八年级数学上册：位置与坐标（解析版）

第七讲位置与坐标

目录

必备知识点........................................................................1

考点一坐标系中的点.............................................................2

考点二坐标系中的图形...........................................................6

（2））知识导航

必备知识点

一、平面直角坐标系

1、平面直角坐标系及相关概念

在平面内，两条相互垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，简称直角坐标系。通常

两条数轴位置水平和垂宜位置，规定水平轴向右和垂直轴向上为两条数轴的正方向水平数轴

称为X轴或横轴，垂直数轴称为y轴或者纵轴，X轴、y轴统称坐标轴，公共原点0称为坐

标系的原点。

两条数轴把平面划分为四个部分，右上部分叫做第一象限，其余部分按逆时针方向分别叫做

第二、第三、第四象限。

2、点的坐标表示

在平面直角坐标系中，平面上的任意一点P,都可以用坐标来表示。过点P分别向x轴、y

轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对

（a,b）叫做点P的坐标，

在平面直角坐标系中，平面上的任意一点P,都有唯一一对有序实数（即点的坐标）与它对

应；反之，对于任意一对有序实数，都可以在平面上找到唯一一点与它对应。

3、特殊位置上点的坐标特点

（1）坐标轴上点的坐标特点

x轴上点的纵坐标为0；y轴上点的横出标为0；原点的横坐标、纵坐标都为0。

（2）与坐标轴平行的直线上的点的坐标特点

与x轴平行直线上所有点的纵坐标相同：与y轴平行直线.匕所有点的横坐标相同。

（3）各象限内点P（a,b）的坐标特点

第一象限：a>0>b>（）；第二象限：a<0,b>0；

第三象限：a<0,b<0；第四象限:a>0,b<0,,

二、轴对称与坐标变换

1、图形的坐标变化与轴对称

（1）横坐标不变，纵坐标分别乘-1,所得图形与X轴对称：反之与y轴对称。

（2）在坐标系中作轴对称图形的方法：确定对称点坐标，描出各对称点，依次连线。

2、直角坐标系中对称点的坐标关系

关于x轴对称的两点坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

关于y轴对称的两点坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。

考点一坐标系中的点

1.下列各点中在第四象限的是（）

A.（-3,7）B.（3,-7）C.（3.7）D.（-3,-7）

【解答】解：人、（-3,7）在第二象限，故人不符今题意：

B、（3,-7）在第四象限，故8不符合题意；

C、（3,7）在第一象限，故C不符合题意；

。、（-3,-7）在第三象限，故。不符合题意；

故选：B.

2.点（0,・6）在（）

A.x轴正半轴上B.y轴正半轴上

C.y轴负半轴上D.工轴负半轴上

【解答】解：点（0，-6）在y轴负半轴，

故选：C.

3.在平面直角坐标系中，点M（m-3,加+1）在x轴上，则点P（m・1,1-〃?）在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：由题意得：

〃1+1=0,

.•・〃?=-I,

当m=-1时，m-1=-2,1-m=2,

，点尸（-2,2）在第二象限，

故选：B.

4.在平面直角坐标系中，若点A（m,n）在第四象限，则点8（2+加，1-n）在（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：•・•点A（，〃，〃）在第四象限，

/.m>0,n<0,

A2+m>0,1-n>0,

:.点B（2+〃?，1-〃）在第一象限，

故选：A.

5.（-1,2）关于原点对称的点的坐标为（）

A.（-1,-2）B.（1,2）C.（-1,2）D.（1,-2）

【解答】解：点A（-1,2）关于原点对称的点的坐标是（1,-2）,

故选：£）.

6.若点P（〃?，〃?-〃）与点Q（-2,3）关于原点对称，则点M（〃?，〃）在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：I,点P（，〃，〃?-〃）与点Q（-2,3）关于原点对称，

77?=2♦Ui-n=~3,

解得：〃=5,

则点MCm,〃）即（2,5）在第一象限.

故选：A.

7.平面直角坐标系中，点（a,-3）关于原点的对称点是（1,b）,则射=（）

A.-3B.-1C.1D.3

【解答】解：•••点（m-3）关于原点的对称点是（I,b）,

；・a=-1,匕=3,

ab=（-1）3=-h

故选：B.

