经济数学线性代数试卷及答案5套

《线性代数》试卷一一．选择题（每题3分，共30分）1.如果行列式，则行列式（）A.B.C.D.【解答】由行列式的性质可知，将中每行（或者每列）的公因子3提取出来即可得行列式，故的值为，选C.2.（）.A．1B．2C．-3D．0【解答】对于型的行列式，可直接套用公式于是直接计算可得本题答案为，故选C.3.设是阶非零矩阵，为阶单位矩阵.若，则（）.A.不可逆，不可逆B.不可逆，可逆C.可逆，可逆D.可逆，不可逆【解答】显然，，故而选C.此题亦可从特征值入手：的特征值显然均为0，故的特征值必均为，的特征值必均为，故而其均可逆.故选C.4.向量组线性相关的充要条件是（）A．存在一组数，使得成立.B．中至少有两个向量成比例C．中至少有一个向量可以被其余个向量线性表示D．中任意一个部分向量组线性相关【解答】本题考察线性相关的定义.事实上，选项A中若添加条件“常数不全为零”，则变为线性相关的定义；选项B和选项D均为充分条件而非必要条件，即由其可推得该向量组线性相关，但反之不成立.故本题选C.5.已知向量组，，的秩为2，则数=（）.A.1B.2C.3D.4【解答】显然，于是可知，故选C.6.若非齐次线性方程组有唯一解，则（）.A．或B.C.D.且【解答】对于方程数与未知量个数相等的非齐次线性方程组，其有唯一解当且仅当其系数行列式非零，故计算其系数行列式可知选D.7.设为阶实矩阵，且中某元素的代数余子式，则的基础解系中所含向量个数为（）A.B.C.D.【解答】由于代数余子式，说明有一个级子式非零，故其秩至少为，进而由于可知秩为.故而的基础解系中所含向量个数1.选A.8.设为三阶矩阵，为可逆阵,满足，则（）A.B.C.D..解事实上，由于为对角矩阵可知，的列向量组必为的三个线性无关的特征向量，且显然依次分别为三个主对角线元素的特征向量，于是，故应选B.9.矩阵与相似的充分必要条件是（）.A.；B.为任意常数；C.；D.为任意常数.【解答】易知为对角阵，故与相似当且仅当与具有相同的特征值，即当且仅当的特征值为.易求得当时，的特征矩阵满足，即此时的特征值恰为，故选B.10.设为3阶实对称矩阵，若矩阵满足则二次型经正交变换可化为标准形（）.A.B.C.D.【解答】由可知的特征值必为.和.进而可知标准形必形如.故选B.二．填空题（每题3分，共18分）1．多项式方程的根为【解答】本题并不需要将此行列式的值计算出来.事实上，易知其为4次方程，故有4个根.一方面，显然当，即时，行列式前两行对应成比例，故值为零，即为其两个根；另一方面，当，即时，行列式后两行对应成比例，故值为零，即为其另两个根.综上可知，所求多项式之根为.2．矩阵的非零特征值为.【解答】由计算可知，或者（舍去）.于是答案为.3.二次型的矩阵是_______.【解答】应当注意到并非对称矩阵，因此不是该二次型的矩阵.将该二次型的表达式展开，即可得出其矩阵为.4.设二次型的负惯性指数为1，则的取值范围是.【解答】利用配方法.，因为二次型的负惯性指数为1，所以，即，故应填.5.若二次曲面的方程经正交变换化为，则=.【解答】本题等价于将二次型经正交变换后化为，则二次型的特征值为1,4,0，二次型的矩阵，可知，得.故应填.6.设阶矩阵的各行元素之和为零，且的秩为，则线性方程组的通解为_____.【解答】一方面由的秩为，可知的基础解系中含向量个数为1，另一方面显然有，故为其非零解，进而构成基础解系，故答案为。三．解答题（1-4每题10分，第5题12分，共50分）1.设矩阵是的逆矩阵，求，其中为3阶单位阵.【解答】,故..2.讨论向量组,,的线性相关性.【解答】设矩阵,其行列式.(1)当时，,其列向量组线性相关;(2)当时，,其列向量组线性无关.3.设矩阵，，且方程组无解.(1)求的值；(2)求方程组的通解.【解答】(1)对方程组的增广矩阵做初等行变换由于方程组无解，知，从而且，解得.(2)当时，易知，此时对方程组的增广矩阵做初等行变换如下：，其对应的齐次方程组的同解方程组为其基础解系为.此时其对应的非齐次方程组的同解方程组为其一个特解为，故方程组的通解为，其中.4.设二次型的正惯性指数为1,负惯性指数为2,试确定的取值范围.【解答】二次型的矩阵为，由，得，因为二次型的正负惯性指数为1，2，所以5.设矩阵相似于矩阵，(1)求的值；(2)求可逆矩阵，使得为对角矩阵.【解答】(I)因为，所以，故，又由，得，故.(2)的特征多项式为，所以的特征值为：.当时，解方程组，得两个线性无关的特征向量当时，解方程组，得特征向量令，则.

