第二十一章 四边形-人教版八年级《数学》下册提升卷

2025-2026学年八年级下册数学单元自测

第二十一章四边形•能力提升

建议用时：60分钟，满分：12（）分

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.九边形的外角和为（）

A.40°B.360°C.8100D,1260°

【答案】B

【分析】本题考查多边形外角和性质，任意凸多边形的外角和都等于360°,与边数无关，所以九边形的外角和

为360°.

【详解】解：根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和等于360。，

二•九边形的夕卜角和为360°.

故选：B.

2.下列说法不正确的是（）

A.平行四边形的对边相等B.菱形的对角相等

C.矩形的对角线互相垂直D.正方形的四条边均相等

【答案】C

【分析】本题考杳平行四边形的性质，正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，根据平行四边形、菱形、

矩形、正方形的性质，逐一判断各选项的正误

【详解】解：•・•平行四边形的对边相等，・・・A选项说法正确

•・•菱形是特殊的平行四边形，平行四边形对角相等，，菱形的对角相等，B选项说法正确

•・•矩形的对角线相等且互相平分，不一定互相垂直，・・・c选项说法不正确

•・•正方形的四条边均相等，・・・D选项说法正确

故选：C.

3.如图，A5两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离：先在外选一点C,然后步测

出AC4C的中点分别为并步测出MN的长约为45米，由此可知A,4间的距离约为（）

A

CLN

A.22.5米B.45米C.85米D.90米

【答案】D

【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握和运用三角形中位线定理是解决本题的关键.

利用三角形中位线定理即可•求得.

【详解】解：•••加，N分别是AC,8c的中点，

:・MN是YABC的中位线，

JA5=2MV=2x45=90（米）.

故选：D.

4.如图，在菱形ABC。中，对角线AC与8。相交于点垂足为石，连接OE,若AO=10,AC=16,

则。E的长是（）

A.4B.4.8C.5D.6

【答案】D

【分析】此题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，熟记菱形的性质是解题的关键.

利用菱形的性质得到ACJ.4O,O4=OC=1AC=8,OB=。。，利用勾股定理求出。7）=6,可得3。=12,

然后根据直角三角形斜边的中线等丁斜边的半求解即可.

【详解】解：•••四边形A8co是菱形，

AC1BD.OA=OC=-AC=S,OB=OD

2f

•-OD=ylAlf-O^=71O2-82=6>

/.BD=12.

•・•DEIBC,

：.0E=-BD=6,

2

故选D.

5.如图，在VA3C中，点。为4c的中点，AE13D,BE//AC,则下列说法错误的是（）

A.当AB=CB时，四边形是矩形

B.当AC=2BC时，四边形AEW）是矩形

C.当乙48。=90。时，四边形A£BO是菱形

D.当N£=2NC时，四功形4访加是•菱形

【答案】B

【分析】本题考查平行四边形性质，菱形判定，矩形判定，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理

等，根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案.

【详解】解：•••AE"BQ,BE//AC,

・•・四边形AEB力是平行四边形，

AB=BC,

・•・,ABC是等腰三角形，

•・•点。为AC的中点，

•••BOJLAC,即/如=90。，

・•・四边形4E3Q是矩形，故选项A正确；

当AC=2BC时，则AO=CO=8C,

・•・dCDB=/CBD,

若四边形AE8。是矩形，则乙4。8=90。，

：・NCDB=NCBD=90。（不满足三角形内角和定理），故选项B错误；

当448c=90。时，

:点。为AC的中点，

・•・BD=-AC=AD,

2

•・•四边形A£8Q是平行四边形，

・•・四边形是菱形，故选项C正确;

VAEBD,BE//AC.

：.Z£+ADBE=180°,/DBE+ZADZ?=180°,

/.ZE=ZADB,

当/£=2NC时，则2NC=Z4O8,

'/ZADZ?=ZC+ZCTD,

・•・2C+NCBD=2NC,

・•・/CBD=NC,

：・BD=CD,

•・•点。为AC的中点，

・•・AD=CD,

:.AD=BD,

・•・西边形AE8Z）是菱形，故选项D正确.

故选：B.

