2026年高考数学考点复习：任意角和弧度制、三角函数的概念（学生版+解析）

专题4.1任意角和弧度制、三角函数的概念

一、核心知识：

1.角的概念

（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②

分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角.

（2）象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系.这样，角的终边（除

端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角：如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何•个

象限.

（3）终边相同的角：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，

构成的角的集合是S=｛脩=0360。+。，kGZ）.

2.弧度制

定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad

|a|=/瓜长用Z表示）

角a的弧度数公式

①1一180「"：②】rad一（九）

角度与弧度的换算

弧长公式弧长l=\a\r

2

扇形面积公式S=^lr=^a\r

3.任意角的三角函数

三角函数正弦余弦正切

设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P”，y）,那么

定义y叫做a的正弦，记作sinX叫做。的余弦，记作cos刎做a的正切，记作tana

Cta

I+十+

II+——

各象限符号

III——+

IV—十—

八认4A（L0）/

三角函数线

有向线段M尸为正弦线有向线段为余弦线有向线段AT为正切线

4.同角一角函数基本关系式

sina(,n

(1)平方关系：sin'a+cos'a=1;（2）商数关系:—=tan^a/2

5.三角函数的诱导公式

公式—•二三四五六

71

角2E+a(kWZ)冗+a~aTt-a,一Q弓+Q

正弦sina—sina—sinasinacosacosa

余弦cosa—cosacosa—cosasina一sina

正切tanatana-tana-tana

口诀函?笈名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限

二、考点聚焦：

考点一：任意角与弧度制

经典例题：

1.1的角度数是（）

A.30°B.60°C.90。D.120°

2.已知角a=15°，则。弧度数为（）

A汽C乃K

A."B.一C.D.—

12672

3.角330。的弧度数为（）

IIn、7兀IE5几

A.-----B.—c.D.

66~\2

4.下列叙述正确的是（）

A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角B.钝角是第二象限角

C.第二象限角比第一象限角大D,不相等的角终边一定不同

5.每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟.这10分钟的时间，钟

表的分针走过的角度是（）

A.30。B.-30°C.60°D.-60°

6.已知某中学上午第一节课的上课时间是8点，那么，当第一节课上课铃声响起时，时钟的时针、分针

把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是

兀3兀…2it47r

A.-B.—C.D.——

22T3

变式训练：

1.60”的弧度数是（)

nnnn

A.-B.—C.D.—

6472

2.把30°化成弧度为（）

3.下列命题中错误的是（）

A.三角形的内角必是第一、二象限角B.始边相同而终边不同的角一定不相等

C.第四象限角一定是负角D.钝角比第三象眼角小

4.下列说法错误的是（）

A.终边与始边重合的角是零角B.终边与始边都相同的两个角一定相等

C.小于90。的角是锐角D.若。=-120",则。是第三象限角

5.钟的时针和分针一天内会重合（）

A.21次B.22次C.23次D.24次

6.已知点尸在圆。上按顺时针方向每秒转30。，2秒钟后，。。转过的角等于（）

A.-60°B.-30°C.60°D.30°

考点二：终边相同角

经典例题：

1.把角—930。化为2攵%+。（0工。＜2不水£2）的形式为（）

“+2

A.-5乃+一4B.-4%-----C.-6^-4-150°D.

666

2.与2022。终边相同的角是()

A.-112°B.-72cC.222°D.142°

3.角-2023。是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.在-720。〜0。范围内所有与30。角终边相同的角为（）

A.-33（）°B.-690°C.-690。或一330°D.-300°-33（）0

5.集合A={ala=一2024。+"80。,“2}中的最大负角a为（）

A.-2024°B.-224°C.-44°D.-24°

6."角久夕的终边在同一条直线上〃是“sin（a-/?）=0〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知角a与夕的终边关于）'轴对称，则a与4的关系为（）

A.。一月=4+2々4（kwZ）B.a—夕=g+2出乃（keZ）

C.a+R=2k冗(ZeZ)D.a+付=冗+2卜冗(keZ)

8.已知角。,月的终边关于直线y=x对称，且sin（a-〃）=立，则。，尸的一组取值可以是。=,

2

p=.