《线性代数》试卷二一．选择题（每题3分，共30分）1.若行列式中，代数余子式，则（）A.B.C.D.【解答】由于，可解得，进而有，故选A.2.已知，均为阶方阵，则必有（）A.B.C.时，，中至少有一个为零矩阵D.以上都不对【解答】本题考察矩阵的乘法运算的性质.在，相乘可换时，选项A才成立；，故选项B是错误的；说明的列向量组均为齐次方程组的解向量，故选项C亦不成立.故选D.3.设是矩阵，是矩阵，且，其中为阶单位矩阵，则（）.A.B.C.D.【解答】显然有，于是由可知.故选A.4.向量组（）线性无关的充要条件是（）A.存在不全为零的数，使；B.所给向量组中任意两个向量都线性无关；C.所给向量组中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示；D.所给向量组中任意一个向量都不能用其余向量线性表示.【解答】本题考察线性无关的定义.选项A为线性相关的定义；选项B.选项C为必要条件；故选D.5.设向量，，下列选项中（）为的线性组合.A.1B.C.D.【解答】由的第二个分量均为零易知其线性组合亦必满足第二个分量为零，因此选B.6.当取（）时,方程组有无穷多解.A.1B.2C.3D.4【解答】思路同上题，欲使该方程组有无穷多解，系数行列式必为零.故选C.7.设为阶实矩阵，是的转置矩阵，则对于线性方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）必有（）.A.（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解B．（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解C．（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解D．（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解【解答】事实上，齐次方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）为同解方程组.证明如下：一方面，显然（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解；另一方面，设是（Ⅱ）的解，则，进而，由此可知，即亦是（Ⅰ）的解.命题得证.由此可知选A.8.设与是的两个互异特征值，与分别为其特征向量，则下列说法正确的是（）A．对任意非零常数，均为的特征向量B．存在非零常数，使得均为的特征向量C．对任意非零常数，均不是的特征向量D．存在唯一的一组非零常数，使得均为的特征向量【解答】首先易知，与线性无关.又知对于任意非零常数，若为属于特征值的特征向量，则有，同时成立，于是进而可知，与题设矛盾.故不是的特征向量.选C.9.设矩阵,则与（）.A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似【解答】易知为对称矩阵且其特征值为，故必可正交对角化为矩阵.进而与合同且相似.故选A.10.二次型经正交变换化为标准形，则（）A.B.C.Ｄ.【解答】由题意知，矩阵的特征值为，直接计算可知，故选B.二．填空题（每题3分，共18分）1．设为4阶方阵，且的行列式，则.【解答】易知，故.2.已知,若,则.【解答】按最后一行展开，得,所以.3.若非齐次方程组有解，则【解答】非齐次方程组有解当且仅当增广矩阵化为行阶梯阵时，最后一个非零行不具有“有且只有最后一个元素非零”的形式，于是直接计算可知。4.矩阵的非零特征值为.【解答】由计算可知，或者（舍去）。于是答案为。5.对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是_____【解答】对称矩阵为正定矩阵当且仅当其所有顺序主子式均大于零。具体到中，只须令其行列式值大于零即可。易知的取值范围为。6.二次型的矩阵是_____.【解答】事实上，若二次型有表达式（未知是否对称矩阵），则此时该二次型的矩阵为.因此此题答案为。三.