8.在直角坐标系中，已知点A（2“，”・。十1）,B（〃，a+1）关于原点对称，则“，〃的值

是（）

A.a=­,b=1B.a=­,b=-1C.a」，b=-ID.a」，b=l

2222

【解答】解：,点A（2a,a-b+\）,B（b,a+1）关于原点对称，

.f2a=-b

a-b+l=-a_l

J

解得：a-^2.

b=l

故选：A.

9.若点A(2,6)关于x轴对称后得到点B,则点B的坐标为()

A.(-2,6)B.(2,-6)C.(6.-2)D.(-6,2)

【解答】解:点A(2,6)关于x轴对称后得到点则点B的坐标为(2,-6).

故选：B.

10.在平面直角坐标系X。〉'中，点A(1,-4)关于)，轴对称的点的坐标为()

A.(-1,-4)B.(-1,4)C.(1.-4)D.(1,4)

【解答】解：点A(1,-4)关于〉，轴对称的点的坐标为(-1,-4).

故选：A.

11.在直角坐标系中，点A(m,3)与点B(4./J)关干y轴对称，则〃1+〃的侑为()

A.-1B.1C.-7D.7

【解答】解：•・•点A(加，3)与点8(4,〃)关于y轴对称，

・•・〃?=-4,〃=3,

tn+n=-4+3=-1,

故选：A.

12.已知点〃的坐标为(/«»//),且Vm-2n+，?+4/?+4-0,则点P关于x轴的对称点生标

为()

A.(-4,2)B.(4,-2)C.(4.2)D.(2,-4)

【解答】解：・・Wm-2n+M+4〃+4=()，

**•Vin-2n+(〃+2)~=0»

2〃=0,〃+2=0,

解得：m=-4,n=~2,

・・・P的坐标为(-4,-2),

・••点P关于X轴的对称点坐标为(-4,2).

故选：A.

13.将点P(-5,4)向右平移4个单位，向上平移2个单位，得到点P的对应点户的坐标

是()

A.(-5,8)B.(-1,2)C.(-1,6)D.(-5,0)

【解答】解：•・•将尸(-5,4)向右平移4个单位，向上平移2个单位得到对应点P',

・•・〃的坐标为(・5+4,4+2),

即P(-1,6),

故选：C.

14.在平面直角坐标系中，点P(2,-3)向右平移I个单位长度，得到点产，则点产的坐

标为()

A.(1,-3)B.(2,-4)C.(3.-3)D.(2,-2)

【解答】解：平移后点P的坐标为(2+1,-3),即(3,-3),

故选：C.

15.三角形A8c在经过某次平移后，顶点A(-1,/n+2)的对应点为A(2,〃?-3),若

此三角形内任意一点尸(a,b)经过此次平移后对应点Pi(c,d).则4+〃-c-d的值

为()

A.8+/〃B.-8+〃？C.2D.-2

【解答】解：・・・A(-1,2+〃?)在经过此次平移后对应点4(2,〃?-3),

•••△A8C的平移规律为：向右平移3个单位，向下平移5个单位，

•:点、P(小b)经过平移后对应点Pi(c,d),

a+3=c,b-5=d,

*.a-c=-3,b-d=5,

a+h-c-d=-3+5=2,

故选：C.

16.第一象限内有两点尸(m・4,〃),Q(〃?，〃-2),将线段尸Q平移,使平移后的点P、

Q分别在x轴与)，轴上，则点P平移后的对应点的坐标是()

A.(-4,0)B.(4,0)C.(0.2)D.(0,-2)

【解答】解：设平移后点P、Q的对应点分别是尸、Q'.

•:P'在x轴上，Q'在丁轴上，

贝UP纵坐标为0,。'横坐标为0,

VO-in=-〃?，

m-4-m=-4,

・••点P平移后的对应点的坐标是(-4,0)；

故选：A.

考点二坐标系中的图形

17.阅读材料:

两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点A(xi,yi)、B(m,1y2),那么A、

xx2+(yy2.

B两点的距离AB=7(l~2^l-2)则4^=(xi-X2)2+(yi-yi)2.

例如:

若点A(4,1),B(3,2),则AB={(4-3)2+(「2)2:近,

若点A(a,1),B(3,2),且AB=V5,则(«)2=(&一3)2+(卜2)二

根据实数章节所学的开方运算即可求出满足条件的〃的值.

