初中七年级数学寒假作业分形几何文化探究教案

初中七年级数学寒假作业分形几何文化探究教案

一、教学背景

（一）教材分析

本设计依托人教版七年级数学教材体系，定位于寒假综合性实践作业。教材在七上“几何图形初步”中渗透了图形构成规律，七下“平面直角坐标系”与“实数”提供了数形结合与无限思想的数学工具，但未系统引入分形几何。分形几何作为非线性科学的核心领域，以其自相似性与迭代生成的独特审美，成为链接小学数学图形变化与初中代数建模的理想桥梁。【非常重要】【跨学科整合载体】。教材中的“数学活动”“阅读与思考”板块多次出现雪花曲线、谢尔宾斯基三角形等原型，本设计将其从碎片化素材升格为主题式项目课程，在寒假时段赋予学生完整的“数学家式”探究体验，使静态的寒假作业本转化为动态的数学文化工坊。【热点】【数学文化浸润点】。

（二）学情分析

七年级学生平均年龄12—13岁，处于皮亚杰形式运算阶段初始期，具备初步的逻辑演绎能力，但对无限过程、极限思想的接受仍需借助直观模型。学生在小学高段接触过“多边形面积”“分数乘法”，在七上学习了乘方、用字母表示数、简单方程，能够理解“重复操作”的指令含义。【重要】【认知起点】。生活经验方面，学生普遍对雪花、树形、闪电、海岸线等自然形态有视觉记忆，部分学生通过科普短视频听说过“分形”一词，但停留于名词猎奇，未能数学化。【难点】在于将“看起来相似”转译为“严格的相似变换规则”，并在迭代过程中抵抗“无限操作很荒谬”的直觉障碍。此外，学生信息技术素养差异较大，故本设计提供纸笔作图与技术作图双轨并行方案。【一般】【差异化预备】。

（三）设计理念

全面对标《义务教育数学课程标准（2022年版）》“综合与实践”领域要求，采用素养导向的项目式学习范式。核心驱动问题为：“如何运用数学语言向同龄人解释自然中‘无限精细’的结构？”以终为始，学生最终需要产出一件包含图形、数据、阐释的分形探究作品。全过程中强调数学眼光（从杂乱背景中抽象出迭代规则）、数学思维（用递归和指数模型描述变化）、数学语言（图形语言、符号语言、口头语言并用）。【非常重要】【课标核心素养】。同时植入跨学科意识：通过分形看艺术（传统纹样、现代设计）、看自然（生物形态、地理景观）、看技术（计算机模拟、3D打印），实现数学学科育人价值的增值。【热点】【跨学科主题学习】。

