人教版高中数学必修2 第十章《概率》单元必刷卷（基础卷）解析版

第十章《概率》同步单元必刷卷（基础卷）

一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要

求，选对得5分，选错得0分.

1.已知甲组共20人，乙组共30人，现按比例采用分层随机抽样的方法从这两组中共抽取5人参加升国旅仪式，

在被抽取的这5人中随机抽取2人担任旗手，则被抽取的这2人中至少有1人是甲组的概率为（）

3773

A.—B.—C.—D.-

1010205

【答案】B

【分析】根据分层抽样求出甲组和乙组抽取人数，利用列举法得到这5人中随机抽取2人担任旗手的总情况数和至

少有1人是甲组的情况数，得到概率.

【详解】根据题意，按比例采用分层随机抽样的方法从甲组中抽取5x元击=2人，记为4,B；

3（）

从乙组中抽取^=3人，记为mb,c.

20+30

在被抽取的这5人中随机抽取2人担任旗手的总情况有（AB）,（Aa）,（A〃），（Ac）,

（8,a）,（B,c）,（a,b）,（a,c）,共10种,

其中被抽取的这2人中至少有I人是甲组的情况有7种，

分别为（AB）,（4,。）,（4⑼，（A0,（5a）,（氏c）,

故所求概率为得.

故选：B

2.在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖，还有5（）张奖券，其中共有5张写有“中奖”字样，假设抽完的

奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，（1〕甲中奖而且乙也中奖的概率；（2）甲没中奖而且乙中奖的概率，（1）和（2）

的值分别等于（）

15「211「2919

AA.---；—B.----:—C.---;—D.---；—

24598245982459824598

【答案】C

【分析】根据撅意，利用相互独立事件的概率乘法公式,即可求解.

【详解】由有50张奖券，共有5张写有“中奖”字样，假设抽完的奖券不放回，甲抽完后乙再抽，

542

设事件A=”甲中奖而且乙也中奖“，则?（*二可/石=丞；

4559

设事件8=”甲没中奖而且乙中奖”，则

504998

故选：C.

3.某研究所进行新型作物种植实验，已知在第一次的试种中，种植300株植物，存活180株，由此估计，若试种

2000株该植物，则可存活（）

A.100（）株B.120（）株C.150（）株D.1800株

【答案】B

【分析】由题意求出存活率后列式求解即可.

【详解】第一次试种植物的存活率为黑=。6,

故若第一次试种2000株，则可存活2000x0.6=1200株.

故选：B

4.春季流感爆发期间，某学校通过在校门口并排设立三个红外体温检测点作为预防手段，进入学校的人员只需要

在任意一个检测点检测体温即可进入校园，假设每个人在进入学校时选择每个检测点的概率相同，现有三男三女六

位学生通过体温检测点进入学校，则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的概率为（）

22「31-65-91

243243243243

【答案】B

【分析】根据题意，分三种情况讨论，利用古典概型的概率公式求解即可.

【详解】由题知，每个人进入学校时选择每个检测点的概率都相等，

则三男三女六位学生通过体温检测点进入学校，共有3,=729种不同的结果，

若每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等，

则①每个检测点均为一男一女通过，共有A，A：=36

②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女，

共有C；C；C；C；=54种不同的结果：种不同的结果：

③六人均在同一个检测点通过，共有=3种不同的结果.

则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的概率为"誓=工.

729243

故选:B.

5.有一组样本数据为-1,3,7,8,9,II,在其中添加一个数刀构成一组新的样本数据，若/£{0,2,3,8,9,12},则

新旧样本数据的下四分位数相等的概率为（）

A.-B.gC.-D.-

3236

【答案】C

【分析】求出原始数据的卜四分位数为3,再重新求得新的一组数据的下四分位数，求出满足题意的所有”的取值,

即可求得相应概率.

