人教版九年级数学上册：一元二次方程的概念（能力提升）

25.1一元二次方程的概念

能力提升题

知识点一由一元二次方程的定义求参数

1.（25-26九年级上•贵州毕节•期天）已知方程（〃?-1）/刊+21+1=0是关于犬的一元二次方程，则机的值

是.

【答案】-3

【分析】由一元二次方程的定义可知，未知数的最高次数为2,且二次项系数不为0,据此列式求解即

可.

【详解】解：•.•方程（〃L1）JM+2X+1=0是关于x的一元二次方程，

加+1|=2

卜〃+1|=2彳导/〃+1=2或m+\=-2,

解得〃2=1或〃7=-3,

由加一1工0得：加工1,

:.=-3.

2.（25-26九年级_L•山西运城•期天）若（。-2）/+3%-1=。是关于x的一元二次方程，则。的取值范围是

【答案】E

【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数

的最高次数都是2,像这样的方程叫做一元二次方程.对于一元二次方程K2+辰+。=0120）,其中a是

二次项系数，〃是一次项系数，c是常数项.

根据二次项系数不能为零列式求解即可.

【详解】解：•.•方程（。-2）/+3上-1=0是关于4的一元二次方程，

•・二次项系数。-2工0,

解得"2.

故答案为4H2.

3.（25-26九年级上•四川成都.期天）若关于％的方程（〃-ZjpM-Sx-ZnO是一元二次方程，则加的值为

【答案】-2

【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义可得帆=2且加-2/0,解之即可求解，掌

握一元二次方程的定义是解题的关键.

【详解】解：•.•方程（〃?一2）户一3工一2二0是一元二次方程，

.•.同=2月.777-2*0,

解得m=-2,

故答案为：-2.

4.（25-26九年级上•江苏扬州♦期天）已知关于x的方程（A-3）/T+x+2k+l=0是一元二次方程，则k的

值应为•

【答案】-3

【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方

程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.

根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0：是整式方程；含有一个未知数.

【详解】解：•••关于”的方程十八十2左十1=0是一元二次方程，

1=2且攵一3Ho.

解得左=-3.

故答案为：-3.

知识点二已知方程的根，代入求字母参数

I.（25-26八年级下•广西贺州・期口）若犬=2是方程f+x+切=。的一个根，则m的值为.

【答案】-6

【分析】把x=2代入原方程得到一个关于机的方程，解方程即可得到答案.

【详解】解：•••x=2是方程的一个根，

*0*2~+2+/〃=0,

•••m=-6.

2.（25-26八年级下•浙江温州•期口）关于k的一元二次方程Y+2x+5-a=0的一个根为x=0,则。=

【答案】5

【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根x=0代入原方程，即可求解。的值.

【详解】解：将x=0代入一元二次方程V+2x+5-a=0得：O2+2XO+5-«=O

整理得：5-々=0

解得：4=5.

3.（25-26九年级下•湖南长沙•期口）已知关于x的方程f+"1r一2=0的一个根是I,则机的值为.

【答案】1

【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，解题的关键是利用方程的根满足方程这一性质，将x=l代

入方程丁+叩-2=0即可求解.

【详解】解：丁关于％的方程=0的一个根是1,

•••将工一1代入方程，得仔十,〃.1-2=0

解得，〃7=1,

故答案为：1.

4.（25-26九年级上•广东茂名•期口）若x=2是关于x的一元二次方程/-工+〃=。的一个根，则〃的值为

【答案】-2

【分析】根据一元二次方程根的定义，将x=2代入原方程，得到关于”的一元一次方程，求解即可得到。

的值.

【详解】解：•.・x=2是关于x的一元二次方程/一天+〃=0的一个根，

.•.将x=2代入方程得，22-2+4=0,

解得a=-2.

知识点三已知方程的根，整体代入求代数式的值

1.（25・26九年级上•陕西商洛♦期天）若。是一元二次方程f+2x-6=0的一个根,则邮+4加5的值是

【答案】

7

【分析】根据•元二次方程根的定义得到关于〃的等式，将所求代数式变形后，整体代入计算即可得到结

果.

【详解】解：•••〃是一元二次方程V+2x—6=0的一个根，

•••把x=〃代入方程得：/+24—6=0,

整理得：/+2〃=6,

...2«2+4a-5=2（a2+2a）-5=2x6-5=7.

2.（25-26九年级上•广东清远•期末）已知是方程/-2公2=0的一个根，则病一2〃?+3的值为.

【答案】5

【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义、整体代入法求代数式的值.

利用方程的根的定义得到含小的等式，再将所求代数式变形后整体代入求值即可.

【详解】解：是方程f—2x—2=0的一个根，

・•・将1代入方程，根据方程的根的定义可得：

"『-2m-2=0»

移项得m~-2m=2.

将nr-2m=2代入nr-2m+3,得2+3=5.

3.（25-26九年级上•江苏扬州•期末）若x=-l是关于x的一元二次方程加+笈+3=0卜/工0）的一个根，则

20I4-4t7+4/?=.

