人教版高中数学必修2 第七章《复数》同步单元必刷卷（基础卷）解析版

第七章《复数》同步单元必刷卷(基础卷)

一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要

求，选对得5分，选错得。分.

I.已知i为虚数单位，复数z满足|z-(3+2i)|=l,则复数z对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】根据豆数模的几何意义得出z对•应点的轨迹•从而可判断其所在的象限.

【详解】因为(3+2i)|=l,

所以点z的轨迹是以(3,2)为圆心，1为半径的圆,

所以复数z对应的点在第•象限.

2.若复数z=—：的实部与虚部相等，则实数〃?的值为()

m-\

A.-3B.-1C.ID.3

【答案】D

【分析】根据复数的除法运算，求得2=上二的实部和虚部，解方程即可求得答案.

m-\

【详解】由题意可得2=2=兴当?=网二曾变，

m-\(w+i)(z/z-i)nr+1

2m-1m+2.

故^解得加=3,

nr4-1nr+1

故诜：D

3.|2+i2+2i3|=()

A.IB.2C.D.5

【答案】C

【分析】由题意首先化简2+i2+2i,然后计算其模即可.

【详解】由题意可得2+i2+2i3=2->2i=l-2i，

则|2+i?+2i3|=|l-2i|=J12+(—2)2=6.

1

故选：c.

4.欧拉公式/=cose+isin。把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.若

复数z满足(e"+i)-z=l,贝I"的虚部为()

A.vB.--C.1D.-1

22

【答案】B

【分析】由欧拉公式和过数除法运算可求得z,由物数虚部定义求得结果

【详解】由欧拉公式知：

e,x=C0S7C+isin7T=-l»二化"+i)-z=(-l+i)-z=i,

,z=，=…=ELLL,

-l+i(-l+i)(-l-i)222

*'-z的虚部为-1.

2

故选：B

5.(cos75+isin75)x乎一^二()

AV31.RV31.

2222

「1石.n1万.

C.—I----1D.-------1

2222

【答案】A

【分析】利用复数的乘方运算以及其三角形式的运算即可得到答案.

I详解停薪除纤停制转制

~(1.fi,a&)s£.

\22八22〃[22)22

=(cos750+isin75)x(cos315+isin315)

=cos(75°+315°)+isin(75"+315j

=cos390°+isin390=cos30+isin30=^-+-H

22

故选：A.

2

6.已知复数2=8$。+1$亩。。是虚数单位，OwR),则的最小值是()

A.72B.V2-1C.V2+1D.1

【答案】B

【分析】由复数的模长计算结合同角的三角函数和辅助角公式计算可得.

【详解】由已知可得z-l-i=cos8-l+(sine-l)i,

|zTT|

=J(cose-])2+(sine-]/

t-r,u=Vcos?19-2cos1+sin26—2sin6+1

所以________________，

=j3-2(sine+cosO)

小2必in(得

当sin„=l时，上式模长取得最小值，

I4J

最小值为△12应=《应j_2x>5x1+12=J(©_ij=也_\,

故选：B.

7.如果复数z=/+〃-2-(m-l)i是纯虚数，〃?wR,i是虚数单位，贝IJ()

A.01且〃？工-2B.m=\

C.m=-2D.〃？=1或机=-2

【答案】C

【分析】根据题意复数z为纯虚数，即得:2二°,从而求解.

加一1Ho

【详解】由复数Z=/+〃?-2-(加-1)i是纯虚数，

向+〃?-2=0

得《

[〃L1HO

解得:〃?=-2.

故选:C.

8.已知复数Z满足！='+@i，则2尸尸,…,Z202。中不同的数有()

Z22

A.4个B.6个C.2019个D.以上答案都不正确

【答案】B

【分析】根据复数的三角形式可求z6=l，从而可判断出不同的数的个数.

3

【详解】根据题意,有z=9当

=1»

于是瑞/*3,…,Z?02。中有6个不同的数.

故选：B.

二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（）

A.若(l+i)z=-i,则|z|=l

B.对任意复数4,z仆有上囚二上小㈤

c.对任意复数4，z2,有1

D.在复平面内，若"={z||z-2]£2},则集合M所构成区域的面积为6兀

【答案】BC

【分析】借助发数的运算、共枕攵数、女数的模及狂数的几何意义逐项判断即可得.