9.若角。的顶点与原点重合，始边与K轴的非负半轴重合，则集合｛a|版■+版■+5，&eZ｝中的角

。的终边在单位圆中的位置（阴影部分）是（）.

变式训练:

1.将885。化为a+h360(k€Z,ae[(r,360))的形式是()

A.165+2x360B.-195+3x360°C.165+3x360,D.195+2x360

9不

2.（多选）与丁终边相同的角的表达式中，正确的是

A.45°+2)U,keZB.h360+2,&eZC.h360'-315MeZD.2k4一工九MwZ

44

下列与角等的终边一定相同的角是

3.)

A.yB.々）一年（々eZ）C.2k兀+日~(ksZ)D.(2k+i)7r+^-(keZ)

4.-2030。角是第象限角.

5.与1。角终动相同的角的集合是()

A.[a|a=&3600+2,AeZB.\a\a=k-360+、keZ

180I180

C.a\a=2k^+-^^,keZD.{a\a=2k7i+\Q,keZ)

6.若角。的终边与75。角的终边关于x轴对称，且-3600<a<360。，则角a的值为

8.m，且2a与一彳的终边互相垂直，则

kk

9.设集合〃=卜X=1.180。+45。,丘2卜N=ix〒8。。+45。,丘Z,则集合M,N的关系为（)

A.MCN=0B.MNC.NMD.MuN=M

10.已知角。的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么aw.（用弧度制描述）

考点三：扇形的弧长及面积公式

经典例题：

4.如果1弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为

1

A.-----------B.sin().5C.2sin(),5D.tan().5

sin0.5

5.已知扇形的半径为1,圆心角为60°,则这个扇形的弧长为（）

71

D.D.60

3

6.圆锥侧面展开图扇形的圆心角为三，底面圆的半径为1,则圆锥的侧面积为

7.折扇又名“撒扇〃〃纸扇〃，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其

平面图如图2的扇形40B,其中4404=150。，OA=2OC=6,则扇面（曲边四边形A8DC）的面积

是,

图1图2

8.《九章算术》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题："今有委菽依组内角，下周三丈,

高七尺，问积及为菽几何？”其意思、为：”靠墙壁堆放大豆成半圆锥形，大豆堆底面的弧长为3丈，高为7

尺，问大豆堆体积和堆放的大豆有多少斛？"己知1斛大豆=2.43立方尺，1丈=10尺，圆周率约为3,估

算出堆放的大豆有（）

A.140斛B.142斛C.144斛D.146斛

9.数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画

等边三角形八8c,再分别以点48,C为圆心，线段48长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所

示）.若莱洛三角形的周长为2〃,则其面积是（

In

A.一+GB.2乃+26

3

10.短道速滑，全称短跑道速度滑冰，是在长度较短的跑道上逆行的冰上竞速运动.如图，短道速滑比赛

场地的内圈半圆的弯道计算半径为8.5m,直道长为28.85m.若跑道内圈的周长等于半径为27.78m的扇形

密道

8.50?

28.85m30m

的周长，则该扇形的圆心角为（参考数据：取174=53.42）（）

跑道

60m

变式训练：

1.已知扇形弧长为圆心角为2,则该扇形面枳为（）

72

冗71

AA.—kCB.—C.-CD.41

18363

2.半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（）

A.1B.2C.4D.8

3.已知扇形的周长是12,面积是8,则扇形的圆心角的弧度数可能是（）

A.1B.4C.2D.3

4.一个扇形的周长是6厘米，该扇形的中心角是1弧度，该扇形的面积是.

5.已知一扇形的弧所对■的圆心角为54。，半径r=20cm,则扇形的周长为cm.

6.在周长为定值P的扇形中，扇形的面积最大时半径是.

