2026年高考数学一轮复习检测卷02（学生版+解析）

2026年高考数学一轮复习检测卷02（全国通用）

（考试时间：120分钟；满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写

在答题卡上。

2.回答第1卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（5分）（2025・陕西西安・模拟预测）己知集合4={%氏2一%工0},8=*总工1},则4nB=（）

A.（0,1]B.（0,1）C.[0,1]D.[1,0）

2.（5分）（2025•福建泉州•模拟预测）若（l+i）z=2,则在复平面内z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（5分）（2025・广西•模拟预测）为落实“双碳”目标，某环保组织调研10个国家2024年度的人均碳排放

强度（单位：吨/人•年），得到数据如下：2,4,5,7,8,9,11,12,13,15.则该组数据的30%分位数

是（）

A.6B.7C.8D.9

4.（5分）（2025•北京海淀•二模）设。、匕、cER,Q儿工0,且a>匕>c,则（）

A.^+->2B.-+^<2

bcab

C.2a>b+cD.a+b>c

5.（5分）（2025•江西新余•模拟预测）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=b,且华=

sin26

2（l+V5sinC）.则？=（）

A.2V3B.3V2C.V3-1D.

6.（5分）（2025・广东•模拟预测）已知双曲线。喘一3=1（。>0,/?>0）的左，右焦点分别为a,%人是双

曲线C上一点，8为线段4用的中点.若因尸2|=|4尸21=2出尸2|，则。的离心率为（）

A.V3+1B.2C.军D.V2

7.（5分）（2025•辽宁鞍山•模拟预测）已知正项数列｛即｝为等比数列，且5a2是。4与3a3的等差中项，若g=2,

则该数列的前5项和为（）

A.10B.15C.30D.31

8.（5分）（2U25•河北石家庄•三模）已知/（X）是定义在R上的奇函数，当必、不€（。，+8）且与工小时，

都有过"口竿>。成立，**2025）=2025,则不等式/'（%）-4>0的解集为（）

A.（-co,-2025）U（2025,4-oo）B.（-2025,0）U（2025,+oo）

C.（-2025,2025）D.（一表，康）

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.（6分）（2025•广东佛山・三模）生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高不仅线性相关，而且还是

正相关.有人调查了10名男大学生的身高y（单位：cm）及其父亲身高x（单位：cm）的数据

（左,yi）（i=l，2,…J0），已知其中一组数据为（182,185）,且£以々=1750,求得经验回归方程为夕=0.65%+

63,并绘制了如下残差图（残差=观测值-预测值），则

八残差/cm

4--------------------------；------------j

2..............................・.....................i

0^122__,__,__,_•

_165,・,175180185190：父亲身禽/cm

-2...................................•................\

•।

-4-----------------------------------------；

A.这10名男大学生的身高的平均值为176.75

B.由残差图可判定儿子身高与父亲身高的关系不符合上述回归模型

C.数据（182,185）对应的残差为3.7

D.去掉数据（182,185）后，重新求得的回归直线的决定系数R2变小

10.（6分）（2025・江西新余・模拟预测）已知函数/（%）=%（铲—1）一出11%（。€幻，则（）

A.若Q=1,则/（%）N1B./（幻可以有2个极值点

C.若QM0,则/（%）是增函数D.若/（%）=（a-1）%有两个零点巧,％2，则a>e

11.（6分）（2025•河北邯郸・一模）如图明角花瓣”图形可以看作由抛物线C:x2=2py（p>0）绕坐标原点

分别旋转，n,?后所得三条曲线与。共同围成的区域（阴影区域），48分别为。与另外两条曲线在第一

象限、第二象限的交点，若|力研=8,阴影部分的面积为S,则（）

B.△408的面积为16

C.S的值比32小

D.直线y=x+b截第二象限“花瓣”的弦长可能为1.4

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）（2025•广西•模拟预测）已知向量ZB满足回=1,\b\=2,且12G-b\=2,贝以＞+b\=.

13.（5分）（2025•河北秦皇岛•模拟预测）设QH0,若曲线f（x）=alna-1）在点（2,f（2））处的切线也是

曲线g（%）=eax~2的切线，则Q=.

14.（5分）（2025•安徽合肥•模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，

小球与大球、正四面体的三个面均相切.若A3=12,则该模型中一个小球的体积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.（13分）（2025•四川绵阳•模拟预测）已知函数/（%）=V5sin2%+2cos2%-1.