-i-ix（l-i）-1-i

【详解】对A：由（l+i）z=-i,故2=「=.\=工"，

l+i+2

乂寸B：设马=。+万(。力eR)、z2=c+t/i(c,deR),

则[Z]Z21=|(〃+加)(c+.)|=|讹—+(而+be)i|=1(ac-be!)?+(〃4+6c)’

=\Ja2c2-labed+b2d2+a-d'+labed+b2c2=\h2c2+b2d2+a2d2+b2c2,

卜|也|=\la2+b2•\lc2+d2=+/?2)(c2+</2)=\)a2c2+b2d2+a2d:+b2c2,

故|斗2|二k|七|,故B正确;

对C：设Z1=aI历(a,6uR)、z2=cl</i(c,dGR),

有zi-z2=(a+bi)(c+d\)=ac-bd+(ad+bc)i,贝ij4-z2-ac-bd-(ad+bc)i,

ZI-z2=(a-b'\^c-d'\)=ac-bd-(ad+Z>c)i,故4♦]?=4-z2,故C正确；

对D：设2=*+"(x,”R),则有(x-2『+/44,

集合M所构成区域为以(2,0)为圆心，半径为2的圆，

故5=兀r=4兀，故D错误.

4

故选：BC.

10.已知复数z=cose+isine(OeR),则()

A.忖=1B.-卜才

C.zz=\D.|z+l|>2

【答案】ABC

【分析】根据同角三角函数关系和复数模的运算即可判断A,根据复数乘方运算即可判断B,根据复数乘法代数运

算即可判断C,根据复数模的计算和余弦函数的有界性即可判断D.

[详解】对于A,|z|=Vcos26^+sin20-1,A正确；

对于B：因为复数n=cos6+isine(。eR),则z2=cos2O-sin?。+2isin8cose=cos26+isin28,

则|z'=Jcos220+sin:20=1,而忖？=Jcos?2+sin?8=1,则归卜目,故B正确；

对于C：z-z=(cos^+isin^)(cos^-isin^)=cos2<9+sin?^=1,C正确:

对于D，由题意得z+l=(cos〃+l)+isinO,

z+l|=Jcosl+lf+sin*=&s11+sin*+1+2cos8=2+2cos®,

因为则当j2+2cosLw[0,2],故D错误.

故选：ABC.

11.设豆数4*2*3,且z^wo,其中为为确定的复数，下列说法正确的是（).

A.若马马二上/，则Z1+Z2是实数

B.若乎2=匕「，则存在唯一实数对（。力）使得Z3="+%

C.若43+卜3可=0，则Z3在复平面内对应的点的轨迹是射线

D.若㈤+㈤<1,则马<1

|1-Z2Z3

【答案】ACD

【分析】根据复数的概念及运算性质，以及共扼复数的性质和复数模的性质,逐项计算，即可求解.

【详解】对于A中，若Z|Z2=k「，因为1仔2/0,则ZR2=匕]『=Z]Z],可得Z2=Z],

设Z1+R,则Z]+?2=Z]+,=2〃iwR,所以A正确;

对于B中，由A得々=Z,设Zj=〃?+n\,ni,neR,z,=azy+bz2,

5

则z3=az{+hz[=a(m+ni)+b(m-〃i)=(a+b)+(a-b)ni,

只要〃j=0或〃=0,选项B就不正确；

例如：=n\(n*Oj?eR),此时22=4=-/”，

z3=5〃i可表示为z3=5/7i=4〃i+i=4z)-z2或Z3=5〃i=6〃i-i=6z,+z2,

所以表示方法不唯一，所以B错误.

对于C中，若乎3+K34|=。，则联+图同=0,可得㈤回=F马eR,

则㈤同=-z1z3>0,所以内马wR且N3Z]40,

设至=小,则/=；会方……其中

则复数Zj对应的向量与复数4对应的向量方向共线，且长度是|“|倍，

故均在史平面内对应的点的轨迹是射线(且与。4方向共线)，所以C正确.