解答题（1-4每题10分，第5题12分，共50分）1.设矩阵，为4阶单位矩阵,,求.【解答】由，得,即,等式两端同时加,得,即,从而,所以.2.已知向量是矩阵的逆矩阵的特征向量，求常数的值.【解答】设是的对应于特征向量的特征值，则,有，即由此得方程组解得.3.设均为三阶矩阵，满足，已知，求矩阵.【解答】由，得，又可逆，故.4.求齐次线性方程组的一个基础解系，并给出通解.解对系数矩阵进行初等行变换方程组的基础解系为通解.5.求一个正交变换将二次型化成标准形.【解答】二次型的矩阵为，，故的特征值为．当时,解方程，由，得基础解系.取当时，解方程，由，得基础解系取．当时，解方程，由，得基础解系取，于是正交变换为，且有．

《线性代数》试卷三一．选择题（每题3分，共30分）1.在四阶行列式的展开式中不会出现的项是（）.A.B.C.D.【解答】由于A.B选项仅相差一个符号，故答案必为A.B其中之一.注意到的行标.列标逆序数之和为奇数，故其符号为负号，因此选A.2.设.为阶对称阵且可逆，则下列矩阵中为对称阵的是（）A.B.C.D.【解答】显然由可知选项B正确.3.设以及均为阶可逆矩阵，则（）.A.B.C.D.【解答】此题只须直接计算如下：即可知本题选C.4.向量组线性无关的充分条件是（）.A．存在一组数使得成立.B．中不含零向量C．当不全为零时，总有成立D．向量组中向量两两线性无关【解答】本题考察线性无关的定义.此题中向量组无论线性相关与否，选项A均成立，故A错误；选项B与选项D均为必要条件但非充分条件；因此选C.5.若向量组为向量组的一个极大无关组，则下列说法中错误的是（）A．必可由向量组线性表示；B．必可由向量组线性表示；C．必可由向量组线性表示；D．必可由向量组线性表示.【解答】选项A.C.D均成立，选项B则未必.反例：令为无关向量组，令均为零向量即可.故选B.6.设为矩阵,齐次线性方程组仅有零解的充分条件是（）A.的列向量线性无关;B.的列向量线性相关;C.的行向量线性无关;D.的行向量线性相关.【解答】的列向量线性无关时，的秩为，此时方程组只有零解.故选A.7.设有非齐次线性方程组，下列说法正确的是（）A.导出组只有零解时，只有唯一解；B.导出组有非零解时，有无穷多解；C.若有两个互异解，则有无穷多解；D.以上都不对【解答】在有解的前提下，才可以得到：导出组只有零解当且仅当有唯一解，导出组有非零解当且仅当有无穷多解.但是去掉前提条件“有解”时，只能得到：有唯一解时只有零解，有无穷多解时有非零解.因此选项A.B均不成立.选项C是正确的，事实上，我们有如下命题：设是非齐次线性方程组的解，则非齐次线性方程组的解当且仅当.因此，若有两个互异解，则其任意满足组合系数和为1的线性组合亦必为的解，因此其必有无穷多解.故选C.8.设是阶实矩阵的特征值，且齐次线性方程组的基础解系为与，则的属于特征值的全部特征向量为（）A．与B．或C．，其中不全为零D．，其中全不为零【解答】的属于特征值的特征向量实质为方程的非零解.故选D.9.设,则的正惯性指数为（）.A.1B.2C.3D.4【解答】易知的秩为1，故正惯性指数最多为1.又知二次型为半正定二次型，故正惯性指数等于秩，即为1.故选A.10.二次型的规范形是（）A.B.C.D.【解答】直接计算知的特征值为，故标准形为，规范形必为.故选D.二．填空题（每题3分，共18分）1．已知阶可逆方阵的伴随矩阵，且已知常数，则_______【解答】由于，于是由乘法消去律（可逆矩阵满足乘法消去律）可知.2.若阶行列式中有多于个元素为0，则.【解答】因行列式中有多于个元素为0，则其有少于个元素不为零，而阶行列式的值的每一项都是不同行.不同列的个元素的乘积再加上一个正号或负号，所以每一项中至少有一个元素为0，从而行列式的每一项都为0，故.3.线性方程组有唯一解，则满足条件【解答】对于方程数与未知量个数相等的非齐次方程组，其有唯一解当且仅当系数行列式非零，于是直接计算可知且。4.已知三阶实对称矩阵满足，则二次型的负惯性指数为_____.【解答】已知的特征值必满足，即三个特征值分别为，故负惯性指数为2.5.已知互不相等，设向量组，则线性关系为【解答】考虑以为列向量的行列式，显然为范德蒙行列式，由于互不相等，故该行列式值非零，进而线性无关。