高三数学一轮学案：一元二次方程不等式

§1.6一元二次方程、不等式

【课标要求】1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个

数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法.

1.二次函数产底+加+8。〉。)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0),不等式6+力x+c>0(〃>0)的解的对应关

系

2.分式不等式与整式不等式

(喘X)(<0)o；

(2)怒20(W0)o.

3.简单的绝对值不等式

卜因(心0)的解集为,3<〃3〉0)的解集为.

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“J”或“X”)

(1)若方程ar+/?A+c=O无实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.()

(2)若不等式(加+辰+(>0的解集为(工1,X2),则«<().()

(3)若ax2+bx+c>0恒成立，则“>0且J<0.()

(4)不等式三20等价于(M)(助，0.()

X-D

2.(2024・保山模拟)已知不等式93.什2<0的解集为A,不等式岩<0的解集为8,则“x£A”是匕£8”的

()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.若关于x的不等式£+(2〃?1)x+m2ni>0的解集为{也<3或x>4),则m的值为.

4.若关于x的不等式92级十18>0恒成立，则实数a的取值范围为.

谨防三个易误点

(1)含参不等式的求解，注意分类讨论思想的运用，对参数分类时要做到不重不漏.

(2)当未说明不等式为一元二次不等式时应分二次项系数等于零利不等于零两种情况讨论.

⑶当/<0时，注意区分不等式aF+〃x+c>0(aWO)的解集是R还是0.

题型一求解一元二次不等式

命题点1不含参的不等式

例1(多选)下列选项中，正确的是()

A.不等式x2x+2>0的解集为{x|xv2或£>1}

B.不等式翌W1的解集为33Wxv2}

C.不等式W2I21的解集为{mWxW3}

D.设x£R,则“g|vl”是“=<0”的充分不必要条件

命题点2含参的不等式

例2已知函数火x)=aF+3x+2.若>0,解关于x的不等式fix)>ax1.

思维升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有

(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.

(2)根据判别式/与0的关系判断根的个数.

(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.

跟踪训练1解关于x的不等式：

⑴岩W3；

(2)at二(2a1)x220.

题型二三个二次之间的关系

例3(1)(多选)(2025•蚌埠模拟)已知关于x的不等式6+岳；+“0的解集为(8,])u(5,+oo),则下列结

论正确的是()

A.a>0

B.a+/?+c>0

C.bx+c>0的解集是卜|x>I]

D.cx%工+a〈0的解集是卜|x>—,或％<—1]

(2)若关于x的方程ar2+(f/+2)x+9«=0有两个不相等的实数根E，且为<1<也，则a的取值范围是

()

75B.aB>75

C.a<|D.D.<0

思维升华已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可

以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.

跟踪训练2(1)若不等式以2+2r+c<0的解集是(-8,-0U(|,+8),则不等式cflr+aWO的解集

是()

I]B[-rI]

C.[2,3]D.[3,2]

(2)(多选)已知关于x的不等式a(x+l)(x3)+l>()(aW())的解集是(乃，X2)，则下列结论正确的是()

A.X1+X2=2B.XB.X1X2<3

CJ<A1<X2<3D.X2X1>4

题型三一元二次不等式恒成立问题

例4已知函数J(x)=nvc\fn1)x+m1.

⑴若不等式7U)vl的解集为R，求〃7的取值范围；

⑵若不等式於)20对一切工£国，1恒成立，求〃2的取值范围；

(3)若不等式./(外>2对一切相£(0,2)恒成立，求x的取值范围.

思维升华恒成立问题求参数的范围的解题策略

(1)弄清楚自变量、参数一般情况下，求谁的范围，谁就是参数

(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式J;一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式J,

一般分离参数求最值或分类讨论.

跟踪训练3已知函数段)=/3/口

⑴若大幻>0在R上恒成立，求实数〃的取值范围；

(2)若/U)<0在(1,2)上恒成立,求实数a的取值范围.