【详解】易知样本数据共6个，6x25%=1.5,因此样本数据的下三分位数为第2个数，即3；

添加一个数x构成一组新的样本数据共有7个数，7x25%=1.75,因此新数据的下四分位数为笫2个数，也得为3；

所以添加的数x大于等于3即可满足题意，即x可以为3,8,9,12：

在xw{023,8,9,12}中任选一个作为x共有6种选择，

42

因此所求概率尸=：=；.

63

故选：C

6.已知甲袋里只有红球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里这三种球都有.现从这四个袋子中随机抽取一

个袋子，设事件A为“所抽袋子里有红球”，事件3为“所抽袋子里有白球“，事件。为“所抽袋子里有黑球”，则下列

说法正确的是()

A.事件A与事件8互斥B.事件A与事件8相互独立

C.事件A与事件BuC相互对立D.事件A与事件8cC相互独立

【答案】B

【分析】根据要写条件，利用互斥事件、对立事件和相互独立的定义，逐一判断选项即可.

【详解】对于A,事件A和事件8可以同时发生，即抽取丁袋，事件A与事件8不互斥，A错误；

对于B.P(A)=；,=P(AB)=；=P(A)P(B),事件A与事件“相互独立，B正确；

对于c.事件A与事件BuC可以同时发生，即抽取丁袋，事件A与事件不对立，C错误；

对于D,〃(〃)=!，〃(町=片An(8nc))=j工尸(A/(*nC),事件A与事件BCC不独立，D错误.

244

故选：B

7.下列命题中正确的是()

A.有一批产品的次品率为0.05,则从中任意取出200件产品中必有10件是次品

B.抛100次硬币，结果51次出现正面，则出现正面的概率是0.51

C.随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率

D.掷骰子100次，得点数为6的结果有20次，则出现6点的频率为0.2

【答案】D

【分析】根据频率与概率的区别，概率的定义和性质进行判断.

【详解】对于A,实验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，

并不是一个确定的值，一批产品次品率为0.05,

则从中任取200件，次品的件数在10件左右，而不一定是10件，A错误；

对于B.10()次并不是无穷多次，

只能说明这100次试验出现正面朝上的频率为故B错误；

对于C.根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，C错误；

对于D,频率估计概率，频率为出现的次数与重复试验的次数的比值，

抛掷骰子100次，得点数是6的结果有20次，则出现1点的频率是芸=0.2,D正确.

故选：D.

8.对于一个古典概型的样本空间。和事件A、B、C、D,用同表示事件A中的样本点个数.若

|Q|=60JA|=30J5|=10JC|=20,|D|=30,|AuB|=40,|AnC|=10,|AKJD|=60,则（）

A.A与8不互斥B.A与。不对立C.C与。互斥D.A与C相互独立

【答案】D

【分析】根据互斥、对立、相互独立事件的概率公式进行判断.

【详解】由题意可得：尸⑷二，0（8）=，P（C）=［，P（Q）=（，P（Aufi）=|,P（AcC）=!，P（AuZ?）=l.

263236

因为P（AU8）=P（A）+P（B）,所以A与B互斥,故A错误；

因为P（Au0="（A）十P（Z））=1,所以A与£＞对立，故B错误；

因为A与O对立，所以|Ccq=|Cc4|=|qTAcq=20—10=101（05））=9。，所以。与Q不互斥，故C错

误；

因为P（AcC）=P（A）.P（C）,所以A与C相互独立，故D正确.

故选：D

二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某家商场举行抽奖活动，小聪、小明两人共同前去抽奖，设事件A=”两人都中奖”：8=“两人都没中奖”；。="恰

有一人中奖”；。=“至少一人没中奖”.下列关系正确的是（）

A.B\JC=DB.AcC/0

C.CqDD.BRD=B

【答案】ACD

【分析】根据四个事件，再结合交事件和并事件的定义和事件的包含关系逐一判断即可.

