第二节 矩形-2026年中考数学一轮复习（解析版）

模块五四边形

第二讲矩形

知识梳理夯实基础

知识点1:矩形的性质

1.边：对边平行且相等；

2.角：四个角都是直保；

3.对角线：对角线相等且互相平分；

4.对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴.（对称轴为矩形

对边中点所在的直线）

知识点2：矩形的判定

1.定义法：有一个角是直角的平行四边形;

2.对角线相等的平行四边形是矩形；

3.有三个角都是90。的四边形是矩形.

知识点3:四边形、平行四边形、矩形之间的关系

直击中考胜券在握

1.（2020•湖南怀化中考）在矩形A5CO中，AC.4）相交于点O,若△AO6的面积为2,

则矩形人8c。的面积为（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【分析】

根据矩形的性质得到0A=0B=0C=0D,推出S^ADO=S&BCO=SR0G=S^BO=2,即可求出矩形

ABCD的面积.

【详解】

团四边形ABCD是矩形，对角线AC、8。相交于点O,

团AC=BD,且OA=OB=OC=OD,

回S&ADO~S&BCO=S«ZW=S冰BO=2,

团矩形A3CQ的面积为4%皿=8,

故选：C.

【点睛】

此题考查矩形的性质：矩形的对角线相等，且互相平分，由此可以将矩形的；面积四等分,

由此可以解决问题，熟记矩形的性质定理是解题的关键.

2.（2021•湖北荆州中考）如图，矩形。48C的边OA,0C分别在X轴、丁轴的正半轴上，

点Q在OA的延长线上.若A（2,0）,D（4,0）,以。为圆心、。。长为半径的弧经过点B,

交丁轴正半轴于点E,连接。E,BE、则N8EO的度数是（）

A.15°B.22.5°C.30°D.45°

【答案】c

【分析】

连接。8,由题意易得国8。。=60。，然后根据圆周角定理可进行求解.

【详解】

解：连接。8,如图所示：

E4(2,0),0(4,0),

团OA=2,O8=OE=OO=4,

团

2

团四边形O4BC是矩形，

(3/。48=90。，

团/084=3()。，

回ZBOD=90°-NOBA=60°,

0ZBED=-ZBOD=3O°；

故选C.

【点睛】

本题主要考查圆周角定理、矩形的性质及含30。的百角二角形的性质.熟练掌握圆周角定理、

矩形的性质及含30。的直角三角形的性质是解题的关键.

3.（2021•遂宁中考）如图，在矩形48C。中，48=5,AD=3f点£为BC上一点，把犯。£

沿DE翻折，点C恰好落在A8边上的F处，则CE的长是（）

3D.*

A.1B.-C.-

323

【答案】D

【分析】

设CE=x,则8£=3-x由折叠性质可知，EF=CE=x,DF=CD=AB=5,所以AF=4,BF=AB-AF=5-A=1,

在R应8EF中，由勾股定理得(3-X)2+12=X2,解得x的值即可.

【详解】

解：设CE=x,则BE=3-x,

由折叠性质可知，

EF=CE=x,DF=CD=AB=5

在R出。"中，4D=3,DF=5,

4=用-3?=4,

08F=A8-4F=5-4=l,

在R应8EF中，B^+BF^EF1,

g|J(3-x)2+l2=x2,

解得

故选：D.

【点睛】

本题考查了与矩形有关的折叠问题，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键.

4.如图，把一张矩形纸片A8CD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形8ER若

8c=1,则AB的长度为()

【答案】A

【分析】

先判断出射。£=45。，进而判断出AEMD,利用勾股定理即可得出结论.

【详解】

解：由折叠补全图形如图所示，

团四边形A8CD是矩形，

004DZl'=0B=aC=a4=9O%AD=BC=1,CD=AB,

由第一次折叠得：回。4£=酎=90°,MD£=^MDC=45°,

皿凶£。孙。£=45",

^AE=AD=1,

在RtMDE中，根据勾股定理得，。£=夜八。=夜，

由第二次折叠可知，DC=DE

团AB=x/2

故选：A.

一

f

【点睛】

本题考查了图形的折置和勾股定理,搞清楚折叠中线段的数量关系是解决此类题的关键.

5.如图点尸是矩形八8CZ）的对角线AC上一点,过点P作EF//BC,分别交A3、CO于点

E、F,连接心、PD,若4E=1,PF=8,则图中阴影部分的面积为（）

A__________________D

L

BC

【答案】C

【分析】

由矩形的性质可证明加PEB=SEPFD,即可求解.