⑴求函数/（%）的单调递增区间及在［0弓］上的值域；

（2）若。为锐角且/"（0）=V，求cos26的值.

3

16.(15分)(2025・四川广安•模拟预测)已知椭圆。《+\=1(。：＞匕：＞0)上任意一点「到。的两个焦点

6(-ZV2,0),“2(2心U)的距离之和为4

(1)求C的方程；

(2)已知直线/:y=3%+m与C相交于人，B两点,若|48|=5,求m的值.

17.(15分)(2025・四川绵阳•模拟预测)如图，平面S4CL平面4CB,△S4C是边长为4次的等边三角形,

△＜CB为直角三角形，^ACB=90°,BC=4,

(1)当M为A3的中点时，求三棱锥M-BCS的体积;

(2)求二面角A-SB-C的正弦值.

18.(17分)(2025•四川巴中•模拟预测)已知函数f(x)=a%+lnx+l.

(1)当aV0时，求函数/(%)的单调区间：

⑵i寸论函数f(外的零点的个数；

(3)对于任意的无＞0,/(x)＜xe2x恒成立，求a的取值范围.

19.(17分)(24-25高三上•浙江杭州・期末)阿尔法狗(AlphaGo)是谷歌公司开发的人工智能程序，它第一

个战胜了围棋世界冠军.它可以借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策.工程师

分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来训练阿尔法狗(AlphaGo),三个阶

段的阿尔法狗(AlphaGo)依次简记为甲、乙、丙.

⑴测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个阿尔法狗(AlphaGo)各比赛一局，各局比赛结果相互独立.已知该

棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为j记该棋手连胜两局的概率为p,试判断该棋手在第二局与

谁比赛P最大，并写出判断过程.

(2)工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比

另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为心乙获胜的概率为例且

每局比赛结果相互独立.

(i)若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E(X)的最大值；

(ii)若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事M,证明：P(M)=A而.

a2+/?2

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（考试时间：120分钟;满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、注考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第H卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（5分）（2025・陕西西安・模拟预测）已知集合4={%氏2一%工0},8=*总工1},则4nB=（）

A.（0,1]B.（0,1）C.[0,1]D.[1,0）

【答案】A

【解题思路】解二次不等式和分式不等式，明确集合4氏再根据交集的概念进行计算.

【解答过程】由/一xwo,§Px（x-l）<0,解得OWxWl,所以力=[0,1].

由,1,移项得/1之0,即等价于仔（1：：『。，解得0<xWl,所以B=（0,l].

则4n8=（0,1].

故选:A.

2.（5分）（2025•福建泉州•模拟预测）若（l+i）z=2,则在发平面内z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解题思路】利用复数的除法法则将复数2化简，再利用复数的几何意义进行判断即可.

【解答过程】•・•（l+i）z=2,一二导濡念=一，

在复平面内Z对应的点为（1,-1）,位于第四象限.

故选：D.

3.（5分）（2025•广西•模拟预测）为落实“双碳”目标，某环保组织调研10个国家2024年度的人均碳排放

强度（单位：吨/人•年），得到数据如下:2,4,5,7,8,9,11,12,13,15.则该组数据的30%分位数

是（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】A

【解题思路】将己知数据按从小到大的顺序排列，求10X30%,结合百分位数定义求结论即可.

【解答过程】数据从小到大为：2,4,5,7,8,9,11,12,13,15,

又10x30%=10x0.3=3,

所以该组数据的30%分位数是千=6.

故选：A.

4.（5分）（2025•北京海淀•二模）设。、氏CER,abc0,且a>匕>c,则（）

A.^+->2B.-+^<2

bcab

C.2a>b+cD.a+b>c

【答案】C

【解题思路】利用特殊值法可判断ABD选项，利用不等式的性质可判断C选项.

【解答过程】对于A选项，不妨取a=2,b=1,c=贝吟+'=2-4=-2V2,A错；

4bc

对于B选项，不妨设Q=-l,b=-2,c=-6,则2+：=2+3=5>2,B错；

对于C选项，因为a>b>c,由不等式的基本性质可得2a>b+c,C对；

对于D选项，不妨设a=-1,b=-2,c=-2.5,则a+b=-3V—2.5=c,D错.

故选:C.