答案精析

落实主干知识

I.{x|x<Vi或X>X2}

£)R

2.(1次r)g(x)>0(〈0)

(2次»ga)2o(wo)且ga)w()

3.(°°,a)U(a,+8)(〃，〃)

自主诊断

l.(l)XQ)J(3)X(4)X

2.C3.34.(372,372)

探究核心题型

例1BD|由题知方程fx+2=0的解为,刈=2,所以不等式—+2>0的解集为{川2<«1)，故A错误；

因为竺;1W0,即当W0,即(x+3)(x2)W0(x2W0),解得34<2,所以不等式的解集为{x|3Wx<2},故B正

X—2X—2

确；

由⑼21,

可得.i2Wl或,

解得xW]或x23,所以不等式的解集为MxWl或x23},故C错误；

由g|〈l,可得l<xl<l,解得0《<2,由罢<0,可得4<3<5,因此，“旧|<1”是“二<0”的充分不必要

条件，故D正确.]

例2解不等式«丫)>“1可化为五+3+3).叶3>0,

即(or+3)(x+l)>().

因为心0,所以当晨1,

a

即0«<3时，原不等式的解集为卜卜>一1或％<一金；

当三：1,即0=3时,原不等式的解集为MxWI};

a

当》1,即心3时，原不等式的解集为卜卜V-1或x>

跟踪训练1解(1)由题意鸟3=FWO,

1—X1—X

-Tz=f(5x-3)(x-l)>0,

(%—1HO,

解得.W|或Ql,

所以不等式的解集为(一8,|]u(l,+°°).

(2)不等式加(20)x220可化为(avH)(x2)2(),

当a=0时,x220,

不等式的解集为[2,+8)；

当心。时，

不等式化为(无+力。2)20,

其解集为(—8,—T]U[2,+8)；

当白<0时，

不等式化为卜+3)(x2)W0,

①当工<2,即时，

a2

不等式的解集为卜家2]；

②当工二2,即时，

Q2

不等式的解集为{2};

③当工>2,即;<a<0时，

a2

不等式的解集为[2,-1].

例3⑴CD［由题意可得1和5是方程加+法+c=0的两根，且a＜0,

由根与系数的关系可得1+5=^,IX5=-,得b=6a,c=5a,

aa

对于A,因为。＜0,故A错误；

对于B,a+b+c=a6a+5a=O,

故B错误；

对于C,不等式bx+c＞0,即6ar+5a＞0,即6x5＞0,得W,

所以不等式bx+c＞0的解集是卜卜＞|},故C正确；

对于D,由不等式cfbx+avO,

得〃（5/+6工+1）＜0,

即5r+6x+l＞0,

则（5计l）（x+1）＞0,

得或x＜l,

即解集为卜卜＞一（或xv-l}，故D正确.］

⑵D［方法一显然。工0；

令外）=五+（。+2）4+9〃,

当时/⑴＜0,

当。＜0时，川）＞0,

故破1）＜0,即。（11〃+2）＜0,

解得个＜“＜（）,

方法二因为方程aF+（a+2）x+9a=0有两个不相等的实数根即，刈，

,a+2

所以12a

无1孙=%

因为X\＜\＜X2,

所以（加1）31）＜0,

即XIA2（X1+X2）+I<0,

贝I」9+等+1<0,解得票。<0」

跟踪训练2(1)C[因为不等式aF+2x+c<0的解集是

-co,-0U(1,+8),

所以T和3是方程。好+2叶-0的两个实数根，

32a

由11c

一一X-=-,

32a

a=-12,

解得

,c=2,

故不等式c/2x+aW0,即2rZvl2<0,

解不等式f.vbWO,得2WxW3,

所求不等式的解集是|2,3J.J

⑵ABD|由题意得，a<0,且Xi,必是一元二次方程。。+1)。3)+1=0,即以攵⑪+⑶片。的两根，

所以.Vi+X2=—=2,故A正确；

a

XI^2=^-^=-3<3,故B正确；

aa

2-

xin=y(%i+x2)4%1%2=^4-4x-^^=2J4-^>4,故D正确；

由3>4,可得14|42<3是错误的，故C错误」

例4解⑴不等式危)<1,

即〃*(〃")x+〃z2<0,

当m=0时，工2<0,

解得<<2,不符合题意；

当机W0时,

.fm<0,

有｛C

(4=[—(rn—I)]2—4m(m-2)<0,

解得"2〈三芋，综上所述，m的取信范围为(一8,二理).

⑵不等式於)20对一切心，(恒成立,

即研&+1R1X对一切工目后，，恒成立,

因为+》0,

则不等式等价于冷彩高对一切工£昌，寺恒成立，

由回WI]•

得1-X二_1

^x2-x+l~x2-x+i