【详解】

作PMOAD于M,交BC于N.

则有四边形AEPM,四边形DFPM,四边形CFPN,四边形BEPN都是矩形,

0S（3ADC=SaABC»SEAMP=S（3AEP»S0PBE=S[iPBN»S（3PFD=S3PDM»SBPFC=SSPCN，

0SRDFP=S^PBE=yx1x8=4,

0S*=4+4=8,

故选：C.

【点睛】

此题考查矩形的性质、三角形的面积，解题的关键是证明S"EB=S"FD.

6.如图所示，在矩形A8CD中，E为AD上一点,E用CE交A8于点F,若。£=2,矩形A8CD

的周长为16,且CE=£F,求4E的长（）

【答案】B

【分析】

根据矩形的性质和全等三角形的判定证明ME甩酊CE,可得4E=CD,由矩形的周长为16,

可得2（4E+0E+C。）=16,可求八E的长度.

【详解】

解.：回四边形48CD为矩形，

0EW=0D=9O°,

WCEF=90°,

回E1CED+MEF=9O°,

00CED+0DC£=9O°,

团团OCE=MEF,

乙4=Z.D

在MEF和团。CE中，44EF=乙DCE,

EF=CE

^AEF^DCE（AAS\

ME=OC,

由题意可知:2（AE+DE+CD）=16,DE=2,

团24£=6,

04E=3；

故选：B.

【点睛】

本题考查矩形的性质、同带的余角相等、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和

全等三角形的判定与性质是解答的关键.

7.（2020•四川省达州中考）如图，NBOD=45。,BO=DOt点A在OB上，四边形48co

是矩形,连接AC、B。交于点E,连接OE交八。于点F.下列4个判断：①OE平分ZBOD；

②OF=BD；③DF=近AF;④若点G是线段8的中点，则△人EG为等腰直角三角形.正

确判断的个数是（）

【答案】A

【分析】

①，先说明团OBD是等腰三角形，再由矩形的性质可得DE=BE,最后根据等腰三角形的性质

即可判断；②证明团OFA胴OBD即可判断；③过F作FHMD,垂足为H,然后根据角平分线定

理可得FH=FA,再求得回HDF=45。，最后用三角函数即可判定；④连接AG,然后证明回OGA况ADE,

最后根据全等三角形的性质和角的和差即可判断.

【详解】

解：①回80=7X9

H0OBD是等腰三角形

团四边形A8C3是矩形

0DE=BE=yBD,DA0OB

00E平分Z.BOD,OE0BD故①正确；

②OOE13BD,DA0OB,BP(?]DA0=(3DAB

00EDF+0DFE=9O°,0AOF+[ZAFO=9OO

00EDF=0AOF

(2DA0OB,ZBOD=45°

0OA=AD

在回OFA和团OBD中

0EDF=0AOF,OA=AD,0DAO=0DAB

0BOFA00DAB

回OF=BD,即②正确];

③过F作FHE3OD,垂足为H,

(30E平分N8O£>,DA0OB

0FH=AF

团NBOZ)=45°,DA0OB

00HDF=45°

0sin0HDF=—=—=—DF=41AF：故③正确:

2FDFD

④由②得用EDF=E1AOF,

0G为OF中点

团OG=；OF

0DE=BE=yBD,OF=BD

0OG=DE

在团OGA/口团AED

OG=DE,0EDF=0AOF,AD=OA

00OGAE0AED

回OG=EF,回GAO=mDAE

00GAE是等腰三角形

0DA0OB

00OAG+0DAG=9O0

00DAE+0DAG=9O°3|J0GAE=9O°

团［3GAE是等腰直角三角形，故④正确.

故答案为A.

【点睛】

本题考杳了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的

性质以及解直角三角形等知识点，考查知识点较多，故灵活应用所学知识成为解答本题的关

键.