6.如图，菱形ABC。的面积为30,点&F,G,H分别为AB,BC,CD,D4的中点，则四边形EFG”

的面积为（）

A.10B.15C.20D.25

【答案】B

【分析】本题主要考直了菱形的性质，三角形中位线定理，矩形的性质与判定，连接AC,交丁点O,

根据菱形的性质可得AC18O,4。8。=60,再由三角形中位线定理可得上/=7/6,EF//HG,EFVFG,

则可证明四边形EPG"是矩形，据此根据矩形面积计算公式求解即可.

【详解】解：如图所示，连接4G8。交于点O,

A

。丁四边形ABC。是菱形,

・•・AC1BD,

又;•菱形"8的面积为30,

：.-ACBD=30,B|JACBD=60：

2

•・•点E,F,G,H分别为AB,8C,CQ,%的中点，

:.EF,FG,G〃分别是△ABC,eBCD,AADC的中位线，

AEF//AC,EF=-AC,FG//BD,FG=-BD,HG//AC,HG=-AC,

222

:・EF=HG,EF〃HG,EFLFG.

・•・四边形EFGH是平行四边形，

・•・平行四边形是矩形，

：・S四边形EFGH=EF•FG=；AC《BD=15.

故选:B.

7.如图，在uA8C£）中，点七是C。中点，连接4E并延长，交8c的延长线于点尸，点G在边AB上，且

AG=3BG,连接CG,若△€*£尸的面积为2,则四边形4GCE的面积为（）

A.5B.5.5C.6D.6.5

【答案】A

【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中线，三角形全等的判定和性质，以及三角形的面积；

3

根据题意证明,ADE”CFE,从而得到SAEC=SADE=2,SABC=4,再根据AG=38G,5AGC=~SABC=3，

即可求得四边形AGCE的面枳.

【详解】解：如图所示，连接AC,

臼

AGB

I在cABCD中，点E是CD中点.

ADE=CE,AD//BC^

/.^DAE=ZCFE,

又・,,ZA&)="EC,

・•・△ADE^ACFE(AAS),

=

***SADE=SCEF2>AD=CF»

••SAEC=SACE=2，SABC=S仙=SADE+5血=2+2=4,

VAG=3BG,

.AG3

..----=—,

4

3

••"人8=-SABC=3,

,•S四边形AGUE=SAEC+SAGC=2+3=5,

故选：A.

8.如图，矩形ABC。中，点E是8c延长线上一点，且BE=BD,点F是DE中点、,若A8=4,BC=3,

则AF的长度是()

A.4B.5C.V20D.724

【答案】C

【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，连接M、

CF,由矩形的性质可得4O=BC=3,a)=AA=4,/BCD=ZADC=90。，求出BE=BD=5,得到CE=2,

由勾股定理可得DE=26，由等腰三角形的性质可得由直角三角形的性质可得

DF=EF=CF=；DE=K,从市得出8尸=2石，再证明ADF0BCF(SAS),即可得出结果，熟练掌握

以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

【详解】解：如图，连接即、CF,

•・•西边形人BCO为矩形，

AAD=BC=3,CD=AB=4,/BCD=ZADC=90。,

:♦BD=dBC、CD〜，ZDC£=180o-ZBCD=900,

:,BE=BD=5,

：・CE=BE-BC=2,

•*-DE=y]CE2+CD2=2后，

BE=BD,点、尸是OE中点，

ABFA.DE,DF=EF=CF=>DE=4i,

2

・•・BF^BU-DF?=2后，

'：DF=CF,

：・NFDC=/FCD,

•・•ZADC+NFDC=NBCD+NFCD,

:.ZADF=NBCF,

在△AO/7和V3C/中，

AD=BC

<ZADF=Z.BCF,

DF=CF

：.ADF^BCF(S\S),

AAF-BF-2y/5,

故选：c.

9.如图，正方形48co的边长为3,在A4边上取一点E,连接DE,将VAOE沿直线OE翻折到正方形ABCD

所在的平面内，得J)EF,延长EF交BC于点G,作G”_L£)E,垂足为H.若Z)C=3CG,则G”的长是

()

A.710B.6C.迈D.g

32

【答案】B

【分析】本题考杳正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等虹识.关键是

利用翻折性质和全等三角形得到线段相等，再通过勾股定理求出未知线段长度,最后用面积法求出GH的长.

