2026年线性规划测试题及答案

2026年线性规划测试题及答案一、单项选择题（每小题3分，共24分）1.线性规划问题的标准型中，决策变量需满足的条件是（）A.全部非负B.部分非负，部分无约束C.全部无约束D.至少一个非负2.若线性规划问题存在可行解，则其可行域一定是（）A.有界凸集B.无界凸集C.凸集D.闭区间3.对于最大化问题的单纯形法，当所有检验数σ_j≤0时，当前基可行解是（）A.无界解B.唯一最优解C.最优解（可能不唯一）D.非可行解4.已知原问题为最大化问题，其对偶问题的第i个约束为等式，则原问题的第i个变量（）A.无符号限制B.非负C.非正D.等于05.用图解法求解线性规划问题时，若目标函数的等值线与某条约束边界重合，则可能存在（）A.无可行解B.唯一最优解C.无穷多最优解D.无界解6.若线性规划问题的初始可行基为单位矩阵，则对应的初始基可行解中，基变量的取值等于（）A.目标函数系数B.约束右端项C.检验数D.松弛变量系数7.灵敏度分析中，当目标函数系数c_j的变化范围在允许区间内时，（）A.最优解不变B.最优值不变C.基变量不变D.所有检验数不变8.某线性规划问题的最优单纯形表中，松弛变量x3的检验数为-2，则其对应的对偶变量y1的取值为（）A.0B.2C.-2D.无法确定二、填空题（每空2分，共20分）1.线性规划问题的一般形式中，目标函数的类型为________或________。2.将线性规划问题化为标准型时，若某约束为“≤”型，需引入________变量；若为“≥”型，需引入________变量。3.单纯形法中，确定换入变量的依据是________，确定换出变量的依据是________。4.对偶问题的对偶是________，原问题与对偶问题的最优值________。5.若原问题有可行解但无界，则对偶问题________；若对偶问题无可行解，则原问题________。三、计算题（共40分）1.（10分）将以下线性规划问题化为标准型：minz=-2x₁+3x₂-5x₃s.t.x₁+x₂+x₃≤102x₁-3x₂+x₃≥5x₁≥0，x₂无约束，x₃≤02.（12分）用图解法求解以下线性规划问题：maxz=3x₁+4x₂s.t.x₁+2x₂≤82x₁+x₂≤10x₁≥0，x₂≥03.（18分）用单纯形法求解以下线性规划问题（要求列出初始单纯形表及至少一次迭代过程）：maxz=2x₁+5x₂s.t.x₁≤4x₂≤3x₁+2x₂≤10x₁,x₂≥0四、应用题（共16分）某工厂生产A、B两种产品，需消耗甲、乙、丙三种资源。已知生产1件A产品需要甲资源3单位、乙资源2单位、丙资源1单位；生产1件B产品需要甲资源1单位、乙资源4单位、丙资源2单位。甲、乙、丙三种资源的可用量分别为15单位、20单位、10单位。A产品的单位利润为5元，B产品的单位利润为8元。要求：（1）建立线性规划模型，求最大利润；（2）若B产品的单位利润增加到10元，判断原最优解是否变化，说明理由。答案一、单项选择题1.A（标准型要求决策变量非负，目标函数最大化，约束为等式）2.C（可行域是凸集，但可能有界或无界）3.C（所有检验数≤0时，当前解为最优解；若存在σ_j=0且非基变量，则可能有无穷多解）4.A（对偶约束为等式对应原问题变量无符号限制）5.C（等值线与约束边界重合时，边界上所有点均为最优解）6.B（初始基为单位矩阵时，基变量取值等于右端项b_i）7.C（c_j在允许区间内时，基变量不变，但最优值可能变化）8.B（松弛变量的检验数相反数为对偶变量取值，即y1=2）二、填空题1.最大化；最小化2.松弛；剩余（或人工）3.检验数最大的正（最大化问题）；θ规则（最小比值原则）4.原问题；相等（弱对偶性与强对偶性）5.无可行解；无界或无可行解三、计算题1.