2025高考数学试题分类汇编-立体几何（附解析）

2025立体几何

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.（2025•天津高考）若“为直线，夕为两个平面，则下列结论中正确的是（）

A.若m/la,nua,plim//nB.若切_La,〃z_L/?,则al/?

C.若,则a_L户D.若〃[ua,a_LQ,则/〃_!_夕

C解析：对于A,若m/fajiua,则〃?，〃可平行或异面，故A错误；

对于B,若则故B错误；

对于C,两条平行线有一条垂直于一个平面，则另一个必定垂直这个平面，

现m〃a,m上0,故。_L^,故C正确；

对千D,mua,a_L/7,则加与£可平行或相交或〃?u/?.故D错误.

故选C.

二、多选题

2.（2025・新高考I卷）在正三楂柱ABC—A4G中，。为8c中点，贝lj（）

A.AD1A.CB.8C_L平面AA。

C.CCJ/平面A4。D.AD"AB\

【醒析】在正三棱柱ABC-AJM；中.D为BC中点，

对于A，取BQ中点D,,连接AR,CD,,

因为AjDi±CDi,AtDiZ/AD.所以AQi与人。不垂直•即AQ与儿。不垂直，故人错误：

对于8.AD_LBC.AA】_LBC.ADHAA1=A,

所以BC_L平面AAQ,故3正确：

对于C,因为rg〃AA]J'C«平面AAQ,AA]U平面AAL>,所以平面AAJ）,故C正确:

对于D,因为ABCAD=A,AB〃A1外,

所以AD与AB不平行，故D错误.

故选：DC.

三、填空题

3.（2025・上海高考）如图，在正四棱柱4BCD-4冏GA中，8£）=4&,。4=9,则该正

四棱柱的体积为.

112解析：因为80=4五且四边形ABCD为正方形，故胡=4,

而。4=9,故8解+802=81,故叫=7,

故所求体积为7x16=112.

4.（2025•北京高考）某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的

多面体，其中ABCQE/7是一个平面多边形，平面AFR1平面ABC,平面。7_1_平面

ABC,ABLBC,ABIIEF'.IRSIICD,BC/IDEIIST//AF.若

AB=BC=S,AF=CD=4.RA=RF=TC=TD=-,则该多面体的体积为.

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60解析：先证明一个结论：如果平面c_L平面平面4_L平面了,平面。/3=1,则

/-L/.

证明：设ac/=a,0\\y=b,在平面/取一点。，O更a、O更b,

在平面7内过。作直线阳，使得，〃_La,作直线〃，使得〃_L6,

因为平面aJL平面7,“zu/,故〃z_La,而/ua,故〃?JL/,

同理〃而〃?।〃加,〃uy,故/_Ly.

连接BE,因为A8_L8C且A/〃BC,故A/_LAB,同理8C_LC£>,EF工ED,

而48=8C=8,AF=CZ）=4,故直角梯形43厮与直角梯形CBED全等，

故NBEF=NBED=45°,

在直角梯形中，过ZT作8TJ_即，垂足为7',

则四边形AB7F为矩形，且二切化为以“7E为直角的等腰直角三角形，

故所=口+7£=/18+87=45+人/=12,

平面R4/_L平面A3"'，平面R477〕平面=A尸，AF±AB,

A8u平面故A8_L平面砍/，

取Af的中点为M,踮的中点为U,CO的中点为V,连接RM,MaSU,UV,

则MU//RS,同理可证对1_1平面4彳射，而RWu平面RMUS,

故平面RWUSJL平面同理平面VUSJ•平面

而平面RMUSfl平面VUS=SU,故SU_L平面AB所，

故RMHSU,故四边形RMUS为平行四边形，故MU=RS=g（8+12）=10.

