吉林省四平市2026年九年级第二次模拟考试数学试题（试卷+解析）

九年级第二次模拟测试数学

一、选择题（每小题3分，共18分）

1.下列各数中，是无理数的为（）

A.-1B.72C.3.3

2.如图所示的几何体的俯视图为（）

D.-l<x<2

4.下列运算正确的是（

A.V2xV2=2>/2B.36-2百=1C.病+&=4

5.唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海.”如图是小明作的一个帆船模型抽

象的几何图形，已知5C〃防，ZA=20°,若NADE=70。，则/C的度数为（）

B.50°C.45°D.57°

6.如图，点A、B.C、。在。。上，且AC=80，若N8QD=84。，则NACO的度数为（）

D

A,

cC）

A.42°B.44°C.46°D.48°

二、填空题（每小题3分，共15分）

7.分解因式：^-10/7+25=.

8.用四舍五入法将3.818精确到百分位，所得到的结果为.

9.如图，VAOB和△CO力是位似图形，点。是位似中心，且CD=24B.若点C的坐标为（Y,—2）,则

10.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=S,AB=\0,分别以A8为圆心，大于'AB的长为

2

半径画弧，两弧相交于点M,N,过点M,N作直线MV,交AB于点O,连接CD,贝U=

11.如图是一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形花园，这个花园的直径是4m,在这个花园内以A

为圆心，AO为半径画弧交半圆于C点，沿着弧OC围篱笆再围成一个小型花园，一共需要篱笆_____

m.（结果保留兀）

A

C

O

B

三、解答题（本大题共11小题，共87分）

12.先化简，再求值：［（3工一），）2+（工+），）（工一），）卜5%，其中工=1,y=5.

13.据中国载人航天工程办公室淮息，北京时间2026年1月19日9时，神舟二十号飞船返回舱在东风看

陆场成功着陆.下面是四张印有中国航天飞行任务标识图案的卡片A,B,C,D,四张卡片除正面图案外

其他均相同.将这四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上.从这四张卡片中随机同时抽取两张卡片，用列

表或画树状图的方法求出抽到的卡片正面图案恰好是“神舟19”和“神舟21”飞行任务标识的概率.

神州19神州20神州21神州22

ABCD

14.某公司计划购买甲、乙两种机器人进行销售.已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，

花1200万元购进甲种机器人的数量是花650万元购进乙种机器人数量的2倍.求购买•个甲种机器人、-

个乙种机器人各需多少万元.

15.已知：如图，点A,D,B,E在同一条直线上，若AD=BE,ZA=ZEDF,ZE=ZABC.求证:

△ACBmADFE.

16.如图，在7x7的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点.A,B,

C均在格点上，请用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）.

BKD

（1）在图①中找一个格点使得为等腰三角形（画出一个即可）；

（2）在图②中作出N3AC的角平分线A7；

（3）在图③中的线段AC上确定一点M,使得AM:CM=3:2.

17.【项目背景】为提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力，某校在开设心理健康课前后，对全校学生

进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了50名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验

心理健康课的开设效果.

【数据收集与整理】收集这5（）名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分100分,

用人表示学生的分数）进行分组，分组如下：

组别ABCDE

X50<x<6060<x<7070<x<8080<x<9090<x<100

整理1：学生在心理健康课后的测试成绩在D组的记录如下：80,81,82,83,84,85,85,85,

85,85,89,89,89,89,89,89.

整理2：将心理健疑课前测试成绩绘制成如图①所示的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成

如图②所示的扇形统计图.

整理3：这50名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于80分为优良）为20%.

8

6

4

,

0

0

9

0

4

^

5

60708090100分

图①图②

【数据处理和应用】

（1）任务I：心理健康课前测试成绩在C组的有人，并补全频数分布直方图；

（2）任务2：心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数是分,B组对应扇形的圆心角

是;

（3）任务3：若心理健康课后测试成绩不低于80分为优秀，试估计该校2000名学生在心理健康课后测试

成绩为优秀的人数.

18.某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项FI化学习活动，如表是此活动的设计方

案.