5.（5分）（2025•江西新余•模拟预测）在△力BC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,若a=6,且鬻=

2（l+V3sinC）.M!lj=（）

A.2V3B.3&C.V3-1D.

2

【答案】D

【解题思路】由题干条件和正弦定理得c2=2〃（i+V5sinC）,再由a=b及余弦定理可得。2=2力2（1一

cosQ,联立化简得tanC=-号，结合角。的范围求得C=4代入c?=2炉（1一cosC）求解即可.

【解答过程】由需=2（1+百sin。）及正弦定理可得圣=2（1+BsinC）,c2=2Z）2（1+V3sinC）,

由a=b及余弦定理可得c?=a24-b2-2abcosC=2b2（l—cosC）,

所以2炉（1+VlsinC）=2/（1-cosC）,所以VSsinC=-cosC,故tanC=-g,

又0VC<n,故C=尊所以c?=2炉（1—cosC）=川（2+遍），所以a=2+国，

所以胎学.

D2

故选：D.

6.（5分）（2025•广东•模拟预测）已知双曲线。:冬一《=1（。>0/>0）的左，右焦点分别为&尸2,人是双

曲线C上一点，B为线段AFi的中点.若|吊尸2|=/尸2|=2出尸21，则C的离心率为（）

A.V3+1B.2C.—D.V2

2

【答案】C

【解题思路】根据题意设尸/2I=MEI=2\BF2\=2c,由几何关系得N&l=2V3c,再根据双曲线定义知

|/F]|=2c+2a,联立即可求出离心率e=?.

【解答过程】由题意设IF/2I=\AF2\=2\BF2\=2c,

因为B为线段4a的中点，所以力81BF2,

又IBF2I=c，所以|8&|=V3c,则|40|=2V3c,

根据双曲线定义知|AF]|=\AF2\+2a=2c+2a,所以2>/5c=2c+2a,

解得£=",故双曲线的离心率为今1.

a22

故选：C.

7.15分）（2025•辽宁鞍山•模拟预测）已知正项数列｛斯｝为等比数列，且5a2是。4与3a3的等差中项，若=2,

则该数列的前5项和为（）

A.10B.15C.30D.31

【答案】D

【解题思路】由5a2是叫与3a3的等差中项可得2x5a2=a4+3a3,再利用等比数列的通项公式代入求出的和

q,最后利用等比数列的前几项和公式求解即可.

【解答过程】因为数列｛斯｝为正项等比数列，设公比为q(q>0),

乂5的是与3a3的等差中项，所以2x5。2=+3的=©a?+3。2。，^2q2+69=20,

解得q=2或q=-5(舍去)，

所以由。2=Qiq解得%=1，

所以该数列的前5项和S5=叫山==31,

l-q1-2

故选：D.

8.(5分)(2025♦河北石家庄•三模)已知/(%)是定义在R上的奇函数,当％］、乃W(0,+8)且修时，

都有x2/(x'r"(：2)>0成立,7(2025)=2025,则不等式f(x)-x>0的解集为()

xlx2\xl~x2)

A.(-8,-2025)U(2025,4-oo)B.(-2025,0)U(2025,+00)

C.(-2025,2025)D.(-募，士)

【答案】B

【解题思路】对包吟吟>0进行变形，得出函数g(x)=△2的单调性，再利用函数的单调性和奇偶性解

不等式.

/(X!)r(x2)

【解答过程】由“叫f八：2)〉0可得VX2>0,设函数仪切=盘，XG(O,+00),

xx

X1X2(X1-X2)l~2X

则g(%)在(0,+8)上单调递增,

又因为/(均为定义在R上的奇函数，9(一%)=止义二°(%)，所以g(x)为偶函数，g(x)在(一8,0)上单调递减,

-X

而不等式f(x)-x>0=｛需：之羽，

又因为f(2025)=2025,所以g(2025)=g(-2025)=1,

所以不等式的解集为(一2025,0)U(2025,+8).