在平面AAHR中过3作4Z//AA,交R“于“，连接

则四边形为平行四边形，且故R"〃口,RH二口,

故四边形RQH为平行四边形，

而8"J.AB.BTA.AB,BTBH=B,BT,BHu平面BHT，

故A8JL平面BHT,故平面ARF〃平面BHT,

而AR=BH,RF=HT,AF=BT,数△ARF^ABHT，

故几何体ARb-9"为直棱柱，

而S八"=gx4xJ-4=3,故VARF-8，T=8X3=24,

因为AB//EF,故石尸_L平面/WS,

而EFu平面RS无尸，故平面4?尸_1_平面RS'E厂,

在平面4/?厂中过A作AGLR/7,垂足为G,同理可证AG_L平面RSE尸，

而5AGXRF=3,故AG=7，故％_g=4X7X5（2+4）x；=6,

4JJJ44

由对称性可得几何体的体积为2X（24+6）=60,

故答案为：60.

5.（2025・新高考H卷）一个底面半径为4cm,而为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽

略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为cm.

2.5解析•：圆柱的底面半径为4cm,高为9cm的封闭圆柱形容器，如图所示（1）,其截面

如图（2）所示.

设铁球的半径为r,且，Y4,由圆柱与球的性质知钻2=（2「）2=（8-2「）2+（9-2r）2,

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BP4r2-68r+145=(2r-5)(2r-29)=0,r<4,

/.r=2.5.

四、解答题

6.（2025•上海高考）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，A8是底面直径，且AB=2.

⑴若直线PA与圆锥底面的所成角为三，求圆锥的侧面积；

（2）已知。是母线网的中点，点C、。在底面圆周上，且弧AC的长为：，CD//AB.设

点M在线段OC上，证明：直线QM〃平面

解析：（1）由题知，/尸/$=方，即轴截面山的是等边三角形，故EA=/W=2,

底面周长为27rxi=2兀，则侧面积为：1x2x27i=2n;

（2）由题知WQ=QP,AO=O",则根据中位线性质，Q。〃PB,

又QO（Z平面尸80,P8u平面P8O,则QO〃平面P8D

由于AC=3,底面圆半径是1,则/4OC=%又则N08=g,

又OC=OD,则OCD为等边三角形,则。3=1,

丁•是且CO=OB,则四边形O4QC是平行四边形，故OC〃8O,

又OC<Z平面P3Q,BDu平面PBD,故0C//平面尸皮）.

又OCOQ=O,OC,OQu平面QOC,

根据面面平行的判定，于是平面QOC〃平面。8。，

又MwOC,则QMu平面。。。，则QM"平面P3D

7.(2025♦天津高考)正方体/WCO-AACR的棱长为4,E、尸分别为人口,。肉中点,

CG=3GC,.

⑴求证：G尸"L平面厂跖；

(2)求平面。月与平面E8G夹角的余弦值;

(3)求三棱锥FBE的体积.

解析：(1)法一、在正方形3CG与中，

由条件易知lan/G尸G=H=〈=誓=lan/B内尸，所以/”“班,

Cj?2七从

则/BFB+/48产=T=NC/G+ZBpB,

故NBFG=7t-(NCiFG+ZB/B)=三,即FGJ"卸"

在正方体中，易知。GJ•平面BCC因，且EF//D£,

所以平面BCCM，

又FGu平面BCC]B、,/.EF_LFG>

VEF\BF=F,EF.8尸u平面班?，，GFJL平面3EF；

法二、如图以。为中心建立空间直角坐标系，

则8(4,4,0),七(2,0,4),尸(2,4,4),G(0,4,3),

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所以律=(0,4,0),£6=(24,T),"G=(—2,0,—1),

设m=(a,Ac)是平面4EF的个法向量，

tn-EF=45=0

则〈>令4=2,则h=0,c=l,所以/〃=(2,0,1),

m•EB=2。+4万-4c=0

易知FG=-m，则/G也是平面4所的一个法向量，平面6所；

(2)同上法二建立的空间直角坐标系，

所以EG=(-2,4,T),HG=(Y,0,3),

由(1)知尸G是平面座F的一个法向量，

n-EG=-2x+4v-z=0

设平面8石G的一个法向量为〃=(x,y,z),所以，

n-BG=-4x+3z=0

令工一6,则z=&y=5,即〃=(6,5,8),

设平面班厂与平面8EG的夹角为。，

则必。=松他,")|=扁=谒房/

(3)由(1)知£F_L平面8CG4，FBu平面BCC禺，,EF1FB，

易知S防卜=3所.8尸=；乂4><142+22=4卮

\DEFG\X

又力E=(2,0,4),则。到平面BEF的距离为4=,

“G6，

V

1184石半

由棱锥的体积公式知:VDBEF=马八5诋=丁香X

Zk

D\______________C)

________E/

彳"

8.(2025•北京高考)如图，在四棱锥中，“DC与484c均为等腰直角三角

形，ZADC=90°,/6AC=90°,七为8C的中点.