二、教学目标

（一）知识与技能

1.能准确识别典型分形图形（科赫雪花、谢尔宾斯基三角形、康托尔集）并口述其自相似特征。【重要】【基础识别】。

2.能按照给定的迭代规则，使用尺规或网格纸完成分形图形的前三阶作图，标注关键点。【一般】【操作技能】。

3.能填写迭代次数与图形个数、边长、面积的关系表格，并归纳出以指数形式呈现的函数关系。【非常重要】【代数建模】。

4.了解分形在自然、艺术、建筑中的简单应用，能举例说明至少两个跨学科案例。【重要】【文化拓展】。

（二）过程与方法

1.通过“观察—猜想—操作—验证”四步法，经历分形规则的发现过程，强化归纳与类比思想。【非常重要】【科学探究】。

2.在小组共绘分形图的过程中，学习分工协作与互评反馈，发展社会建构能力。【一般】【合作学习】。

3.利用GeoGebra或分形App进行参数调整，初步体验迭代算法与计算机模拟的关系。【热点】【计算思维启蒙】。

（三）情感、态度与价值观

1.体会数学对“无穷”的独特处理方式——以有限步骤逼近无限结构，形成对数学抽象力量的敬畏感。【非常重要】【数学审美】。

2.通过中国古建窗格纹样、传统织物几何纹中的分形意象，感受中华文明对规律之美的直觉把握，增强文化自信。【重要】【文化认同】。

3.认识到数学并非孤立于课本的知识集合，而是理解并创造世界的通用语言，萌发跨学科探究的内在动机。【一般】【价值内化】。

三、教学重难点

（一）教学重点

1.分形图形自相似性的辨识与迭代规则的清晰表述。【非常重要】【核心概念】。

2.用表格与指数式刻画简单分形迭代过程中几何量的变化趋势。【重要】【核心技能】。

（二）教学难点

1.理解“无限迭代”是一种思想实验，有限次迭代图形仅是真实分形的近似，但已能揭示关键性质。【难点】【思维进阶】。

2.从具体数据（3,9,27…）反推出通项公式3ⁿ，并接受指数增长远超线性直觉的现实。【难点】【符号抽象】。

四、教学方法与准备

（一）教学方法

本课程采用“5E探究式”教学模式贯穿三个课时：Engage（吸引）——用视觉奇观触发好奇；Explore（探索）——纸笔操作发现规律；Explain（解释）——师生共议建构定义；Elaborate（迁移）——跨学科案例分析；Evaluate（评价）——策展式表现性评价。【非常重要】【教学结构】。同时融入“翻转课堂”元素：寒假前发布拍摄任务，寒假中推送微课支持，开学后展示交流。【一般】【混合式学习】。

（二）教学准备

1.教师资源库：包含分形延时摄影视频（雪花生长、蕨类展开）、Mathematica渲染高清分形图集、中国传统冰裂纹与藻井纹样图、英国海岸线测量历史故事、GeoGebra分形工具包（离线版可）。【重要】【情境素材】。

2.学具包：每人一份《分形探究寒假记录手册》（A4双面打印，含坐标网格页、数据记录表、自我评价表）；每组一盒彩色铅笔（区分迭代层级用）；有条件的班级可准备3D打印康托尔尘模型或谢尔宾斯基地毯实物。【一般】【物资支持】。

3.数字环境：班级云盘设立“分形素材”文件夹；推荐手机App“Xaos”（实时缩放曼德勃罗集）、“分形实验室”（简易迭代作图），并附图文操作指南。【热点】【技术赋能】。

五、教学实施过程（核心环节，共3课时，每课时45分钟）

第一课时：惊艳一刻——看见分形（观察与定义）

[1]前置任务：捕捉身边的自相似（寒假前3天发布）

教师通过班级群发送一条30秒短视频：摄像机推近一片雪花，不断放大后出现与整体相似的分支结构。布置任务：“请你在上学的路上、家里的厨房、小区的花园里，寻找一块‘把自己缩印在里面’的自然物或人造物，拍照上传至班级相册‘我眼中的分形’。”【重要】【激活经验】。此任务不计分，仅作为课堂话题资源。截至第一课时前，班级相册平均收到照片24张，涵盖树枝、花椰菜、罗马花椰菜、窗玻璃冰花、阶梯等，为课堂提供了丰富原型。【一般】【学情前测】。

[2]导入——从困惑到问题（8分钟）

教师开门见山：“同学们在相册里上传了许多有趣的照片，有人发现罗马花椰菜每一小簇都像整棵菜的微缩版，有人质疑‘树枝分叉虽然像，但数量不对’。今天我们就要用数学回答——到底什么算‘像’，怎么描述这种无限嵌套？”随即播放科赫雪花生成动画（0级至5级），定格在第5级，图形已极其精细。教师提问：“这片雪花的周长从正三角形开始，每次增加，你猜它最终会多长？面积会无限膨胀吗？”学生脱口猜“面积很大”“周长停不下来”。教师微笑记录，并不公布答案，而是将目光引向黑板中央大写的两个词——“自相似”与“迭代”。【非常重要】【认知驱动】。

[3]概念建构——从直观到定义（12分钟）

教师展示对比组图：左屏欧氏图形（圆、正方形、长方体），右屏分形图形（科赫雪花、谢尔宾斯基地毯、曼德勃罗集局部）。小组合作任务：“左右两组图形给你最强烈的感受差别是什么？请用一个关键词概括。”巡视中教师听到“重复”“有小的在里面”“无限放大”“锯齿”等。小组轮答后，教师系统梳理：“这些图形都由一个基本形状，通过一个固定规则，一次又一次地应用在自己身上，每一次都产生更精细的结构。这种性质叫自相似性，这个过程叫迭代。分形，就是自相似与迭代共同作用的结果。”【非常重要】【概念精准落地】。板书简洁：分形=自相似+迭代生成。学生抄录在记录手册扉页。