【详解】解：如图，连接。G.

•・•正方形/WC。的边长为3,DC=3CG,

/.DC=AD=DF=3,CG=\,BG=BC-CG=37=2；

将.ADE沿直线DE翻折得.DEF,

・・・ZDFE=/A=90。，AE=EF^AD=DF=DC,

・•・ZDFG=1800-ZDFE=90°=ZC；

DG=DG

在Rt和母_。。6中〈

DF=DC'

・•・Rt_Z）FG^Rt£>CG（HL）,

・•・FG=CG=\

设AE=EF=x,则BE=AB-AE=3-x,EG=EF+FG=x+\.

在Rt他GM由勾股定埋得：BE2+BG2=EG2,

即(3—4+2?=。+1)2,

3

解得x=

在Rt.ADE中，/)E=〃f)2+A不=拽.

2

S・nJ.ecu=—CxEGxDF,.SnFC=c—xDExGH,

\l—xGH=-x

x+1x3,

222l

解得G〃=X/5;

故选：B.

10.如图，矩形A8CO中，。为4c中点，过点0的直线分别与AB、CD交于点、E、F,连结8F交4。于

点加，连结。石、BO.若NCOB=60。，FO=FC,则下列结论中正确结论的是（）

®DE=EFx②四边形是菱形；③BM=3FM；④S柘/S即形谡或=1：14.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线

段垂直平分线的性质，含30度直角三角形的性质等一系列知识，灵活运用是解题的关键.判定△O8C是等

边三角形，得O8=BC,ZOBC=60°；由/0=FC得ND庄=60。，进而可得班•垂直平分OC,求得

ZC™=ZOra=60°；再证明△CFgAAfiO,可得四边形OE8/是平行四边形，由平行四边形的性质得

WE尸是等边三角形，从而可判断①；由平行的性质得△5FE是等边三角形，从而有阱=BE,则可判断

②；利用含30度直角三角形的性质得=BF=2OF=4FM,即可判断③；设△FOW的面积为小

则得cBOAf的面积为3a,从而S.08C=2S.01MB=6a,则得矩形面积为24。,从而S,R“：S矩形八皿）=1:24,则

可判断④；最后得到答案.

【详解】解：•・•四边形ABC。是矩形，。是AC中点，

：,OB=OC=OA,

・•・/OAB=/OBA=-ZBOC=30°,

2

ZACH=90。-ZOAB=60°,

ZACD=90°-ZACB=30°,△(用C是等边三角形，

：・OB=BC,NO8C=60。；

FO=FC,

・・・/尸0。=448=30°,8尸垂直平分OC,

/.ADFE=ZACD+AFOC=60°,Z.CFM=4OFB=60°,

•・•四边形A8C。为矩形，

AAB//CD,AB=CD,

：.乙FCO=NOAE,4CFO=ZAEO,

•・・OA=OC,

Z.sbCKAEO(AAS),

：,CF=AE,

:.DF=BE,

二・四边形DEBF是平行四边形，

；・DE//FB,

：.Z.FDE=/BFC=60°,NDEF=NBFE=60°,

・\"DE=/EFD=ZDEF=60°,

・•・山EF是等边三角形,

：・DE=EF；故①是正确的；

VAB//CD.

：.4FEB=NDFE=&f、NCFM=NFBE=(/T、

I.±FEB=")FM=NFBE=60°,

・•・/\BFE是等边三角形,

・•・BF=BE,

，四边形是菱形，故②正确；

■:/FOM=30。,BFVOC.