(1)若F,G分别为尸D,产E的中点,求证：尸G//平面办6：

⑵若小，平面A3CD,PA=AC,求直线43与平面PCQ所成角的正弦值.

解：(1)取出的中点N,PB的中点M,连接FN、MN,

.ACO与V/WC为等腰直角三角形且/4。。=90。，ABAC=900,

不妨设AO=C0=2,.•.人C=AB=2&.「.BC=4.

E、尸分别为5C、尸。的中点，

:.FN=-AD=KGM=-BE=\豆FN/1AD,GM/1BC.

22t

QZDAC=45°,ZACB=45°,..AD//BC,

.•./W〃GM,••・四边形FGMN为平行四边形，

:.FG//MN,

/Ga平面以从仞7匚平面必从.・.歹6〃平面以8；

(2)PA_L平面A〃C。，.•.以A为原点，AC、AB、A户所在直线分别为x、y、z轴建立如

图所示的空间直角坐标系，

设4O=CO=2,则4（0,0,（））,网0,2夜,0）,。（20,0,0｝。（右,一虚,0）,40。2&b

AB=（0,2x/2,0）,DC=（虚,72,0）,CP=（-2虚,0,2&）.

设平面PCO的一个法向量为〃=*,），,z）,

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DCn=O172x+V2y=0

CPn=0-2\/2x+25/2z=0

取x=l,•.y=-l,z=l,

设人8与平面PC。所成角为6,

ABn_|0xl2V2x(-l)0xl|_2应—石

贝ijsin0=cos<AB,n>|=++

AB•同2&x/2+㈠)2+]2-2后石一?'

即AB与平面PCD所成角的正弦值为立.

3

9.(2025・新高考I卷)如图所示的四棱锥夕-八4a＞中，PA_L平面A3C。,

BC//AD,ABIAD.

(I)证明：平面小AJ_平面PV)：

Q)PA=AB=®,AD=\+0BC=2,P,B,C,。在同一个球面上，设该球面的球心

为0.

(i)证明：。在平面ABCZ)上；

(ii)求直线AC与直线P0所成角的余弦值.

如图所示的四楂锥P-A8c。中，以1.平面45CQ,BC//AD,AB±AD.

(1)证明：平面％B_L平面附。；

(2)若必=48=/，人。=V5+1,BC=2,P,B,C,。在同一个球面上，设该球面的

球心为0.

(/)证明：。在平面4BC。上：

(”)求直线AC与直线尸。所成角的余弦值.

p

(2)(/)建立空间直角坐标系，设球心0(­)，，z),半径上利用空间中两点的距离公

式建立方程组，解方程组可得。点坐标和R,进而可得结论:

(//)利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值即可.

【解答】解：(1)证明：平面ABC。，A8u平面A8CQ,

：.PA±AB,

•••4814。，ADQR\=A,AD,%u平面以D,

，A8J_平面PAD,

•・・A8u平面PAB,

J平面附8_L平面PAD.

(2)(/)证明：由题意，AB,AD,AP两两垂直，分别以A8,AD,A尸为工)，，z轴，建

立空间直角坐标系A-x)z

因为PA=44=>/5,40=1+退，则以鱼，0,0),©(含，2,0),。(0,K+1,0),

P(0,0,V2),

设球心O(x,y,z),半径R,因为P，B,C,。在同一个球面上,

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Jx2+y2+(z-V2)2=R

OP=Rl(x-V2)2+y2+z2=R(j二：

I----------------------，哪］

即，

HJ(x—&)2+(y—2)2+z2=RUV3

(OD=R=

Jx24-(y-V3-l)2+z2=/?

