高考数学 解析几何 直线的方程及位置关系 （学生版）

解析几何

直线的方程及位置关系

激活思维

1.（教材经典题改编）如图，直线312,/3的斜率分别为心，k2,k3,贝l」（）

A.k\<k2<k3B.h<k\<ki

C.k3—\D.k\<h<ki

2.（教材经典题改编）已知直线/过点（一1,2）,且与直线2工一3），+4=0垂直，

则/的方程是（）

A.3x+2y—1=0B.3x+2y+7=0

C.2x—3y+5=0D.2x—3y+8=0

3.（教材经典题改编）己知点A（a,2）（心0）到直线/：x-y+3=0的距离为1,

则。=（）

A.y[2B.2-也

C.也一1D.也+1

4.直线y=一坐x一3的一个方向向量的坐标为（）

A.（1,0）B.（1,1）

C.（1，用D.（3,一审）

5.（教材经典题改编）（多选）若直线办+2＞一6=0与4+①-1=0平

行，则。的值可能是（）

A.2B.

C.-2D.1

聚焦知识

1.直线的倾斜角

(1)定义：当直线/与X轴相交时，取X轴作为基准，X轴正向与直线

/_________之间所成的角叫做直线/的倾斜角.当直线/与X轴平行或重合时,

规定它的倾斜角为0。.

(2)范围：直线/的倾斜角的取值范围是________.

注意：倾斜角从“形”的方面直观地描述了直线对x轴正方向的倾斜程

度.每条直线都有唯一确定的倾斜角.

2.斜率公式

(1)若直线/的倾斜角aW90。，则斜率攵=.

(2)若Pl(xi,yi),P2(X2,)，2)在直线/上且加不也，则/的斜率攵=.

注意：如果且JQHK,则直线与x轴平行或重合，斜率等于0;如果

”中)“且X2=»,则直线与x轴垂直，倾斜角等于90。，斜率不存在.

3.直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式—不含直线x=xo

斜截式—不含垂直于X轴的直线

y~y\x-x\

两点式y2-y\X2~x\不含直线1=箱和直线y=yi

(xiWx2,yiWyz)

不含垂直于坐标轴和过原点的直

截距式

线

一般式—平面直角坐标系内的直线都适用

4.两条直线平行与垂直的判定

(1)平行：对于两条不重合的直线/i,b,其斜率分别为h,kz,则有/i〃/2

0,特别地，当直线八，/2的斜率都不存在时，人与/2平行.

(2)垂直:如果两条直线/],/2的斜率都存在,设为kl,fa,则/|I/2<=>

.特别地，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线

垂直.

5.三个距离公式

(1)点点距:两点尸1(X1,)，1),尸2(X2,y2)之间的距离为|P1P2|=1

(2)点线距：平面上任意一点Po(xo,yo)到直线/：Av+By+C=0的距离△=

(3)线线距：两条平行直线k4x+8)，+G=0,/2：Ar+By+C2=0之间的

距离d=.

6.常用结论

(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，

而“距离”是一个非负数.

(2)对于直线4x+8)，+G=0,A沈+82)，+。=。："两直线平行”的充要

条件是“482=45且；“两直线垂直”的充要条件是条也+

8|比=0”.

(3)直线4+母+。=0(屋+82之0)的一个方向向量为。=(—8,A).

题型突破思维拓展

▲

举题说法

目帧H直线的方程

例1(1)已知直线/的斜率为小，在)，轴上的截距为另一条直线x—2y—4

=0的斜率的倒数，则直线/的方程为()

A.y=y[3x-\~2B.y=y[3x~2

C.尸D.y=-y[3x~\~2

(2)在△4BC中，已知点A(5,-2),B(7,3),且AC边的中点用在)，轴上，

8c边的中点N在x轴上，则MN所在直线的方程为()

A.5x—2厂5=0B.2x—5厂5=0

C.5x-2y+5=0D.2x~5y+5=0

・总结根燎》

求直线方程的两种方法：（1）直接法，根据已知条件，选择适当的直线方程

形式，直接写出直线的方程.（2）待定系数法：设所求直线方程的某种形式，由

条件建立所求参数的方程（组），解这个方程（组）求出参数.