项目主题桥梁模型的承重试验

经历项目化学习的过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将

活动目标

具转化为数学问题

驱动问题当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度

桥梁模型、量角器、卷尺、水桶、水杯、绳

工具

子、挂钩等

状态二（水桶内加一定

示意图状态一（空水桶）

量的水）

方案设计

M\n\

寸i^ifn—^r^ifui

1

mi*图2

说明：。为AB的中点，CDLAB

请你参与该项目化学习活动，并完成下列问题：

（1）该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学

原理是;

A.三角形具有稳定性B.两点确定一条直线C.两点之间线段最短

（2）在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图②所示的形变.若其他因素忽略不计，测得

CD=32cm,ZCfAC=12°,ACAD=45°,请计算此时水桶下降的高度CC（参考数据：

sinl2°«0.2»cosl2°«1.0»tanl2°»0.2).

19.如图，在△ABC中，AB=AC=46cm,BC=l6cm,ADJ_BC于D,点E从B点出发，沿着射线BC运

动，速度为4cm/s,点F从C同时出发，沿CA、AB向终点B运动，速度为右cm/s,设它们溶动的时间

为l（s）,当F点到达B点时，E点也停止运动，设运动时间为L

（1）求t为何值时，ZXEFC和4ACD相似；

（2）设AEFC的面积为S,求S与I的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻，使得4EFD被AD分得的两部分面积之比为I：3,若存在，求出I的值，若不

存在，请说明理由.

备用图

20.秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活.如图1,可以用秤蛇到秤组的水平距离，来得出秤钩上

所挂物体的重量.称重时，若秤杆上秤U它到秤组的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为丁（斤），则

图1图2

（1）在上表x、y的数据中，发现有一对数据记录错误.在图2中，通过描点的方法，观察判断错误的一

对是；（用坐标表示）.

（2）求丁与X之间的函数关系式.

（3）求当秤钩所挂物重为4.50斤时，秤杆上秤吃到秤组的水平距离是多少厘米.

21.在四边形A3CD中，点G,E分别是线段48,4短上的点，且AG=AE,连接GE、BE,将线

段EB绕点E旋转得到EF，连接。尸.

（1）如图①，若四边形A3C。是正方形，ZBEF=90°,猜想。R与4石的数量关系是

ZCDF=。；

（2）如图②，若四边形ABC。是菱形，且/3八。=/3£尸=120。，猜想。尸与AE的数量关系及

NCD厂的度数，并说明理由；

（3）如图③，在（2）的条件下，若A8=5,DE=2,连接M交。。于点H,直接写出黑的值.

22.如图，己知抛物线丁二一^/+版+c.与x轴交于点A（T，°）和点8,与）'轴交于点。（0，3）.

（1）求该抛物线的表达式;

（2）设点。（小,〃）是直线AC上方抛物线上一点，过点P作尸GJ_x轴，垂足为点G,PG与直线AC

交千点，.

①连接AP、CP,求四边形AOCP的面积S与机的函数关系式，并求出S的最大值；

②连接O".在①的条件下，试判断四边形丹/OC的形状，并说明理由；

③是否存在点尸，使得以P、H、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的〃?的

值；若不存在，请说明理由.

九年级第二次模拟测试数学

一、选择题（每小题3分，共18分）

1.下列各数中，是无理数的为（）

A.-1B.72C.3.3

【答案】B

【解析】

【分析】根据无理数和有理数的定义判断选项即可，无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统

称.

【详解】解：A选项-1是整数，属于有理数;

B选项加是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数;

C选项3.3是有限小数，可化为分数，属于有理数;

D选项（是分数，属于有理数.

所以无理数的是B.

2.如图所示的几何体的俯视图为（）

【解析】

【详解】解：如图所示的几何体的俯视图为

3.一个不等式组的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式组的解集是（)

■

A.-1<x<2B.-l<x<2C.-l<x<2D.-l<x<2

【答案】B

【解析】

【分析［根据不等式解集在数轴上的表示可得答案，

本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：•是定界点，

般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点,

不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”.