故选：B.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.(6分)(2025•广东佛山・三模)生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高不仅线性相关，而且还是

正相关.有人调查了10名男大学生的身高y（单位：cm）及其父亲身高无（单位：cm）的数据

（孙力）（i=l,2,•••」（）），已知其中〜组数据为（182,185）,且X理1々=1750,求得经验回归方程为夕=0.65%+

63,并绘制了如下残差图（残差=观测值-预测值），则

八残差/cm

4

2

0・17。，

165'•,175180185190.父亲身需/cm

-2

-4

A.这10名男大学生的身高的平均值为176.75

B.由残差图可判定儿子身高与父亲身高的关系不符合上述回归模型

C.数据（182,185）对应的残差为3.7

D.去掉数据（182,185）后，重新求得的回归直线的决定系数”变小

【答案】AC

【解题思路】由线性回归分析的相关知识逐一判断各个选项即可求解.

【解答过程】（无为满足经验回归方程，代入土=175,计算可得了=176.75,故A正确；

从残差图中可以看到残差比较均匀地分布在以均值为0,横轴为对称轴的水平带状区域内，满足上述回归模

型，故B错误；

代入、=182,得歹=181.3,因此残差为185-181.3=3.7,故C正确：

由残差图可知（182,185）是一个极端数据，去掉后重新求得的回归直线拟合程度会变好，决定系数产变大，

D错误.

故选：AC.

10.（6分）（2025•江西新余•模拟预测）已知函数/（4）=%（铲一l）-alnx（aWl）,则（）

A.若Q=1,则B.八%）可以有2个极值点

C.若Qa0,则/'（%）是增函数D.若=（a-l）x有两个零点无2，则Q>e

【答案】ACD

【解题思路】A由/'（幻=xex-ln（xex）,设t=xex,x>0=>t>0,设g（t）=t-Int并应用导数研究不等式

判断；B对函数求导，构造/1（%）=^（>2+工）一%一心应用导数研究其零点判断；C由函数单调递增，有

/i（x）=/e*+%（铲一1）一Q工o恒成立，结合其单调性判断；D令”不铲且不>0,问题化为竽二:有两个

解3£2,利用导数求左侧的单调性和值域求参数范围判断.

【解答过程】由于Q=1,则/(%)=xex—(x+Inx)=xex—ln(^ex),

设亡=xe",x>0=t>0,设g(t)=t-ln3则=

所以t6(0,1)时，g'⑴VO,此时g(t)单调递减;tw(l,+8)时，g\t)>0,此时g⑴单调递增，

所以g(t)min=g⑴=1，即g(£)zi，故A正确;

由于尸(无)=ex(x+1)—1—?='"+j)r-a,设九(T)=ex(x24-z)—x—a,

则A'(x)=ex(x2+3x+1)-1=ex(x2+3x)+(ex-l),x>0,

所以九G)>0,h(x)在(0,+8)上单调递增，即h(x)=。不可能有2个解，

所以/(均不可能有2个极值点，故B错误；

若/(外是增函数，则/''(%)>0,即九(%)=x2ex+x(ex-1)-a>0恒成立，

由上知h(x)是增函数，又3>0,只需a40,故C正确；

f(x)=(a-1)%有两个零点，BPxex-aln(xex)=0有两个不同的解4力外，

令£=;^*且无>0,则£'=(x+l)e*>0,故1=xe*在(0,+8)上为增函数且£>0,

故原方程有两个解转化为〜alnt=O有两个解5匕易知"0,即半4有两个解J%

设力«)=则,则九，«)=等，当tE(O,e)时九'(£)>0,tW(e,+8)时”(£)V0,

VI

所以九⑴在£G(0,e)上单调递增，在te(e,+8)上单调递减，则/i(£)<h(e)=:,

由tOuu,hQ)-3,£-»十3,九(()->0,所以0<：<，即a>e,故D正确.

故选：ACD.

11.(6分)(2025•河北邯郸・一模)如图“四角花瓣”图形可以看作由抛物线。:32=29、0>0)绕坐标原点

分别旋转》7T，T后所得三条曲线与C共同围成的区域(阴影区域)，48分别为c与另外两条曲线在第一

象限、第二象限的交点，若|力8|=8,阴影部分的面积为S,则()

A.p=1

B.△/OB的面积为16

C.S的值比32小

D.直线y=%+b截第二象限“花瓣”的弦长可能为14

【答案】BCD

【解题思路】根据对称性，可求得各曲线的方程，进而求出交点4B,从而判断选项A和B；对于阴影部分

的面积，利用适当放大，可对选项C进行判断；最后通过求出弦长与b的函数关系进而求出弦长的取值范围,

可判断D.