，OF=2FM；

:/OBC=60°,BM±OC,OB=OC,

/./O3M=30。，

/FOB=4FOM+/MOB=90°

・•・BF=2OF=4FM,

：・BM=BF-FM=3FM,故③正确,

设的面枳为a,

〈BM=3FM,

则SBOM=3«，

而M为OC的中点，

=

,•SOBC2sOMB=6a,

•・・Q4=OC,

:.SABc=2sOBC=12。，

••S矩形48C7)=24",

a

：•SFOM：S矩形ARC。=:24a=1:24,故④错误;

故选：C.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11.如图，在RtZXABC中，NACB=90。，。是48的中点，46=8,则CO的长为

【分析】本题主要考查直角三角形斜边上中线的性质；熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

是解题的关键.根据直角三角形斜边上的中线等丁斜边的一半求解.

【详解】解：・・・NAC8=90。，。是A8的中点，A8=8,

：.CD=-AB=4

2f

故答案为:4.

12.在四边形A8CO中，对角线A。，8。相交于点O.如果48〃CO,请你添加一个条件，使得四边形A8CO

成为平行四边形，这个条件可以是.（写出一种情况即可）

【答案】AB=CD(答案不唯一)

【分析】本题主要考查了平行四边形的判定方法，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.

根据平行四边形的判定方法即可得结论.

【详解】解：①添加A8=8.

VAB//CD,

・•・四边形A8CD的一组对边平行且相等，故四边形A4CD是平行四边形；

②添加月。〃8C,

,/AB//CD,

・•・四边形ABC。的两组对边分别平行，故四边形ABC。是平行四边形；

③添力口/BAD=/BCD,

VAB//CD,

JN8A£>+NC£>A=18()°,ZABC+ZfiCD=l80°,

，ZABC=NCDA,

・・・四边形人88的两组对角分别相等，故四边形人是平行四边形；

④添加=

VAB//CD,

4BAD+NCDA=180。，Z4BC+ZBCD=180°,

/.NBAD=NBCD,

・•・四边形A8CD的两组对角分别相等，故四边形A8CD是平行四边形.

⑤添加ZADB=NCBD或ZDAC=ZACB,

:.AD//BC,

,/AB//CD,

・•・四边形ABCO的两组对边分别平行，故四边形ABCO是平行四边形：

◎添加OA=OC,

•・•AB//CD,

・•・NBAO=NDCO,

在V4OB和△CO力中，

NBAO=NDCO

<0\=oc,

NAOB=ZCOD

A..AOB^.COD（ASA）,

：.OB=OD,

・・・四边形ABCD的对角线互相平分，故四边形ABCD是平行四边形；

⑦添加08=0Q,

AB//CD,

・•・乙BAO=CDCO,

在V408和△CW中，

NBAO=NDCO

ZA08=ZCOD,

OB=OD

・•../OS冬COD(AAS),

.\OA=OC,

，四边形A8CO的对角线互相平分，故四边形48co是平行四边形：

⑧/Z148+ZA8c=180°或ZADC+N8co=18()。，

:.AD//BC.

•；AB//CD,

••・四边形ABC力的两组对边分别平行，故四边形ABC力是平行四边形;

故答案为：A8=cr>或AD〃6C或NA=NC或NB=NO或乙M>8=NC8O或NZMC=NAC8或。4=0。或

OB=OD^NDAB+ZABC=180°或ZADC+/BCD=180°.

13.如图，在，ABCD中，4E是"840的平分线，AB=6,4）=4,则C£=.

【答案】2

【分析】本题考查了平行四边形的性质和角平分线的性质以及笔角对等边：

根据平行四边形的性质得到A6〃CD,A8=CD=6,从而得到乙由角平分线的性质得到

4AE=NDAE,进而推出NO£4=ND4E,从而得到OE=AO=4,即可求解.

【详解】解：•••四边形ABC。是平行四边形，

/.AB//CD,AB=CD=6,

/.3\E=QEA,

C是NBA。的平分线,

,ZBA£=ZZME.

；・ZD£4=ZZM£.

,DE=AD=4,

XVCD=6,

:,CE=CD-DE=6-4=2,

故答案为：2.

14.R新情境》图1中的五边形花环是由五个全等等腰二角形组成的.图2是它的示意图，则

ZMC=

【分析】本题考查等边对等角，正多边形的外角，根据题意易得中间五边形为正五边形，N4C8为其的•

个外角，根据正五边形的每个外角的度数相等，求出NAC8的度数，再根据等边对等角，结合三角形的内

角和定理，进行求解即可.

