2025-2026学年苏科版七年级数学下册期末复习：证明（提升练习）

2025-2026学年苏科版数学七年级下册

期末复习专题1：证明

（提升练习）

（满分100分，时间90分钟）

一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分）

1.下列命题中，是真命题的是（）

A.等角的余角相等B,三角形的外角和等于180。

C.若V=y2,则X=yD.两条直线被第三条直线所截，同位角相等

2.己知命题“如果〃=那么一〃=一人”，则该命题的逆命题是（）

A.如果。=〃，那么-a=-bB.如果一4=一〃，那么〃=〃

C.如果。=/?,那么一aw-bD.如果一"一那么4=/?

3.命题“如果〃=那么时=网”的逆命题是假命题，可取下面哪组值反例说明（）

A.a=\,b=\B.。=-1/=1C.a=-\,b=-\D.a=1,/?=2

4.证明：一个三角形中不能有两个角是直角.

已知：VABC.

求证：八NB,NC中不能有两个角是直角.

证明：假设/A,NB,NC中有两个角是直角，不妨设/A和是直角，即乙4二9（）。，？890?.

于是乙4+/8+/。=90。+90。+/。＞180°.

这与三角形内角和定理相矛盾，因此“NA和是直角”的假设不成立.

所以，一个三角形中不能有两个角是直角.

上述证明方法是（）

A.归纳法B.枚举法C.反证法D.综合法

5.下列可以作为定理的有（）

①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④

三角形内角和为180。.

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.如图，已知直线A3〃CO,EF平分NCEB,若N2=70。，则N1的度数为（

C.60°D.70°

7.如图，ZRN2、N3、N4是五边形A6CDE的外角，且/I=N2=N3=/4=70。，则/血）的度数

A.1(X)°B.108°C,110°D,120°

&如图，点8、C分别在AM、AN上运动（不与A重合），8是N6CN的平分线，的反

向延长线交NA8C的平分线于点A知道下列哪个条件①ZA8C+NAC3；②NA；③

NNCD-NABP；④/4BC的值，不能求—P大小的是（）

二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分）

9.命题“一个角的补角大于这个角”是命题.（填“真”或“假”）

10.反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角”时，首先要假设：.

11.如图，已知直线4〃*Nl=54。，Z2=1OO°,则ZA=度.

12.已知直线I八,将含30。角的直角三角板按如图所示摆放.若N2=140。，则N1

13.用一组a,b,c的值说明命题"如果a，那么acv力c”是假命题，这组值可以是a

=,b=,c=.

14.小亮从起点沿着水平方向行走，向右转15。前进而一再向右转后，行走的方向与

原方向相反.

15.如图，在以也中，血、6分别平分48C4CA1G、CG分别平分三角形的两个外角

NEBC、NFCB、NG=48。，贝|JN£>=

16.如图所示，已知"于点B,Z1+Z3=18O°,则下列结论一定正确的有

(填序号).

①/2=/3；®Z4=ZAFD；©AF//CE；④ND=NDCE；@ZFCD=90°；@Z4=Z2+Z3；(7)

若N1=120°，则NECD=30°.

三、解答题(本题共8小题，共52分)

17.下列命题的条件是什么？结论是什么？

(1)两直线平行，同位角相等.

(2)若ZA=",/B=NC,则44=NC.

(3)不等式的两边同乘一个负数，不等号方向改变.

18.读小明和小红的对话，解决下列问题.小明：“我把一个多边形的各内角相加，得到的和

为1470。.”小红：“多边形的内角和不可能是1470。，我看了你的过程，你多加了一个锐角.”

(1)通过列方程说明“多边形的内角和不可能是1470。”的理由；

⑵求该多边形的内角和.

19.如图，在五边形八中，AE//CD,?4100靶B=120?

⑴若。=110。，请求NE的度数；

⑵试求出NC及五边形外饱和的度数.

20.(1)完成下面的推理说明：

己知：如图，BE〃CF,BE,C尸分别平分N48。和/8CQ.

求证：AB//CD.

证明：BE,CF分别平分/A8C和NBC。(已知)，

.•.N1=4N,Z2=lz().

2---------2---------------------------------------

-BE//CF(已知),

Zl=Z2(),

:.-^ABC=-^BCD(),

22

ZABC=ZBCD(等式的性质)，

/.AB//CD().

(2)指出(1)的推理中运用了哪两个互逆的真命题.

21.【阅读理解】

如果把一个命题(记作P)的题设和结论交换位置，得到另一个命题(记作夕),那么这两个

命题叫做互逆命题，其中命题P称为原命题，命题^称为原命题的逆命题.