【解答过程】设抛物线C绕原点顺时针旋转%IT,g后得到的三条曲线分别为G，Q,

抛物线C的焦点为(0,9,故G的焦点为0,0),C2的焦点为(0,-乡，C3的焦点为(一表0).

22

故G：y2=2p%,C2,.x=-2py,C3:y=-2px,p>0.

对于A：A为曲线C与G交点，联立方程二暮解得忧/即4(2p，2p).

8为曲线C与C3交点，联立方程=,解得凭=/,即B(-2p,2p).

U=-2px(y=，P

乂因为|力8|=8=|2p-(-2p)|=4p,故p=2.故A错误.

对于B：由上述过程可得，4(4,4),B(—4,4),△4B。的面积为8x4x；=16.故B正确.

对FC：由「对称性，阴影部分在四个象限的图形全等，故只讨论第一象限部分.

第一象限部分依然根据对称性，可分为两份，以下只讨论曲线C与直线y=x困成的部分.

设函数/(幻二则((幻=:工故过4点的切线斜率为2.

因此过4点的切线方程为y=2%-4.该切线与％轴交于M,故M(2,0).

S'<SMOM=1X2X4=4.故S<8sMOB=32.故C正确•

对于D：第二象限的“花瓣”图形rtl曲线C和曲线C3围成，两者关于、=-%对称.

直线＞=%+8与曲线C相交，联立方程化简得/一4x-4b=0,且交点在第二象限,

所以x＜0,故X=2-2VF”，所以交点坐标(2-2WT万,2-26”+6).

由于“花瓣”图形仅限阴影部分区域，故一442—2行花工0,即1工厅施43.

由于C3与C关于直线y=一刀对称，直线y=x+b亦关于直线y=一无对称，

所以直线y=无+b与。3的交点坐标为(2VTTT-2-b,2yfTTb-2).

故弦长1=V2|4+b-4VTTF|

设11+b=m,贝ttZ=y/2\m2—4m+3|=y/2\(m—2)2-1|.

因此当m=l或3时，即b=0或8对，直线y=无+b与两曲线交于一点，弦长为0；

当m=2时，即b=3时，弦长最长，此时/=夜＞14故弦长的取值可能为1.4.故D正确.

故选：BCD.

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)(2025•广西•模拟预测)已知向量五，另满足闷=1,|S|=2,且12d-瓦=2,则忻+b\=.

【答案】V7

【解题思路】由|2五-瓦=2两边平方，结合数量积的性质及条件可求心兀再由忻+山=J(2+1)2结合数

量积性质求结论.

【解答过程】因为|2/—阴=2,所以(23-3)2=4/-4益j+京=4,

又同二1,\b\=2,所以G•月=1,

所以+b\=J(d+b)2=a22d-b+b2=y/7.

故答案为：V7.

13.(5分)(2025•河北秦皇岛•模拟预测)设QHO,若曲线fa)=aln(x—l)在点(2J(2))处的切线也是

曲线g(x)=egf的切线，贝IJQ=.

【答案】|

【解题思路】首先根据题意求出切线方程，然后对g(x)求导，根据斜率值和切点的函数值求出。的值.

【解答过程】因为尸(幻=三，所以广(2)=QJ(2)=alnl=0.

所以曲线/(%)在点(2,/(2))的切线方程为：y=a(x-2).

因为"(%)=碇数-2,设曲线g(%)与该切线的切点为(%,认%0-2)).

ax2

所以g'(%o)=ae0~=Q,所以-2=0,&Pax0=2.

ax2

又。(%o)=e0~=a(x0—2)=2—2cz=e°,

所以a=4

故答案为：

14.(5分)(2025•安徽合肥•模拟预测)如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球,

小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB=12,则该模型中一个小球的体积为.

【答案】V6n

【解题思路】根据题干信息画出示意图，根据正四面体的特征分别计算出大小球半径即可求出小球的体积.

【解答过程】如图所示，设。为大球的球心，大球的半径为R,大正四面体的底面中心为E,棱长为力B=12,

连接。4。8,OC,OD,OE,8凡

则BE=；8尸=：x12=4V3,h=AE==,x12=476,

二七四面体=4VO-ABC^

月8c.h=4x^ShABC-R,

.*./?=-h=\/6,

4

设小球的半径为r,小球也可看作•个小的正四面体的内切球,

且小正四面体的高九小=h-2R=2瓜,

•/=》小二"2灰=当，

,小球的体积为：gnr?="x(y)3=V6n,

故答案为：V6n.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)(2025•四川绵阳•模拟预测)已知函数/(%)=V5sin2%+2cos%-1.