【详解】解：由数轴知，该不等式组的解集为：-l<x<2,

故选:B.

4.下列运算正确的是（）

A.V2xx/2=2x/2B.3A/3-2X/3=1C.732-72=4D.屈xg=3

【答案】C

【解析】

【分析】利用二次根式的乘除运算法则和同类二次根式的合并方法，逐一计算即可判断正确选项.

【详解】解：对选项A,•••&乂及=疡5=〃=2#2血，，A错误：

对选项B,•・•36-26=（3-2）6=6力，・・.B错误;

对选项C,,・•后i/々32+2=布=4,・・・C正确;

对选项D,丁J18xA=J18xg=瓜*3,，D错误.

5.唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海.”如图是小明作的一个帆船模型抽

象的几何图形，已知8C〃E7LNA=20。，若NAOE=70。，则/C的度数为（）

A.30°B.50°C.45°D.57°

【答案】B

【解析】

【分析［根据平行线的性质可得NC8O=NAOE=7（）。，进而根据三角形的外角的性质可得

NC-NCBD-ZA,即可求解.

【详解】解：:台。〃£7"

:.4CBD=/ADE=700,

VZA=20°,

・•・ZC=/CBD-ZA=70°-20°=50°,

故选:B.

6.如图，点A、B、C、。在OO上，且AC=8O,若N8O£）=84。，则NACO的度数为（）

B.44°C.46°D.48°

【1D

【解析】

【分析】本题考查圆心角的性质，熟练掌握同弧所对的圆心角相等是解题的关键，连接04,根据题意可得

至|JZAOC=N3OD=84。，再根据OA=OC,可得到NQ4C=NOC4,利用三角形内角和计算即可得到答

案.

【详解】解：连接OA,如图:

•••40=80，ZBOD=S4°

:.Z4OC=N8QD=84。，

-OA=OC,

・•・ZOAC=ZOCA=1(180°-84°)=48°,

故选：D.

二、填空题(每小题3分，共15分)

7.分解因式：Z?2-10/7+25=.

【答案】S-5尸

【解析】

【详解】解：/?2-10Z?+25=/?2-2X5Z?+52=（/?-5）2.

8.用四舍五入法将3.818精确到百分位，所得到的结果为.

【答案】

3.82

【解析】

【分析】本题主要考查了用四舍五入法求近似数，精确到百分位需保留两位小数，看千分位数字进行四舍

五人.

【详解】解：•.•数字3.818的百分位数字是1，千分位数字是8,千分位数字8>5,

，向百分位进一，百分位1变为2，

/.3.818»3.82.

故答案为：3.82.

9.如图，VAQ8和△COD是位似图形，点。是位似中心，且CQ=2AB.若点C的坐标为（Y,-2）,则

点A的坐标为.

【答案】（2,1）

【解析】

【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为3

那么位似图形对应点的坐标的比等于％或-攵.根据题意求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可.

【详解】解:..AOB和CO0是位似图形，点0是位似中心，且C£）=2A5,

IAOBSJCOD,且相似比为1:2,

二点C的坐标为（Y,—2）,

.二点A的坐标为"4x,即（2,1）,

12；12）

故答案为：（2,1）.

10.如图，在RtZ\AZ?C中，NAC6=90。，AC=8,AZ?=10,分别以八，区为圆心，大于一A区的长为

2

半径画弧，两弧相交于点M,N.过点M,N作直线MN,交AB于点D，连接CZ),则=

【答案】12

【解析】

【分析】本题考查了基本作图，勾股定理，三角形中线性质，在RlZ\A8C中，根据勾股定理求出直角边

BC=>jAB2-AC2=6>由此得出s△八8C=；AC'・8C'=24,由作图知，MV是线段A8的垂直平分线，

得出4)=8。，根据三角形中线平分三角形面积即可得出结论.

【详解】解：VZAC^=90%AB=\0,AC=8，

・•・BC=>]AB2-AC2=71O2-82=6,

S△人=2—AC'BC=2—x8x6=24,

由作图知，/WN是线段AB的垂直平分线，

:・AD=BD，

故答案为：12.