7.如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌"，形象象征若新时代中国特色社会主义大潮的涌动

和发展.如图是会徽的几何图形，设弧A。长度是4,弧8c长度是4,几何图形A8C。面积为S,扇形

80c面枳为$2,

A.1

8.中国扇子历史悠久，源远流长，在长达数千年的发展过程中，被赋予了极其深厚的文化内涵和鲜明的

民族特色.自古中国就有“制扇王国”的美誉，数量之大品种之多，皆居世界首位.如图，现从一圆面中剪

下一个扇形制作一把扇形扇子，为了使扇子形状更为美观，要求剪下的扇形和圆面剩余部分的面枳比值为

黄金分割比或二1,则扇子的圆心角应为（

L乂

2

C.(±1业D.0

A.（3-石）兀B.（3石-6卜

9.如图是古希腊数学家希波克拉底用于求月牙形图形面积所构造的儿何图形，先以48为直径构造半圆

O,C为弧48的中点，。为线段4C的中点，再以AC为直径构造半圆。，则由曲线AEC和曲线AFC所围成

的图形为月牙形.若A8=4,则该月牙形图形的面积为（）

8

A.4B.25/2C.&nD.2

10.机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边三角形A8C,再分

别以点48,C为圆心，线段4B长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形.若线段4B长为1,贝］莱洛三角形

11.羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在

球托之外的长为6cm,球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是

底部所围成圆的直径是2cm,据此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展开图的圆心角为

W

TtTt

A.-B.一C.—D.兀

323

考点四：三角函数的定义及其应用

经典例题：

1.已知角。的终边与单位圆相交于点。卜

贝l"inO=（）

A&B应C.BD.\

2232

2.已知角。的终边经过点。（3,-4）,则（：）

44/\3n（nA4

A.sina=—B.tana=—C.cosi（7r+a）=--D.cos^-+al=--

53

3.已知角a的终边经过点（，几-2m）,其中/，〃工0,则sina+cosa等于

A..如B.土立33

C.--D.±-

5555

3

4.角0的终边经过点打4,），），且sin0=---,则tan〃=_____.

3

5.已知。为第四象限的角，且85。=',则tan。的值为（）

6.已知角a的终边在直线），=-2%上，贝ljcosa=（）

A.正B.正

55

7.如果8sdvO,则。可能是（）

A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角

8.已知角1的终边上一点的坐标为（疝】£,cos与

则。的最小正值为（)

B,包4兀17几

A-C.—D.

,5105

9.已知点P（V5,1）为角。终边上一点，绕原点。将OP顺时针旋转器，点尸旋转到点Q处，则点。的坐标

为（）

A.(-73,-1)B.U[-卜图。・甘T

10.在平面直角坐标系中，角。的顶点在坐标原点，始边与x的非负半轴重合，将角。的终边按逆时针旋

转?后，得到的角终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点｛一线｝则sin"aj卜

)

72424

AB.——C.D.——

-i252525

变式训练：

1.已知角a的终边经过点贝ijsina等于（)

JJ

4343

A.一B.--C.---D.——

5534

2.己知角a的终边过点P（-1,2）,则tana等于()

A.2C.D-

B.-2~2,2

3.在平面直角坐标系中，若角。的终边经过点P（l「2）,则sina=（）

石口布「2石

A.------D.—L・ID..班

5--------------------555

4.若角a的终边经过点（1,-G）,则sina=（）

1RGr1D.B

A.

2222

4

5.角a的终边经过点2-3,），），且sina=],则＞=

6.已知角a的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合,终边上的一点为尸（2m,TW）（〃7K0）,则下列

各式一定为负值的是（）

A.sinacosaB.tanaC.coscr-sincrD.cos2a

sinx,x>0

7.已知/*)=<cosx。,则/⑺75等于()

A.-1B.0C.1D.2

8.J知角a的顶点与坐标原点0重合,始边与x轴的非负半轴重合，终边上的一点P的坐标为（-L3）,则

cosa=()

A_亚回

RD.一,‘r屈

1()1010。・嘤

9.已知角1的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，角。的终边绕原点逆时针旋转/后经过点

34

—,则sina-()

55)

3344

A.--B.-c.——D.-

5555

10.已知角a的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终达过点（-3,2）,则cos2a=（）

AC.上12

--llBD.—

-H1313

11.在平面直角坐标系g中，已知点，将线段OA绕原点顺时针旋转T得到线段OB，则点B的

横坐标为

三、达标检测:

《任意角和弧度制、三角函数的概念》小题检测

（限时30分钟,满分73分）

一、单选题（每小题5分，共40分）

1.方的角度数是（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

2.在平面直角坐标系中,角a的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点

则()