(I)求函数/(外的单调递增区间及在[0T上的值域；

(2)若9为锐角且/(8)=-|,求cos26的值.

【答案】(1)单调递增区间为[-2+kTiW+kE(kEZ),值域为

36

⑵-智

710

【解题思路】(1)利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解.

(2)由(1)的信息，利用同角公式及差角余弦公式求解.

【解答过程】(1)依题意，函数/'(%)=V5sin2x+cos2x=2sin(2x+》

6

由一工+2/rn<2%+-<-+2kn,kGZ,解得—2+/cir<%<-+kn,kGZ,

26236

所以函数f(%)的单调递增区间为[-g+ku,I+Mr](kWZ)；

由0&%转，得注2x+浮，，f(x)min=2sing=-l,/(x)max=2sin]=2,

所以当％e[0,》/(x)的值域为

(2)由(1)知，/(x)=2sin(2x4--),由/(。)=一二得sin(26»+?=—之V0,

6565

由6€(0『)，得28+^6©,?),所以28+7C(ir,7),cos(26+：)=—[1—(—《2=—平,

Zoooooo□o

所以cos28=cos[(284-^)—^]=cos(2/9+^)cos^+sin(26+》sin\

2\[6近、，\、1672+1

=----X-+(--)X-=-------.

52v57210

16.(15分)(2025・四川广安•模拟预测)已知椭圆C:2+《=l(Q>b>0)上任意一点P到C的两个焦点

F](-2M0).(2®0)的距离之和为“5.

（1）求C的方程;

（2）已知直线上y=：X+TH与C相交于A,3两点，若/8|=5,求TH的值.

«5

【答案】（】§+9=1

（2）±V2

【解题思路】（I）根据题意得到美于a,b,c的方程组，解出即可；

（2）先联立直线方程和椭圆方程，得出根与系数的关系，再结合弦长公式代入计算求解参数.

C=2&,2_10

【解答过程】⑴由题意可得｛2a=475，解得｛）2；孑，

.a2=b2+c2

故C的方程为[十1=1.

124

d+竺=1

（2）联立《124，得：/+2mx+37n2-12=0.

（y=/+m

△=4m2-4xg（3m2一12）>0,解得m?<y.

（x1+x2=

设4（%1，%）,B（%2,，2），则，9m2-36'

（和2=^—

[4B|=+g）+/）2-4/小

=^xI（-四）2一（9/_36）=，x、6_亚=5,

3y23\4

解得m=±或，即m的值为±&.

17.（15分）（2025・四川绵阳•模拟预测）如图，平面S4C_L平面力。8,△S4C是边长为的等边三角形,

△/C8为直角三角形，^ACB=90°,BC=4,

B

A

（1）当M为A4的中点时，求三棱锥M-8CS的体积;

（2）求二面角4-SB-C的正弦值.

【答案】（1）875；

Q噜

［解题思路］（1）连接SM,MC,作AC的中点N,连接SM根据面面垂直的性质定理得SN是三棱锥S-ABC

的高，再应用极锥的体积公式求三棱锥M-NC3的体积；

（2）连接根据己知构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，求相关平面的法向量，再应用向

量法求夹角余弦值，进而得到其正弦值.

【解答过程】（1）如图，连接SM,MC,作AC的中点M连接SM

△S4C是边长为4国的等边三角形，N是AC的中点，所以SN=6,SNLAC,

平面S4c1平面ACB,平面SACn平面ACB=AC,SNu平面S4C,

根据面面垂直的性质定理知SN1平面ABC,所以SN是三棱锥S-ABC的高，

由题意知：VM-RCS=2VS-ABC=3乂§、3乂4乂4x^3x6=8V3»

故三棱锥M-8CS的体积为80.

x

(2)连接MM在ZkACB中，ACIBC,MN//BC,所以MN1AC,

结合(1)易知SN,MN,AC两两垂直，建立空间直角坐标系N-xyz,如图,

/.Z(2V3,0,0),3(-2百,4,0),5(0,0,6),。(一26,0,0),

：,SB=(-273,4,-6),SC=(-273,0,-6),^4=(273,0,-6),

设可=Oi，%,Zi）,布=（孙,丫2,22）分别是面ASA、面CSB的法向量,

元•花=-2V3%14-4yl-6Zi=0

则令Zi=1,则由=(V3,3,l),

-sX=2炳Xi-6Zi=0

n^-SB=-2A/3X+4y-6z=0

222令Z2-1，则布=(-V3,0,1)»

,nJ-5C=-2y/3x2—6Z2=0

所以西•荻=-2,|可|同=2,

・•・瓦与/所成的角的余弦值为cos3=急二一等，正弦佰为sin。=警,

故二面角力-SB-C的正弦值为名.