8.（2021•牡丹江中考真题）如图，矩形488的边CD上有一点E,0DA£=22.5。，EI^ABt

垂足为F,将MEF绕着点F顺时针旋转，使得点4的对应点M落在£F上，点£恰好落在点

B处，连接8E.下列结论：①8MME；②四边形EFBC是正方形；③回EBM=30。；（4）

S四边形8但应哂=仅夜+1）：1.其中结论正确的序号是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.③④

【答案】C

【分析】

延长8M交AE于N,连接由垂直的定义可得MFE=13EF8=9O。，根据直角三角形的两

个锐角互余得团EAF=67.5。，从而有团）F+胪8M=90。，得到①正确；根据三个角是直角可

判断四边形EF8C是正方形，再由EF=8F可知是正方形，故②正确，计算出团£8M=22.5°

得③借误；根据等腰直角三角形的性质可知AM=应匹M，推导得出=，

从而EF=EM+FM=（6+\^FM,得到S^EFB:（及+1）：1,再由S四SF=2s,

得S西边形BCE”：S&BFM=Q&+1）：1,判断出④正确.

【详解】

解：如图，延长8M交融于N,连接AM,

团E甬48,

团财F£=E)EF8=90°,

00D/Af=22.5°,

团团EAF=90°~WAE=67.5°,

团将蜘EF绕着点F顺时针旋转得(3MFB,

[3MF=4F,FB=FE,(3FBM=MEF=I3DAE=22.5°,

^EAF^FBM=90°,

004/VB=9O°,

团8MME,故①正确；

团四边形A8C。是矩形，

回MBC=iaC=90°,

00EFB=9OO,

回四边形EFBC是矩形，

又回EF=8F,

团矩形EFBC是正方形，故②正确；

酿EBF=45°,

回/EBM=ZEBF-NFBM=45°-22.5°=22.5°,

故③错误；

团MFM=90°,AF=FM,

团团MAF=45°,AM=y/2FM，

团NEAM=67.5°-45°=225°,

团NA£M=/M4E,

=AM=>/2FM，

0EF=EM+™=（V2+1）FM,

团S^EFB：S&8FM=（亚+1）：1,

又回四边形8CEF是正方形，

必四边形BCEF=2S^EFB,

团S四边形BCEW:=（>/2+lj：1

故④正确，

回止确的是：①②④，

故选：C.

【点睛】

本题考杳了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理和正方形的判定与性质，掌握常用辅坦线的

添加方法，灵活运用相关知识是解题的关键.

9.（2021•黑龙江省中考）如图，在MBC中，D,£,F分别是A8,BC和AC边的中点，请

添加一个条件,使四边形8"。为矩形.（填一个即可）

【答案】48138c

【分析】

证DF、EF都是M8c的中位线，得。用BC,EFBAB,则四边形8EF。为平行四边形，当48团8C

时，08=90°,即可得出结论.

【详解】

解：0D,E,F分别是48,8c和AC边的中点，

圆DF、EF都是幽8c的中位线，

国D用8C,EF^AB,

团四边形BEF。为平行四边形，

当48阴C时，08=90°,

回平行四边形8EF。为矩形，

故答案为：AB^BC.

【点睛】

本题考杳了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识：熟练掌握

三角形中位线定理，证明四边形BEFD为平行四边形是解题的关键.

10.（2021・四川内江中考）如图，矩形A8C。中，48=6,BC=8,对角线的垂直平分

线EF交AD于息E、交于点尸，则线段印的长为

【分析】

根据矩形的性质和勾股定理求出BD,证明团8O/W8CO,根据相似三角形的性质得至IJ比例式,

求出EF即可.

【详解】

•.•四边形A3C。是矩形，

.-.ZA=90°,又A3=6,AQ=8C=8.

/.BD=JAB?+AD2=10»

律是“。的垂直平分线，

,,OB=OD=5,N8O厂=90。，又NC=90。，

:.M3OF^MiCD,

.OFBO

"'CD~~BC'

二.——OF=5-,

68

解得，。/=

4

•••四边形A8C。是矩形，

AD/IBC,ZA=90°.

:"EDO=NFBO,

•.•律是8。的垂直平分线，

/.BO=DO,EFA.BD,

在ADEO和MF。中，

ZEDO=4FBO

BO=DO,

ZEOD=NFOB

:.ADEO^^BF()(ASA),

:,OE=OF,

:.EF=2OF=—.

2

故答案为:y.

【点睛】

本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角

是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键.

11.如图，矩形48CD的对角线4C、8。相交于点O,A£平分团84。交8c于点&连接。&

若。晶BC,。£=1,则47的长为.

