三角恒等变换-2026年高考数学二轮复习

板块二三角函数与平面向量

微专题11三角恒等变换

高考定位1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基

本关系、诱导公式是解决计算问题的工具；2.三角恒等变换是利用三角恒等式（两

角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式）进行变换，“角”的变换是三角恒等

变换的核心；3.以选择、填空题的形式出现或隐含于解答题中，难度一般为中档

偏下.

【真题体验】

1.（2021•全国乙卷）cos21一cos2；；=（）

答案D

解析因为cos：；=sinL12j=sin

所以cos?71—cos25'=cos27t—sin?兀=cos12XJ=cosn=?.故选D.

1212121262

2.(2023•新高考II卷)已知。为锐角，cosa=l+5,贝Usin"=()

42

A3-5「一1+5

A.B.

88

I-5D.-1+5

44

答案D

解析由题意，cosa=l+5=1—2sin2%

5-

得犷=3-5=6-25

4

2816

又a为锐角，所以sin；＞0,

2

所以噌=7：5,故选D.

3.(2024•全国甲卷)己知cos。=3,则tanCf)

cosa-sina

A.23+1B.23-1

C.3D.l-3

2

答案B

解析根据题意有cosasina=3,

cosa3

即1-tana=

所以tana=l—所以"十］==23—1,故选B.

31—tana3

3

4.(2024•新高考II卷)已知a为第一象限角，夕为第三象限角，tana+tan^=4,tan<ztan

p=2+1,则sin(a+0=.

答案_2§2

解析由题知tan(a+/?)=gna+tan'=4=-22,

1—tanatanp1-2—1

即sin(a+£)=­22cos(a+£),

又sin2(a+/?)+cos2(a+^)=1,

77

可得sin(a+/?)=士

由2%加</<2%兀+71,keZ,

2

3兀

2nm+Tt<p<lnm+mGZ,

2'

得2（〃+，〃）兀+兀＜«+/?〈2（左+〃7）兀+2兀，

又tan（a+为＜0,所以a+£是第四象限角，

故sin（a+/?）=—2§2，

【热点突破】

热点一化简问题

I核心归纳

例1(1)(2024・宜昌联考)c：7,C：；T=()

1—2sin2250

C.1D,2

2

(2)(2024・西安模拟)c°s55°+sm25°sm30°等于()

3

C.D.l

2

答案(1)C(2)C

m40

解析Jcos70°cos20°=sin20°cos20°=2s0=1

1—2sin225°cos50°sin40。2

^cos55°+sin25°sin30°cos(250+30°)+sin25°sin30°

(z2)=

cos25°cos25°

cos25°cos30°—sin25°sin300+sin25°sin30°

cos25°

cos25°cos30°3

=cos30°=

cos25°2

规律方法三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、

互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点

2sin(兀一a)+sin2a

训练1⑴化简：〃

COS2

2

cos10°

(2)(tan100-3)-

sin50°

答案(l)4sina⑵一2

2sin(7i—a)+sin2a2sina+2sinacosa

解析(1)

cos2°Li+cosa)

22

4sina(1+cosa)…

=4sina.

1+cosa

sin10°—3cos10°cos10°—2sin50。=_2

(2)原式=

cos10°sin50°sin50°

热点二求值问题

I核心归纳

求三角函数值的一般步躲

(1)化简条件式子或待求式子；

(2)观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手;

(3)将已知条件代入所求式子，化简求值.

2。一2等于()

例2(1)(2024•衡阳模拟)已知coslVJ=贝ijsin

22

A.-B.

33

11

C.一D.

33

71

6)=；,则

(2)(2024•河南部分学校联考)若锐角a,用满足sin(a-/?)=\COS

答案(1)D(2)42±5

7r7T

2a—6j=sinL2

解析（l）sinlVJ-2

a+7c」仪+

=­cos2l6j।=1—2cos2l

=1-2义1=1

33

⑵因为0<a<；,0吟

Tt」_冗/2兀

则<a+<

V663

叫］>0

由sin(a—/?)>0,cosi

可得Ovfv；<«+<,

662

所以cos(a—£)=1—sin2(a—,)=21

i-cosr+5

小+

333

£+兀I_I_KI_|_n

所以cos'、6j=cos(a-Q_=cosl6jcos(a—fi)+sinl6jsin(a—£)

22251.42+5

乙'X,"十zX\—

33339

规律方法1.注意观察条件与所求之间关系：如函数名的差异，角之间的关系.

2.注意根据角的范围确定三角函数值的范围.

训练2（1）（2024•新高考I卷）已知cos（a+£）=加，tan«tan0=2,则cos（a一夕）=

)

A.-3〃i

D.3〃7

3）成等比数列，则sin2a=（）

（2）（2024•南通模拟）若

3

A.