A.sin」I

B.sina=——C.cosa=一D.tana=V3

222

3.若角〃的始边与x轴的非负半轴重合,终边过点〃（1,6「则2sine+cos6=()

cV3+1

A.-+^

B,+D.G+1

2-T2

4.已知角。的终边经过点产（-4〃?，3加）。〃工0）,则2sina+cosa的值是（）

2。22

A.1或一1B.二或二C.1或-1D.T或一3

5.已知角a的顶点与坐标原点重合,始边与1轴的非负半轴查合，点A是角a的终边与单位圆的交点,

4

若点A的横坐标为-三，则cos2«=（)

2c2

A.——B.一c・VD

55-i

已知角a的顶点是坐标原点，始边是1轴的正半轴，终边是射线），=2x（x20）,则tan（2a+；）

6.

)

I

A.-BC.-7D.

7-43

已知点P(sina3sin8+I)0,g在直线x+y-3=0上，则()=

7.

571n71it

A.—B.-C.-D.

12346

8.如图，一个尢线电信号定向发射装置位于扇形的圆心。处，其信号覆盖范围为扇形区域AO4,扇形圆

心角为。（0<。〈乃）.己知该扇形的阴影区域为弱信号区域，若在扇形内随机地选•地点，则该地点为弱信

号区域的概率是（

1-sini9sin"-sin<9

，B.C.sin〃

A~~0~0~0~

二、多选题（每小题6分，共18分）

9.与一835。终边相同的角有（）

A.-245°B.245°C.-115°D.-475°

10.在平面直角坐标系AOY中，角。顶点在原点O,以x正半轴为始边，终边经过点P（L〃?）（”?<0）,则下

列各式的值恒大于。的是（）

sina

A.--------B.cossin«C.sinacosaD.sina+cosa

tana

11.下列说法正确的是（）

A.角。终边在笫二象限或第四象限的充要条件是sinHcosSvO

B.圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于g

C.经过4小时，时计转了120

D.若角。和角夕的终边关于），=工对称，则有a+夕=]+2而McZ

三、填空题（每小题5分，共15分）

12.已知。为钝角，sin«=—,则cosa=.

10

13.已知扇形圆心角a=60,a所对的弧长/=6兀，则该扇形面积为.

14.如图，在边长为2的正方形48C。中，以A8的中点。为圆心，以J2为半径作圆弧，交边AD8C于

点M,N,从正方形ABC。中任取一点，则该点落在扇形OM/V中的概率为.

答题卡

班级：姓名：总分：

题号：12345678

答案：

题号：91011题号：121314

答案：答案：

专题4.1任意角和弧度制、三角函数的概念

一、核心知识：

I.角的概念

（I）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②

分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角.

（2）象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系.这样，角的终边（除

端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个

象限.

（3）终边相同的角：所有与角。终边相同的角，连同角。在内，

构成的角的集合是S={能=k36（r+a"£Z}.

2.弧度制

定义把长度等于半径长的弧所对的圆心先叫做1弧度的角，弧度记作rad

|。|='弧长用/表示）

角a的弧度数公式

①1°-180rad：②1rad-（冗）

角度与弧度的换算

弧长公式弧长Z=|a|r

11,

扇形面积公式5=/=胪|广

工任意角的1角函数

三角函数正弦余弦正切

设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x,y）,那么

定义，叫做a的正弦，记作sinK叫做。的余弦，记作COS

^叫做。的正切，记作tana

aa

I++4-

II十——

各象限符号

III——+

IV—十—

平（皿一队/斗（1,0）,

三角函数线

有向线段MP为正弦线有向线段。川为余弦线有向线段A7为正切线

4.同角一角函数基本关系式

（1）平方关系：sir^a+cos2a=1；（2）商数关系：普£=tana（a埠+E，k£Z）.

5.三角函数的诱导公式

公式—「二三四五六

71兀

角2E+a(&£Z)兀+a—ait—a2~a2-ra

正弦sina—sina—sinasinacosacosa

余弦cosa-cosacosa-cosasina-sina

正切tanatana—tana—tana

口诀函孑取名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限

考点聚焦:

考点一：任意角与弧度制

经典例题：

1.3的角度数是（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

2.己知角a=15"，则。弧度数为（）

兀

A.—B.一D.