11.如图是一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形花园，这个花园的直径是4m,在这个花园内以A

为圆心，AO为半径画弧交半圆于C点，沿着弧OC围篱笆再围成一个小型花园，一共需要篱笆_____

m.(结果保留兀)

A

C

O一

J

Q

【答案】-71

【解析】

【分析】本题考查弧长公式/二’-,找准圆心角和半径是解题关键.

180

先在扇形AOC中，计算OC=—m,再在半圆。。中，计算43=2万6，最后计算总共需要的篱笆长.

【详解】解：由题意得，直径A8=4m,

「•半径O4=OB=OC=2m,

以A为圆心，A。为半径画弧交半圆于C点，

AC=>40=2m»

.上AOC是等边三角形，ZOt4C=60°,

/仇厂60兀x22兀

在扇形AOC中，OC==---------=—m,

1801803

在半圆0。中，AB=—7：x4=2/rm,

2

27c8

/.OC+AB=b2兀=一Tim,

33

Q

故答案为：-71.

3

三、解答题(本大题共H小题，共87分)

12.先化简，再求值：[(3x-)，『+(x+)，)(x—y)]+5x,其中x=l,y=5.

【答案】2x-1y,-4

【解析】

【分析】首先利用完全平方公式和平方差公式对括号内的式子在行化简，然后进行整式的除法计算即可化

简，然后代入求值.

【详解】解：[(3x-y『+(x+)，)(x-y)]+5x,

=(9x2-6^+)尸+x2-y2)+5x,

=(1Ox2-6孙/5x,

。6

=2x——y,

5

当工=1,y=5时，原式=2x1—9x5=2—6=-4.

本题主要考查了公式法化简求值，完全平方公式和平方差公式的利用，熟记公式并能灵活运用是解题的关

键.

13.据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2026年1月19日9时，神舟二十号飞船返回舱在东风着

陆场成功着陆.下面是四张印有中国航天飞行任务标识图案的卡片A,B,C,D,四张卡片除正面图案外

其他均相同.将这四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上.从这四张卡片中随机同时抽取两张卡片，用列

表或画树状图的方法求出抽到的卡片正面图案恰好是“神舟19"和“神舟21”飞行任务标识的概率.

神州19神州20神州21

ABC

【答案】抽到的卡片正面图案恰好是“神舟19”和“神舟21”飞行任务标识的概率为!.

【解析】

【分析】需要通过列表法或树状图法列出所有不放回抽取两张卡片的等可能结果，注意抽取两张不考虑顺

序，避免重复计数，再根据概率公式求出符合条件的事件概率.

【详解】解：画树状图如下:

由图可知共有12种等可能的结果，符合条件的是AC或者CA,共2种，

・•・抽到的卡片正面图案恰好是“神舟19”和“神舟21”飞行任务标识的概率为士=!.

126

14.某公司计划购买甲、乙两种机器人进行销售.已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，

花1200万元购进甲种机器人的数最是花650万元购进乙种机器人数量的2倍.求购买一个甲种机器人、

个乙种机器人各需多少万元.

【答案】

购买一个甲种机器人需60万元，购买一个乙种机器人需65万元.

【解析】

【分析】设出甲、乙两种机器人的单价，根据“花1200万元购进甲种机器人的数量是花650万元购进乙

种机器人数量的2倍”建立等量关系，列出分式方程，求解检验后，即可得到结果.

【详解】解：设购买一个甲种机器人需要x万元，则购买一个乙种机器人需要*+5)万元，

根据题意列方程得—=2.—

xx+5

1200U+5)=1300x

1200x+6000=1300为

100x=6000

x=60，

经检验，x=60使得x(x+5)。。，

••・x=60是原分式方程的解，且符合题意，

则M+5=60+5=65,

答：购买一个甲种机器人需60万元，购买一个乙种机器人需65万元.

15.已知：如图，点A,D,B,七在同一条直线上，若AD=BE,ZA=NEDF,ZE=ZABC.求证:

△ACBWADFE.