*J

18.(17分)(2025・四川巴中•模拟预测)已知函数f(%)=ox+ln%+l.

(1)当aV0时,求函数〈工)的单调区间;

(2)讨论函数/Xx)的零点的个数;

(3)对于任意的%>0J(x)<疑2久恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)单调递增区间是(0,-；)，单调递减区间是(一，+8)

(2)答案见解析

(3)(-％2)

【解题思路】(1)先求定义域，求导，令/'(%)>0,r(幻<0,求可得单调区间;

(2)参变分离，研究g(x)=-山，％>0的单调性，分类讨论进而可求解;

(3)参变分离，构造函数，求其单调性，最终求出极值，最值，求得实数a的取值范围.

【解答过程】(1)函数/•(%)的定义域为(0,+8),r(x)=a+^(x>0),

由题意，a<0,

令/'(%)=a+：>0,解得OcxV-：；令，(X)=Q+：V0,解得

所以，/Q)的单调递增区间是(0,—0，单调递减区间是(一］+8).

(2)f(x)定义域为(0,+8),由f(x)=ax+Inx+1分离参数，得。=一些也

令心)=_噌

函数/(%)的零点的个数即为g(x)与直线y=a的交点个数即为原函数零点个数.

求导得，g'(x)=舞令=0,解得x=1.

当0cxV1时，g，(x)V0,所以g(x)在(0,1)上单调递减;

当x>1时，g'(x)>0,所以g(x)在(1,+co)上单调递增.

所以，gCOmin=或1)=T

乂因为gQ)=0,所以，当0vxV;时，g(x)>0；当x>:时，g(x)<0,

又xT+8时，g(x)To.

当a<-1时，g(x)与直线y=a无交点，即函数/(%)无零点；

当a=—l.或。工0时，g(x)与直线y=G有一个交点，则函数f(x)有一个零点;

当-1<a<0时，g(x)与直线y=Q有两个交点，则函数/(%)有两个零点.

综上所述：当。<一1时，函数/•&)无零点；

当。=-1或QNO时，函数/(x)有一个零点；

当-lVaVO时，函数/(均有两个零点.

(3)设s(%)=\nx+2x,则s(x)在(0,+8)上为增函数,

而$(：)=：—lvO，s(l)=1>0,故s(x)在(0,+8)有唯一解沏.

而由题设可得任意的%>0,«<-Tny恒成立

X

令力(x)=ex—x—1»则d(欠)=ex—1,

当为<0时，(p'(x)<0,函数斗(%)=e"-x—1在(―8,0)上单调递减，

当《>0时,*'(%)>0,函数¥(%)=铲一％-1在(0,+8)上单调递增,

所以/(%)之3(0),所以e"-％-1NO,所以e"N%+l,当且仅当％=0时取到等号，

所以当%>0时，有洸2*=e,nxe2x=e,nx+2x>(Inx4-2x)+1,

当且仅当］nx+2%=0,也就是当％=%时取等号.

所以土詈二工皿也产3=§=2,当且仅当％=%时取等号.

所以QV2,故Q的取值范围是(一8,2).

19.(17分)(24-25高三上•浙江杭州•期末)阿尔法狗(AlphaGo)是谷歌公司开发的人工智能程序，它第一

个战胜了围棋世界冠军.它可以借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策.工程师

分别用人类围棋对弈的近100万、500万、100()万种不同走法三个阶段来训练阿尔法狗(AlphaGo),三个阶

段的阿尔法狗(AlphaGo)依次简记为甲、乙、丙.

(1)测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个阿尔法狗(AlphaGo)各比赛一局，各局比赛结果相互独立.已知该

棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为;，记该棋手连胜两局的概率为〃，试判断该棋手在第二局与