【详解】解：由题意，中间五边形为正五边形，-AC4为其的一个外角,

260。

:.ZACB=--=72°,

由题意和图可知：VA4C为等腰三角形，AB=AC

・•・ZABC=ZACB=72°,

o

・•・ZBAC=180-2x72°=36°;

故答案为：36°.

15.如图，在菱形A8CO中，点E为对角线80上的动点，若NABC=60。，AB=2,当CE+；%:的最小

值为G时，则N8CE=

D

【分析】过C作C”_LA8于〃，得出N8C"=30。，根据含30度角的直角三角形的性质勾股定理，求得

CH=6根据CE+gBE的最小值为石，得到E点在C〃上，即可得出4CE=30。.

【详解】解：过C作。〃_LA8于“，

.•四边形ABCO是菱形，ZABC=60°,42=2,

ZZJC/Z-30°，«BD=/ABD=-ZABC=30°,

2

'：CHVAB,

：.HE=-BE,

2

•・•BC=AB=2,

，BH=1,

•**CH=ylBC2-BH2=V22-12=75»

即E点在上时，可有+的值最小，且最小值为G，

此时NBCE=3。。，

故答案为：30°.

幢数学思想

16.如图，在正方形A8CD中，AB=2,点尸从点A出发，沿4—OfC运动到点。，点£

是边3C的中点，连接AE,A尸，EF,当为等腰三角形时，C/的长为

【答案】।或2或（

【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰二角形的定义，勾股定埋的应用，分二种情况再结合勾股定理

建立方程求解即可.

【详解】解：根据题意，可知：在正方形ABCD中，他=2,点E是边5c的中点，

:.AB=CD=BC=AD=2,BE=CE=、BC=l,NO=NC=ZB=90°.

2

当入厂=即时，设CF=x,

；・DF=2-x.

AF-=AD1+DF~=4+（2-^）\FE2=CE2+CF2=\+x2,

A4+（2-X）2=1+X2,

7

解得：x=-,

4

7

:.CF=-,

4

当AE二斯时，

EF=AE=>/22+12=y/5，

；・CF=>/EF2-CE2=J（可一/=2，

当A/=AE=6时，

；・DF=>JAF2-AD2=V5）2-22=1,

ACF=1,

综上所述，CF的长为1或2或

故答案为：1或2或y

4

三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分；

共9小题，共72分）

17.（6分）如图，将两块完全相同的含有30。角的直角三角尺48C、。由在同一平面内按如图方式摆放,

其中点A、E、B、。在同一直线上，连接A尸、CD.

（1）求证：四边形ACZ）厂是平行四边形:

(2)已知8C=6,若四边形ACQF是菱形，求40的长.

【答案】(1)见解析

(2)AD=18

【分析】本题考查了平行四边形的证明，菱形的性质，含3()度角的直角三角形的性质.

(1)由题意得：AARgADEF,推出AC=£>ENCAB=NFD石，得AC〃。尸，即可求证；

(2)由题意得C4=CD,推出NCD4=NC4O=30。，得到A4=23C=12,ZCDA=Z^CD=30°,推出

BD=BC=6,据此计算即可求解.

【详解】(1)证明：由题意得：AABCg&DEF,

・•・AC=DF/CAB=ZFDE,

.tAC//DF,

・•・四边形AC。尸是平行四边形；

(2)解：•・•四功形AC。产是菱形，

/.CA=CD,

・•・ZCZM=ZC4D=30°,

/.AB=2BC=\2,

,：ZCa4=60°,

・•・NCDA=/BCD=300,

/.BD=BC=6,

・•・AD=AB+BD=\S.

18.(6分)如图是4x4正方形网格，已知格点A,B,请仅用无刻度的直尺按下列要求作图.

⑴在图1中，以AB为一边，作一个周长为8忘的矩形；

⑵左图2中，以A8为对角线，作一个菱形AC8O,使其面积为4.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了网格作图，菱形、矩形的性质，勾股定理等知识.熟练掌握菱形、矩形的性质是解题

的美键.