【答案】2y/5

【分析】

由矩形的性质得出。8=0C,由等腰三角形的性质得出6£=CE,证出0E是M8C的中位线,

得出48=20£=2,证出附8E是等腰直角三角形，得出8E=48=2,BC=2BE=4,再由勾股

定理即可得出答案.

【详解】

解：团四边形48C。是矩形，

回M8C=回B4O=90°,OA=OC,。8=。。，AC=BD,

团。8=0C,

0OE08C,

团8E=CE,

WE是朋8c的中位线，

m8=2OE=2,

ME平分团84。，

配］B4E=45°,

豳A3E是等腰更角三角形，

回8E=48=2,

团8c=28E=4,

蜘C=JAB，+BC2=A/22+42=275；

故答案为：26.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与

性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三%形的性质是解题的关键.

12.（2021•辽宁鞍山中考）如图，矩形ABCD中，AB=3,对角线AC,BD交于点O,_LAC,

垂足为点H,若4DH=2NCDH,则AD的长为.

【答案】入行

【分析】

由矩形的性质得C£>=/W=3,ZADC=90°,求出NS〃=30。，利用30。角的直角三角形

的性质求出的长度，再利用勾股定理求出DH的长度，眼据NAO”=60。求出ZZMC=30°,

然后由含30。角的直角三角形的性质即可求解.

【详解】

解：•••四边形成CD是矩形，

:.CD=AB=3,ZA£)C=90°,

•：ZADH=2NCDH,

:.ZCDH=30°,NAO"=60。，

13

0CH=-CD=-

22

3G

在R7XDHC中,DH=ylCD2-CH

2)~r

DHLAC,

NDHA=90"

/.Z™C=90o-60°=30°,

AD=2DH=36，

故答案为：3出.

【点睛】

本题考查的是矩形的性质以及直角三角形30。的性质，熟练掌握直角三角形30。的性质是解

决本题的关键.

4

13.(2021•湖南邵阳中考)如图，在矩形ABCD中，DE_LAC,垂足为点E.若sinAADE=-,

4)=4,则AB的长为.

【答案】3

【分析】

在向AAOE中，由正弦定义解得=再由勾股定理解得。E的长，根据同角的余角相

等，得到sin44OE=sin/EC。，最后根据正弦定义解得CD的长即可解题.

【详解】

解：在肋AAOE中，

/srAE4

sinZ.ADE=-----=—

AD5

AD=4

16

AE=—

5

DE=qAD?-AE?=L:-(—)2=—

V55

-DEIAC

...ZADE+ZEDC=ZEDC+ZECD=90°

:.ZADE—NECD

DF4

，sinNADE=sinNECD=——=-

CD5

:.CD=DE-=3

4

在矩形ABC。中，

AB=CD=3

故答案为：3.

【点睛】

本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解

题关键.

14.(2020•四川泸州中考)如图，在矩形A8CO中，£尸分别为边A8,AO的中点，BF与

EC,分别交于点M,N.已知A3=4,BC=6,则MN的长为.

4

【答案】y

【分析】

过点E作EH0AD,交点BF于点G,交CD于点H,证明回BEGOEIBAF,求出EG的长，再证明

0EGN03DFN,0EGM03CBM,得出2%6=册，4MG=M3,再求出BG=GF=gBF=°,从而

22

求出NG和MG,可得MN的长.

【详解】

解：过点E作EHMD,交点BF于点G,交CD于点H,

由题意可知:EH0BC,

□0BEGEHBAF,

BEEGBG

回---=---=--->

ABAFGF

13AB=4,BC=6,点E为AB中点，F为AD中点,

0BE=2,AF=3,

2EG

0-=——，

43

3

0EG=-,

2

0EH0BC,

团EJEGN画DFN,0EGME0CBM,

EGNGENEGMGEM

团---=----=----，---=----=----,

DFNFDNBCMBCM

33

团5_NG,2_MG,

~3~~NF

NG1MGI

即Hn——二一，---二一，

NF2MB4

e2NG=NF,4MG=MB,

既为AB中点，EH0BC,

回G为BF中点,

0BG=GF=-^-~AB2+AF2=—,

222

0NG=GF=?,MG=BC=',

3652

4

4

故答案为：j.

【点睛】

本题考杳了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是添加辅助线EH,得到相

似三角形.