4

1

C.D.-

34

答案(1)A(2)B

解析(1)由cos(«+£)=m得

cosacossinctsin

由tanatan^=2得sin°sin/?=2,②

COSGCOSB

,cosacos8=­m,

由①@得,..

sin«sin/?=—2m,

所以cos(«—^)=cosacos夕+sinccsin'=-3m,故选A.

T“十；J成等比数列,

(2)由cosa,cosl6J,cos

zs2f«-^1

付cos/l6J=cos«cosl3J,

pcos«-3.

即:11+cosl2a—sina

cosal22.

11+cos2a3.c

,—sin2a,

224

33

所以1+10$2。+%n2a=1+1cos2a—sin2a,所以sin2a=一

2444446

热点三求角问题

I核心归纳

给值求角问题的解题策略

(1)求相关角的某一个三角函数值.

(2)由求得的三角函数值求角，如果根据求得的函数值无法唯一确定角的大小，应

根据已知角的范围和已知角的三角函数值把所求角的大小作相对精确的估计，以

排除多余的解.

兀

0,2)，cos(aQ)=5,tanatan/?=,Rija4/?

例3(1)(2024九江模拟)已知a,/?c

64

7171

A.B.

,34

n2兀

C.D.

613

71兀71

(2)已知a£【4'21且4cosa—tan12"

3,贝Ua=

答案⑴A(2)：；

解析(1)因为cos(a—£)=5,tanatanp=,

64

cosacos£+sinasin£=,

6

所以sinasinP_1

cos6CC0Sp4

2

cosacosDp=,

3

解得

sinasinB=

6

所以cos(6(+/?)=cosacos夕一sinasin,=；,

0,J,所以“+夕£（0,力,

又。，pq

所以a+£=；.

sinb

r-«

(2)4cosa—tanl2.=4cosa—J2

a

“cosa4cos«sinft-cosa

=4cosa-.=

sinasina

2sin2«—cosa、

==3,

sina

所以2sin2a=3sina+cosa=2sin1VI

因为a£14'2j,

所以2周2,“5n

J,a+”〔1231

6

则2a=a+：或2a+a+：=7t,

得a=：（舍去）或

618

易错提醒求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小,

避免产生增解.

训练3(1)(2024•长春摸底)若a,"wQ'7tlH(1—cos2a)(1+sinp)=sin2acosP,

则下列结论正确的是()

A.2a+/?=：B.2«-^=3n

4

C.a+/?=7%D.a—/?=K

4

(2)(2024・重庆调研)若7c<3<冗<"3兀，且cos(a+£)=-*2,*sin2A="，则0一夕=

42105

答案(1)A⑵3：

解析(1)因为a,J,所以sinoWO.

由(1—cos2G)(1+sin£)=sin2acosfl,

可得24n2a(1+4n/?)=2sin«cosrzcosfl,

即sina(l+sin々)=cosacosp.

所以sina=cosacosG一sinasin4=cos(a+4),

P-«l

所以cos(a+夕)=cos12J,

因为4,"所以71<。+夕〈2兀，

且一兀〈兀―avO,

22

根据函数〉=85%的图象易知“+夕=；一夕+2兀,

则2a+p=5^.

(2)因为:<夕<兀，所以;<2/?<2兀.

sin2^=^>0,所以;〈2£〈兀，

所以:v僻;，

所以_；<_出_：.

因为

2

所以;<«一:<a+4<2兀.

因为:<2在〈兀，sin2々=:,

所以cos26=—.

5

7

因为cos(a+£)=-I。，

所以sin(a+0=一：；.

所以sin(a—p)=sin[(a-r/?)—2fi]

=sin(a+^)cos2夕一cos(a+4)sin2夕

—I2dlM2,

所以a-夕=3：

4

【精准强化练】

一、单选题

1.已知角。的顶点为原点O,始边与x轴非负半轴重合，终边过点(1+tan15。，1

—tan15°),则tana的值为()

A.3B.—3

33

C.-D.

33

答案D

1—lan150tan45°—tan15°…c―八门3

解析tan«===tan(45°-15°)=tan30°=

1+tan1501+tan45°•tan1503

2.(2024・烟台模拟)若8$["j=；，则sin2a=()

A55

A.-BD.

99

77

C.-D.

99

答案C

It

=一乙故选

故2j=sin2aC.

3.（2024•葫芦岛质检）已知a£Isin2a=cosl4,,则cos2a=()

1

A.OB.

2

C.3D-3

22

答案A

[0,2],所以2a£(0,兀),

解析因为。£

所以sin2a>0.

\n-a

由sin2a=cos14,化简得2sin2a=sina+cosa,

两边同时平方得2sin22a=1+sin2a,

即2sin22a—sin2a—1=0,

解得sin2a=1（负根舍去）,

Xsin22a+cos22a=1,所以cos2a=0.

故选A.

"哥+cJ7兀2T=(

a+121=l则cosl

4.（2024•宁波调研）已知cosl)

5

2323

A.-B.