【答案】证明过程见详解；

【解析】

【分析】本题考查三角形全等的ASA判定定理，解题思路是通过线段和差推导得AB=OE，再结合已知

两角，利用AAS证明全等；解题关键是由4)=座推出A8=DE,易错点是忽略线段和差的推导直接默

认边相等.

【详解】证明：・・・4?=的

・•・AD+DB=BE+DB^AB=DE

在和/\DFE中

ZA=ZEDF（已知）

ZE=ZABC（已知）

AB=DE（已证）

・•・4ACBmADFE（ASA）.

16.如图，在7x7的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点.A,8,

C均在格点上，请用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）.

（1）在图①中找个恪点。，使得..ACZ）为等腰三角形（画出个即可）;

（2）在图②中作出/84C的角平分线A/；

（3）在图③中的线段4c上确定一点使得AM:CM=3:2.

【答案】（1）见解析（2）见解析

（3）见解析

【解析】

【分析】（1）作一个腰为5的等腰二角形即可；

（2）取格点。，连接CO,取CO的中点J,作射线A/即可；

（3）取格点N,K，连接NK交AC于点M,点M即为所求.

【小问1详解】

解：如图，4）=5,4C=V42+32=5»

则ACO为等腰三角形；

【小问2详解】

解：如图，取CO的中点射线A/即为所求；

【小问3详解】

解：如图，点M即为所求.

17.【项目背景】为提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力，某校在开设心理健康课前后，对全校学生

进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了50名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验

心理健康课的开设效果.

【数据收集与整理】收集这50名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分100分,

用工表示学生的分数）进行分组，分组如下：

组别ABCDE

X50Kx<6060Kx<7070Kx<8080<x<9()90<x<100

整理1：学生在心理健康课后的测试成绩在D组的记录如下：80,81,82,83,84,85,85,85,

85,85,89,89,89,89,89,89.

整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①所示的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成

如图②所示的扇形统计图.

整理3：这50名学牛.在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于80分为优良）为20%.

【数据处理和应用】

（1）任务1：心理健康课前测试成绩在C组的有人，并补全频数分布直方图；

（2）任务2：心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数是分,B组对应扇形的圆心角

是;

（3）任务3：若心理健康课后测试成绩不低于80分为优秀，试估计该校2000名学生在心理健康课后测试

成绩为优秀的人数.

【答案】（1）12,统计图见解析

(2)80.5,43.2°

（3）1040

【解析】

【分析】（1）根据这50名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于80分为优良）为

20%.得出D、E组有10人，进而求得D组的人数，根据频数直方图求得C组的人数，进而补全统计图：

（2）根据中位数的定义，即可求解；用B组占比乘以360。，进而求得B组对应圆心角的度数；

（3）根据样本估计总体即可求解.

【小问1详解】

解：根据这50名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于80分为优良）为20%.

・•・50x20%=10人

・・.D组的人数为10-4=6人

则。组的人数为：50—10—18—10=12人

补全频数分布直方图如图，

图①

根据图②可得E组占比为2U%,共有50x20%=10人，

根据整理1：学生在心理健康课后的测试成绩在D组的记录如下：80,81,82,83,84,85,85,

85,85,85,89,89,89,89,89,89.

・・.D组80KXV90的人数为16人

・••从大到小排列，第25,26个数据分别为81,80,

QH1Q1

・••心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数是——=80.5.

2

B组对应扇形的圆心角是12%x360。=43.2。

【小问3详解】

解：学生在心理健康课后的测试成绩在D组为16人，E组占比20%即50x20%=10人,

课后优良人数2000乂虫詈=1040（人）

JVZ

答：估计该校2000名学生在心理健康课后测试成绩为优秀有1（X0人.

18.某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项FI化学习活动，如表足此活动的设计方

案.