15.（2020•贵州黔东南中考）如图，矩形A8CD中，AB=2f8c=&，E为CD的中点，连

接AA8。交于点P,过点P作PQMC于点。，则PQ=

4

【答案】y

【分析】

根据矩形的性质得到八电CO,AB=CD,AD=BC,豳4。=90。，根据线段中点的定义得到DE

=^CD=^AB,根据相似三角形的判定证明M8的团EOP,再利用相识三角形的性质和判定即

可得到结论.

【详解】

解：回四边形2BCD是矩形，

蜘8团C。，AB=CD,AD=BC,m8AD=90°,

团E为8的中点,

^DE=^CD=^AB,

团购8晒EOP,

ABPB

0-----=------,

DEPD

PB

~PD

1

PB2

0——=

BD3

(3PQ团8C,

0PQ0CD,

^BPQ^DBC,

PQBP2

0—

CDBD3

0CD=2,

4

0PQ=-,

3

4

故答案为：p

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质的应用，运用矩形的性质和相似三角

2PR

形判定和性质证明M8R3非DP得到I=而是解题的关键.

16.（2021•湖南株洲中考）如图所示，线段为等腰△ABC的底边，矩形A08石的对角线AB

与交于点0,若OD=2,则AC=.

A

【答案】4

【分析】

先求出矩形的对角线的长，得到A8的取值，再利用等腰三角形的概念直接得到4C的直.

【详解】

解：回矩形ADBE的对角线AB与DE交于点0,

加8=。£,OE=OD,

\MB=DE=2OD=4,

团线段BC为等腰加8c的底边，

04c=48=4,

故答案为：4.

【点睛】

本题考查了矩形的性质和对等腰三角形概念的理解，解决木题的关键是理解相关概念与性质,

能灵活运用题干信息，将它们用数学符号进行表示，本题较基础，考查了学生的几何语言表

述的能力以及基本功.

17.（2021•浙江杭州中考）如图是一张矩形纸片ABC。，点M是对角线AC的中点，点E在

BC边上，把△0CE沿直线。七折叠，使点C落在对角线AC上的点尸处，连接。尸，EF.若

MF=AB,则。4尸=度.

【答案】18

【分析】

连接M。，设回DAF=x,利用折叠与等腰三角形的性质，用x的代数式表示出附。C=90。，歹lj出

方程解方程即可.

【详解】

连接M。，设团加F=x

根据矩形的基本性质可知人M=MD，AD^BC,08CD=a4DC=9O°

^MDA=WAF=x,^ACB=^DAC=x

图3DMF=2x

能)DCE折叠得到团DFE

^DF=CD=AB,OE0FC,回F0E=(3CDE

又MF=AB

田MF二DF

^MDF=2x

团团8CD=MC8+MCO=90°,@EOC+mFCO=90°

^CDE=^ACD=x

00FDf=0CDE=x

004DC=IMDM+3/VfDF+0FD£+0CD£=x+2x+x+x=5x=9Oo

取=18°

故团DAF=18。

故答案为18.

【点睛】

本题考查了矩形的折叠问题，能够做出合适的辅助线用回D4F表示出MDC是解题关健.

18.（2021•浙江宁波中考）如图，在矩形A8CO中，点E在边A8上，△8EC与△bEC关于

直线EU对称，点8的对称点F在边A。上，G为C。中点，连结8G分别与CE,Cb交于M,

/V两点，若BM=BE,MG=1,则BN的长为,sinZAFE的值为.

【答案】2V2-1

【分析】

由△8EC与△FEC关于直线EC对称，矩形ABCD,证明独反次△尸EC,再证明△BCNgKH),

可得BN=CD,再求解。=2,即可得BN的长；先证明AAFESACBG可得：生=之,

CGBG

设6M=x,则8E=3M=F£=x,5G=x+l,AE=2-x,再列方程，求解乂即可得到答案.

【详解】

解：•••/XBEC与△EEC关于直线EC对称，矩形A8CQ,

BEC'FEC,ZABC=ZADC=/BCD=90°,

/./EBC=NEFC=90。,/BEC=NFEC,BE=FE,BC=FC,

BM=BE,

：./BEM=NBME,

4FEC=/BME,

EFHMN,

4BNC=4EFC=骄,

NBNC=NFDC=9。°、

•//BCD=90。,

NNBC+ABCN=90°=NBCN+Z/5CF,

ZNBC=/DCF、

:ABCN学KFD,

BN=CD,

矩形"CO,

:.ABHCD、ADHBC,

/BEM=4GCM,

NBEM=NBME=NCMG,MG=1,G为C/）的中点，

二.4GMC=4GCM,

：,CG=MG=1、CD=2,

:.BN=2.