根据上面材料完成下列各题：

(1)若点A(-2,3),B(1,2)，则A、B两点间的距离是

(2)若点、A(-2,3),点8在x轴上，且A、8两点间的距离是5,求8点坐标.

【解答】解：(1)VA(-2,3),B(1,2),

••・"=4(21)2+(3-2)2=710*

故答案为：V10；

(2)设B(/〃，〃)，

•・•点B在轴上，

**•〃=0,

:.BCm,0),

YA<-2,3),且A、4两点间的距离是5,

/.52=(-2-m)2+(3-0)2,

整理得(-2-m)2=16,

*.*±V~16=±4,

-2-m=4或-2-m=-4,

:・m=-6或m=2,

・二8(-6,0)或8(2,0).

18.如图，在AAOB中，4、8两点的坐标分别为(2,4)和(6,2),求aAOB的面积.

【解答】解：如图，过A作水平线/交y轴于点E,过8作垂线，交直线/与点C,交x

轴于点。，则

S矩形ECOO=6X4=24,

SR(MEO=—X4X2=4；

2

SR(MBC=—X2X4=4；

2

SRI^OHD=-X6X2=6；

2

则SfOAB=S矩形EC。。-SRIAASC-SRIMEO-SR(AO/JD=10.

故三角形408的面积是10.

19.如图，在平面直角坐标系中，已知A(-1,1),8(3,4),C(3,8).

<1)在平面直角坐标系中，描出A、3、C三点，求出三角形A6c的面积:

(2)求出三角形A30的面积.

8-

6-

4■

2-

1--------1----------1—►

6810x

【解答】解：(1)如图所示，连接AlBC、AC.

则三角形ABC的面枳=2・3C•(劝・XA)=—X4X4-8-

22

(2)如图所示，连接AO,BO.作4Q_Lx轴于。，AE_Lx轴于£

则四功形AEO8为梯形，

•'•S/\ABO=S梯形AEOB-S"EO-S^BOD

(1+4)X411

=----~IXl--^-X3X4

222

=10---6

2

—,7—.

2

（1）求△A/3C的面积：

（2）在x轴上是否存在一点P,使△外8面积等于△/1BC的面积.若存在，请求出点P

坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】解（1）如图，延长BC交x轴于点

•:B(2,2),C(2,1),

・・・BQ_Lx轴，则D(2,0),

VA(-1,0),

，4。=3,

VB(2,2),C(2,I),

：,BC=\,

••・SAMC=«1X8C・A/)=3；

22

(2)设P点坐标为(心0),

VA(-1,0),

：.AP=\x+\\,

..3

**S/\ABP=SMBC=—>

2

・・・_1XAPX2=Z

22

:,AP=3-,

2

.•・k+ii=2,即x+i=3或工+1=-3,

222

解得■或x=-王，则夕点坐标为(2，0)或(-立，0).

2222

21.【阅读新知】

如图1,在平面直角坐标系my中，A(XI,yO,A(X2,)2),C为线段A8的中点,

求C点的坐标.

解：分别过A,C作x轴的平行线，过B,C作)，轴的平行线，两组平行线的交点如图1

所示,

设C(JO,J0)，则D(xo，y\),E(X2,_yi),Fte,yo)

x2-xlx2+xly2-yly2+yl

由图可知:

1曲二+x]:一^—y广一^—+y]

:.线段A4的中点C的坐标为(X/X1，2+丫1)

22

【应用新知】

利用你阅读获得的新知，解答下面的问题：

(1)已知A(-1,4),8(3,-2),则线段A8H勺中点坐标为(1,1).

(2)平行四边形A8C0中，点A,B,C的坐标分别为(1,-4),(0,2),(5,6),

利用中点坐标公式求点。的坐标.

(3)如图2,B(6,4)在函数了［乂+］的图象上，A(5,2),C在x轴上，。在函数

2

y=1x+］的图象上以4&C,。四个点为顶点，且以A3为一边构成平行四边形，直

2

接写出所有满足条件的。点坐标.

【解答】解：（1）/W中点坐标为（士3,生2）,即的中点坐标是：（1,1）；

22

故答案是：（1,1）;

（2）根据平行四边形的性质：对角线互相平分，可知AC、BZ）的中点重合,

由中点坐标公式可得：空二空，弩二空,

代入数据，得：上毡=""，且

2222

解得：xo=6,yz）=O,

所以点。的坐标为（6,0）.

（3）①当A8为该平行四边