2525

2424

C..D.

25,25

答案C

1

解析因为cosl』

He5'

"+12)=

1

所以cosl

5,

两边平方得

1—sinP+bJu1

25,

则就"十胃=24

25,

2a+2H2。+3.

故cosl3J=cosl算故选C.

5.(2024•毕节模拟)若。£【一2’2)，且tan®=-15,则cos：=(

)

A：B.10

44

610

C.士D.±

44

答案B

(-71可

解析因为eel2,2),且tanO=-15,

所以Mg°],

sin0..

tan0n==—15,

cos0

sin2^+cos2^=1,

解得cose=i或cose=-k舍去)，

44

又COS0=2cos2。-1=L

24

的出

解传cose=_io或-cose=一io,

2424

又e』-；°l,所以1°],

所以cos0>0,

2

所甑*以cose=_io.

24

6.sin20°(3+tan50°)=()

A.1B.2

2

C.3D.l

答案D

sin20°(sin500+3cos50°)

cos50°

2sin20°sin(50。+60")

cos50°

=2sin20°sin(90°+20°)

cos(90°-40°)

--2sin20°cos20°--sin40°--I.

sin40°-sin40°-

sin40sin80

7.计算：2-°°=(

cos400+cos60°

A.-2B.-1

22

C.2D.1

22

答案C

h%sin40°sin80°

解析因为

cos40°+cos60°

sin(60°-20°)sin(60°+20°)

cos400+1

2

3o22

2COS20l_Psin20°1

a

J-2sin220o

2

ai

cos2200-sin220°

44

2卜血0。)

■^―sin220°

41

一

—sin220°2‘

所以原式=2?

8.若cosa=；,sin(a+/?)=I；，0<<z<2,。<吟则角夕的值为（）

A；Bp兀

12

C6

答案A

解析•••0<1<兀，0<y9<^,AO<a+^<n.

2

43

cosa=,sina=

77

由S3得

sin(a+4)=]4cos(a+/?)=土;:

若cos(a+H)=；；,

则sin//=sin[(a+.)-a]=sin(a+0cosa—COS(Q+')sinj义—

与sin共＞0矛盾，故舍去;

11

若cos(a+/0=—

14,

则cos/?=cos[(a+/?)—«]=cos(a+/?)cosa+sin(a+^)sina

=-11X1+53X43=1.

1471472

又•・/』"2),

二、多选题

9.（2024•海南调研）已知"£C'

Tl

,且cos2«—cos2a=,贝ij()

5

4

A.tana=—B.sin2a=

25

33

C.cos2a=D.tan2a=—

54

答案AC

解析cos2a—cos2a=cos2a—(cos2a—sin2a)=sin2a=

所以sina=,cosa=­1—sin2a=—,

55

所以tana=sin"=-1,sin2a=2sinacosa=-tcos2a=1-2sin2a=',tan2a

cosa255

=sin2a=—4.

cos2a3

故选AC.

10.（2024•广东名校调研）若。为第一象限角，cosl"—8）=；,则（）

A.PM1D卜印兀]1

A.sinl8J=_B.cosl8J=—

33

C.sinf；〜)=-2§2D.tan(E=-22

答案BD

解析由题意得2〃兀<弓<冗+2〃兀，k£Z,

2

则2%兀一兀V。一冗v37c+2®,4WZ.

888

若角。一：是第四象限角，

O

则cos["s]>cos11=2>L

423

所以口一：是第一象限角,

O

兀

a—

且sinl

3

[5兀一a

对于A,sinl8-a=幕+；一）

La]=cos[ftj=；,故A错误;

对于B,

=-cos1J=一:故B正确;

故C错误；

对于D,tan［：—q=—ta』。一T

=一22,故D正确.

11.（2024•南京、盐城模拟）已知角9）=cos4e+cos3仇且仇,仇,仇是人。）在（0,兀）

内的三个不同零点，则（）

A；W，仇，仇｝B.Oi+优+仇二兀

C.COS0|COS02cos仇=—,D.COSO|+cos优+cos。3=1

82

答案ACD

解析对于A,B,由/（夕）=0得cos4。=—cos36=COS（TT—3。）,

・・・4夕=2日（兀一3。）,k£Z,

2左T-1

得0=兀，或0=2桁一兀，kGZ.

V6>E（0,兀），・・・夕=；或;或彳，

故A正确，B错误.

7T3兀5兀

COS夕1cos仇cos仇=cos'coscos

777

Tt4兀2兀

—coscoscos

777

c•兀兀2兀4兀

2sincoscoscos

7777

2sin兀

7

.2兀2兀4兀.4兀4兀

sincoscossincos

7=77

r.兀）•兀

2sin4sin

77

.8兀

sin,

7=」故C正确.

。.兀

8sin8

7

cos6\+cosft+cosft=cos71+cos^H-cos