【详解】对于A,事件BuC为“至多一人中奖”，即“至少一人没中奖”，

所以8UC=。，故A正确；

对于B.事件AflC表示两人都中奖且恰有一人中奖，没有这样的事件，

所以AcC=0,故B错误；

对于C.至少一人没中奖包括恰有一人中奖和两人都没中奖两种情况，

所以C=。，故C正确；

对于D,由C选项可知8=。，所以80。=8,故D正确.

故选：ACD.

10.已知甲罐中有五个相同的小球，标号为1,2,3,4,5,乙罐中有四个相同的小球，标号为1，4,5,6,现从

甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A=”抽取的两个小球赤号之和大于6”，事件8=”抽取的两个小球标

号之积小于6”，则（）

A.事件A与事件8是互斥事件B.事件A与事件A不是对立事件

］Q

C.事件AU笈发生的概率为茄D.事件A与事件A是相互独立事件

【答案】ABC

【分析】由两球编号写出事件A3所含有的基本事件，同时得出所有的基本事件，然后根据互斥事件、对立事件的

定义判断AB,求出4U8的概率判断C,由公式Q(A4)=P(A)P(4)判断D.

【详解】甲罐中小球编号在前，乙罐中小球编号在后，表示一个基本事件，

事件A含有的基本事件有：1625,26,34,35,36,44,45,46,54,55,56,共12个，事件“含有的基本事件有：

11,14,15,21,31,41,51,共7个,两者不可能同时发生,它们互斥，A正确;

基本事件15发生时，事件AB均不发生，不对立，B正确；

事件AU8中含有19个基本事件、由以上分析知共有基本事件20个，因此P(AU3)=峦，C正确；

P(A)=1^2=|3,P(B)=—7,'(A8)=0*P(A)P(8),A'不相互独立'。错.

故选：ABC.

11.高口某学校对一次高三联考物理成绩进行统计分析，随机抽取100名学生成绩得到如图所示的频率分布直方图,

其中分组的区间为［40,50),［50,60),［60,70)00,80),［80.90),［90,100］.同时计划从样本中随机抽取个体进行随访，若

从样本骑机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是()

A.学生成绩众数估计为75分

B.考生成绩的第75百分位成绩估计为80分

C.在［90.1001内随机抽取一名学生.访谈，则甲被抽取的概率为0.01

D.从［40,50)和［90,100］内各抽1名学生，［70,80)抽2名学生调研，又从他们中任取2人进行评估测试，则这

2人来自不同组的概率为0.13

【答案】AB

【分析】根据频率分布直方图估计出众数，第75口分位数可判断AB；利用频率估计概率，古典概型等知识可判断

CD.

【详解】由频率分布直方图得，成绩在［70,80)的频率最高，所以估计成绩的众数为75分，故A正确；

13^0.010x10+0.015x10+0.020x1040.030x10-0.75,所以估计第75百分位成绩为80分，故B正确;

因为成绩在190,100］内的人数为100x0.010x10=10,所以随机抽取一名学生访谈，甲被抽取的概率为0.1,故C错

误;

记从［40,50)抽取的1名学生为小从［90,100］抽取的I名学生为从从［70,80)抽取的2名学生为则从这4人中

抽取2人，所有的可能结果为

abyac,ad,be,bd,cd,共6种，

其中不同组的有"，ac,ad,be,bd,共5种，

所以这2人来自不同组的概率为■!，故D错误；

6

故选：AR.

三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.将一颗骰子连掷两次，则第一次点数小于3且第二次点数大于3的概率为

【答案】7

O

【分析】根据题意，先求得基本事件的总数为36,利用列举法得到所求事件包含的基本事件的个数，结合古典拇型

的概率计算公式，即可求解.

【详解】由题意，将一颗微子连掷两次，共有6x6=36个基本事件，

设事件A=”第一次点数小于3且第二次点数大于3的事件”，

则事件A包含：{(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6)},共有6种情况,

所以第一次点数小于3且第二次点数大于3的概率为2=三=。.

366

故答案为：7*

6

13.如图，一个电路中有4&C三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为这个电路是通路的概率是.