项目主题桥梁模型的承重试验

经历项目化学习的过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将

活动目标

其转化为数学问题

驱动问题当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度

桥梁模型、量角器、卷尺、水桶、水杯、绳

工具

子、挂钩等

状态二（水桶内加一定

示意图状态一（空水桶）

量的水）

方案设计

宁

l^ifn__^Riifiil

1

mn图2

说明：C为43的中点，CD1AB

请你参与该项忖化学习活动，并完成下列问题：

（1）该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元,这样设计依据的数学

原理是;

A.三角形具有稳定性B.两点确定一条直线C.两点之间线段最短

（2）在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图②所示的形变.若其他因素忽略不计，测得

CD=32cm,ZCfAC=12°,ZCAD=450,请计算此时水桶下降的高度CC（参考数据：

sinl20ko.2,cosl20®1.0,tanl2°«0.2）.

【答案】（1）A（2）8cm

【解析】

【分析】（1）根据题意可直接进行求解；

（2）设CC=jtcm,由题意得。C_LAB,=CC+CO=（x+32）cm,则有AC=CD=（x+32）cm,

然后根据三角函数可进行求解.

【小问1详解】

解：选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是三角形具有稳定性;

【小问2详解】

解：设CC'=nm,由题意得：DC1AB,CD=CC+CD=(x+32)cm,

■:/C'AO=45。，

・•・是等腰直角三角形，

・•.4C=C'D=(x+32)cm,

在RtAC/C中，ZCAC=12°,

CCx

tan12°=~ACRO.2,

N+32

解得：x=8,

答：此时水桶下降的高度CC为8cm.

19.如图，在AABC中，AB=AC=4后cm,BC=l6cm,AD_LBC于D,点E从B点出发，沿着射线BC运

动，速度为4cm/s,点F从C同时出发，沿CA、AB向终点B运动，速度为后cm/s,设它们运动的时间

为i(s),当F点到达B点时，E点也停止运动，设运动时间为i.

(1)求t为何值时，AEFC和AACD相似;

(2)设AEFC的面积为S,求S与t的函数关系式；

(3)是否存在某一时刻，使得AEFD被AD分得的两部分面积之比为1：3,若存在，求出t的值，若不

存在，请说明理由.

备用图

328-2r2+r(0<r<4)8

【答案】(I)t==或一时，AEFC和4ACD相似；(2)S=(3)t=一时，使

133-2r2+24r-64(4x/<8)5

得4EFD被AD分得的两部分面积之比为1：3,见解析.

【解析】

【分析】(1)Z\EFC要与4ACD相似，则NC为公共角，即点F在AC上，t<4,E在线段BC上.用t表

示CE、CF,根据相似三角形对应边成比例列方程即求出I.

(2)以CE为底求aEFC的面积，故过F高FG.以t=4为界点分类讨论E、F的位置，利用相似三角形的

性质用t表示FG,即能得到用t表示的4EFC面积.

(3)要使4EFD被AD所截，E不能在CD上，分E在BD上和E在C的右侧两种情况.△EFD以ED为

底时，被AD分得的两三角形面积比等于高的比.用t表示各边长，再利用相似三角形对比边长比例列方

程，即求出I的值.

【详解】解：(1)VAB=AC=4>/5cm,BC=16cm,AD_LBC于D

1

.*.BD=CD=-BC=8cm

2

•*­AD=VAB2-BD2=7(4>/5)2-82=4(cm)

由寇意得：BE=4t,

当叱64时，E在线段BC上，CE=16-4t,F在AC上，CF二逐I

当4VIW8时，E在线段BC外，CE=4t-16,F在AB上，BF=86■•逐t

①若△ECFs/^ACD,如图1,则空=上

ACCD

.16-4tV5t

..而=T

解得：t二

13

FCEC

②若△FCEs^ACD,如图2,则一=—

ACCD

.底_I6-4t

.・访=—T

Q

fiW：t=-

3

328

综上所述，t二一或一时，AEFC和4ACD相似.