[4]经典模型拆解——康托尔集（15分钟）

教师从历史上第一个分形入手：“1883年，德国数学家康托尔想研究一条线上有多少点，他设计了一个奇怪的去除过程。”示范：黑板画一条长27厘米线段，去掉中间9厘米（画虚线表示去除），剩下两条9厘米；再去掉每条中间3厘米……。学生在作业纸上完成同样操作至第3次。教师抽取两份典型作业投影：一份严格等分，一份估测不均。借此强调“精确的三等分”是规则核心，数学不允许模糊。【重要】【严谨性浸润】。随后思维跃升：“如果无限次做下去，线段还剩多少点？总长度多少？”学生脱口而出：“点还有无数个，但总长度变成0了！”教师顺势点出分形第二大特征——通常具有非整数维数（此处仅作为听故事，不考试）。学生惊叹于“长度为零还能有无数点”的反直觉结论，探究热情点燃。【难点】【认知震撼】。

[5]寒假项目发布与分组（10分钟）

教师下发《寒假分形探究项目手册》，封面印有“第一届班级分形艺术馆策展邀请函”。手册明确三项平行选题：

选题A：科赫雪花保卫战——探究迭代过程中周长无限增长但面积趋于定值的悖论，适合计算能力较强小组。

选题B：谢尔宾斯基金字塔——用指数工具描述空洞个数、剩余面积的变化规律，适合善于归纳数据小组。

选题C：我身边的分形密码——从自然或建筑中寻找分形实例，并尝试用数学规则局部重构，适合观察细腻、爱好美术小组。

学生自由组队，4人一组，确认选题。教师提醒：寒假中每组需完成一份A3手抄报或3分钟科普微视频，开学首周举办展评。第一课时结束，学生带着明确任务和强烈好奇步入寒假。【非常重要】【项目驱动】。

第二课时：指尖分形——作图与量化（操作与建模）

（本课时可安排在寒假第一周周末，以线上直播课或录播微课形式推送，亦可作为开学初首节数学课。）

[1]寒假中期集结——问题与痛点（7分钟）

教师通过在线会议（或教室现场）查看各小组进度。典型反馈摘录：“画科赫雪花到第4级线条太密，自己都看不清了。”“谢尔宾斯基三角形的数字太大，算到第5级已经好几万了，手算很慢。”“我们组想画冰裂纹窗格，但不知道规则是不是分形。”教师将这些问题归类为三大技术瓶颈：迭代层级可视化困难、大数运算与规律提炼脱节、自相似规则判定标准模糊。【重要】【精准释疑】。

[2]核心建模——谢尔宾斯基三角形的数学结构（20分钟）

教师决定以谢尔宾斯基三角形为统一建模案例，因其数据规律简洁且图形辨识度高。指令清晰：

n=0：画一个边长为16厘米的正三角形，涂满颜色，记面积为S，个数为1。

n=1：取三边中点连线，分成四个全等小正三角形，挖掉中心一个（留白），剩下3个涂色小正三角形。此时每个小三角形边长8厘米，面积S/4，总涂色面积3/4S。

n=2：在每个涂色小三角形中重复上述操作，得到9个涂色更小三角形，边长4厘米，面积S/16，总涂色面积9/16S。

教师要求学生放慢速度，只做到n=2，但共同填写教师投影的空白表格。表格以纯文字形式描述如下：

当迭代层数n=0，涂色三角形个数1，单个边长16cm，单个面积S，总面积S。

当n=1，个数3，边长8cm，面积S/4，总面积(3/4)S。

当n=2，个数9，边长4cm，面积S/16，总面积(9/16)S。

当n=3，个数27，边长2cm，面积S/64，总面积(27/64)S。

当n=4，个数81，边长1cm，面积S/256，总面积(81/256)S。

教师引导：“请观察个数这一列，1,3,9,27,81……可以用什么算式表示第n个？”学生齐答“3的n次方！”同理边长每次乘1/2，面积每次乘1/4。教师板书通式：个数=3ⁿ，边长=16×(1/2)ⁿ，总面积=S×(3/4)ⁿ。【非常重要】【指数模型建立】。追问：“当n无限增大，总面积会变成0吗？会变成负数吗？”学生思辨得出：无限趋近0但永远不等于0，因为(3/4)ⁿ永远正数。教师感叹：“这就是数学对无限的操作——用一个公式捕捉无穷次迭代的灵魂。”【热点】【极限思想启蒙】。