如图，BM=BE=FE,MN〃EF,四边形ABC。都是矩形,

/.AB=CD、ADHBC,乙4=/BCG=90°,ZAEF=ZABG,

•.・ZAFE+ZAEF=900=NABG+NCBG,

:"AFE=/CBG,

..△AFEsQG,

,AE_EF

"~CG=~BG，

设BM=x,则BE=BM=FE-x,BG=x+1,AE=2-x,

2-xx

~T+T5

解得：x=±&

经检验：x=士垃是原方程的根，但工=-&不合题意，舍去，

:.AE=2-五,EF=&,

./AE2-\/2rr

sinZAFE==——T=—=V2—1.

EF41

故答案为：2,72-1.

【点睛】

本题考查的是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角

函数的应用，分式方程的解法，掌握以上知识是解题的关键.

19.（2021•四川内江中考）如图，矩形ABC。，AB=\,BC=2,点A在％轴正半轴上，点

。在y轴正半轴上.当点A在1轴上运动时，点。也随之在>轴上运动,在这个运动过程中，

点c到原点o的最大距离为

【答案】0+1##

【分析】

取的中点，，连接C77,OH,由勾股定理可求C”的长，由直角三角形的性质可

求O”的长，由三角形的三边可求解.

【详解】

如图，取A。的中点，，连接C4,OH,

.\CD=A13=\,AD=BC=2,

,点〃是AO的中点，

：.AH=DH=\^

：.CH=>JDH2+CD2=y/\+\=6,

•.•NAOD=90°,点”是4。的中点，

：.OH=-AD=\,

2

在ZSOC“中，CO<OH+CH,

当点〃在0C上时，CO=OH+CHt

.••。0的最大值为0〃+。〃=&+1,

故答案为：V2+1.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角形的三边形关系，勾股定理等知识，添加

恰当辅助线构造三角形是解题的关键.

20.如图，有一张矩形纸条A8CD,AB=5cmtBC=2cm,点M,N分别在边48,CD上，

CN=lcm.现将四边形8CNM沿M/V折叠，使点B,C分别落在点0,。上.当点8'恰好落

在边CD上时，线段8M的长为cm；在点M从点人运动到点8的过程中，若边MB，

与边CD交于点£,则点£相应运动的路径长为cm.

【分析】

第一个问题证明8M=M8=/V9,求出/V8即可解决问题.第二个问题，探究点E的运动轨

迹，寻找特殊位置解决问题即可.

【详解】

如图1中，

图1

现U边形4BCD是矩形，

团CD,

001=03,

由翻折的性质可知：(31=132,8M=MB\

002=03,

^NB'=yj^C2+NC-=722+12=>5(cm),

^BM=NB,=y/5(cm).

如图2中，当点M与4重合时，AE=EN,设4£=£N=xcm,

在RtGWOE中，则有X2=2?+(4-X)2,解得x=?,

2

53

0DE=4-----=—(cm),

22

如图3中，当点M运动到时，。£的值最大，DE'=5-1-2=2(cm),

如图4中，当点M运动到点夕落在CD时，DB，(即DE")=5-1-逐=(4-右)(cm),

aa

同点E的运动轨迹EfE'9E",运动路径=££+£8，=2--4-2-(4-逐)=(>/5--)(cm).

图2

图3图4

故答案为逐，(&-1)•

【点睛】

本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用

所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

21.(2021•江苏省盐城中考)如图，在矩形48CO中，AB=3,AD=4fE、/分别是边8C、

。。上一点，EFYAEt将△ECF沿£尸翻折得△比午，连接AC',当BE=时,

△4EC是以AE为腰的等腰三角形.

【答案】（7或;4

o3

【分析】

对△AEC'是以AE为腰的等腰三角形分类讨论，当AE=EC时，设8E=工，可得到EC=4-x,

再根据折叠可得到EC=EC'=4-x,然后在RtMBE中利用勾股定理列方程计算即可.：当

时，过4作AH星直于EC'于点H,然后根据折叠可得到NCE〃=NFEC,在结合

EFl.AE,利用互余性质可得到NBEA=ZAEH，然后证得M8由MHE,进而得到BE=HE，

然后再利用等腰三角形三线合一性质得到EH=CH,然后在根据数量关系得到

14

BE=-BC=-.