变式1（1）过点（3,—4）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是________

（2）（多选）若直线/经过点（4,-2）,且/与坐标轴围成的三角形面积为2,则

/的方程可能是（）

A.x一厂2=0B.2x+y—6=0

C.x+y—2=（）D.x+4y+4=0

目标IM两直线的位置关系

例2（多选）设a为实数，直线/i：or+2@+1=0,/2：（a—l）x—（a+1）），一

4=0,则（）

A.当。＞0时，人不经过第一象限

B./|〃/2的充要条件是

C.若/I_L/2,则。=-3或。=（）

D./2恒过点（2,2）

＜总结提燎》

当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜

率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意占了的

系数不能同时为零这一隐含条件.

变式2若三条直线/i：4x+y=3,/2：x+y=0,h：x—my=2不能围成三

角形，则实数机的取值有（）

A.2个B.3个

C.4个D.5个

目帧闺距离问题

例3(1)原点0(0,0)到动直线/：(〃z+l)x+(2m—1))，-3m=0(m£R)的距离

的最大值为.

(2)若直线，：加x—y+l=0与直线力：6x—2y—〃=0平行，且乙与乙间

的距离为雪'，贝ljm;?=.

乙

・总结提燎A

使用距离公式时应注意：(1)点P(n,泗)到直线X=4的距离4=加一小到

直线的距离d=|和一例；(2)应用两平行线间的距离公式时，要把两直线方

程中x,y的系数化为对应相等.

变式3若非零实数对(小份满足关系式|4+人+1|=|7〃一78+1|=5亚奇，

则户--------

目标固对称问题

例4(1)已知直线/：2%—3)，+1=0,点A(-l,-2),直线/关于点A对■称

的直线/'的方程为.

(2)已知点P在直线y=x+3上，点3(1,0),5(3,0),则附|+|「身的最小值为

()

A.也B.5

C.A/42D.2^13

(3)已知直线k3x—4y—4=()关于直线/2的对称直线为y轴，则人的方程

＜总结提燎A

对称问题的求解策略

(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求

解.

(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂

直和中点两个条件列方程组解题.

变式4已知点P(a,Z?)在直线x~y=O上，则4〃+/—2〃+2b+2+

[5—2)2+人的最小值为()

A.小B.®

C.2小D.2回

随堂内化

1.若直线人or+2)，=0与直线/2：x+g+l))，+4=0平行，则实数。的值

为()

2

A.-2B.1

C.,或1D.-2或1

2.(2025•马鞍山一模)设点A(2,1),3(—2,3),若直线如+)，+1=0与线

段没有公共点，则实数。的取值范围为()

A.(-8,-1)B.(-2,1)

C.(-1,2)D.(1,4-oo)

3.在x轴上求一点P,使以4(1,2),8(3,4)和尸为顶点的三角形的面积为10,

则点P的坐标为.

4.已知两点A(—4,8),3(2,4),点C在直线y=x+l上，则|AC]+|3cl的最小

值为.

配套精练

一、单项选择题

1.（2025•新余一模）已知直线/的方程为），=（—〃2+1）工+4则直线/的倾

斜角的取值范围为（）

\兀]「兀兀、

A.[0,4jB.卬2）

C.D，机修JD.[o,电住兀）

2.（2025•济南一模）若直线自：（用-2）x+3y+3=0与直线，2：2x-\-（m-\）y

+2=0平行，则，〃=（）

A.4B.-4

C.1或一4D.一1或4

3.若两条平行直线21一)，+3=0和or-3y+4=0间的距离为4则①d分

别为()

A.ci—6,d—3B.ci——6,d—

「(，苴n，一I小

C.〃=-6,d=3D.。=6,a=3

4.（2025•佛山二模）在平面直角坐标系g中，曲线C：号1+与=1的周长

为（）

A.12B.14

C.16D.20

5.己知三条直线/i：y=x+l,I2：y=-2r+4,A：，wx+y+1=0不能围成

三角形，则实数机的取值集合为（）

A.{1»—2}B.{1，12,3}

C.{—1»2,—3}D.{-I»2}

6.（人A选必一P80Tl5）若cABCD的四条边所在直线的方程分别是/i：x一

4y+5=0,b：2r+y—8=0,h：x—4y+14=0,IA：2x+y+l=0,则0ABeD的

面积为（）

A.9B.12

C.15D.18

7.若直线k2x-y+l=0与x轴交于点4直线，2：工一3)，-3=0与x轴

交于点B,直线/］与/2交于点尸，则/AP8=()

A・12B.6

5兀匹

C.72D.4

8.设直线/：x+y—1=0,一束光线从原点O出发沿射线》=丘(12())向直

线/射出，经/反射后与x轴交于点M,再次经1轴反射后与y轴交于点N.若

I欢=隼，则出的值为()

3「2

A.2B.

C.zD.2

二、多项选择题

9.已知直