6.设二次型的秩为1，中各行元素之和为3，则在正交变换下的标准形为.【解答】因为中各行元素之和为3，即，故有特征值3.又，所以的另外两个特征值为0，于是标准形为.故应填.三.解答题（1-4每题10分，第5题12分，共50分）1．计算行列式.【解答】.2.设.求.【解答】由初等行变换求逆公式，所以.3.讨论取何值时方程组有解,并求解.【解答】对方程组胡增广矩阵进行初等变换，可化为如下阶梯形：(1)当时，有唯一解；，，(2)当时，有无穷多解：，（为自由未知量）(3)当，无解.4．设向量组，，问何时它们线性相关？当线性相关时，求一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.【解答】，当，即或时它们线性相关.当时，为极大无关组，当时，为极大无关组，，故.5.已知实对称矩阵。(1)求的全部特征值和特征向量；（2）求正交矩阵，使为对角矩阵。【解答】（1）矩阵的特征方程为因此的全部特征值为。当时，的基础解系为，，因此和特征值对应的全部特征向量为（不全为零）；当时，的基础解系为因此和特征值对应的全部特征向量为（不为零）。（2）将，正交化、单位化后得，。将单位化后得，令正交矩阵，则为对角矩阵。

《线性代数》试卷四一．选择题（每题3分，共30分）1.行列式（）.A.B.C.D.【解答】此题考察范德蒙型行列式.由于范德蒙行列式的结果等于所有下标较大的减去下标较小的元素之差的连乘积，或者等于所有靠右侧（下方）元素减去靠左侧（上方）元素差的连乘积，故选B.2.设矩阵，是的伴随矩阵，则中(2,1)元是（）A. B.6C.2 D.【解答】中(2,1)元是中(1,2)元的代数余子式，故计算可知选D.3.设阶实方阵可逆,已知它的行列式，是的伴随矩阵，则().A．B．C．D．【解答】此题考察伴随矩阵的定义.事实上，由于，故.故本题选C.4.设为维向量，则下列结论正确的是（）A．若不能被向量组线性表示，则必线性无关B．若向量组线性相关，则可以被向量组线性表示C．可以被向量组的部分向量线性表示，则可以被线性表示D．可以被向量组线性表示，则可以被其任何一个部分向量组线性表示【解答】选项A的反例：取为零向量，为无关向量组即可；选项B的反例同上；选项D的反例：令，为无关向量组，且即可.故选C.5.假设为阶方阵，其秩，那么在的个行向量中().A.必有个行向量线性无关.B.任意个行向量线性无关.C.任意个行向量都构成极大线性无关组.D.任意一个行向量都可以由其他个行向量线性表出.【解答】的行秩显然亦为，故其极大无关组中必有个行向量，故选A.6.已知是非齐次线性方程组的两个不同的解,是对应的齐次线性方程组的基础解系,为任意常数,则方程组的通解是（）A.B3;C.D3【解答】方程组的通解必有形式：特解加上导出组基础解系的线性组合.选项A中缺少特解；选项C中缺少导出组基础解系；选项D中，虽然与均为导出组的解，但未知其是否线性无关，因此无法确定其是否构成基础解系.故选B.7.设是非齐次线性方程组的解，是对应的齐次方程组的解，则必有一个解是（）A. B.C. D.【解答】注意到以下事实：设是非齐次线性方程组的解，则非齐次线性方程组的解当且仅当.故此题中，必为的解.故选D.8.与相似的充分条件为（）A.与由相同的特征值B.与相似于同一个矩阵C.与由相同的特征向量D.与相似【解答】矩阵相似具有传递性，故选B.选项A.C.D均为必要性.9.下面结论中正确的有（）.=1\*GB3①若为实矩阵，且有个正的特征根，则是正定矩阵.=2\*GB3②若是阶正定矩阵，则对任意,矩阵正定.=3\*GB3③若为实对称矩阵且行列式大于零，则是正定矩阵.=4\*GB3④若是阶正定矩阵，则也是正定矩阵.A.4个B.2个C.3个D.1个【解答】结论=1\*GB3①中，未必对称，故未必正定，因此不正确；结论=2\*GB3②中，均取值为0即可得反例，因此不正确；结论=3\*GB3③中，反例如，故不正确.只有结论=4\*GB3④正确.因此选D.10.设为阶正定矩阵，下列各矩阵中不一定是正定矩阵的是A.B.C.D.