133

图1图2

(2)过F作FG_LBC于G

如图3,当OSt“时，Z\FCGsaACD

FGCF

ADAC

ADCF4•石t

・•.FG=----------=--y=-=t

AC4x/5

AS=-CEFG=-(16-4t)t=-2t2+8t

如图4,当4V68时，△BFGs^BAD

.FG_BF

"AD-AB

，吁AD・BF—小回⑸

-L—°I

AB4V5

AS=^CEFG=1(4t-16)(8-t)=-2t2+24t-64

-2l2+8t(0<t<4)

,\S=i-2t2+24t-64(4<t<8)

图3图4

(3)过F作FG_LBC丁G,设EF与AD交点为H

①如图5,当E在BDI'.,F在AC上时，0VtV2

FGCGFC

由zXFGCs^ADC得:

AC-CD-AC

•・FG=t,CG=2t

VBE=4t

ADE=8-4t,EG=16-4t-2t=16-6t

VHDZ/FG

.,.△EHD^AEFG

*EDHD

**EG-FG

i)若SZXEHD：SAHDF=I：3,fflSAEHD：SAEFD=1：4

•EDHD1

"EG-FG~4

.8-4l_1

)6-6t4

Q

MW：t=-

ii)SAEHD：SAHDF=3：1,贝ijSAEHD：SAEFD=3：4

・EDHD3

**EG~FG~4

8-4t3

•*«------=一

16-6t4

解得：t=8（不符题意，舍去）

②如图6,当E在BD外，F在BC上时，4<t<8

FG_BG_BF

由ABFGsZ\BAD得:

AD-BD-AB

.\FG=8-t,BG=2(8-t)

BE=4t

ADE=BE-BD=4l-8,EG=BE-BG=4t-2(8-t)=6t-l6

VHDZ/FG

.,.△EHD^AEFG

.ED_HD

"EG-FG

i)若SZ\EHD：SAHDF=1：3,fl!)SAEHD：SAEFD=1：4

•EDHD_1

**EG-FG~4

.4t-8_1

"6t^l6=4

Q

解得：(不符题意，舍去)

ii)SAEHD：SAHDF=3：1,则SZiEHD：SAEFD=3：4

.EDHD3

**EG-FG~4

.4t-83

**6t-16-4

解得：t=8(不符题意，舍去)

Q

综上所述，t二一时，使得4EFD被AD分得的两部分面积之比为1：3.

5

图5图6

木题考查了相似三角形的判定和性质，分类讨论思想.利用相似三角形对应边成比例用一个未知数表示各

边长，再计算或列方程求值，是有关相似动点题的常规做法.

20.秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活.如图1,可以用秤坨到秤组的水平距离，来得出秤钩上

所挂物体的重量.称重时，若秤杆上秤花到秤组的水平距离为X（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则

）'是X的一次函数.下表中为若干次称重时所记录的一些数据.

.X（厘米）12471112

y（斤）0.751.002.002.253.253.50

'M斤)

41111

3

x秤钮

秤杆2

1

秤蛇秤钩

O246810127(厘米)

图1图2

（1）在上表x、丁的数据中，发现有一对数据记录错误.在图2中，通过描点的方法，观察判断错误的一

对是,；（用坐标表示）.

（2）求），与x之间的函数关系式.

（3）求当秤钩所挂物重为4.50斤时，秤杆上秤蛇到秤组的水平距离是多少厘米.

【答案】（1）（4,2）,见解析

(2)y=~x+-(3)16厘米

42

【解析】

【分析】此题考查画•次函数的图象的方法，待定系数法求•次函数的解析式，•次函数的实际应用，正确

计算是解此题的关键.

（1）利用描点法画出图形即可判断;

（2）设函数关系式为y=M+〃，利用待定系数法解决问题即可;

（3）根据（2）中求得的函数解析式，当y=4.5时，可求得秤杆上秤花到秤组的水平距离.

【小问1详解】

解：观察图象可知：x=4,y=2这组数据错误.

故答案为：（4,2卜

【小问2详解】

由（1）的图象可知，与尤的关系满足一次函数,

,设V与x的函数解析式为），二日+/火工0）,把x=l,y=0.75,x=2,y=1代入可得:

1

k=

k+b=0.75

〜।，解得《4

2k+b=1

b=-

2

与x之间的函数关系式是），=;x+g:

【小问3详解】

当y=4.5时，一xH—=4.5,

42

解得x=16，

当秤钩所挂物重为4.50斤时，秤杆上秤坨到秤组的水平距离是16厘米.

