G>5时，片。与函数/(x)的图象有2个交点，所以函数g(x)的零点有4个；

所以函数g(x)=[/(刈2-S+1)/(X)+G的零点至少有2个，至多有6个，故④正确.

故答案为：②③④.

四.解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17,已知等比数列｛%｝的公比和等差数列也｝的公差都为心等比数列SJ的首项为2,且。2,%+2,

4成等差数列，等差数列也｝的首项为L

(1)求也｝和收｝的通项公式；

(2)若数列｛勺的前〃项和为小若对任意〃wN*均有恒成立，求％的范围.

【答案】

(1)因为%,为+2,包成等差数列,所以:2(%+2)=%+%，整理得：2x(2/+2)=2q+2g)

即/-2d+q-2=0,故(夕-2乂/+1)=0,解得姓2,

所以q=2x2"T=2"，b,=l+2(m.

(2)证明：(2)由(1)得：％$—)(］，

故北=lx；+3x(；『+…+(2”-1)(；)"①，

2

；7；=1x(I)+3x(l)'+...+(2W-1).(1)-'②,

①一②得：+七尸—(2”—l)xg严，故7>3-等<3.

因此2的范围为［3,+8).

18.在48C中，内角A,8,C的对边分别为b,c,且满足2acos6=b+2c.

(1)求角A;

(2)若“8。的面积为白，。=⑨，。为边8C上一点，且NBAD=NC4D,求力。的长.

【答案】

(1)解：由正弦定理及24cosB=b+2c,2sinAcos5=sin5+2sinC,

因为4+8+(7=万，可得sinC=sin(/+〃)，

所以2sin/lcos4=sin4+2sin(/l+4),

口］得2sin/cos8=sin4+2sin力cos8+2cosAsinB,所以sin4+2cos4sinA=0,

因为8c(0,乃)，可得sin8工0,所以cos/l=-；,

又因为…<兀，所以公军.

(2)解：由三角形的面积公式，可得S△,=：Asin?=6,解得从=4,

又由余弦定理得/=b2+c2—2/>ccosZ.BAC=b2+c2+hc=2\t所以〃+C?=17,

c=1c=4

联立方程组，可得14或%,,

o=4Io=1

因为/84。=/以。，且力=t,所以

又因为S.ABC=S.BAD+SQD，可得6=1c-JDsin%"sinF,

44

解得力。

b+c5

19.在四棱锥P-48CQ中，PD_L平面/BCD,AB//DC,ABLAD,CD=AD=^AB,/P力。=45°,

E是4的中点，G在线段上，且满足CG_L8O.

(1)求证：DE〃平面PBC；

(2)在线段P4上是否存在点〃，使得G”与平面PGC所成角的正弦值是弓，若存在，求出力H

的长；若不存在，请说明理由.

【答案】

(1)证明：由题意，设功=1,因为尸Q1平面力8CQ,ABHDC,AB1AD,

如图，以。为原点，DA.DC、力P所在直线分别为工、歹、z轴建立空间直角坐标系。-孙z,

如图所示.

则8=力。=:力8=1,而/21。=45°,易知/P£M=9(T,于是PO=D4=1,

又E是尸力的中点，故。(0,0,0)、码0,0)、8(120)、40,1,0)、*0,0,1)、七暂。』],

所以前=(TT0),CP=(0-1,1),

设平面，8c的法向量为〃7=(x”,z),则即，',

、/[m-CP=0[-y+z=0

令P=l,则x=-l,z=1,可得〃z=(-1,1,1),

一(||A_______11

又DE=,：.m-DE=-\x-4-O+lx-=0,w1Z)E,

•.•。£二平面28。，，DE〃平面FBC.

(2)解：设点G坐标为("0),其中0WY2,则函=(1,-1,0),丽=(1,2,0),

p

__1/Il

由CG_L8O得雷•丽=l+2(-l)=0n/=上，:.Gl,-,0,

2\2/

^?=(-1,0,1),设而=说=(-九0/),2G[0,1],GJ=^O,-1,oj

...丽=乱+丽=G，-g,“，

设平面PGC的法向量为/；=(〃4•)，CP=(O,-I,1),CG=fl,-1,0

xZ

-_Q—b+c=O

由1.二得I双b=2,可得G=(l,2,2),

n-CG=0a——b=()

2

GHn_22-2

贝I]cos<GH,n>=

阿.«「378/l2+l

G”与平面PGC所成角的正弦值为理,22-2_xA

3商+13

整理得：20储+82-1=0,解得：或'=（舍）

1U/

所以，存在满足条件的点〃，力〃=15，°喘｝且4H=去.

20.已知椭圆。:£+£=1（0>6>0）的离心率为当且过点尸（0』）.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过定点MS0）的直线/与椭圆C相交于A、B两点,己知点N（4,£],设直线4N、8N的斜

率分别为船人2,求证:—1.

【答案】

（1）因为椭圆离心率为正，且过点P（。/）,

2

c有

e=—=—

a2

所以卜=1,解得。=2,b=l,

a2=b2+c2

所以椭圆C的方程为?+）』.

（2）证明：若/加的斜率不存在，则力1,

3百3百

此时——'

若45的斜率存在,设4%,乂），Bg,乃）,

设48的方程为y=〃（i）,

y=k(x-l)

>

X~2,得(1+4公卜2・8公工+4k2-4=0,

一+y-=\

4'

由韦达定理得中2="/，

1+4A-1+4K

33

则户二1，八。，

1J.-4234

所以必-1%-1232-(54+|)(/+/)+4(2k+3)

&+k]-I=■"

x,-4x2-4xix2-4(x)+x2)+16

36&2十12

―36r+12-'

综上…=1・

21.某俱乐部的甲、乙两名运动员入围某乒乓球个人赛的半决赛后，将分别与其他俱乐部的两

名运动员进行比赛，胜者可进入决赛.已知半决赛采用五局三胜制，即首先获胜三局的运动员

胜出假设甲、乙每局比赛获胜的概率分别为|,且每局比赛的结果相互独立.

（1）求该俱乐部提前锁定冠军的概率；（提前锁定冠军是指同一俱乐部的两名运动员均进入决

赛）；

（2）在该俱乐部提前锁定冠军的条件下，记本次半决赛所进行的局数为3求4的分布列和数

学期望.

【答案】

（1）解：记事件A表示“该俱乐部提前锁定冠军〃，事件8表示〃甲进入决赛〃，事件C表示“乙

进入决赛〃，

/］、3/［、4/［1

则P（4）=-+C；x-+C：x-=-,

32

因此该俱乐部提前锁定冠军的概率尸（m=p（3）/（c）=谪.

OI

（2）解：在该俱乐部提前锁定冠军的条件下，4的所有可能取值为6,7,8,9,10,

3;

户(4=6)=

P(X)一32

P（4）［l2j33⑴（2）（3〃64，

口,.。、1Lr1VZ1（2丫riVriV（2^^riV（2丫］H

球=8）=丽、卜2七卜*尸图七卜团+「匕卜图卜谈

P©=9）=看朴0）XC：X（3）X（-7）+*'（｛）嗡

所以J的分布列为

g678910

31511153

p

3264326432

故数学期望上⑹=6x3+7x"+8xU+9x”+10x3=8.

3264326432

22.已知函数/(x)=lnx-A""+].