解：（1）目标函数转化为最大化：maxz’=2x₁-3x₂+5x₃（z’=-z）（2）x₂无约束，令x₂=x₂’-x₂''（x₂’,x₂''≥0）（3）x₃≤0，令x₃=-x₃’（x₃’≥0）（4）“≤”约束引入松弛变量x₄≥0：x₁+(x₂’-x₂'')-x₃’+x₄=10（5）“≥”约束引入剩余变量x₅≥0和人工变量x₆≥0（若用大M法）：2x₁-3(x₂’-x₂'')-x₃’-x₅+x₆=5标准型为：maxz’=2x₁-3x₂’+3x₂''+5x₃’-Mx₆（M为充分大正数）s.t.x₁+x₂’-x₂''-x₃’+x₄=102x₁-3x₂’+3x₂''-x₃’-x₅+x₆=5x₁,x₂’,x₂'',x₃’,x₄,x₅,x₆≥02.解：（1）画出可行域：由x₁+2x₂≤8（交轴点(8,0),(0,4)）、2x₁+x₂≤10（交轴点(5,0),(0,10)）及x₁,x₂≥0围成的多边形，顶点为(0,0),(0,4),(2,3),(5,0)。（2）计算各顶点目标函数值：(0,0):z=0(0,4):z=0+16=16(2,3):z=6+12=18（最大值）(5,0):z=15+0=15因此，最优解为(x₁,x₂)=(2,3)，最优值z=18。3.解：（1）引入松弛变量x₃,x₄,x₅≥0，标准型为：maxz=2x₁+5x₂+0x₃+0x₄+0x₅s.t.x₁+x₃=4x₂+x₄=3x₁+2x₂+x₅=10x₁,x₂,x₃,x₄,x₅≥0（2）初始基变量为x₃,x₄,x₅，初始单纯形表：基变量x₁x₂x₃x₄x₅bθx₃101004-x₄0101033/1=3x₅120011010/2=5σ_j250000（3）检验数σ₂=5最大，选x₂为换入变量；θ最小为3（x₄行），选x₄为换出变量。（4）迭代后新基变量为x₃,x₂,x₅，以x₄行的x₂系数1为主元素进行行变换：x₂行：x₂=3-x₄（原x₄行）x₅行：原x₅行-2×x₂行→x₁+0x₂+x₅+2x₄=10-6=4→x₁+x₅+2x₄=4x₃行不变：x₁+x₃=4新单纯形表：基变量x₁x₂x₃x₄x₅bθx₃1010044/1=4x₂010103-x₅100-2144/1=4σ_j200-5015（5）此时σ₁=2>0，选x₁为换入变量；θ最小为4（x₃行和x₅行均为4），任选x₃为换出变量。（6）以x₃行的x₁系数1为主元素进行行变换：x₁行：x₁=4-x₃（原x₃行）x₅行：原x₅行-1×x₁行→0x₁+0x₂-x₃-2x₄+x₅=4-4=0→-x₃-2x₄+x₅=0x₂行不变：x₂=3-x₄新单纯形表：基变量x₁x₂x₃x₄x₅bθx₁101004-x₂010103-x₅00-1-210-σ_j00-2-5023所有检验数σ_j≤0，当前解为最优解：x₁=4，x₂=3，x₃=0，x₄=0，x₅=0，最优值z=2×4+5×3=23。四、应用题（1）模型建立：设生产A产品x₁件，B产品x₂件，目标为最大化利润z=5x₁+8x₂。约束条件：甲资源：3x₁+x₂≤15乙资源：2x₁+4x₂≤20丙资源：x₁+2x₂≤10x₁,x₂≥0（2）求解：用图解法或单纯形法，可行域顶点为(0,0),(0,5),(2,4),(5,0)。计算各顶点利润：(0,5):z=0+40=40(2,4):z=10+32=42（最大值）(5,0):z=25+0=25因此，最优解为(x₁,x₂)=(2,4)，最大利润42元。（3）B产品利润增加到10元，目标函数变为z=5x₁+10x₂。原最优解(2,4)处，检验数需重新计算。原最优基对应的单纯形表中，非基变量的检验数为：对于松弛变量（假设用单纯形法求解），原最优解的基变量为x₁（甲资源约束）、x₂（乙资源约束）、x₃（丙资源松弛变量，x₃=10-2-8=0）。新的检验数σ_x₁=5-(3y₁+2y₂+1y₃)，σ_x₂=10-(1y₁+4y₂+2y₃)，其中y₁,y₂,y₃为对偶变量。原最优时对偶变量y₁=5/2（甲资源影子价格），y₂=3/2（乙资源影子价格），y₃=0（