：.O(0,1,0),・・・。6平面ABCD.

(，)由(i)得病=(VL2,0),PO=(0,1,一匹)，

设直线AC与直线PO所成角为e,

,小,"7\ACPO\2v2

贝nllIJcos0=cos<AC,PO>\=---zr-=-7=~~7==f.

\AC\-\PO\V6XV33

（2）（i）由题意及（1）证明如下,

法一：

在四棱锥。中，AP±AB,A尸_LAT>,ABLAD,BCHAD,

PA=AB=42»AO=l+5

建立空间直角坐标系如下图所示,

.•M(0,0,0),^(X/2,0,0),C(X/2,2,0),Z)(0,14-^,0),P(0,0,>/2),

若尸，B,C,。在同一个球面上，

则QH=|O8|=|OC|=|8|,

在平面xAy中,

AA(0,0),5(V2,0),C(V2,2),D(0,l+x/3)

・•・线段C。中点坐标厂整，誓^

1+后-2_1

直线。。的斜率：4=

0-x/2x/2

直线c。的垂直平分线仪斜率；匕一事-一息也

x/3-l2

・•・0(0,1)

在立体几何中，。(0,1,0).

\OP\=^02+12+(0-N/2)2

|OB|-^(oV2)21121o2

10cl='(0_可+(1_2)2+()2

|<9D|=^02+(l-l-^j?+02

解得：\OF\=\OB\=\OC\=\OD\=yf3t

，点。在平面ABC。上.

法二:

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,:P,B,C,。在同一个球面上，

，球心到四个点的距离相等

在△BC0中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心,

作出8c和CO的垂直平分线，如下图所示，

______n

B\EC

由几何知识得，

O\E=AB=叵,BE=CE=AOi=GOi=；BC=l,OlD=AD-AOl=x/3

BO.=8、=小十(夜『,

：・O】D=BO1=COi,

，点。是△38的外心，

在RtAOP中，APJLAD,AP=®，

由勾股定理得，

/K;\PO\=JAP2+AO；=L+产=g

Bc

：.PO\=BO\=co{=O\D=M，

，点。即为点尸，B,c,。所在球的球心0,

此时点0在线段A。上，AOu平面ABC。，

，点0在平面488上.

(ii)由题意,(I)(2)(ii)及图得，

z,

/：\AC=（72,2,0）,PO=（0,1,-x/2）,

/:\、O一

XrC

设直线AC与直线?。所成角为e,

.8SO」A°P°LlI。上"。I

・,|AC||PO|J曲+22+OXJO+『十（—可3-

法2：

由几何知识得，PO=&、

AB1AD,BC//AD,

：.ABIBC,

在R【VA8C中，AB=g，BC=2,由勾股定理得，

则OC、=AC=瓜,直线AC与直线PO所成角即为△POG中NPOG或其补角.

VPA，平面ABCD,4Gu平面ABCD,PAACf=A,

・,.PA1AG,

在RtABC1中，AB=近，BQ=BC+CCj=2+1=3,由勾股定理得,

AC,=4AB?+BC；=J（可+3?=E，

在RtAPG中，PA=五,由勾股定理得，

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PG=4PA2+AC；=J（可+（布）=V13»

在△POG中，由余弦定理得，

PC；=PO2+OC：-2POOC,cos/POC\,

即：（=（6『+（而'j-26x#cosNPOG

/o

解得：cosZPOC,=-^

:.直线AC与直线PO所成角的余弦值为：|cosNPOG|=#.

10.（15分）（2025•新高考II）如图，四边形4BCO中，AB//CD,ZDAB=9Q°,F为CD

中点，点E在AB上，EF//AD,AB=3A。，CD=2AD.将四边形EFD4沿E尸翻折至四

边形EFD'A1,使得面4'与面EFC3所成的二面角为60°.

（1）讦明：储5〃平面CD'Ft

（2）求面8C。'与面石F。'/V所成二面角的正弦值.

解：（1）证明：因为在四边形ABCQ中，AB〃C