21.在四边形ABCO中，点G,E分别是线段AB,4。上的点，且AG=AE,连接GE、BE,将线

段EB绕点E旋转得到EF,连接D厂.

（1）如图①，若四边形45co是正方形，NBEF=90。,猜想。厂与AE的数量关系是,

ZCDF=°；

（2）如图②，若四边形A8CD是菱形，且石尸=120。，猜想。尸与的数量关系及

NCO厂的度数，并说明理由；

（3）如图③，在（2）的条件下，若A8=5,DE=2,连接斯交。。于点〃，直接写出器的值.

【答案】（1）DF=y/2AE：45

（2）DF=6AE，ZCDF=90°,理由见解析

⑶-

6

【解析】

【分析】（1）证明YBEGmEFD（SAS）,EG=6AE，即可得EG=DF=42AE，

NEDF=/BGE=T35。,即可求解；

（2）证明VBEG^VEFD（SAS）,ZBGE=ZAEG+ABAD=150°,可得EG=DF,

/EDF=/BGE=1500,从而得到NCOF=NEOF-NA0C=9O。，过点A作AKJ.EG于点K，则

EG=2EK,根据直角三角形的性质可得4K=再结合勾股定理可得EG=2EK=JLAE，即可：

（3）过点F作FP〃BC交CD于点P,由（2）得DF=6AE=36，/。力尸=90。，再证明

一BCHs二百汨即可解答.

【小问1详解】

解：四边形A8CO是正方形，

/.AB=A1）^NBAD=ZADC=90。,

ZABE+ZAEB=90。,

ZBEF=90°,

:"DEF+ZAEB=900,

:.^ABE=/DEF，

・・・AG=AE,

；.BG=DE,ZAGE=ZAEG=45°,

/.YBEG4EFD（SAS）,

由勾股定理得：EG=JAG?+AE2=CAE，/BGE=ZAEG+/BAD=135。,

EG=DF,/EDF=/BGE=135°,

•••DF=gE，NCDF=/EDF-ZADC=45°；

【小问2详解】

解:=ZCDF=90°；理由如下：

四边形488是菱形，ZBAD=\2（）0,

.\AB=A/），AB//CD,

ZABE+ZAEB=180°-120。=60。，ZADC=180°-ZfiAP=60°,

NAE厂=120。，

:"DEF+ZAEB=600,

:.ZABE=/DEF.

・・・AG=AE,

iQQO_120。

:.BG=DE,ZAGE=ZAEG=­------—=30°,

2

...VBEG^VEFD(SAS),/BGE=ZAEG+/BAD=150°.

:.EG=DF,/EDF=/BGE=150°,

:"CDF=AEDF-ZADC=90°,

如图，过点A作AK_LEG于点K，则EG=2EK,

图2

Q/AEK=30°,

/.AK=-AE,

2

在直角三角形AEK中，由勾股定理得：EK=y/AE2-AK2=^AE2-=§AE，

EG=2EK=CAE,

「•DF=y/3AE;

【小问3详解】

解：如图，过点尸作户广〃3C交CO于点P,

图3

•.四边形A8C力是菱形，

.\AD=AB=5,DE=2,

AE=AD-DE=3,

由(2)得：DF=6AE=36ZCDF=90%

四边形A8C。是菱形，NB4O=120。，

AB=CD=5,AD//BC,AB//CD,

ZADC=180°-ABAD=60°,AD//PF>

...NDPF=ZADC=60。,

.."DFP=30°,

:.PF=2DP，

「•DF=CDP，

，DP=3,FP=6,

QFP〃BC,

・•_BCHs二FPH，

BH_BC_5

7IF~~FP~6.

3

22.如图，已知抛物线卜=-^^+陵+。与1轴交于点A(T,O)和点3,与5轴交于点。(0,3).

(1)求该抛物线的表达式;

(2)设点