（1）由矩形的周长为8应，则两邻边之和为4应，根据勾股定理可得=及，所以矩形另•条直角边的

长度为3亚,由此作图即可；

（2）根据菱形的面积等于对角线之积的一半，易求得菱形另一条对角线的长为2,由此作图即可.

【详解】（1）解：如图所示，矩形A6CD即为所求.

（2）解：如图所示，菱形ACBO即为所求.

若BF〃CD,Z4BC=80°,求/8CO的度数；

（2）已知四边形ABC。中，NA=11（）。，ZD=120°,求N/的度数.

【答案】（1）50。

（2）25°

【分析】本题考查了平行线的性质、多边形内角和外角，熟练掌握四边形的内角和是3600是解题的关键.

（1）根据题意可得NABE=100。，根据角平分线的定义可得乙仍尸=NEB/=50。，根据两直线平行，同位

角相等可得NDCB=NEBF=50°；

（2）根据角平分线的定义可得N8CF=N£>CF=gNBC。，AEBF=ZABF,根据四边形内角和定理可得

Z4BC+ZBCD=13O°,结合三角形的外角等于不相邻的两个内角之和即可求解.

【详解】（1）解：•/ZABC=800.

ZABE=180°-80°=1(X)°,

*/B尸平分/ABE,

ZABF=NEBF=50。,

,/BF〃CD,

/./DCB=/EBF=50。；

⑵解：:C尸平分NBC。，BF平分NABE,

Z.BCF=ZDCF=-4BCD,Z.EBF=ZABF,

2

：ZA+ND+NA4C+N3c£)=360。，4=110。，/拉=120。，

ZABC+ZBCD=36()O-110o-12()0=130o,

即180°-ZABE+2ZBCF=130°,

*/ZABE=2/EBF,/EBF=ZF+/BCF,

：.180O-2(ZF4-ZBCF)+2ZBCF=130°,

・•・2ZF=50°,

；・ZF=25°.

20.(6分)如图，在四边形A8CO中，AB»DC,NC=90。，E为边AB上一点，用=£>C,连接。石、BD.

⑴求证：四边形38E是矩形；

(2)若8。平分/AQC,A。=5,BE=2,求DE的长.

【答案】(1)见解析；

(2)4.

【分析】本题考查了直角梯形，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的

关键.

(1)根据平行四边形的判定定理得到四边形8CDE是平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形8CDE

是矩形；

(2)由(1)知，四边形68E是矩形，求得ZAED=NBED=90。,根据平行线的性质得到NCOB=/48力，

根据角平分线的定义得到NAOB=NCOA，等量代换得到NADA=N/SQ，求得人£>=人3=5,根据勾股定

理即可得到结论.

【详解】（1）证明：•・•ABDC,

：.CD//BE,

'：EB=DC,

・•・四边形4CQE是平行四边形，

•・,ZC=9（）°,

・•・四边形B8E是矩形；

（2）解：由（1）知，四边形8CDE是矩形，

・•・ZAED=ZBED=90°,

■:CD//AB,

・•・/CDB=ZABD,

•・•B。平分/AQC,

・•・ZADB=NCDB,

乙M）B=NABD,

・•・AD=AB=5,

:.AE=AB-BE=5-2=3,

・•・DE=y/AD2-AE2=752-32=4

21.（8分）如图，在四边形48CQ中，AB//DC,AB=AD,对角线AC、BD交于点、O,AC平分—8A。，

过点C作CEIAB交48的延长线于点七，连接OE.

⑴求证：四边形A4CO是菱形；

⑵若A8=而，BD=2,求OE的长.

【答案】（1）证明见解析

⑵石

【分析】（I）先证明四边形ABCQ是平行四边形，进而即可求记；

（2）利用菱形的性质和勾股定理求出AC,再根据直角二角形的性质即可求解;

本越考查了等腰三角形的判定，菱形的判定和性质，直角三角形的性质等，掌握菱形的判定和性质是解题

的关键.