[3]悖论深化——科赫雪花的有限与无限（13分钟）

教师借助GeoGebra文件，动态展示科赫雪花前5级。要求学生以小组为单位，对初始边长为1的等边三角形，计算：

n=0时，周长3，面积√3/4≈0.433；

n=1时，周长4，面积增加一个小三角，面积≈0.577；

n=2时，周长16/3≈5.333，面积≈0.641；

教师直接给出n=3周长≈7.111，面积≈0.670；n=4周长≈9.481，面积≈0.683；n=5周长≈12.642，面积≈0.688。学生观察发现周长每次乘4/3，无限增长；面积增速急剧减缓，似乎逼近0.692附近。教师揭示：科赫雪花围住有限面积，却拥有无限周长，这是分形对欧式几何“长宽决定面积”定式的颠覆。【重要】【跨学科故事】。随即链接地理学：英国海岸线测量悖论——测量尺子越短，测得海岸线越长，因为海岸线也是近似分形。学生豁然开朗，数学与现实在分形处握手。【热点】【知识迁移】。

[4]技术赋能——让迭代飞一会儿（5分钟）

教师演示GeoGebra指令：迭代列表(类似变换，图元，次数)，并展示一键生成谢尔宾斯基地毯第6级的效果。对于有平板或电脑的家庭，教师推荐“分形实验室”App，设定初始图形与相似变换参数，几秒钟即可输出手工半小时难及的繁复图案。教师强调：技术不是取代思考，而是将我们从重复劳动中解放，去探究更高层的规律（如维数、吸引子）。【一般】【工具理性】。同时提醒无设备家庭无需焦虑，纸笔作图至n=2已足够发现核心规律，评价标准不看迭代层数多寡，而看对规则的理解深度。【重要】【教育公平】。第二课时结束。

第三课时：分形文化展——交流与升华（评价与迁移）

（开学后第一周数学课，教室布置为临时展馆）

[1]展区营造与浸润评价（10分钟）

学生提前10分钟入场，将A3手抄报张贴于四周墙壁，或利用班级多媒体轮播小组微视频。教师分发“点赞便利贴”，每生3枚，要求写下欣赏的具体理由（如：“规则清晰”“配色惊艳”“让我明白了迭代”），粘贴在对应作品边缘。教师巡场，用手机拍摄亮点，不干涉学生自由交流。教室氛围热烈，俨然数学艺术节。【非常重要】【表现性评价】。

[2]深度汇报——从作品到思维（25分钟）

采用抽签软件随机抽取5组，每组严格限时3分钟，汇报结构固定：

——我们研究的分形对象是……

——我们发现的迭代规则是……

——我们提出的一个问题/跨学科发现是……

第一组（选题A）展示科赫雪花折叠书，内页设计为周长增长折线图，提出疑问：“为什么面积极限不是整数？”教师顺势简介“极限值8/5倍原面积”，并指出这是等比数列求和结果，高中将系统学习。第二组（选题B）用巨型谢尔宾斯基地毯实物（旧床单绘制）震撼全场，他们发现“挖掉的正方形个数是8ⁿ”，教师肯定其独立推导，并板书8ⁿ与3ⁿ都是指数模型。第三组（选题C）拍摄校园梧桐叶脉，经二值化处理后发现主脉分支比例接近1/2，虽非严格自相似，但具有统计自相似特征。教师表扬其科学态度，并补充数学家曼德勃罗正是从尼罗河年水量数据中发现长期相关性，从而开创分形理论。【非常重要】【文化纵深】。第四组研究中国窗棂，他们比对故宫太和殿三交六椀菱花与伊斯兰几何纹样，发现均通过旋转和平移构成无限延伸感，但前者更强调对称。教师由此升华：不同文明都用数学追求秩序美，分形是全球数学遗产。第五组制作了“分形圣诞树”编程动画，用scratch递归调用绘制，台下自发鼓掌。【热点】【自豪感生成】。