1262

【答案】A

【详解】・・・a=15。=15乂之=弧度数为.故选:A

1801212

3.角330。的弧度数为（）

1E7n1In5n

A.-----B.—C.-----D.—

66126

【答案】A

【详解】3300=330乂4=1兀.故选：A.

1806

4.下列叙述正确的是（）

A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角B.钝角是第二象限角

C.第二象限角比第一象限角大D.不相等的角终边一定不同

【答案】B

【详解】•・•宜角不属于任何一个象限，故A不正确；钝角属于与，兀，是第二象限角，故B正确；

由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，故C不正确；由于20。与360。+20。不相等，但终边相同，

故D不正确.故选B

5.每周一的早晨，我们都会在学校的操场.上举行升国旗仪式，一般需要10分钟.这10分钟的时间，钟

表的分针走过的角度是（）

A.30°B.-30°C.60°D.-60。

【答案】D

【详解】•.•分针是顺时针走的，•.形成的角度是负角，乂分针走过了10分钟，，走过的角度大小为

2K360。=60。，综上，分针走过的角度是-60。.故选：D.

6.已知某中学上午第一节课的上课时间是8点，那么，当第一节课上课铃声响起时，时钟的时针、分针

把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是

n-3兀-2兀>4加

A.-B.—C.—D.—

2233

【答案】C

【详解】8点时，时钟的时针正好指向"8〃，分针正好指向“12〃，由于时钟的每两个相邻数字之间的圆心角

是30°，即?，故此时时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是?乂4=个.

6o3

变式训练：

1.60”的弧度数是（）

冗冗式乃

A.-B.-C.-D.一

6432

【答案】C

TT7T7T

【详解】•・・180°=%弧度,•一=右弧度，则60=60x痂弧度弧度，故选C.

1X（）1ov3

2.把30。化成弧度为（）

717r7171

A6.-BC.-C.-DC.—

34612

【答案】c

【详解】30=30x去=[.故选：C.

1oO6

3.下列命题中错误的是（）

A.三角形的内角必是第一、二象限角B.始边相同而终边不同的角一定不相等

C.第四象限角•定是负角D.钝角比第三象眼角小

【答案】ACD

【详解】当三角形为直角三角形时，一内角为直角，直角不属于第一、二象限角，故A错误；始边相同而

终边不同的角一定不相等，故BE确：取330。角为第四象限角，但不是负角，故C错误；取12（F为钝角，

-110为第三象限角，但120>-110,故D错误，故选:ACD

4.下列说法错误的是（）

A.终边与始边重合的角是零角B.终边与始边都相同的两个角一定相等

C.小于90。的角是锐角D.若a=-120。，则a是笫三象限角

【答案】ABC

【详解】对于A.终边与始边重合的角的集合为{a|a=360&Mcz},故A错误，对于B,终边8始边都相同

的两个角不•定相等，比如30,39（T的终边和始边相同，但两个角不相等，故B错误，对于C,锐角为

（0.90）的角，所以小于90。的角不一定是锐角，故C错误，对于D,a=T2。。，则夕是第三象限角，故D

正确，故选：ABC

5.钟的时针和分针一天内会重合（）

A.21次B.22次C.23次D.24次

【答案】B

【详解】一天24小时中时针转2圈，分针转24圈，所以分针比时针多转的圈数是24-2=22,又因为每多

转一圈，分针就与时针相遇一次，所以钟的时针和分针一天内会重合22次，故选：B

6.已知点P在圆。上按顺时针方向每秒转30。，2秒钟后，。尸转过的角等于（）

A.-60°B.-30°C.60°D.30°

【答案】A

【详解】团点P在圆。上按顺时针方向旋转，则OP转过的角为负角，又每秒转30。，（32秒钟后，OP转过

的角等于2x（-3。。）=-60。.故选:A.

考点二：终边相同角

经典例题：

1.把角-930。化为2既+研0工二<2%次£2）的形式为（）

57457r

A.-5乃+一乃B.-4^---C.-6万+150°D.-6乃+一

666

【答案】D

【详解】一930°=-3、360°+150°=-6乃+3，故选：D.

2.与2022。终边相同的角是（

A.-112°B.-72°C.222°D.142°

【答案】C

【详解】团2022°=360°X5+222°,团与2022。终边相同的角是222\故选:C.

3.角—2023。是（）

A.第一象限B.第二象限