浙教版初升高一数学暑假预习专练：函数的概念和图像（原卷版+解析）

函数的概念和图像

一、函数的概念

1.定义

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系3使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中

都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A-B为从集合A到集合B的一个函数.

记作:y=f(x),xeA.

其中，X叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值

的集合{f(x)IxwA}叫做函数的值域.

2.区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间:

(2)无穷区间；

(3)区间的数轴表示.

区间表示：

[x\a<x<b]=(«,/?);{xaWxWb}二[a,b]：

{x\a<x<b]=(〃,〃]；(x\a<x<b]=[«,/?)：

{x|x</?}=(-oo,/?];{x|a<x}=[a,.

二、函数的图像

函数的图象是函数关系的一种表示，它是从“形”的方面刻画函数的变化规律。通过函数图象，可以形

象地反映函数的性质，利用函数图象既有助于记忆各类初等函数的性质，又可以运用数形结合的方法去解

决某些问题。

在中学阶段，画函数图象有两种基本方法：

1、描点法，这种方法要与研究函数性质结合起来，切忌画图的随意性；

2、是图象变换法，它是把常见函数图象与图象变换的知识结合起来，可以研究各种不同函数的性质。

在这一部分，首先应熟悉各种变换规则，并且从各个角度将不同变换方法进行对比，从中总结规律，达到

熟练掌握的目的。

例I：函数的概念

设f(l+,)=l+1+-57，求/(x),/(X-1);

XXx~

【解答】f(z)=x2—x+l(x^0),f(x—1)=(T—1)2—(x—1)+1=22—3N+3QR2).

【解析】设£=1+1QHO),贝)1=£-1(£力1),

xx

•**f(0=%+(,-1)2=t2—t—1。w1),

:./(①)=x2—x+1(①丰0),

f(x—1)=(a;—1)2—(x—1)+1=——3①+3(1芋2).

例2：(1)若/(x+3)=--2x+3,求/(x)；

(2)已知/(工一！)=/+士+1,求/(血一1)的值.

XX

【解答】

【解析】(1)V/(x+3)=]2_2N+3=(，+3)2-2N—6C+3-9

=Q+3)之一83—6=(①+3)12—8(/+3)+24—6

=(N+3)2-8(Z+3)+18

J(a;)=——82+18；

⑵MT)=1-步1+2=0+3,

j(2)=*+3,

于是有=(^-1)2+3=6-2^.

例3：已知函数/(x),g(6分别由下表给出:

X123X123

f(x)131g仅)321

则满足/卜⑴]>g[/W]的x的值是.

【解答】2；

【解析】"g⑴]=/(3)=l,H/(D]=g(D=3,

f[g(2)]=/(2)=3,g[/(2)]=g(3)=1,

/皿3)]=f(1)=i,g[/(3)]=g(D=3,

「./[gQ)]＞。[/(切中N=2.

例4：函数的图像

作出函数y=」一的图象.

1^1-1

【解答】见解析

【解析】必须选择好变换的顺序。

巩固练习

一、选择题

1.下列图象中，表示函数关系），=/（幻的是（）

A.①B.①@④C.①②③D.③④

3.设A={R0WxW2},B={），|1W）W2},能表示集合A到集合B的函数关系的是（）

y

C.

4.2019年10月I日上午，喜悦的豪情在北京天安门广场倾情绽放，新中国以•场盛大阅兵庆祝70岁生日,

同时文都桐城也以自己的方式庆祝祖国七十华诞，此时发生在桐城的卜列两个变量之间的关系不是函数关

系的是（）

A.出租车车费与出租车行驶的里程

B.商品房销售总价与商品房建筑面积

C.铁块的体积与铁块的质量

D.人的身高与体重

5.下列对应是从集合A到8的函数的是（）

A.A=N,H=N,对应关系/：“求平力根”

1逆22

B.A=R,8={0,1）»对应关系/：£—//=

0,3：<2

C.A=R,B=Q,对应关系“=—377

D.A=N,B=N,对应关系/：x-y=\x-2\

6.下列各个选项中，其中表示定义域为4值域为8的函数的是（）

二、填空题

7.己知函数/（x）的定义域为4={1,2,3,4,5,6},值域为8={7,8,9},且对任意的xVy,恒有/

（A）勺（y）,则满足条件的不同函数共有个.