例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”.

【解决问题】

给出命题〃：“如果。=力，那么|。|=网.”

(1)写出命题〃的题设和结论，及逆命题公

(2)判断命题“是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明.

22.如图①，在中，ZAC5=90。；点夕在边上.将点。绕点3按逆时针方向旋转一定

角度40。＜。＜180。)得到点p,连接A尸，3P,作/PBC,44CB的角平分线交于点。.

(1)如图②，若a-90。，贝iJN8QC=。；

(2)如图③，当点?恰好落在边A3上时，探索幺、NBQC之间的关系，并说明理由；

(3)随着点夕的旋转，当点P不在边A8上时，探索NAP'*NP/C、N5QC之间的关系,

直接写出结论.

23.(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，请证明NA+N8=NC+NO；

简单应用】

(2)如图2,AP.CP分别平分38位＞、/BCD,若乙钻C=36\ZADC=16°,求ZP的

度数；

【问题探究】

(3)如图3,直线AP平分NBAD的外角ZFAD，。尸平分NBCD的外角/BCE,若ZABC=6。,

ZADC-if,且〃L〃=20,tnn-300,求—P的度数.

图1图2图3

24.【问题背景】

同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1）,我们就把

这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系.

（1）如图（1）,AB//CD,E为AB、CO之间一点，连接ME、NE,得到乙WEN,试探

究/MEN与NAME,/CNE之间的数量关系，并说明理由.

图⑴

【实际运用】

（2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台A3、延展臂（"在。的左侧）、伸

展主臂C。、支撑臂所构成，在作业过程中，救援台A3、车身G”及地面MN三者始终保

持水平平行.为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）.使得延展臂BC与

支撑臂七口所在直线互相垂直，且/比77=75。，这时展角/ABC=_____°.

消防云梯图（2）图（3）

【深入探索】

（3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转.如图（4）,射线ME

从M4开始，绕M点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线N尸从开始，绕N点以25°

每秒的速度逆时针旋转，直线A/E与直线板交于P,若直线ME与直线N/相交所夹的锐角

为45°,请求出运动时间（秒（0<r<10）的值.

图（4）备用图

答案解析

一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分）

1.下列命题中，是真命题的是（）

A.等角的余角相等B.三角形的外角和等于180。

C.若f=y2,则尢=yD.两条直线被第三条直线所截，同位角相等

【答案】A

2.已知命题“如果。=〃，那么-，则该命题的逆命题是（）

A.如果。=〃，那么一〃二一〃B.如果一。二-〃，那么。

C.如果〃=〃，那么-D.如果-4工-〃，那么

【答案】B

3.命题“如果〃=〃，那么|。|=|同”的逆命题是假命题，可取下面哪组值反例说明（）

A.a=\,b=\B.a=-\,b=\C.a=-\,b=-\D.a=l力=2

【答案】B

4.证明：一个三角形中不能有两个角是直角.

已知：VABC.

求证：八NB,NC中不能有两个角是直角.

证明：假设/A,NB,NC中有两个角是直角，不妨设/A和是直角，即乙4二9（）。，？890?.

于是乙4+/8+/。=90。+90。+/。＞180°.

这与三角形内角和定理相矛盾，因此“NA和是直角”的假设不成立.

所以，一个三角形中不能有两个角是直角.

上述证明方法是（）

A.归纳法B.枚举法C.反证法D.综合法

【答案】C

5.下列可以作为定理的有（）

①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④

三角形内角和为180。.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

6如图，已知直线EF平分NCER,若N2=7O",则/I的度数为（

C.60°D.70°

【答案】A

7.如图，ZkN2、N3、N4是五边形A8CDE的外角，且N1=N2=N3=N4=70。，则的度数

【答案】A

8.如图，点3、C分别在AM、AN上运动（不与A重合），C。是N3CN的平分线，。。的反

向延长线交NA8C的平分线于点尸.知道下列哪个条件①ZABC+Z4C8；②N4；③

NNCD—NABP：④/A8C的值，不能求/尸大小的是（）

A.①B.②C.③D.@

【答案】D

二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分）

9.命题“一个角的补角大亍这个角”是____命题.（填“真”或“假”）

【答案】假

10.反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角”时，首先要假设：.

【答案】一个三角形中至少有两个内角是直角

11.如图，已如直线4〃4，4=54。，Z2-KX）0,则ZA=度.