3

【答案】：/0.375

O

【分析•】根据给定条件，利用对立事件的概率公式及相旦独立事件的概率公式计算即得.

【详解】元件B.C都不正常的概率Pi=1,

3

则元件脱。至少有一个正常工作的概率为1-8=：,

而电路是通路，即元件A正常工作，元件及C至少有一个正常工作同时发生，

133

所以这个电路是通路的概率p=丁；=：.

248

故答案为：I

O

14.为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调

查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗？（2）在过路口时你是否闯过红灯?要求被调查者背对着调查人员抛掷

一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪

一个问，题，只需回答"是''或"不是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地作了回答.结果被调

查的1200人（学号从1至1200）中有366人回答了“是”.由此可以估计这1200人中闯过红灯的人数是.

【答案】132

【分析】在准备的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，由此可知第一个问题被问到600次，在被问到的600

人中300人学号是奇数，比300人多出来的人数就是闯过红灯的人数，可以求出该组样本的频率，最后利用样本频

率估计总体的方法即可求解.

【详解】被调查的1200人中，在准备回答的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，

所以第一个问题可能被问600次，因为被问的600人中有300人学号是奇数，而有366人回答了“是”，

所以估计有66人闯过红灯，在600人中有66人闯过红灯，频率为（）.11,

用样本频率估计总体，从而估计这120（）人中闯过红灯的人数为12（X）x0.11=132人.

故答案为：132.

四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16T7题15分，18-JL9题17分）解答应写出文字说明、证

明过程或演算步骤。

15.某控制器中有一个易损部件，现统计了30个该部件的使用寿命，结果如下（单位：小时）；

710721603615760742841591590721718750760713709

681736654722732722715726699755751709733705700

（1）估计该部件的使用寿命达到一个月及以上的概率（一个月按30天计算）；

（2）为了保证该控制器能稳定工作，将若干个同样的部件按下图连接在一起组成集成块，每一个部件是否能止常

工作互不影响.对比〃=2和〃=3时，哪个能保证集成块使用寿命达到一个月及以上的概率超过0.8?

——[^1]——

——|部件2|-----

————

——|部件〃|——

【答案】（1）y：（2）〃=3

【解析】（1）一个月30x24=720（小时），样本中满足使用寿命在720小时及以上的部件数为15个,由此能求出所求概率

的估计值；

（2）要保证集成块使用寿命达到一个月及以上，即要保证集成块中至少有一个部件的使用寿命达到一个月及以上，利用

列举法能求出〃=3时满足要求.

【详解】⑴一天24小时,一个月30x24=720（小时）,

样本中满足使用寿命在720小时及以上的部件数为15个，

所以该部件的使用寿命达到一个月及以上的概率的估计值为著=J;

JU4

（2）要保证集成块使用寿命达到一个月及以上，

即要保证集成块中至少有一个部件的使用寿命达到一个月及以上，

记A表示一个部件的使用寿命达到一个月及以上，“表示一个部件的使用寿命不能达到一个月及以上.

当〃=2时，所有可能结果有4种:A4,羽,oA,或,

满足要求的结果有3种，所以=0.75<0.8;

当〃=3时，所有口I能结果有X种：AAA,AAn,AnA,Ana,nAA,nAa,aaA,cicid,

满足要求的结果有7种，所以鸟=:>0.8;

O

综上所述=3时满足要求.

【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，难度不大.

16.甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负

者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为

⑴求甲连续打四局比赛的概率；

（2）求在前四局中甲轮空两局的概率；

（3）求第四局甲轮空的概率.

【答案】⑴:

O

【分析】（1）由题意知甲前三局都要刁.胜，计算可得甲连续打四局比赛的概率；

（2）甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，计算即可；

（3）分析可得甲第四轮空有两种情况：第I种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2

种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，计算即可.