8.设集合且AW0,从4到Z的两个函数分别为/（x）g（x）=x+l,若对于人中的任意

一个元素-都有了(幻=g(A)+4,则集合A可能为

11.下列图象表示函数关系y=/S)的有.(填序号)

12.已知数集人=(莺，工2，4｝，8=｛m，”，力，)，4｝，则建立从集合A到集合3的不同函数的个数为.

13.图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量的对应关系，其中表示)，是x的函数关系的有

14.已知/(x)为一次函数,若川O]=4x+8,求f(x)的解析式.

15.已知集合A={1,2,3,k},8={4,7,a,4+3a},其中旄犯AWN,xWA,yEB,映射f：A-8,使

B中的元素y=3x+\和A中元素A对应，求〃和2的值.

16.A={3,10},8={1,8},对于任意AWA,x-如+A表示从集合A到集合8的函数，求实数a,〃的值.

17.下列各表表示x和)，的对应关系，判断这些对应关系中)，是否是X的函数.

表一

X1234

y-1-1-1-1

表二

X3456

y2324

表三

Xi234

y3,45,67,89,10

18.设集合力=4与一='/—1+—\，5=[3,4]

IV2-TJ

(1)求A；

(2)若/(/)=巴是A到8的一个函数，求实数。的取值范围.

函数的概念和图像

一、函数的概念

1.定义

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中

都有唯一确定的数「(x)和它对应，那么就称f:A-B为从集合A到集合B的一个函数.

记作：y=f(x),XGA.

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值

的集合｛f(x)|x£A｝叫做函数的值域.

2,区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间;

(2)无穷区间;

(3)区间的数轴表示.

区间表示：

｛x\a<x<b]=(a,b);(xaWxWb}=[a,b]；

{x\a<x<b}=(«,/?]；{x\a<x<b}=\a,b)\

{x\x<h}=(-co,b];{^|a<x}=[a,+oo).

二、函数的图像

函数的图象是函数关系的一种表示，它是从“形”的方面刻画函数的变化规律。通过函数图象，可以形

象地反映函数的性质，利用函数图象既有助于记忆各类初等函数的性质，又可以运用数形结合的方法去解

决某些问题。

在中学阶段，画函数图象有两种基本方法：

1、描点法，这种方法要与研究函数性质结合起来，切忌画图的随意性；

2、是图象变换法，它是把常见函数图象与图象变换的知识结合起来，可以研究各种不同函数的性质。

在这一部分，首先应熟悉各种变换规则，并且从各个角度将不同变换方法进行对比，从中总结规律，达到

熟练掌握的目的。

例I：函数的概念

设+求/(X),/U-1)；

XXX"

【解答】f(x)=x2-x-\-#：0),f(x—1)=(T—1)2—(x—1)+1=——3c+3(1芋2).

【解析】设£=l+[QH0),=

XX

，/a)=1+(t—iy2=t2—t—i(ti),

/(①)=x2—x-\-l(x丰0),

—=(x—1)2—(rr—1)+1=——3①+3(N=#2).

例2：⑴若<*+3)=/-2=+3,求/'(%)；

(2)已知-f+3+1,求/(也一1)的值.

XX

【解答】

(解析](1)/包+3)=/2—2N+3=(G+3)2—2/—62+3—9

=Q+3)之一8①一6=3+3)2—8(/+3)+24—6

=Q+3)2—8Q+3)+18

/Q)=X2—8z+18：

⑵T/(D=GT)+I+2=(T)+3,

.,./(/)=x2+3,

于是有/(6—1)=(^/2-1)2+3=6-2^/2.

例3：已知函数/(x),g(x)分别由下表给出：

X123X123

f(x)131g(x)321

则满足/k(x)]>g[/(x)]的x的值是.