33

【详解】

解：当时，设3E=x,则EC=4-x,

0△火尸沿EF翻折得AECF,

回£C=£C'=4-x,

在RtM8E中由勾股定理可得：AE2=BE2+AB-即（4-=犬+,

解得：产白

O

当A£=AC时，如图所示,过4作AH垂直于比'于点H,

EC,AE=AC,

=CH,

^EFIAE，

0ZCEF+ZAEC=90°,/BEA+ZFEC=90°

团AECF沿EF翻折得4ECF.

⑦NC'EF=NFEC,

^ZBEA=ZAEH,

NB=/AHE

在M8E和MHE'|'«ZAEB=ZAEH,

AE=AE

团M8E0MHE（AAS）,

田BE=HE,

^BE=HE=HC,

^BE=-EC

2

0EC=EC\

^\BE=-EC,

2

I4

^BE=-BC=-,

33

74

综上所述，BE=g或三,

83

74

故答案为：（或三

【点睛】

本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠性质，解题的关键是分类讨论等腰三角形的

腰，然后结合勾股定理计算即可.

22.（2021•湖南长沙•中考真题）如图，oA88的对角线AC,8。相交于点。，/MB是

等边三角形，AB=4.

（1）求证：o人BC。是矩形；

（2）求AO的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）4G.

【分析】

（1）先根据平行四边形的性质可得。4=。。=3A。,（M=。。=38。，再根据等边三角形

的性质可得。4=04,从而可得AC=8O,然后根据矩形的判定即可得证；

（2）先根据等边三角形的性质可得08=AB=4,从而可得3。=8,再根据矩形的性质可

得NBA£>=90。，然后在RtZVlBO中，利用勾股定理即可得.

【详解】

(1)证明：•••四边形A8CO是平行四边形，

,\OA=OC=-AC.OB=OD=-BD

22t

•••△04?是等边三角形，

:.OA=OB,

：.AC=BD,

.七A8c。是矩形；

(2)•.•△048是等边三角形，A8=4,

；.0B=AB=4,

.•.80=208=8,

由(1)已证：QA3C£)是矩形，

.-.Z/MD=90°,

则在Rt38£>中，AD=>Jl3b1-AB2=A/82-42=473-

【点睛】

本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识点，熟练掌握

矩形的判定与性质是解题关键.

23.(2021•浙江省金华中考)已知：如图，矩形A8C0的对角线AC,B。相交于点0,

NBOC=120。,AB=2.

(1)求矩形对角线的长.

(2)过。作O£_LAD于点E,连结8E.记=求tana的值.

【答案】(1)4；(2)B

2

【分析】

(1)根据矩形对角线的性质，得出M80是等腰三角形，且团80c=120。，即MO8=60。，则射80

为等边三角形，即可求得对角线的长；

(2)首先根据勾股定理求出AD,再由矩形的对角线的性质得出04=。。,且。日丽。，则/£=；

AD,在KfiZWBf中即可求得lana.

【详解】

解.：(1)团四边形A8CO是矩形

/.AC=BD,()A=OC=-AC,OB=OD=-I3D,

22

.-.()A=(X：=()B=()D

ZBOC=120°,/.AAOB=60°

.•△A08是等边三角形，

OB-AB=2,

所以AC=8D=2OB=4.

故答案为：4.

(2)在矩形A8CD中，ZBAD=90°.

AD=NBD^-AS=Jl6-4=2g

由(1)得，OA=OD.

又TOEJ.AZ)

AE=-AD=y/3

2

在RAABE中,tantz=—=—.

AB2

故答案为：立.

2

【点睛】

本题考查了矩形的对角线性质，等边三角形的判定，等腰三角形的三线合一以及在直角三角

形中求锐角正切的知识点，灵活应用矩形对角线的性质足解题的关键.

24.(2021•北京市朝阳区一模)如图，在矩形A8C。中，对角线AC,BD相交于点O,过

点C作CE//BD,交A。的延长线于点£

(1)求证：ZACD=NECD；

(2)连接OE,若48=2,tari^ACD=2t求。石的长.

【答案】(1)见解析；(2)而

【分析】

(1)先证明四边形BCE。是平行四边形，得至lj80=CE=AC,再利用等腰三角形的性质即可证

明；

（2）解：过点。作O/JLA。于点F,求得2B=CO=2,AD=BC=DE=4,再求得OF=1,斤=6,

利用勾股定理即可求解.