对于D中,若㈤+用卜若可得瓦卜1<一%卜0,同理㈤-1<0,

由J：卷1<1，即上一ZB|〈|一Z2Z3I，可得(Z?-Z3XZ2-N3)<(1-Z2Z3)(1-Z2Z3)

即Z2Z2+Z3Z3-(z2z5+z2z3)<l+z2z2z3z3-(z2z3+z2z3),

2

即Z2Z2¥Z3Z3<l+Z2Z2Z3Z3,即M+|z3|<1+|z2nz3『,

即(冈-1)(㈤—1)>0,

因为同一1<0,同一1<0,所以值|-1)(㈤-1)>0成立,

所以<1成立，所以D正确.

故选：ACD.

三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.设复数z的共挽复数为彳，若l-3i=2z-。则|z|=.

【答案】6

【分析】设2=。+加（。乃6!1）,代入已知式利用复数相等的定义求得。力，得Z,再由复数模的概念求得结论.

【详解】设2=。+加（。,北2,则［=

因为"3i=2z-5,所以l-3i=a+3bi,

所以t?2解得11）所以z=I，所以|z|=J5.

故答案为：V2.

13.已知i是虚数单位，化简孚学的结果为_______.

2+31

【答案】4+Z//+4

【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以2-3i,然后计算其运算结果即可.

【详解】由题意可得舞=（：；?（；—；；）=T=4+i.

2+31（2+3i）|2-3i）13

故答案为：4+i.

14.已知虚数N,其实部为1,且z+：=〃2e?wR）,则实数〃，为.

【答案】2

【分析】设z=l+bi,bwR且直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.

【详解】设z=1+6i,6eR且8HO.

21+加+二-'〃+3'

则z+一+----TI=5,

z1+加I"打

•/eR,解得w=2,

故答案为：2.

四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证

明过程或演算步骤。

7

15.已知复数z=(l+4i)(l+i)+2+4i(awR).

(1)若z在复平面中所对应的点在直线x-y=。上，求。的值；

(2)求|z-l|的取值范围.

【答案】(1)«=-1;(2)［竽，+4.

【解析】(1)化简z,得z在复平面中所对应的点的坐标，代入直线x-y=O计算；(2)代入模长公式表示出

再利用二次函数的性质求解最值即可.

【详解】(1)化简得z=(l+g)(I+i)+2+4i=(3-〃)+(a+5)i,所以z在复平面中所对应的点的坐标为(3-3+5),

在直线x—y=()上，所以3-。—(。+5)=(),得〃=-l.

(2)|z-1|=|(2—a)+3+5川=J(2—4+(a+5>=12/+6〃+29,因为awR,

且2。2+6〃+292¥，所以|Z—1|=J2M+6a+292逑,所以|z—l|的取值范围为芈,+8.

22L2/

16.已知复数2=〃1(〃?£叫，且90+3。为纯虚数(1是2的共规复数).

(1)设复数马=炉，求㈤；

1—1

,)(P3

(2)复数z2=S二在复平面内对应的点在第一象限，求实数。的取值范围.

【答案】⑴㈤=¥；

(26，-8).

【分析】(1)由一z-(l+3i)为纯虚数，可得〃?=3,从而得4=-万1+7曰，再根据模的公式求解即可；

(2)化简得22=等+甯i,再根据题意列出不等式组求解即可.

【详解】(1)解：因为z=/〃-i(〃?eR),则==/〃+i，

所以鼠(l+3i)=(m+i)(l+3i)=5-3)+(3M+l)i为纯虚数,

/〃-3=0

所以<解得m=3.

3m+1工0

〃?+4i_3+4i_(3+4i)(l+i)_-l+7i=17.

所以4=——F—1,

1-i1-i(l-i)(l+i)~~3.22

8

(2)解：0^i2023=i^05+3=i3=-i,

a-i2O2Aa+i(a+i)(3+i)3a-1Q+3

则z,=------=----=----77---7=----------

'z3-i(3-i)(3+i)1010

因为复数Z2在复平面内对应的点位于第一象限，

-1>01

则1"3>0'解得

因此实数。的取值范围是田I

IJ7

17.已知复数z=l+加（i是虚数单位，mwR）,且彳-（3+i）为纯虚数（三是Z的共挽复数）

⑴求实数，〃及|z|;

〃一；2023

（2）设复数4=纥=，且复数4对应的点在第二象限，求实数。的取值范围.