【解答】2；

【解析】•."[g⑴]=/(3)=1,^[/(1)]=g(D=3,

/[g(2)]=/(2)=3,g[/(2)]=g(3)=1,

/[g(3)]=/(1)=l,g[/(3)]=g⑴=3,

/•/[。(切>g[/(切中N=2.

例4：函数的图像

作出函数丫=—;—的图象.

|X|一1

【解答】见解析

【解析】必须选择好变换的顺序。

y」则右平移个尸

一、选择题

I.下列图象中，表示函数关系），=/（外的是（)

【解析】根据函数的定义知，一个工有唯一的），对应，由图象可看出,只有选项。的图象满足这一点，故

选D.

是函数图象的是

0

A.①B.①@④C.①②③D.③④

【解答】B

【解析】根据函数的定义知：

在y是x的函数中，x确定一个值，丫就随之确定一个值，

体现在图象上，图象与平行于），轴的直线最多只能有一个交点，

对照选项，可知只有（2）不符合此条件.故选8.

3.设A={R0WxW2},B=31WyW2},能表示集合A到集合8的函数关系的是（）

【解答】D

【解析】4不是函数（一个x对应两个y）,排除；

8中,、曰0,2],不是集合A到集合B的函数关系，排除；

。不是函数（x=l时对应两个函数值），排除；

。符合要求，故选。.

4.2019年1（）月1口上午，喜悦的豪情在北京天安门广场倾情绽放，新中国以一场盛大阅兵庆祝70岁生日，

同时文都桐城也以自己的方式庆祝祖国七十华诞，此时发生在桐城的下列两个变量之间的关系不是函数关

系的是（）

A.出租车车费与出租车行驶的里程

B.商品房销售总价与商品房建筑面积

C.铁块的体积与铁块的质量

D.人的身高与体重

【解答】D

【解析】对于八选项，出租车车费实行分段收费，与出租车行驶里程成分段函数关系；

对干B选项，商品房的销售总价等于商品房单位面积售价乘以商品房建筑面积，商品房销售总价与商品房

建筑面积之间是一次函数关系；

对于C选项，铁块的质量等于铁块的密度乘以铁块的体积，铁块的体积与铁块的质量是一次函数关系；

对于。选项，有些人又高又瘦，有些人又矮又胖，人的身高与体重之间没有必然联系,

因人而异，。选项中两个变量之间的关系不是函数关系.故选》

5.下列对应是从集合4到B的函数的是（)

A.A=N,B=N,对应关系/：“求平方根”

1逆22

B.A=R,8={0,1},对应关系/:/—>?/=<

0,3；<2

C.A=R,B=Q,对应关系/：2~>g=

XJO>

D.A=N,B=M,对应关系/：x-y=\x-2|

【解答】B

【解析】对于选项4A=N,B=N,对应关系了：“求平方根”，则A中正元素4,求平方根后，对应±2,

-2W3且4中一个元素4对应两个元素J选项A不是函数；

1/>2

（二,、，则A中任一元素在8中都有唯一元素对

{U,2V2

应，B是函数；

对于选项C，A=R,B=Q,对应关系/：/->〃=一五，则A中元素3在4中没有元素对应，C不是函数；

对于选项。，A=N,B=N,对应关系/：%-*y=|x-2|,则A中元素2在8中没有元素对应，力不是函数;

故选B.

6.下列各个选项中，其中表示定义域为A,值域为8的函数的是（）

【解答】C

【解析】根据函数的定义，集合其中的每个元素都要有对应,且在4中的对应元素要唯一,

4错，函数的值域不是B；

8错，有一对多，

。错，有一对多，故选C

二、填空题

7.已知函数/(x)的定义域为A={2,3,4,5,6},值域为8={7,8,9},且对任意的恒有/

G)W(y),则满足条件的不同函，七有个.

【解答】10

【解析】如下图，可知满足条件的函

故答案为10.