【详解】

（1）证明：团四边形ABC。是矩形，

MC=8。，MOC=90°,BC//DE,

^CE//BD,

团四边形8CEO是平行四边形，

0B£）=CE,

团AC-CE,

团ZACO=NECQ；

（2）解：过点。作O/_LAO于点F,则F为AO的中点.

团四边形ABCO是矩形，对角线4：,8。相交于点0,且4B=2,tan^ACD=2,

蜘8=CD=2,AD=BC,tan^ACD=—=20B=0D,

CDf

04D=4.

由（1）知四边形BCE。是平行四边形，

MD=BC=DE=4,

团08=。。，OF^AD,

^OF=-AB=1,EF=DE+-AD=6,

22

^OE=\IOF2+EF2=＞/37.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，y行四边形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记各性质并求

出四边形BCED是平行四边形是解题的关键.

25.（2021•浙江嘉兴中考）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活

动：将一个矩形A8CQ绕点A顺时针旋转。（0。＜夕＜90。），得到矩形A8co

［探究1］如图1,当。=90。时，点C'恰好在延长线上.若AB=1,求BC的长.

［探究2］如图2,连结AC,过点作。M//AC交4。于点M.线段沙"与。"相等吗？

请说明理由.

［探究3］在探究2的条件下，射线。8分别交A。。AC于点P,N（如图3）,MN,PN存

在一定的数量关系，并加以证明.

【答案】［探究1］5C=L植；［探究2］DM=DW,证明见解析；［探究3］MN2=QV"）N,

2

证明见解析

【分析】

［探究1］设BC=x,根据旋转和矩形的性质得出。'C7/DA,从而得出△OC/SAA力从得

出比例式D今'C'■=以D'B，列出方程解方程即可；

ADAB

［探究2］先利用545得出MC'£>WAD6A,得出ND4C'=NAD6,乙=再结

合已知条件得出ZMDD'=ZMDD,即可得出D'M=DM；

［探究3］连结人M,先利用5ss得出A/V5M且从而证得MN=AN,再利用两角对

PNAN

应相等得出&VR4sAM4。，得出三二怎即可得出结论.

ANDN

【详解】

［探究1］如图1，

设8C=x.

囹矩形ABCD绕点A顺时针旋转90。得到矩形ABCD,,

团点A,B,ZT在同一直线上.

^AD'=AD=BC=x,DC=AB'=AB=\,

mD'B=AD'-AB=x-\.

回NR4Q=ND'=90°,

0D'C//DA.

又13点C在DB延长线匕

回A£)'C'3SAAO3,

DC'DB

0------=------

ADAB

解得百=上乎，々=上泸（不合题意，舍去）

0BC=

[探究2]D'M=DM.

证明:如图2,连结OZT.

回ZA£>'M=NO'AC'.

团AD'=A£>，ZADC=NDAB=9()。,D'C'=AB

团AACO*AZ)4A(y4S).

0ZDrAC'=ZADB,ZADB=ZAD'M,

回AD=A。，ZADD^ZADD,

AMDD'=AMD'D,

中D'M=DM.

［探究3］关系式为MN'=PN•DN.

证明：如图3,连结AM.

^D'M=DM.AD'=AD^AM=AM,

回AADW丝AAD'M(SSS).

团NM41)'=ZM4/)，

^ZAMN=ZMAD+ZNDA,

ZNAM=ZMAD'+ZNAP,

®MN=AN.

在.SNAP与&VD4中，

ZANP=/DNA,ZNAP=ZNDA,

^^NPA^ANAD,

PNAN

I'I-----=------,

ANDN

田AN?=PN,DN.

田MN?=PN・DN.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，

解一元二次方程等，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题.

26.如图，四边形ABCD为矩形，AB=4cm,AD=3cm,动点M、N分别从D、B同时出发，

都以lcm/秒的速度运动，点M沿DA向点终点A运动，点N沿BC向终点C运动.过点N

作NP团BC,交AC于点P,连接MP,已知运动的时间为t秒(0<t<3).

备用图

(1)当t=l秒时，求出PN的长；

(2)若四边形CDMP的面积为s,试求s与t的函数关系式；

(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t使四边形CDMP的面积与四边形ABCD的面积比

为3：8,若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.

(4)在点M、N运动过程中，