【答案】46

12.已知直线1队,将含30。角的直角三角板按如图所示摆放.若N2=140。，则N1=

13.用一组a,b,c的值说明命题“如果“<〃，那么初<儿”是假命题，这组值可以是技

=,b=,c=.

【答案】34-1

14.小亮从起点沿着水平方向行走，向右转15。前进10m,再向右转后，行走的方向与

原方向相反.

【答案】165。

15.如图，在丛3。中，初、8分别平分4座、4C&8G、CG分别平分三角形的两个外角

NEBC、/产CB,NG=48。，则NO=。.

【答案】132

16.如图所示，己知AB〉*，于点B,Nl+N3=180。，则下列结论一定正确的有

（填序号）.

①/2=/3；（2）Z4=ZAFD；@AF//CE；④ND=NOCE；@ZFCD=90°；⑥N4=N2+N3；（7）

若Nl=120。，则Z£CD=30。.

B

C

U3\X

FED

【答案】①②③⑤©

三、解答题(本题共8小题，共52分)

17.下列命题的条件是什么？结论是什么？

(1)两直线平行，同位角相等.

(2)若ZA=N4,/B=NC,则ZA=NC.

(3)不等式的两边同乘一个负数，不等号方向改变.

【答案(1)解：条件：两直线平行；

结论：同位角相等；

(2)解：条件：=4=/C,

结论：Z4=ZC；

(3)解：条件：不等式的两边同乘一个负数，

结论：不等号方向改变.

18.读小明和小红的对话，解决下列问题.小明：“我把一个多边形的各内角相加，得到的和

为1470。.”小红：“多边形的内角和不可能是1470。，我看了你的过程，你多加了一个锐角.”

⑴通过列方程说明“多边形的内角和不可能是1470。”的理由；

⑵求该多边形的内角和.

【答案】(1)解：设多边形的边数是〃，由题意得(〃-2).180。=1470。，解得，・粤，

因为〃取整数，

所以多边形的内角和不可能是1470。；

(2)解：十边形的内角和为(1。-2)x18()0=1440。，而■一边形的内角和为(11-2卜180。=1620。，

所以该多边形的内角和是144()。.

19.如图，在五边形ABCQE中，AE//CD,?A100和8=120?

(1)若/。=11伊，请求/E的度数；

(2)试求出NC及五边形外角和的度数.

【答案】(1)解：•・,A石〃8,

・•・/£>+/£=180。，

=180°-=180°-110°=70°；

(2)解：五边形ABCDK中，Z4+ZB+ZC+ZD+ZE=(5-2)xl8O°=54O°,

NO+NE=180。，ZA=l(Xr,4=120°,

4=540。-("+/号-乙4-N8

=140°；

五边形外角和的度数是360\

20.(1)完成下面的推理说明：

己知：如图，BE〃CF,BE,CF分另lj平分/ABC和N3CD.

求证：AB//CD.

证明：BE,CF分别平分/ABC和N8CO(已知)，

二./1=:/,Z2=lz().

2--------2

•：BE//CF(己知)，

/.Z1=Z2(),

..-ZABC=-ZBCD（）,

22

:.ZABC=ZBCD（等式的性质），

/.AB//CD（）.

（2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题.

【答案】（1）.：BE,CF分别平分ZABC和/BCD（已知），

/.ZI=lz^GZ2=lzfiCD（角平分线的定义），

BE//CF（已知），

/.Z1=Z2（两直线平行，内错角相等），

.^ZABC=^ZBCD（等量代换），

：.ZABC=ZBCD（等式的性质），

：.AB//CD（内错角相等，两直线平行），

故答案为：ADC.DCD；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等,

两直线平行；

（2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行.

21.【阅读理解】

如果把一个命题（记作〃）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作，/），那么这两个

命题叫做互逆命题，其中命题P称为原命题，命题4称为原命题的逆命题.

例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”.

【解决问题】

给出命题P：“如果那么同=回.”

（1）写出命题P的题设和结论，及逆命题".

（2）判断命题“是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明.

【答案】（1）解：•・•命题P：“如果。=〃，那么|。|=|可.

・・・a=b是题设，同=可是结论；

逆命题4是：如果同=啊，那么

（2）解：命题9是假命题，

反倒:a=4Z,=-3,|3|=|-3|,但是3不等于-3.

22.如图①，在中，44C3=90。；点尸在边8C上.将点尸绕点8按逆时针方向旋转一定

角度。(0。＜。＜180。)得到点连接AP',BP',作NPBC,/AC8的角平分线交于点Q.