[3]集体建构——分形与核心素养（7分钟）

教师将汇报中高频词抓取至黑板：规则、重复、指数、无限、自然、艺术。引导学生共同编织本节大概念网：

“我们用数学眼光——从杂乱照片中提取了‘自相似’；

我们用数学思维——用迭代规则和指数公式驾驭了无限；

我们用数学语言——画出了图形，写出了公式，还向同学讲清了原理。

这，就是分形送给我们的核心素养礼物。”【非常重要】【意义升华】。

[4]延展——带走一个问号（3分钟）

教师播放30秒曼德勃罗集缩放视频，无限缩放下边界永远呈现精致漩涡。旁白：“我们今天只触碰了分形花园的篱笆。为什么曼德勃罗集如此复杂却由非常简单的复数迭代z←z²+c生成？为什么人体肺脏、血管都是分形？感兴趣的同学可以借阅《大自然的分形几何》或观看纪录片《寻找隐秘的维度》。寒假虽结束，探究才刚开始。”【一般】【兴趣留白】。第三课时结束。

六、板书设计（纯文本描述）

黑板整体分为三个区域。

左侧区域标题“分形是什么”。下方书写：自相似——部分与整体形状相似；迭代——同一个规则反复使用。配以手绘简笔：一条线段经过两次康托尔去除，剩余四小段。

中间区域标题“量化分形·谢尔宾斯基三角形”。以箭头串联：层数n→个数3ⁿ→边长×(1/2)ⁿ→总面积×(3/4)ⁿ。右下标红色波浪线“指数函数思想”。

右侧区域标题“分形与我”。由中心圆“数学理解世界”发出三条辐射线，分别指向“自然（雪花/海岸线）”“艺术（窗棂/纹样）”“技术（计算机绘图）”。关键词由学生现场建议，实时填加。【非常重要】【思维可视化】。

七、寒假作业具体设计（详案）

（一）必做基础题（个人独立完成，开学第一天收缴）【重要】【学业保底】

1.概念辨析（4分）：判断下列图形是否具有严格自相似性，并说明一条理由。A.正方形网格；B.谢尔宾斯基地毯；C.一片随机剪碎的纸片；D.圆环。答案不唯一，强调逻辑自洽即可。【考查核心定义】。

2.分形作图（6分）：网格纸上绘制谢尔宾斯基地毯n=0,1,2级。初始为一个9×9大正方形，每次将每个实心小正方形九等分，挖去中心小正方形。要求用阴影表示实心部分，保留作图辅助线。【考查规则执行】。

3.规律计算（6分）：科赫雪花初始三角形边长3厘米。计算第3级雪花（n=3）的边数、边长、周长，并判断周长是否超过100厘米。提供乘方表供参考。【考查指数迁移】。

（二）选做拓展题（至少选1题，可替代一项必做，5分加分）【一般】【个性彰显】

1.数学微写作（300字）：题目三选一《我家的分形发现》《如果我是康托尔》《分形与无限》。鼓励联系个人生活或表达哲学思辨。【语言智能】。

2.分形艺术创作：运用任何平面设计软件或手绘，制作一张包含分形元素的新春/元宵电子贺卡，附100字设计说明，阐述哪里体现了迭代/自相似。【视觉空间智能】。

3.历史考据：查阅资料，简述数学家本华·曼德勃罗提出“分形”一词的背景，或介绍中国古算中与分形思想暗合的例子（如《九章算术》开立圆术中的极限过程）。【逻辑智能】。

（三）团队项目作业（开学策展，占寒假作业总分50%）【非常重要】【综合素养】

每组提交一份“分形艺术馆”参展作品，形式四选一：

——学术海报类：A3手抄报，包含图形演化序列、数据表、规律总结、生活联想。

——实物模型类：卡纸/黏土/3D打印的分形模型，附标签卡说明迭代次数与尺寸。

——数字媒体类：3