【详解】（1）证明：•・•ABDC,

/.^CAB=ZDCA,

•・•AC平分ZD48,

:.NCA8="AC,

:.ZDG4=ZDAC,

:.CD=AD,

VAB=AD,

AB=CD,

•・•AB//CD,

・•・四功形A88是平行四功形，

又：AD=AB,

・•・平行四边形A5c。是菱形；

（2）解：I•四边形人BC。是菱形，BD=2,

：,OA=OC,OB=OD=-BD=\,BDA.AC,

2

・•・408=90。，

,:AB=R,

・•・OC=OA=JAB，-OB?=J（府-）=石，

・•・AC=2QA=2VS,

,:CEJ.AB,

AZA£C=90°.

•：0A=0C,

r.0E=-AC=y/5.

2

22.（8分）如图，ABCD,AB=2BBE平分NABC,CE平分NBCD,BF//CE,CF〃BE,BF=CF.

AD

F

⑴求证：四边形BEb是正方形.

（2）连接AE,若NAE8=75。，求线段打、的长度.

【答案】（1）答案见解析

⑵3向30

【分析】本题考杳平行四功形的性质，正方形的性质和判定，勾股东理，含30。角百角三角形的性质：

（1）由四边形A8CO是平行四边形，8E平分/ABC,CE平分/BCD,得到N8EC=90。，再由4"〃C£,

CF〃BE,BF=CF,可得四边形是菱形，进而得证四边形是正方形；

（2）过点石作EG_LAB,由（1）可得是等腰包角三角形，RtZkAGE是含30。角直角三角形，设AG=x,

利用48=26，可求出破,进而求出

【详解】（1）证明：•・•四边形A8C。是平行四边形，

:.AB//CD,

・•・ZABC+ZBCD=180°,

,/BE平分NABC,CE平分Z.BCD,

AEBC=-ZABC,/ECB=-Z8CD,

22

・•・/EBC+ZECB=g（NABC+NBCD）=90°,

:.N8EC=90°,

VBF//CE,CF〃BE,BF=CF,

・•・四边形BEb是菱形，

XVZBEC=90°,

**•菱形BECF是正方形.

即四边形8ECF是正方形.

（2）解：过点E作EG_LA8,如图所示，

•・•四边形班:（不是正方形，

ZE8c=45。，

•・•8E平分NA8C,

:./GBE=NEBC=45。,

EGLAB,

/GEB=NGBE=45。,

:.GB=GE,

•・•ZAEB=75。，

JZAEG=ZAEB-ZGEB=75°-45°=30°,

・••在RtZ\AGE中，设AG=x,AE=2AG=2x,

，GE=yjAE2-AG2=7（2X）2-X2=瓜,

・•・GB=GE=&,

***AB=AG+GB=x+gx,

••"=2。

**•x+yfix=2\[3,

・。=3-5

GB=GE=6g6）=3拒-3,

・•・BE=ylGB2+GE2=N/2（3^-3）=3X/6-3^,

•・•四边形BECF是正方形，

JBF=BE=3瓜-36.

23.（8分）综合与实践

如图，在长方形纸片ABCD中，AO=3,DC=4/为长方形纸片ABC/）边BC上的一动点，连接AP,将二A4P

沿AP折叠，点B落在点"处.

B

DET

（I）如图1,当点B'落在边CO上时，C8'的长为________.

（2）如图2,连接AC,当点&落在AC上时,求用的长.

（3）如图3,当点P与点C重合时，AB与CD交于点、E,求A4CE的面积.

【答案】（1）4一五

【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，灵活运用勾股定理列

方程是解决问题的关键.

（1）根据折叠的性质与勾股定理即可求解；

（2）根据折叠的性质得AB=A9=4,8P=BP,WP=/5=90。，再设夕尸=3P=x,则

PC=BC-BP=3-x,由勾股定理列方程即可求解；

（3）根据折叠的性质得出NEAC=NBAC,再由长方形可得N£C4=N84C,则可得E4=£C,设

EA=EC=m,则OE=£）C-EC=4-〃z,由勾股定理列方程求解出EC,即"J求出△ACE的面积.

【详解】（1）解：•・•四边形A8CZ）是长方形，

ABC=AD=3,AB=DC=4,ZC=ZD=90°,

由折叠可得，AB=AB,=4,BP=BP,

在□△AO8'中，DB'=相-AD2=衣二？=用，

/.B，C=DC-DIT=4-近.