Z

【答案】（1）〃[=一3,

（W

【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简5・（3+i）,再根据复数的概念得到方程（不等式）组，求出m的值,

即可求出z,从而求出其模；

（2）根据复数的乘方及代数形式的除法运算化简4,再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可.

【详解】（1）=z=l+mi,；・W=1-疝，

z(3+i)=(1-wi)(3+i)=(3+w)+(1-3w)i,

•・•加（3+i）为纯虚数,

3+加=0

一…‘解得〃=3

故z=l-3i,则［z|=』2+(_3)2=而

(2)...,023=丁石05+3

,___a+i_(4+i)(l+3i)_a-33a+l.

~--T^3i-(l-3i)(l+3i)-_10-+10，

•••复数3所对应的点在第二象限,

工0

10

解得

10

9

故实数a的取值范围为1-；,3

18.设红数4和22满足关系式2五+五+如；=0,其中力为不等于0的爱数.证明:

(1)Zj+z2=z(+z2;

⑵区+力旧+力|=|力「;

山=山

z7+Az2+A

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)设4=。+历,Z2=c+di(a,/，,c,d£R),利用共辄复数的定义及复数的相关概念计算即可；

(2)根据条件式及共规复数的意义变形得(4+⑷区+彳)"彳=对，再结合第一问的结论证明即可;

(3)利用第一问与第二问结论证明即可.

【详解】(1)设马=。+风々=c+di(%6,c,dwR),

则4+句=(a+c)+(/)+t/)i=>Z]+z2=(〃+c)-(/>+d)i,Zj+z2=a-b\+c-di=a+c-(h+d)\,

显然Z[+z?=4+z2，得证；

由已知ZR

(2)Z1z2+Az}+AZ2=0=+>Z]+Az2+AA=AA=(z)+A)(z2+A\=\A[,

又由(1)知22+4=22+4,.，.，2+4卜卜2+4|="+力|，

所以|4+/忆+力|=忆+川卜2+力卜W+川卜2+1卜|(Z1+A也+力)卜*『，得证：

(3)因为4工0,所以4+4工0,z,+.4工0,即有4+月=pl一,

z2+A

所以4_____盯_______可、

Z+A2

2(z2+J)(z2+1)(z2+J)^2+/l)[2+A|

由(2)知目+力上+旬二|力『，

Z+AZ+A得证.

七+力「卜2+4『\2\2

【点睛】思路点睛：利用共规复数的定义及几何意义并注意设问之间的递进关系一一证明即可.

19.任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式，R|Jz=a+di=r(cos^+isin(9),其中i为虚数单位,

10

r=|z|=V77^>0,2兀).棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗(1667〜1754)创立.设两个复数用三角函数形式表

示为：=/)(cos^+isin^),z2=A;(COS^2+isin^2),则：z,=4〃[cos(q+02)+isin(q+%)].如果令

Z1=Z2=...=Z„=Z,则能导出复数乘方公式：Z"=/(85〃。+1砧]〃。).请用以上知识解决以下问题.

(1)试将Z=G-3i写成三角形式:

(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：sin36=3sine-4sirP0;cos3。=4cos'9一3cos。;

(3)计算:cos40+COS4(6>+120°)+cos4(0-120°)的值.

【答案】(l)2>/3^cos-y+isin

(2)推导过程见解析

(3)|

【分析】(1)求出复数的模，根据复数的三角形式，即可求得答案:

(2)设模为1的复数为2=8$0+10110,利用复数的乘方运算，结合复数的相等以及同角的三角函数关系化简,

即可推得结论;

(3)由(2)的结论结合恒等变换推出cos4e=：(cos46+4cos2e+3),继而得

8

cos4(Z?+120)=l[cos(46>+120°)+4cos(2<9-120°)+3],cos4仅一120)」[cos(4J-120。)+4cos(2®+120)+31,

再结合8$。+85(0+120。)+85(0-120。)=0,化简，即可求得答案.

【详解】(1)由于z=J5—3i，故|2|=6]=2£,

5兀..5TC।

则2=icos——+isin——；

岩卜可33「

(2)设模为1的复数为z=8的+isin。,

则z3=(cos0+isinO^1=cos3^+3(cos2^)-(isinZ7)+3(cos^)-(isin^)2+(isin^)^

=cos'。+i(3cos”sin0)-3c