【答案】2026

【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，把”=-1代入原方程中求出。-占的值，再把所求式子

变形为2014-公+48=2014-4（。-〃），据此代入求值即可.

【详解】解：•.•x=-1是关于工的一元二次方程加+版+3=0（”0）的一个根，

.­.6Z-（-1）2+Z?（-1）+3=O,

=-3,

.♦.2014-4。+4〃=2014-4（。-3=2014-4x（-3）=2014+12=2026,

故答案为：2026.

4.（25-26九年级上•吉林白山•期天）已知工=。是方程/+3工一1=0的一个实数根，则6+3.+2025的值为

【答案】2026

【分析】根据一元二次方程根的定义，将x=〃代入方程得到/+.W的值，再整体代入所求代数式计算即

可.

【详解】解：是方程/+3.丫-1=0的一个实数根，

.•.将x=a代入方程，得"+3«一|=0,

移项,得片+3〃=1，

将『+3a=1代入/+3。+2025=1+2025=2026.

知识点四隐藏二次项系数不为零的参数求值

1.（25-26八年级下,安徽蚌埠•期口）关于x的一元二次方程（。+1）¥-3x+/一|=0的一个根是o,则〃的

值为（）

A.1B.-1C.1或TD.0

【答案】A

【分析】先利用一元二次方程二次项系数不为0得到4的限制条件，再将根％=0代入方程求出4的可能

值，最后筛选出符合条件的结果.

【详解】解：•.•原方程（a+l）f-3工+〃_]=0是关于X的一元二次方程，

•••二次项系数满足。+1工0,即3-1

•••x=0是原方程的一个根，

.•.将x=0代入原方程得：/一]=o,

解得4=1或。=一1,

结合。工-1的限制条件，可得4=1.

2.（2026・江西上饶•三模）已知关于x的一元二次方程（〃-2）/-31+/-4=0有一个根为工=0,贝心二

【答案】-2

【分析】根据一元二次方程的概念得到。-2工0,再把工=0代入计算，由此得到〃的值.

【详解】解：关于x的一元二次方程（。一2）/一3//_4=0有一个根为户0,

.••a-2H（）,a2-4=0,

.••4=-2,生=2且。工2,

二a=-2.

3.（2026.四川宜宾.一模）已知关于x的一元二次方程（a+l）f-21+/+。=0有一个根为工=0,则"的值

为.

【答案】（）

【分析】根据题意得到。+1工0且/+々=0,即可求出4的值.

【详解】解：••・关于X的一元二次方程（4+1）/-2、+/+4=0有一个根为x=o,

且/+〃=0,

解得。=（）.

4.（2026九年级•黑龙江齐齐哈尔,专题练习）已知关于A-的一元二次方程（〃z+l）f-戈+/=0有一根为

1,则m的值为（）

A.-1B.T或0C.0D.I

【答案】C

【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是

解答本题的关键.

将X1代入关于X的一元二次方程（/〃+1）/7+"72=。中，且〃+］工（），解出胴的值即可.

【详解】解：•••关于工的一元二次方程（6+1）/7+潘=0有一根为1,

.,.（/»+1）-1+,n2=0,且〃？工一1,

解得:m=0,

故选：C.

知识点五判断是否是含参一元二次方程的解

1.（25・26八年级下•安徽淮南•月考）若关于x的一元二次方程加+历■+”0（。工（）），系数a,b,。满足

9a+3〃+c=0,9a—初+c=0,则一元二次方程or?+/?x+c=0的根为（）

A.西=1,x2=3B.-VI=-1,x2=-3

C.%=1,W=-1D.&=3,%=-3

【答案】D

【分析】根据9〃+3Z?+c=0,9a-3l7+c=0,得到当x=±3时，满足一元二次方程G?+匕x+c=0（aw0）,

即可得出结果.

【详解】解：；系数”，〃，c满足9。+劝+c=0,9a-%+c=0,

.•.当汇=±3时，使一元二次方程加+云+。=0（4工0）成立，

印方程的解为玉=3,占=-3.

2.（25-26九年级上•山东青岛•期天）下表是随着工的不同取值，代数式a，+法+c的值的情况，根据表格

中的数据，可知方程公2+〃x+c-8=0的根是（）

X♦••-3-2-1456•♦•

ax2+bx+c••・80-6-608••・

A.X）=-l,x2=4B.x,=-2,X2=5C.玉=-3,々=6D.x1=-4,x2=7

【答案】C

【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程以2+&+C—8=0等价丁以2+床+o=8,从表格中直接找出

ax2+bx+c=8时时应的x值即可.

【详解】解：「双11+"+c—8=0等价于or'+Z?x+c=8,

从表格中，当刀二一3时，ax2+Zzr+c=8：当x=6时，cue2+Z?x+c=8»

方程的根为X=-3,X2=6.

故选：C.

3.（25-26九年级上•山东德州・月考）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，

它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程V-⑪-5=0的两根

之和为.