【解答】易知二次型与均为正定二次型，故亦为正定二次型，为正定矩阵，故选项B成立；且同理可知，由于正定，故均正定，进而可知亦为正定矩阵；由正定，故可逆矩阵，使得，进而，故亦正定.因此选项B.C.D均成立.因此本题选A.事实上，未必为对称矩阵，因此未必正定.二．填空题（每题3分，共18分）1．设是矩阵，且，而，则.【解答】易知行列式非零，故为可逆矩阵，由于乘以可逆矩阵不改变秩，故.2.设都是四维列向量,且，则.【解答】由，得，故.3.若齐次方程组有非零解的充分必要条件是【解答】对于方程数与未知量个数相等的齐次方程组，其有非零解当且仅当系数行列式为零，于是直接计算可知或。4.已知是矩阵的特征向量，则.【解答】由于为特征向量，且，故与仅相差常数倍，其对应分量成比例，故计算知或。5.设是3阶矩阵，已知则.【解答】由可知，即可知有特征值，进而有特征值，于是。6.若实对称矩阵与矩阵合同，则二次型的规范形为_____.【解答】易知可合同对角化为矩阵，故可知与的正惯性指数均为2，秩均为3，故的规范形必具有形式。三．解答题（1-4每题10分，第5题12分，共50分）1.设，求矩阵。【解答】此题可以用初等变换法来做。计算如下：因此，.2.计算n阶行列式.【解答】将该行列式的各列均加至首列，再提取公因子，可得：3.设，，求与均正交的单位向量，并求与向量组等价的标准正交向量组.【解答】非零向量应满足方程，,设，则解得方程组的基础解系为：，于是.将其正交化，，，将单位化，，故与向量组等价的标准正交向量组为，，.4.求非齐次线性方程组的通解【解答】对增广矩阵进行初等行变换因此，原方程组等价于.分别令，得到导出组的一个基础解系.又知原方程组的一个特解是.故原方程组的通解为：，其中是任意数.5.设矩阵,问为何值时，存在逆矩阵使成对角阵？并求出和相应的对角阵【解答】矩阵的特征多项式为.所以的特征值为，由于与对角阵相似，，因为，所以，.当时，解方程组，得到基础解系为；当时，解方程组，得到基础解系为；令，则.

《线性代数》试卷五一．选择题（每题3分，共30分）1.已知多项式,则中的一次项系数是（）.A.4B.1C.D.【解答】由于，故将按照首行展开可得：，即一次项系数是的代数余子式，计算可知，故选C.2.设矩阵，，另有矩阵，则必有（）A. B. C. D.【解答】直接计算可知选C.事实上，本题考察了初等变换与矩阵乘法的关系：对矩阵进行初等行变换，等于在其左侧乘以相对应的初等矩阵.本题中，可视为由经过第一.三行的倍加变换，以及第一.二行的对换变换所得，故必等于在的左侧乘以相对应的初等矩阵.3.设为矩阵阵，为阶方阵,则（）.A.当时，必有行列式.B.当时，必有行列式.C.当时，必有行列式.D.当时，必有行列式.【解答】显然当时，由于与的秩均小于等于，故，进而由“秩越乘越小”的性质，知，此时必有行列式，故选B.4.设维列向量组与同维列向量组等价，则（）A.B．C．两向量组有相同的线性相关性D．矩阵与矩阵等价【解答】向量组等价则必秩相等.故选B.5.已知为矩阵，且，则的列向量组（）A.线性相关B.线性无关C.线性关系无法判定D.线性关系和行向量组相同【解答】的行秩与列秩显然均为5，由于的列向量组共7个向量，故必线性相关.6.设是四元非齐次线性方程组的三个解向量,且,,则线性方程组的通解为（）A.B.C.D.【解答】非齐次方程组的通解必有形式：特解加上导出组基础解系的线性组合.由可知导出组基础解系中仅含有1个向量，显然为导出组的非零解，故可作为基础解系.故选C.7.非齐次方程组中未知量个数为,方程个数为,系数矩阵的秩为,则（）A.时,方程组有解;B.时,方程组有唯一解;C.时,方程组有唯一解;D.时,有无穷解.【解答】当时，易知增广矩阵亦为行，一方面其秩不超过，另一方面其秩不小于系数矩阵的秩，故增广矩阵秩为，此时方程组有解，故选A.8.若与相似，则（）A.B.C.对于其相同的特征值，对应的特征向量必亦相同D.与均相似于同一对角阵【解答】选项A的反例：，.令，则，于是与相似，但显然.相似矩阵的行列式必相等，故选项B正确.9.二次型的秩为2,则（）.A.0B.1C.2D.3【解答】显然该二次型的矩阵秩为2，故计算可知，故选D.10.二次型为正定二次型,则的取值范围是（）.A.B.C.D.【