(1)如图②，若。=90。，则/仅2。=______°；

(2)如图③，当点尸恰好落在边AB上时，探索4、N5QC之间的关系，并说明理由；

(3)随着点P的旋转，当点尸不在边A3上时，探索乙4尸乐ZP'AC.N8QC之间的关系,

直接写出结论.

【答案】(1)解：・・・a=90。，

JNPBP=90。,

,・•％平分

.・・NQBC=；NPBP=45。,

•・•CQ平分NACB,

JZQCB=^ZACB=45°f

：.ZBQC=180°-(NQBC+NQCB)=90°,

故答案为：90：

【小问2详解】

解：・.・3。平分/八叱\CQ平分/4CA,

・・・4CBQ=g/ABC,/BCQ=gNAC3,

£CBQ+ZBCQ=gN48C+gN4c8=g(NABC+Z4C8),

在MBC中，ZA+ZABC+ZAC8=180。，

・•・ZABC+ZACB=180°-ZA,

・・.NCBQ+N8CQ=g(18()c-NA),

在中，zLCBQ+zlBCQ+zLBQC=180°,AZBQC=\80°-(ZCBQ+ZBCQ)

=180°-1(180°-ZA)

=90°+-Z>4；

2

【小问3详解】

解：当点P，在J1BC外时，如图，

1

-a

・・・ZCBQ=-ZABC2ZBCQ=-ZACB=45°f

：.ZBQC=180°-(ZQBC+ZQCB)=\350--af

：.a=2700-2ZBQCt

在四边形PACB中，ZAPB+ZPAC+90°+«=360°,

ZAF^B+AP'AC+90°+270°-2ZBQC=360°,

整理得ZAPB+NPAC=2/BQC；

当点P在MBC内时，如图，

同理。=270。-2/伙2。，

在产中，ZAM=180°-(Zl+Z2),

在y8c中，Zl+ZP/AC+Z2+a+90o=180°,

Zl+Z2=90°-Z/yAC-tz,

.・・ZAPB=180°-(90°-"AC-a)=90。+ZPfAC+a

=90°+々'AC+270°-2NBQC,

整理得/APB+2ZBQC=4PAC+360°；

综上,ZAPB+ZPfAC=2ZBQC或ZAPrB+2ZBQC=ZPrAC+360°.

23.(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，请证明NA+N8=NC+NO；

简单应用】

(2)如图2,AP.CP分别平分/R4。、NBCD,若NA8C=36。，ZADC=16。，求/P的

度数；

【问题探究】

(3)如图3,直线"平分的外角ZFAD，。户平分N3CO的外角NBCE,若ZABC=irf,

L

ZADC=n°f且〃〃=20,〃加=300,求NP的度数.

【答案】(1)(1)证明：在VAO3中，ZA+ZZ?+ZAOZ?-180°,

在△CO。中，NC+NO+NCOD=180°,

ZAOB=4COD,

:.ZA+ZB=ZC+ZD；

(2)解：如图2,

.­AP.CP分别平分/BAD,/BCD,

「.N1=N2,Z3=Z4,

B

D

图2

N尸十/3=N2+N6①

由（1）的结论得:

ZP+Z1=Z4+ZZX2)

①+②，得2NP+N1+N3=N2+N4+NB+NO,

ZP=^(Z£?+ZD)=-x(36°+16°)=26°；

(3)解：如图3,

4尸平分NBAD的外角ZFAD,CP平分/BCD的外角ZBCE,

图3

/.Z1=Z2,Z3=Z4,

ZE4D=180°-Z2,ZPCD=180°-Z3,

•/ZP4-(180O-Z2)=ZD+(I80°-Z3),

ZP-Z2=ZD-Z3®,

N尸十ZPAB=NS+N4,Z1="AB,

・•・ZP+Z1=ZB+Z4@,

・••①+②得，2/P=NB+ND,

ZP=-(/ABC+ZADC)=-x(m°+n°)=(〃*")°,

222

・:"?一〃=20,mn=300,

2

・•・（/"+〃）2-（〃L+4mn-400+1200-1600-40,

即加+〃=40（负值舍去），

...ZP=20°.

24.【问题背景】

同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1）,我们就把

这个图形形象的称为“猪蹈模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系.

（1）如图⑴，AB//CD,E为AB、CO之间一点，连接ME、NE,得到ZME7V,试探

究NMEN与NAME,NCNE之间的数量关系，并说明理由.

图（1）

【实际运用】

（2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台48、延展臂8。（8在C的左侧）、伸

展主臂C。、支撑臂M构成，在作业过程中，救援台AB、车身G”及