8.设集合AGZ,且AX0,从AZ的两个函数分别为/(x)-1,g(x)=v+l,若对于A中的任意

一个元素工，都有/(x)=g(x)，则集合A可能为.

【解答】{-2}或{3}或{-2,3}

【解析】•・•集合AGZ,且AW0,

从A到Z的两个函数分别为/(x)=?-1,g(x)=x+l,

对于A中的任意一个元素x,都有/(x)=g(x)+4,

/.JC2-I=x+l+4,

整理，得：x2-x-6=0,

解得x=-2或x=3.

，集合A可能为｛-2｝或｛3｝或｛-2,3｝.

故答案为｛・2｝或｛3｝或｛-2,3｝.

【解析】在(1),任取一个x值，总有唯一确定的一个丁值与之相对应，故(1)可以作为函数y=/(x)的

图象；

在(2)中，取一个x值时，有时有两个)，值与之相对应，不是单值对应，故(2)不能作为函数)，=/(/)

的图象：

在(3)中，取一个x值时，有时有两个或3个)，值与之相对应，不是单值对应，故(3)不能作为函数y

=/(x)的图象；

在(4)中，取一个工值时，有时有两个y值与之相对应，不是单值对应，故(4)不能作为函数y=/(x)

的图象，故答案为(1).

10.若函数f(x)=f-2r+3-c的最小值为2017,则/(x+2017)的最小值是.

【解答】2017

【解析】函数/(工+2017)的图象由函数/(x)的向左平移2017个单位得到，

函数的最值不变，

由函数f(A)=？-2x+3-c的最小值为2017得：

函数/(x+2017)的最小值为2017,

故答案为2017.

11.下列图象表示函数关系y=/J)的有.(填序号)

【解答】①④

【解析】根据函数的定义，对定义域内任意的一个.1•都存在唯一的），与之对应，

若为函数关系，其对■应方式为一对一或多对一，

而②③都是一对多，只有①©是多对一.故答案为①④.

12.已知数集A={xi，X2,X3）,”，”，g},则建立从集合4到集合B的不同函数的个数为

【解答】64个

【解析】根据函数的定义，

数集A有元素即在8中的象可以为巾，”，"，以，共4种选择，

数集4有元素工2在6中的象可以为y,及，为，以，共4种选择，

数集A有元素33在8中的象可以为）2，>,3»1y4，共4种选择，

故满足条件的函数共有：4X4X4=64个，

故答案为64个.

13.图中（1）（2）（3X4）四个图象各表示两个变量X,），的对应关系，其中表示），是x的函数关系的有

【解析】•・•由函数的概念，直线x=。与函数的图象至多有1个交点,

・•・①④不符合题意，②©符合题意

故答案为②③.

三、解答题

14.已知/（X）为一次函数，若*（％）]=44+8,求/（》）的解析式.

O

【解答】/（比）=2/+耳或/（x）=-2v-8

•>

【解析】设一次函数/(x)=ax+b(aWO),

则Jlf(%)J=a/(x)+b=a(ax+h)+h=a2x+ab+b,

又Jlf(x)]=4r+8,

a'~=4(a=-2

则有。21+而+〃=4.计8,得[6=-8

ab+6=8

o

故所求函数的解析式为：/3）=2]+2或/（不）=-2.r-8.

J

15.已知集合A={1,2,3,k],8={4,7,4,a2+3«},其中aWN,在N,.隹4,yEB,映射f：4-B,使

B中的元素y=3x+l和A中元素/对应，求。和2的值.

【解答】«=2,k=5

【解析】由题意知，对应关系/是：）=3x+l,

4

・・・集合4={1,2,3,k}tB={4,7,a,小。）,,♦•有1对应4、2对应7,故分两种情况：

①3乂3+1=/且弘+1=4+3小解得/=io,由于GEN,k£N,故不符合题意，舍去，

②弘+1=/且3义3+1=『+3"，解得。=2,左=5,

综上得，a=2,k=5.

16.A={3,10},B={1,8},对于任意.隹4,.v~*ar+〃表示从集合A到集合4的函数，求