.V-2-10123・・・

A2-ax620026

【答案】1

【分析】本题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，当x取特定值时，表达式火的值等于

6,这些x值即为方程/_"_6=0的根，再计算两根之和，即可作答.

【详解】解：由表格可知，当x=-2时，x2-ar=6;

当工=3时，X2-ax=6>

*-*x:-ar-6=0»

•••x:-=6

故一元二次方程f一以一6=0的两根为苦=-2,占=3

则为+占=-2+3=1,

故答案为：1

4.(25-26九年级上•广东深圳・月考)如表是某同学求代数式。小+公"，。为常数)的值的情况.根据表

格中数据，可知关于x的方程如的实数根是()

X••・-2-1012•••

2

ax+bx・・・62002•••

A.Xj=-1,X2=2B.%=2,々=-3

C.x(=0,x2=\D.内=一2,x2=3

【答案】A

【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与代数式值的关系，熟练掌握“方程的根是使方程左右两边相

等的未知数的值''是解题的关键.

根据方程版=2的含义，直接从表格中找出使代数式or-桁•的值为2对应的工值，即为方程的实数

根.

【详解】•••当x=-l时，ax2+bx=2；

当％=2时，ax2+hx=2»

•••方程公2+加=2的实数根为芭=T,々=2,

故选：A.

C

nV+ni

1.(25-26九年级上•河北石家庄•期中)若/〃为一元二次方程W+x-4=0的一个根，则不一U的值为

(2m+\)

()

4c4-4n4

A.—B.—C.—D.—

13151719

【答案】C

【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及代数式的化简求值，熟练掌握方程根的定义并对代

数式进行合理变形是解题的关键.

利用一元二次方程的根的定义，得出〃/+〃?的值，再对所求分式进行化简，通过变形求出分母(2m+1)2的

值，进而得出分式的值.

【详解】解：•••〃?是方程f+x—4=0的根,

二/南+6一4=0,BPnr+tn=4,

4m~+4m=16,则4m~+4m+1=17»

(2/n+l)2=17,

in2+m4

(2m+l)217,

故选：c.

2.（25-26九年级上•福建泉州•期天）若关于了的方程少2―力一=0（4工0）有一个实数根为-2026,则

方程C）*+by-a=O（双工（））必有实数根为（）

C.-2026D.2026

20262026

【答案】B

【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，关键是利用方程根的定义进行转化；可先将已知方程的根

代入原方程，再通过代数变形推导，找到满足第二个方程的根.

【洋解】解：•••关于丁的方程冲2_勿_。=。有一个实数根为—2026,

将y=-2026代入方程得：

ax(-2026)?-bx(-2026)-c=0,

整理得：ax20262+2026人=c,

将上式两边同时除以-2026?,得:

bc

------*-----=-0-,

202620262

1

变形为:+Z?x

2026

对比方程+外-。=0,可知当了=-々焉时，方程成立，

••・方程①2+勿_〃=（）必有实数根为—^

2026

故答案选：B.

3.（25-26九年级上.福建福州•月考）已知实数P,3满足/+3p-2=0,2屋-31-1=0（pR）,则

但里的值是（）

q

A.-1B.-4C.-5D.-7

【答案】D

【分析】本题考查了•元二次方程的解.

设，二29，则好g,进而得到(TY+3(T)—2=0,即T是方程W+3x—2=0的根，进而得到一是方程

<।y11

月+3工一2=0的根，由2d-3q-l=0得至IJ-+3—一2=0,根据〃夕±1可知P,一是方程9+3工一2=0

⑺qq

的两个根，则，=-24或〃=-24，排除,=-2%进而根据〃=-24计算即可.

qq

【详解】解：设，=%,则<?=?,

v2q~-3<7-1=0

I]、1

•••2与-3-1t-1=0

12J(2J

二/一31—2=0,

.­.(-r)2+3(-/)-2=0

♦i是方程W+3.r—2=0的根,

t=2qf

是方程x2+3x-2=0的根,

31

二两边同时除以引得-2+片孑=。,

I\2

即-+3--2=0

q

内工1,

.・.〃/一1

q

vp~+3/?-2=0

••.P,,是方程/+3%-2=0的两个根,

q

•••一2q是方程J+3x—2=0的根,

•,•一=_2g或〃=—2q,

q

当时，q2=-L不成立；

q2

当p=-2q时，

pq+2p+1

q

-Iq1-4f7+l

q

_2/+4g―]

q

2/3g+3g+4g]

q

2g23g]+7g

q

0+7^

q

=.21

q

=-7.

故选：D.

4.（25-26九年级上•河南南阳♦月考）已知。是方程寸-2025%+1=0的一个根，则代数式/-2024。+彳二;

的值为（）

A.--B.—!—C.-2025D.2024

22025

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，整体代入法求代数式的值，掌握•元二次方程根的概念是关

键；由题意得片一2025a+1=0，则有/-2025。=-1,«2+1=2025«,再整体代入即可求解.

【详解】解：a是方程d-2025x+l=0的一