【详解】（1）若甲连续打四局,根据比赛规则可知甲前三局都要打胜，

所以甲连续打四局比赛的概率g）3=1；

（2）在前四局中甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，

故在前四局中甲轮空两局的概率

224

（3）甲第四轮空有两种情况：

第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局中败，第四局轮空,

第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空,

第1种情况的概率；)=；；第2种情况的概率gxgx(l-

II3

由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲轮空的概率为:十：=；.

488

17.2022年9月A市新冠肺炎疫情发生后，“疫”声令下，省内各大市区纷纷闻讯而动，约500()名医务工作者积极

驰援该市，为抗疫工作注入坚实而温暧的力量，各方力量扭成一股绳，合力书写了守望相助的抗疫故事.现从各市支

援A市某地区的500名医务T.作者中随机抽取50名，将这50人的年龄按照［25,35),［35,45),［45,55］这3个区间绘制

如图所示的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，估计这50名医务工作者的平均年龄(同一组数据用该组区间的中点值代表)；

(2)现需要对居民隔离的居民进行单管核酸检测，防疫指挥部决定在［35,45).［45,55］两区间段医务工作者中按分层随

机抽样方法抽取5人.假设5人已经选定，现要从这5人中选择2人到某户进行检测，求选中的两人来自同一年龄段

的概率.

【答案】⑴37

(2)0.4

【分析】3)根据题干中平均值的定义直接计算即可；(2)根据分层抽样先确定两个区间抽取的人数，然后将抽取

的人进行编号，根据列举法列出两人来自同一年龄段的事件与所有可能的事件，根据古典概型的概率公式求解.

【详解】(1)依题意，医务工作者的平均年龄为：30x0.5+40x0.3+50x0.2=37

(2)根据直方图可得，在［35,45),［45,55］区间中的两段人数比例为3:2,

根据分层抽样，在［35,45),［45,55］中分别抽取3人和2人，

将［35,45)里抽取的人数编号为；［a,b,c］,将［45,55］里抽取的人数编号为；｛A.B］,

于是5人抽取2人所有可能的事件为：ab,ac,bc,AB,aA,aB,bA、bB,cA,cB,有10种，

抽取的2人来自同一年龄段的事件为：有4种，

4

根据古典概型的计算公式，两人来自同一年龄段的概率为五=0.4

18.多项选择题是标准化考试中常见座型，从A,B,C,。四个选项中选出所有正确的答案(四个选项中至少有

两个选项是正确的)，其评分标准为全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

(1)甲同学有一道多项选择题不会做，他随机选择至少两个选项，求他猜对本题得5分的概率；

(2)现有2道多项选择题，根据训练经验，每道题乙同学得5分的概率为得2分的概率为:；丙同学得5分的概

率为!，得2分的概率为:.乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙比丙总

n2

分刚好多得5分的概率.

【答案】⑴'

⑵々

36

【分析】(1)求出样本空间基本事件总数，由古典概型概率计算公式即可求解.

(2)由互斥加法以及独立乘法公式即可求解.

【详解•】(I)甲同学所有可能的选择答案有II种：

A3,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,ABD,ABCD,其中正确选项只有一个,

样本空间。={A3,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,ABD,ABCD},

共11个基本事件，

所以他猜对本题得3分的概率为尸.

(2)由题意得乙得0分的概率为丙得0分的概率为

乙比丙刚好多得5分的情况包含：

事件从乙得10分，丙得5分，则。+=

事件C：乙得7分，丙得2分，则P(C)=(；x；+；x+=A；

事件A乙得5分,丙得0分，则小量=[；

所以乙比丙总分刚好多得5分的概率P=P(B+C+O)=±+4+L=2.

19.某校为促进学生对消防知识及火场自救知识的学习，组织了《消防知识及火场自救知识》竞赛活动，对所有学

生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图(各区间分别为[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),

[85,95]).

布率/缈叵

0.025

0.020

0.015

0.010

---------------------------------------->

0455565758595成绩

(1)根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；(每组数据用所在区间的中点值作代表)

⑵按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在[45,55)和[85,95]内的学生中抽