故答案为：4-币.

（2）解：•・•四边形48C。是长方形,

***AC=^\lAD2+DC2=V32+42=5»?B90?,

由折叠可得，AB=AB,=4,MP=BP,ZAB,P=ZB=90°,

BfC=AC-AB,=\,/尸8'C=180O-ZA8'P=90。，

设=则PC=BC-BP=3-x,

在RtPC£中,BF+B，C?=PC=即W+12=(3T)2,

4

解得户记

4

・•・P8的长为

J

(3)解：由折叠可得NEAC=NBAC,

・・•四边形ABC。是长方形，

・•・ABDC,

・•・ZECA=ZHAC,

ZE4C=Z£C4,

，EA=EC,

设E4=EC=〃7,则DE=DC-EC=4fi,

在RtADE中,AD2+DE2=EA2^即3?+(4-姆=>,

解得m=25即EC=2­5,

oo

,c1_125,75

.ACE22816

75

・•・"CE的面积为工.

Io

自解题方法

方法总结

1.抓折置本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂宜平分对应点连线。

2.利用矩形性质：结合矩形四个角为直角、对边平行的性质，寻找全等或直角三角形。

解题技巧

I.标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，以及由折叠产生的新等量关系。

2.设元列方程：常设未知线段长为x,在直角三角形中利用勾股定理建立方程求解。

24.(12分)【问题解决】

(1)如图1,在矩形ABC。中，点E,F分别在边DC8C上，下，垂足为点G.求证：ZAED=ZDFC.

图1图2图3

【拓展提升】

(2)如图2,在正方形AACO中，点E,尸分别在边。C3。上，A£=OF,延长到点〃，使C〃=£>£,

连接。〃，求证：ZADF=ZH.

【类比迁移】

(3)如图3,在菱形A8C。中，点E,尸分别在边。C3C上，AE=DF=\l,DE=8,ZA切=60。，求C尸

的长.

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)3

【分析】(1)由矩形的性质可得N/X:尸=900则NC7)尸+N力R7=90。，再由他可得NDGE=900,

则/8尸+加D=90°,根据等角的余角相等得NA£D=NDFC,即可；

(2)利用"HL”证明，APE”"/7,可得DE=CF,由C〃=OE,可得b=C〃，利用“SAS”证明

_DCFgDCH,则ND〃C=ND尸C,由正方形的性质可得AO〃8C,根据平行线的性质，即可得证；

(3)延长8c到点G,使CG=力石=8,连接。G,由菱形的性质可得AD=DC,AD//BC,则ZADE=/DCG,

推出..AOEqJX;G(SAS),由全等的性质可得皿C=ZAED=6(r,DG=AE,进而推出一。户6是等边三角

形，再根据线段的和差关系计算求解即可.

【详解】(1)证明：•・•四边形A3CO是矩形，

/DC产=90。，

ZCDF+ZDFC=90°,

•/AE1DF,

・•・zJ9GE=90n,

ACDF+ZAED=9Cf,

・•・ZAED=NDFC；

(2)证明：「四边形/WCQ是正方形，

:.AD=DC,AD//BC,ZADE=/DCF-

•.AE=DF,

J.ADEWDCF(HL),

/.DE=CF,

又。CH=DE,

/.CF=CH,

‘点”在BC的延长线上，

•••HDCH=/DCF=90°,

.DC=DC,

工DCFgDCH(SAS),

：.ZH=ZDFC,

AD//BC,

:.ZADF=ZDFC,

***ZADF=Z.H；

(3)解：如图，延长BC到点G,使CG=OE=8,连接£>G,

•••四边形ABC。是菱形，

/.AD=DC,AD//BC,

/.ZADE=NDCG,

...ADE^IX：G(SAS),

;.NDGC=ZAED=60P,DG=AE,

AE=DF,

:.DG=DF,

・•.,DR7是等边三角形，

:.FG=FC+CG=DF=11,

..fC=ll-CCz=ll-8=3.

12分）在菱形4AC。中,/8=二（0。＜二＜